本講為高考命題熱點，分值22-27分，題型多變，選擇題，填空題，解答題都會出現(xiàn)，
選擇填空題常考圓錐曲線橢圓雙曲線的離心率，幾何關(guān)系等問題，大題題型多變，但多以最值，定值，范圍，存在性問題，考察邏輯推理能力與運算求解能力.
考點一 雙曲線的定義
1．平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a?(2a＜|F1F2|)的點P的軌跡叫做雙曲線?.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
?當|PF1|－|PF2|＝2a?2a＜|F1F2|?時，點P的軌跡為靠近F2的雙曲線的一支.,當|PF1|－|PF2|＝－2a?2a＜|F1F2|?時，點P的軌跡為靠近F1的雙曲線的一支.
?若2a＝2c，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；若2a＞2c，則軌跡不存在；若2a＝0，則軌跡是線段F1F2的垂直平分線.
考點二 雙曲線的標準方程
(1)中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
在雙曲線的標準方程中，看x2項與y2項的系數(shù)的正負，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，則焦點在y軸上，即“焦點位置看正負，焦點隨著正的跑”.
考點三 雙曲線的幾何性質(zhì)
[常用結(jié)論]
1．過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為eq \f(2b2,a)，也叫通徑．
2．與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
3．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
4．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
高頻考點一 雙曲線的定義及其應(yīng)用
【例1】(1)(2022·河南安陽三模)設(shè)雙曲線C：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,m)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線C交于M，N兩點，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，則|MN|＝( )
A．8 B．4
C．8 eq \r(2) D．4 eq \r(2)
(2)(2019·河北廊坊省級示范校三聯(lián))設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線交雙曲線C的左支于A，B兩點，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，則△BF1F2的面積為________．
(3)已知F是雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦點，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________．
[答案] (1)C (2)eq \f(9,2) (3)9
[解析] (1)由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由雙曲線定義可知，|MF2|－|MF1|＝4 eq \r(2)，|NF1|－|NF2|＝4 eq \r(2)，兩式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8 eq \r(2).
(2)∵|AF2|＝3，|BF2|＝5，
|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4，
∴a＝1，∴|BF1|＝3，
又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2，
∴∠F2AB＝90°，∴sin B＝eq \f(3,5)，
∴S△BF1F2＝eq \f(1,2)×5×3×sin B＝eq \f(1,2)×5×3×eq \f(3,5)＝eq \f(9,2).
(3)因為F是雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦點，所以F(－4,0)，設(shè)其右焦點為H(4,0)，則由雙曲線的定義可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋eq \r(?4－1?2＋?0－4?2)＝4＋5＝9.
【方法技巧】
雙曲線定義的應(yīng)用策略
(1)根據(jù)動點與兩定點的距離的差判斷動點的軌跡是否為雙曲線．
(2)利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點有關(guān)的問題，如最值問題、距離問題．
(3)利用雙曲線的定義解決問題時應(yīng)注意三點：①距離之差的絕對值；②2a2)．
2．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cs∠F1PF2＝________.
解析：由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4eq \r(2)，|PF2|＝2eq \r(2)，
則cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(?4\r(2)?2＋?2\r(2)?2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).
高頻考點二 雙曲線的幾何性質(zhì)
考向(一) 求雙曲線的離心率(或范圍)
[例2] (一題多解)(2019·全國卷Ⅰ) 已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，則C的離心率為________．
[解析] 法一：雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，
∵eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，∴F1B⊥F2B，
∴點B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如圖所示，
不妨設(shè)點B在第一象限，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x2＋y2＝c2，得點B?a，b?，,a2＋b2＝c2，,x>0))
∵eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，∴點A為線段F1B的中點，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－c,2)，\f(b,2)))，將其代入y＝－eq \f(b,a)x得eq \f(b,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))×eq \f(a－c,2).解得c＝2a，故e＝eq \f(c,a)＝2.
法二：如圖，由eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))知A為線段F1B的中點，
∵O為線段F1F2的中點，
∴OA∥F2B，
∵eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，∴F1B⊥F2B，
∴OA⊥F1A且∠F1OA＝∠OF2B，
∵∠BOF2＝∠AOF1，∴∠BOF2＝∠OF2B，
又易知|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2為正三角形，
可知eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)，∴e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.
法三：如圖，設(shè)∠AOy＝α，則∠BOy＝α，
∵eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，∴A為線段F1B的中點，
又∵O為線段F1F2的中點，
∴OA∥BF2，∴∠OBF2＝2α.
過B作BH⊥OF2，垂足為H，
則BH∥y軸，則有∠OBH＝α，∴∠HBF2＝α，
易得△OBH≌△F2BH，∴|OB|＝|BF2|，
∵eq \(F2B,\s\up7(―→))·eq \(F1B,\s\up7(―→))＝0，∴BF1⊥BF2，又O為F1F2的中點，
∴|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2為正三角形．
∴∠BOF2＝60°，則eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.
考向(二) 求雙曲線的漸近線方程
[例3] (2022·武漢調(diào)研)已知雙曲線C：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的離心率與橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
[答案] A
[解析] 由題意知，橢圓中a＝5，b＝4，∴橢圓的離心率e＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(3,5)，∴雙曲線的離心率為 eq \r(1＋\f(n2,m2))＝eq \f(5,3)，∴eq \f(n,m)＝eq \f(4,3)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(n,m)x＝±eq \f(4,3)x，即4x±3y＝0.故選A.
考向(三) 求雙曲線的方程
[例4] (2020·廣東湛江一模)設(shè)F為雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，過E的右頂點作x軸的垂線與E的漸近線相交于A，B兩點，O為坐標原點，四邊形OAFB為菱形，圓x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)與E在第一象限的交點是P，且|PF|＝eq \r(7)－1，則雙曲線E的方程是( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
[解析] 雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，
∵四邊形OAFB為菱形，
∴對角線互相垂直平分，∴c＝2a，∠AOF＝60°，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3).
則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,x2＋y2＝c2＝4a2，))解得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a，\f(3,2)a)).∵|PF|＝eq \r(7)－1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a－2a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a))2＝(eq \r(7)－1)2，解得a＝1，
則b＝eq \r(3)，故雙曲線E的方程為x2－eq \f(y2,3)＝1.故選D.
[規(guī)律探求]
[跟蹤訓(xùn)練]
1．(2020·福建廈門一模)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F，點A，B是C的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±2x D．y＝±eq \f(1,2)x
解析：選B 設(shè)雙曲線的另一個焦點為F′，由雙曲線的對稱性，可得四邊形AFBF′是矩形，∴S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝c2，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1))可得y＝±eq \f(b2,c)，
則|MN|＝eq \f(2b2,c)＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，
∴a＝eq \r(c2－b2)＝2 eq \r(3)，
∴C的漸近線方程為y＝±eq \f(\r(3),3)x，故選B.
2．(2019·天津高考)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
解析：選D 由已知易得，拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線l：x＝－1，所以|OF|＝1.又雙曲線的兩條漸近線的方程為y＝±eq \f(b,a)x，不妨設(shè)點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(b,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－ \f(b,a)))，所以|AB|＝eq \f(2b,a)＝4|OF|＝4，所以eq \f(b,a)＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又雙曲線方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5).故選D.
3．已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點．若eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))

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