本講為高考命題熱點，分值10分，題型以選擇題為主，多出現(xiàn)于高考前六題選擇題中，
平面向量主要考察線性運算，坐標(biāo)運算與數(shù)量積運算，近幾年多考察拓展類，例如平面向量中的范圍最值，平面向量與三角函數(shù)結(jié)合等內(nèi)容；復(fù)數(shù)主要考察復(fù)數(shù)的概念，四則運算與復(fù)數(shù)的模與幾何意義，考察邏輯推理能力，運算求解能力.

考點一 平面向量的概念及線性運算
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.
4.重要結(jié)論
（1）一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋eq \(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up6(→))，特別地， 一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量.
（2）中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
（3）eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
（4）解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
考點二 平面向量基本定理及坐標(biāo)運算
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐標(biāo)運算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.
5.重要結(jié)論
（1）平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
（2）若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
（3）向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.
考點三 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用
1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.
(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a·b＝|a||b|cs__θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cs__θ的乘積.
2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夾角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面幾何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；
(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
5.重要結(jié)論
（1）兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b0，b>0，若A，B，C三點共線，則eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值為( )
A.8 B.9 C.6 D.4
【方法技巧】
1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.
【變式訓(xùn)練】
1.(2022·太原聯(lián)考)已知向量e1＝(1，1)，e2＝(0，1)，若a＝e1＋λe2與b＝－(2e1－3e2)共線，則實數(shù)λ＝________.
2.(2022·安徽江南十校調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0，1)和點B(－3，4)，若點C在∠AOB的平分線上，且|eq \(OC,\s\up6(→))|＝3eq \r(10)，則向量eq \(OC,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________.


高頻考點五 平面向量的數(shù)量積運算
【例8】已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝( )
A.4 B.3
C.2 D.0
【方法技巧】
1.計算平面向量的數(shù)量積主要方法：
(1)利用定義：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(2)利用坐標(biāo)運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)活用平面向量數(shù)量積的幾何意義.
2.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡后再運算.但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).
【變式訓(xùn)練】
1.（2020北京卷）已知正方形ABCD的邊長為2，點P滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))))，則|eq \(PD,\s\up6(→))|＝__________；eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝__________.
高頻考點六 向量數(shù)量積的性質(zhì)及應(yīng)用
【例9】已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cs 〈a，a＋b〉＝( )
A.－eq \f(31,35) B.－eq \f(19,35)
C.eq \f(17,35) D.eq \f(19,35)

【例10】已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值是________.

【方法技巧】
1.兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
2.若題目給出向量的坐標(biāo)，可直接運用公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))求解.沒有坐標(biāo)時可用公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).研究向量夾角應(yīng)注意“共起點”，注意取值范圍是[0，π].
3.向量模的計算主要利用a2＝|a|2，把向量模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算，有時借助幾何圖形的直觀性，數(shù)形結(jié)合，提高解題效率.
【變式訓(xùn)練】
1.(2022·太原質(zhì)檢)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb與b垂直，則λ＝( )
A.－2 B.2
C.－1 D.1
2.(2022·河南部分重點中學(xué)聯(lián)考)已知單位向量a，b的夾角為θ，且tan θ＝eq \f(1,2)，若向量m＝eq \r(5)a－3b，則|m|＝( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.eq \r(26) D.eq \r(2)或eq \r(26)

向量運算
定 義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
(1)交換律：a＋b＝b＋a
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
減法
減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
求實數(shù)λ與向量a的積的運算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講 復(fù)數(shù)（講）（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講 復(fù)數(shù)（講）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)講原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)講解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共12頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講 復(fù)數(shù)（練）（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講 復(fù)數(shù)（練）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)練原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共15頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第09講 平面向量（練）（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第09講 平面向量（練）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第09講平面向量練原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第09講平面向量練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共24頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第27講 橢圓（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第27講 橢圓（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第17講 復(fù)數(shù)（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第17講 復(fù)數(shù)（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第16講 平面向量及其應(yīng)用（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第16講 平面向量及其應(yīng)用（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第16練 平面向量及其應(yīng)用（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第16練 平面向量及其應(yīng)用（2份打包，原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部