1. 的倒數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)倒數(shù)的概念作答即可．
【詳解】的倒數(shù)是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)的概念，即乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2. 下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
【詳解】解：A．該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B．該圖形是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D．該圖形是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
3. 下列調(diào)查中，最適合普查的是（ ）
A. 檢查一枚用于發(fā)射衛(wèi)星的運(yùn)載火箭的各零部件
B. 調(diào)查某款新能源車電池的使用壽命
C. 了解全國中學(xué)生的視力情況
D. 對(duì)2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)滿意度的調(diào)查
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了的普查和抽樣調(diào)查，解題的關(guān)鍵是掌握普查適用于：事關(guān)重大、人命關(guān)天的；樣本較小，方便調(diào)查的；對(duì)結(jié)果精確度要求高的；抽樣調(diào)查適用于：數(shù)量巨大，不便于全面調(diào)查的；調(diào)查具有破壞性的．根據(jù)普查使用的情況，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．檢查一枚用于發(fā)射衛(wèi)星的運(yùn)載火箭的各零部件，對(duì)結(jié)果精確度要求高，適合用普查，符合題意；
B．調(diào)查某款新能源車電池的使用壽命，調(diào)查具有破壞性，適合用抽樣調(diào)查，不符合題意；
C．了解全國中學(xué)生的視力情況，調(diào)查范圍太大，適合用抽樣調(diào)查，不符合題意；
D．對(duì)2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)滿意度的調(diào)查，調(diào)查范圍太大，適合用抽樣調(diào)查，不符合題意；
故選：A．
4. 如圖，已知和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，的面積為，的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)比是，則的面積等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到，再根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比、相似三角形的面積的比等于相似比的平方計(jì)算即可．本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比、相似三角形的面積的比等于相似比的平方．
【詳解】解：∵和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，
，
的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)比是，
與的相似比是，
的面積與的面積比是，
的面積為，
的面積等于，
故選：B．
5. 估計(jì)的值應(yīng)在（ ）
A. 3和4之間B. 4和5之間C. 5和6之間D. 6和7之間
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)根式的法則運(yùn)算，再根據(jù)逼近法即可得到答案．
【詳解】解：原式 ，
∵ ，
，
∴
∴的值在5和6之間，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查根式的四則運(yùn)算及無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)根式．
6. 下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式叫做因式分解，根據(jù)因式分解的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．，分解不徹底，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
7. 今年除夕夜時(shí)，小明班上的同學(xué)都將自己編輯好的各不相同的拜年短信發(fā)送給班級(jí)的每一位同學(xué)，全班共發(fā)送1980條拜年短信，如果全班有x名同學(xué)，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用．計(jì)算全班共發(fā)多少條拜年短信，首先確定一個(gè)人發(fā)多少條拜年短信是解題關(guān)鍵．如果全班有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)要發(fā)出條短信，共有x名學(xué)生，那么總共發(fā)送的條數(shù)數(shù)應(yīng)該是條，即可列出方程．
【詳解】解：∵小明班上的同學(xué)都將自己編輯好的各不相同的拜年短信發(fā)送給班級(jí)的每一位同學(xué)，且全班有x名同學(xué)，
∴每位同學(xué)需發(fā)送條拜年短信．
根據(jù)題意得：．
故選：C．
8. 如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D、E在上，，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，連接，利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到，結(jié)合圓周角定理得到，進(jìn)而推出，最后根據(jù)，結(jié)合弧、弦、圓心角的關(guān)系即可解題．
【詳解】解：連接，
，
，
是圓的直徑，
，
，
，
，
，
．
故選：C．
9. 如圖，在正方形中，，交于點(diǎn)O，平分交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)F，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)易得，為等腰直角三角形，于是設(shè)，則 ，，進(jìn)而，，再利用，由等角的余角相等得到，以此，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出等式求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵四邊形為正方形，
∴，，，
∵平分，，，
∴，
由，，得為等腰直角三角形，
∴，
設(shè)，
則 ，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)正確表示出、的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
10. 把1，2，…，這個(gè)正整數(shù)任意分成n組（n為正整數(shù)），每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)記為x，另一個(gè)記為y，代入代數(shù)式中進(jìn)行計(jì)算并求出結(jié)果，將這n組都代入后，可求得n個(gè)值，將這n個(gè)值的和記為，下列說法：①當(dāng)時(shí)，有3種不同的結(jié)果；②當(dāng)時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的最小值為；③當(dāng)時(shí)，的最小值為．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)字間的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律逐項(xiàng)代入計(jì)算即可判斷正誤．
【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，有2種不同的結(jié)果，故①錯(cuò)誤；
②當(dāng)時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的最小值為，故②正確；
③當(dāng)時(shí)，的最小值為．故③不正確；
故選：B．
二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分．）
11. ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握負(fù)整指數(shù)冪運(yùn)算法則和熟記特殊角三角函數(shù)．
先運(yùn)用負(fù)整指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算，并把特殊三角函數(shù)值代入，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加法即可．
【詳解】解：原式
，
故答案為：．
12. 若和是同類項(xiàng)，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了同類項(xiàng)的定義和代數(shù)式求值，如果兩個(gè)單項(xiàng)式所含的字母相同，相同字母的指數(shù)也相同，那么這兩個(gè)單項(xiàng)式就叫做同類項(xiàng)，據(jù)此可得，則，再代值計(jì)算即可．
【詳解】解；∵和是同類項(xiàng)，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
13. 現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻后，隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字后不放回，背面朝上洗均勻后再隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的數(shù)字之積為正數(shù)的概率為_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了利用樹狀圖或列表法求概率，畫出樹狀圖，找出所有等可能的結(jié)果，用前后兩次抽取的數(shù)字之積為正數(shù)的結(jié)果數(shù)除以總的結(jié)果數(shù)即可得到答案．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中前后兩次抽取的數(shù)字之積為正數(shù)的結(jié)果有共2種，
∴前后兩次抽取的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率為．
故答案為：．
14. 如圖，直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)交于點(diǎn)C，連接，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，，則k的值為 _________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由一次函數(shù)解析式可得點(diǎn)B坐標(biāo)，根據(jù)，可得點(diǎn)D坐標(biāo)，繼而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出k值．
【詳解】解：在函數(shù)中，令，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：x=-1，
∴，
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，
∴．
故答案為：．
15. 如圖，在菱形中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，為半徑畫弧，則圖中陰影部分面積為 ___________．（結(jié)果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，銳角三角函數(shù)，根據(jù)“割補(bǔ)法”求面積即可，知道陰影面積的表示方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得：
，
故答案為：．
16. 如圖，在中，，，是中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為______________________．
【答案】##
【解析】
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)求出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)線段的和差求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，，
，
∴H是的中點(diǎn)，
，，
，
∴，
∴，
∴F是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案：．
【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17. 若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本題主要考查了不等式組的解集和分式方程的正整數(shù)解的問題，熟練掌握解不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意解出的取值范圍，再利用分式方程有非負(fù)整數(shù)解求出的取值范圍，將兩者結(jié)合即可得到答案．
【詳解】解：解不等式，得，
解集為，
，
解得，
由于分式方程有非負(fù)整數(shù)解，
且，
，
且，
且，
取整數(shù)且使方程有非負(fù)整數(shù)解，
取，
故滿足條件的整數(shù)a的值之和是，
故答案為：．
18. 若一個(gè)四位自然數(shù)M各數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，且千位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和等于十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和，則稱這樣的四位數(shù)為“平衡數(shù)”．將M的千位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，組成一個(gè)新的四位數(shù)記為，并規(guī)定，若為“平衡數(shù)”且，則_______，若s和t都是“平衡數(shù)”，其中，（且m，n，x，y均為整數(shù)），規(guī)定： ，若為整數(shù)，則k的最大值是_____________．
【答案】 ①. 9 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)“平衡數(shù)”的定義，列式得到可求出a、b的值；再根據(jù)“平衡數(shù)”定義， 確定和的值，再由為整數(shù)分情況討論求值即可．
本題主要考查了新定義，列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，理解新定義的運(yùn)算：“平衡數(shù)”定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解： ．
則

∵a、b為自然數(shù)，
則
，
，
∴， x、y不可以是1和5， m和n不可以是2和3，
為整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，最大是17，
(舍去)，
m，n無解，
當(dāng)時(shí)，最大值是17，
(舍去)，
(舍去)，
∴k的最大值是
故答案為：，．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分．）解答時(shí)每小題必須寫出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19. 計(jì)算：
（1） ；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查整式的運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，再根據(jù)整式的加減運(yùn)算即可求解；
（2）運(yùn)用分式混合運(yùn)算法則即可求解．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：原式
．
20. 如圖，在四邊形中，直線分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與交于點(diǎn)O，，，平分．
（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線交于點(diǎn)N；（只保留作圖痕跡）
（2）在（1）所作的圖形中，求證：．
證明：∵，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴．
小西進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，兩條平行線被第三條直線所截，所得的一組內(nèi)錯(cuò)角的角平分線均有此特征，請(qǐng)依照題意完成下面命題：
兩條平行線被第三條直線所截， ．
【答案】（1）見解析 （2）；；；所得的一組內(nèi)錯(cuò)角的角平分線相互平行
【解析】
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖－角平分線，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．
（1）按照尺規(guī)作圖的方法作出的角平分線即可；
（2）證明，推出，再證明，得到，再根據(jù)角平分線的定義求得，利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”證明即可．
【小問1詳解】
解：射線如圖所作，
；
【小問2詳解】
證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
研究發(fā)現(xiàn)，兩條平行線被第三條直線所截，所得的一組內(nèi)錯(cuò)角的角平分線相互平行．
故答案為：；；；所得的一組內(nèi)錯(cuò)角的角平分線相互平行．
21. 語文王老師為了了解同學(xué)們的語文寒假作業(yè)完成情況，進(jìn)行了一個(gè)簡(jiǎn)單的練習(xí)，現(xiàn)從1班，2班中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的練習(xí)成績(jī)（滿分10分，6分及6分以上為合格）進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息：
1班20名學(xué)生的練習(xí)成績(jī)?yōu)椋?
5，7，8，6，6，7，10，8，9，7，7，8，8，8，6，10，9，5，6，10
2班20名學(xué)生的練習(xí)成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：
1班、2班抽取的學(xué)生的練習(xí)成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、8分及以上人數(shù)所占百分比如表所示：
（1）直接寫出上述表中的a，b，c的值；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為1班，2班中哪個(gè)班學(xué)生掌握知識(shí)較好？請(qǐng)說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）1班，2班共110名學(xué)生參加此次練習(xí)，估計(jì)參加此次練習(xí)成績(jī)合格學(xué)生人數(shù)是多少？
【答案】（1）8，7，；
（2）1班學(xué)生掌握知識(shí)較好，理由見解析；
（3）99人
【解析】
【分析】本題考查了從條形統(tǒng)計(jì)圖獲取信息，求眾數(shù)，求中位數(shù)，用樣本估計(jì)總體，正確理解相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求出、，再求出1班成績(jī)中，8分及以上人數(shù)占比即可求出；
（2）從平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)和8分及以上的人數(shù)占比的角度進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)樣本估計(jì)總體的方法，用總?cè)藬?shù)乘以樣本中合格的人數(shù)所占比即可得到答案．
【小問1詳解】
解：1班20名學(xué)生的成績(jī)出現(xiàn)次數(shù)最多的是8分，因此眾數(shù)是，
將2班20名學(xué)生的成績(jī)從小到大排列處在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即中位數(shù)，
1班8分及以上人數(shù)所占百分比為；
【小問2詳解】
解：1班學(xué)生掌握知識(shí)較好，理由如下：
因?yàn)?班和2班平均分相等，但是1班的眾數(shù)，中位數(shù)和8分及以上人數(shù)所占百分比都比2班的高；
【小問3詳解】
解：（人），
答：估計(jì)參加此次練習(xí)成績(jī)合格的學(xué)生人數(shù)是99人．
22. 為鼓勵(lì)同學(xué)們讀名著，學(xué)校購進(jìn)了《朝花夕拾》和《昆蟲記》若干．
（1）已知某書店1本《朝花夕拾》和2本《昆蟲記》需72元；2本《朝花夕拾》和3本《昆蟲記》需119元，求《朝花夕拾》和《昆蟲記》的單價(jià)各多少元？
（2）由于量大從優(yōu)，該書店《朝花夕拾》和《昆蟲記》的價(jià)格均有所下調(diào)，其中每本《昆蟲記》的價(jià)格是每本《朝花夕拾》的1.1倍，學(xué)校分別花費(fèi)了7000元、5500元購買《朝花夕拾》和《昆蟲記》，一共購買了600本，則學(xué)校購進(jìn)《朝花夕拾》和《昆蟲記》各多少本？
【答案】（1）《朝花夕拾》的單價(jià)為22元，《昆蟲記》的單價(jià)為25元；
（2）學(xué)校購進(jìn)《朝花夕拾》350本，購進(jìn)《昆蟲記》250本
【解析】
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)《朝花夕拾》的單價(jià)為元，《昆蟲記》的單價(jià)為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，求解即可獲得答案；
（2）設(shè)學(xué)校購進(jìn)《朝花夕拾》本，則學(xué)校購進(jìn)《昆蟲記》本，每本《朝花夕拾》價(jià)格為元，則每本《昆蟲記》價(jià)格為元，根據(jù)題意列出分式方程，求解并檢驗(yàn)，即可獲得答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)《朝花夕拾》的單價(jià)為元，《昆蟲記》的單價(jià)為元，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴《朝花夕拾》的單價(jià)為22元，《昆蟲記》的單價(jià)為25元；
【小問2詳解】
解：設(shè)學(xué)校購進(jìn)《朝花夕拾》本，則學(xué)校購進(jìn)《昆蟲記》本，
根據(jù)題意，每本《朝花夕拾》價(jià)格為元，則每本《昆蟲記》價(jià)格為元，
則，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解，
∴，
∴學(xué)校購進(jìn)《朝花夕拾》350本，購進(jìn)《昆蟲記》250本．
23. 如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)M，N分別以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)M沿折線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿折線C→D→A方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，點(diǎn)M，N的距離為y．

（1）請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點(diǎn)M，N相距4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)x的值．
【答案】（1）
（2）圖見解析；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
（3）點(diǎn)M，N相距4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)x的值分別為3和7.5
【解析】
【分析】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)的圖象，正確地求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)在上時(shí)，，得到，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象即可；
（3）把代入得，把代入得，于是得到結(jié)論．
【小問1詳解】
解：當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，
在矩形中，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)在上時(shí)，，
即，
綜上所述，；
【小問2詳解】
解：如圖所示；

當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；
【小問3詳解】
解：把代入得，把代入得，
故點(diǎn)，相距4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)的值分別為3和7.5．
24. 哈爾濱旅游火爆全網(wǎng)，小西和小附兩家前往哈爾濱冰雪大世界玩耍，如圖，兩家到達(dá)入口R處后分兩條線路進(jìn)行游玩，最后前往最大游玩項(xiàng)目B處集合．經(jīng)測(cè)量，項(xiàng)目B在入口R的正北方向米處，項(xiàng)目A在入口R的北偏西方向，在項(xiàng)目B的南偏西方向，項(xiàng)目D在入口R的東北方米處，項(xiàng)目C在項(xiàng)目D的北偏西方向，在項(xiàng)目B的正東方向．
（1）求項(xiàng)目C和項(xiàng)目D之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）已知小西家沿線路①進(jìn)行游玩，小附家沿線路②進(jìn)行游玩，請(qǐng)通過計(jì)算說明哪一條線路更短？（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）項(xiàng)目C和項(xiàng)目D之間的距離為米；
（2）線路②更短
【解析】
【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用．
（1）過D作于E，求出米，過C作于F，則四邊形是矩形，得到米，則米，即可得到米；
（2）求出線路②（米）,得到米，米，得到線路①（米），比較后即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
解：過D作于E，
∵米，
∴米，
∵米，
∴米，
過C作于F，則四邊形是矩形，
∴米，
∵，
∴米，
∴米，
答：項(xiàng)目C和項(xiàng)目D之間的距離為米；
【小問2詳解】
由（1）知，
米，
∴線路②
（米），
∵，
∴，
∴米，米，
∴線路①（米），
∵，
∴線路②更短．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）連接，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）中面積取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，是平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）；
（2）最大值為，點(diǎn)；
（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【解析】
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，即或；當(dāng)時(shí)，在中，，，，用解直角三角形的方法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，同理可解；當(dāng)時(shí)，求出直線的表達(dá)式為：，即可求解．
【小問1詳解】
解：由題意得：
，解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
【小問2詳解】
解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為：、、，
由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，直線的表達(dá)式為：，
連接，設(shè)點(diǎn)，
∵，則，
則直線的表達(dá)式為：，
聯(lián)立直線和直線的表達(dá)式得：，
解得：，
則點(diǎn)，
則，
故面積的最大值為，此時(shí)，則點(diǎn)；
【小問3詳解】
解：該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則相當(dāng)于將拋物線向左向上分別平移1個(gè)單位，
則新拋物線的表達(dá)式為：，
當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，即或；
當(dāng)時(shí)，如下圖：
當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，
設(shè)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，，，
則設(shè)，則，
則，則，
則，
則點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
將上式和新拋物線的表達(dá)式聯(lián)立得：，
解得：（舍去）或，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，
則直線的表達(dá)式為：，
將上式和新拋物線的表達(dá)式聯(lián)立得：，
解得：（不合題意的值已舍去），
即點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，如下圖：
則直線的表達(dá)式為：，
將上式和新拋物線的表達(dá)式聯(lián)立得：，
解得：
即點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，主要考查二次函數(shù)性質(zhì)，三角形的面積．解直角三角形，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，分類討論思想等相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行正確的分類討論．
26. 已知，在中，，，以為邊向下作一個(gè)且，連接．
（1）如圖1，若，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；；
（2）如圖2，若點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，連接，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】（1）
（2），見解析；
（3）
【解析】
【分析】（1），截取，連接，，可證明，從而得出，，，進(jìn)而得出結(jié)果；
（2）延長(zhǎng)至，使，連接，，在上截取，連接，可得出，是等邊三角形，從而點(diǎn)、、、共圓，，，可證得，從而，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（3）以為邊在下方作等邊三角形，作的外接圓，則點(diǎn)在上，連接，，，取的中點(diǎn)，連接，作，交的延長(zhǎng)線于，不妨設(shè)，則，可得出，，進(jìn)而得出，進(jìn)而得出，，，，的值，在上截取，連接，可證得，從而得出，從而，從而，當(dāng)、、共線時(shí)，最小，即最小，作于，作于，設(shè)，則，由得，從而，從而得出，，由得出，進(jìn)而得出，的長(zhǎng)，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【小問1詳解】
解：如圖1，作，截取，連接，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
【小問2詳解】
證明：如圖2，
延長(zhǎng)至，使，連接，，在上截取，連接，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，是等邊三角形，
點(diǎn)、、、共圓，，，
，，，
，
，
，
，
點(diǎn)是中點(diǎn)，
，
；
【小問3詳解】
解：如圖3，
，
以為邊在下方作等邊三角形，作的外接圓，
則點(diǎn)在上，連接，，，取的中點(diǎn)，連接，作，交的延長(zhǎng)線于，
，
不妨設(shè)，則，
是的中點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
在上截取，連接，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)、、共線時(shí)，最小，即最小，
如圖4，
，，，，
作于，作于，
設(shè)，則，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形．
年級(jí)
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
8分及以上人數(shù)所占百分比
1班
7.5
a
7.5
c
2班
7.5
7
b

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