一、選擇題（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）
1. 剪紙是中國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化．下列剪紙圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形，“圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心”，據(jù)此逐一判斷選項(xiàng)即可．
【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)正確
故選：D．
2. 下列計(jì)算正確的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，積的乘方運(yùn)算法則逐一分析判斷即可．
【詳解】解：，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C符合題意；
，故D不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，積的乘方運(yùn)算，掌握基礎(chǔ)的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
3. 估計(jì)的值在（ ）
A. 4到5之間B. 5到6之間C. 6到7之間D. 7到8之間
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式混合運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算；由二次根式混合運(yùn)算法則運(yùn)算得，再用逐步逼近法可得即可求解；掌握二次根式運(yùn)算法則和逐步逼近法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
，
∵，
，
，
故選：B．
4. 下列命題是真命題的是( )．
A. 一組對(duì)邊平行且有一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；
B. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形；
C. 一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；
D. 對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形．
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判斷．
【詳解】解：如下圖，若四邊形ABCD，AD∥BC，∠A=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A正確；
B、對(duì)角線相等的四邊形也可能為等腰梯形，故B錯(cuò)誤；
C、一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等的四邊形也可能為等腰梯形，故C錯(cuò)誤；
D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、矩形、正方形的判定定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．
5. 下列圖形都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是3個(gè)，第2個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是8個(gè)，第3個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是15個(gè)，則第6個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 24B. 30C. 35D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是依次求出圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，并發(fā)現(xiàn)其規(guī)律．
根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：由所給圖形可知，
第1個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為：；
第2個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為：；
第3個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為：；
…，
依次類推，第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為個(gè)．
第6個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是，
故選：D．
6. 天氣轉(zhuǎn)暖，正是露營(yíng)好時(shí)節(jié)．周六，小聯(lián)同學(xué)一家從家出發(fā)，開車勻速前往離家30千米的露營(yíng)基地．行駛小時(shí)后，到達(dá)露營(yíng)基地．在基地玩耍一段時(shí)間后，按照原路返程回家．由于車流增加，平均行駛速度比去基地的平均速度少．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小聯(lián)同學(xué)距家的距離y（千米）與所用時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 去基地的平均速度是每小時(shí)60千米
B. 露營(yíng)玩耍的時(shí)長(zhǎng)為4小時(shí)
C. 回家的平均速度是每小時(shí)50千米
D. 與家相距10千米時(shí)，x的值為
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查從函數(shù)圖象獲取信息，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，能從圖象中獲取有用的信息．用路程除以時(shí)間可得去基地的平均速度是每小時(shí)60千米，判斷A正確；根據(jù)圖象直接可判斷B正確；由按照原路返程回家．由于車流增加，平均行駛速度比去基地的平均速度少列式計(jì)算，可判斷C正確；分去基地時(shí)和回家時(shí)兩種情況求解，可判斷D不正確．
【詳解】解：去基地的平均速度是（千米/小時(shí)）；故A正確，不符合題意；
露營(yíng)玩耍的時(shí)長(zhǎng)為（小時(shí)），故B正確，不符合題意；
回家的平均速度是（千米/小時(shí)），故C正確，不符合題意；
去基地時(shí)，與家相距10千米，；
回家時(shí)，與家相距10千米，，
∴與家相距10千米時(shí)，x的值為或4.9，故D不正確，符合題意；
故選：D．
7. 電影《孤注一擲》于2023年8月8日在中國(guó)大陸上映，某地第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后票房收入累計(jì)達(dá)13億元，若把每天的平均增長(zhǎng)率記作x，則方程可以列為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．由第一天為3億，根據(jù)增長(zhǎng)率為得出第二天為億，第三天為億，根據(jù)三天累計(jì)為13億，即可得出關(guān)于的一元二次方程．
【詳解】解：設(shè)增長(zhǎng)率為，
根據(jù)題意得：．
故選：D．
8. 如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接，若，則的長(zhǎng)度為（ ）

A. B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接，根據(jù)切線的定義得出，推出，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而得出，根據(jù)圓周角定理得出，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵CD為的切線，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由圓周角定理得：，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的定義，勾股定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并熟練運(yùn)用．
9. 如圖，延長(zhǎng)矩形的邊至點(diǎn)E，使，連接，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等；連接與交于，根據(jù)矩形的性質(zhì)可證，，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求解；掌握性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)建等腰是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，連接與交于，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故選：B．
10. 有個(gè)依次排列的整式：第1項(xiàng)是，用第1項(xiàng)乘以，所得之積記為，將第1項(xiàng)加上得到第2項(xiàng)，再將第2項(xiàng)乘以得到，將第2項(xiàng)加得到第3項(xiàng)，以此類推；某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此展開研究，得到下列4個(gè)結(jié)論：
①第5項(xiàng)為； ②；
③若，則； ④當(dāng)時(shí)，第項(xiàng)的值為．
以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)題意表示出第n個(gè)整式及是解題的關(guān)鍵．
依次求出各整式及…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：由題知，
，
整式中的第2項(xiàng)為：，
，
整式中的第3項(xiàng)為：，
……
，
整式中的第n項(xiàng)為：（n為正整數(shù)），
所以整式中的第5項(xiàng)為：，
故①正確．
當(dāng)時(shí)，
，
故②正確．
當(dāng)時(shí)，
，
則，
故③正確．
當(dāng)時(shí)，
令整式中的第k項(xiàng)的值為M，
則，
，
兩式相減得：
，
，
故④正確；
故選：D．
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）
11. 方程的解是____．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本題的關(guān)鍵．
把方程化為，再利用因式分解的方法解方程即可．
【詳解】解：∵，
，
，
或，
解得：．
故答案為：，．
12. 如圖，直線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，則不等式的解集為____．
【答案】
【解析】
【分析】用待定系數(shù)法求出k、b的值，然后將它們代入不等式組中進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：將和代入中得：
，
解得：k=2，b=8，
∴y=2x+8，
則，解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及不等式的解法，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
13. 現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-2，，2，3的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字后放回，背面朝上洗均勻，再隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字，則前后兩次抽取的數(shù)字之和為正數(shù)的概率為 __________________．
【答案】##0.625
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，即可求得數(shù)字之和為正數(shù)的概率．
【詳解】解：列樹狀圖可得：
由樹狀圖可得共有種等可能結(jié)果，其中兩次數(shù)字之和為正數(shù)的有10種，故概率為：，
故答案為：．
14. 如圖，在中，，與相切于點(diǎn)與分別交于點(diǎn)，連接．若，則圖中陰影部分面積為______．（結(jié)果保留）

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識(shí)，連接交于F，利用切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形性質(zhì)，以及勾股定理等可求出，，，利用三角形中位線定理可求，然后根據(jù)求解即可．
【詳解】解：連接交于F，

∵與相切于點(diǎn)C，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
同理：，
∴，，
∴，
∴，
∴
．
故答案為：．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)A，D在反比例函數(shù)的圖象上，邊軸，交x軸于點(diǎn)E，頂點(diǎn)C在第四象限，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，，則k的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象點(diǎn)坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求出的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵.
作于， 根據(jù)勾股定理求得，設(shè)，則，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)得到 ， 解得的值, 即可求得的值.
【詳解】作于，
∵四邊形是菱形，軸，
∴軸，，
設(shè)，則，
∴，
，
，
解得x=2，
∴，
設(shè)， 則，
∵菱形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得 ，
，
故答案為：．
16. 若整數(shù)使得關(guān)于的不等式組有解，且使得關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，那么符合條件的所有整數(shù)的和為______．
【答案】36
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，正確掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式組有解，得到關(guān)于的一元一次不等式，求出的取值范圍，解分式方程得且，根據(jù)“為整數(shù)，且分式方程有正整數(shù)解”，找出符合條件的的值，相加后即可得到答案．
【詳解】解：
解不等式組得，
∵該不等式組有解，
∴，
解得：，
解分式方程得，
且，
∵為整數(shù)，且分式方程有正整數(shù)解，
∴的值為：，，，
∴，
即滿足條件的所有整數(shù)之和為．
故答案為．
17. 如圖，在四邊形中，和都是直角，且．現(xiàn)將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與邊相交于點(diǎn)，恰好是的角平分線，若，則的長(zhǎng)為 ________________．

【答案】
【解析】
【分析】如圖，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，根據(jù)翻折的性質(zhì)可以證明，可得，再證明，可得，問(wèn)題得解．此題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定定理和折疊的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，

由翻折可知：
，，
∵是的角平分線，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
18. 一個(gè)四位正整數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字不完全相同且均不為零，若滿足千位和百位數(shù)字之和是十位和個(gè)位數(shù)字之和的兩倍，則稱這樣的四位數(shù)為“二階數(shù)”．將“二階數(shù)”的千位數(shù)字與百位數(shù)字對(duì)調(diào)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到一個(gè)新的“二階數(shù)”記為，記，例如：當(dāng)．時(shí)，，則．已知兩個(gè)“二階數(shù)”，滿足是一個(gè)完全平方數(shù)，且為整數(shù)，則_____，的最大值為_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本題考查了新定義代數(shù)推理問(wèn)題，多以閱讀理解的形式呈現(xiàn)，解題關(guān)鍵是“理解新定義的數(shù)位關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言（等量關(guān)系）”．首先由千位和百位數(shù)字之和是十位和個(gè)位數(shù)字之和的兩倍與得出，，，然后得出并化為最簡(jiǎn)分式，最后由是一個(gè)完全平方數(shù)（等量關(guān)系），且為整數(shù)（等量關(guān)系），求解即可．
【詳解】解：，
，
，
千位和百位數(shù)字之和是十位和個(gè)位數(shù)字之和的兩倍，
，
，
，
，
同理可得：，即，
，
，
，
是不完全相同的正整數(shù)且均不為零，
，
，
是一個(gè)完全平方數(shù)， ，
或，
解得：或（舍去），
，
為整數(shù)即為整數(shù)，
是正整數(shù)且均不為零，，
當(dāng)時(shí)（不符合題意舍去），
當(dāng)時(shí)（符合題意），
當(dāng)時(shí)（不符合題意舍去），
當(dāng)時(shí)（不符合題意舍去），
，
，
求的最大值只需最大，
，，
，
，
，
故，．
三、解答題：（本大題共8個(gè)小題，19題8分，20-26題每小題10分，共78分）
19. 計(jì)算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算、整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和完全平方公式將題目中的式子展開，然后合并同類項(xiàng)即可；
（2）先通分括號(hào)內(nèi)的式子，同時(shí)將括號(hào)外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可．
【小問(wèn)1詳解】
；
【小問(wèn)2詳解】
．
20. 如圖，在菱形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O．

（1）尺規(guī)作圖：在的延長(zhǎng)線上截取，連接，再過(guò)點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：四邊形為矩形．
證明：∵
∴ ①
∵四邊形是菱形
∴，，
∴
∵
∴ ②
又∵
∴四邊形為平行四邊形
∴ ③
∴
∴ ④
∴
∴四邊形為矩形．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）①，②，③，④
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；
（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可得，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)矩形的判定可得四邊形為矩形．
【小問(wèn)1詳解】
如圖：

作法：延長(zhǎng)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑，在的延長(zhǎng)線上畫弧，即為點(diǎn)；連接，分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑，在的上方畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與點(diǎn)，與交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)
【小問(wèn)2詳解】
證明：∵
∴
∵四邊形是菱形
∴，，
∴
∵
∴
又∵
∴四邊形為平行四邊形
∴
∴
∴
∴
∴四邊形為矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)要求尺規(guī)作圖．
21. 為全面增強(qiáng)中學(xué)生體質(zhì)健康，某學(xué)校開展“陽(yáng)光體育活動(dòng)”，開設(shè)了：A．跳繩；B．籃球；C．排球；D．足球，這4門選修課，要求每名學(xué)生只能選擇其中的一項(xiàng)參加．全校共有100名男同學(xué)選擇了A項(xiàng)目，為了解選擇A項(xiàng)目男同學(xué)的情況，從這100名男同學(xué)中隨機(jī)抽取了30人在操場(chǎng)進(jìn)行測(cè)試，并將他們的成績(jī)（個(gè)/分鐘）繪制成頻數(shù)分布直方圖．
（1）若抽取的同學(xué)的測(cè)試成績(jī)落在這一組的數(shù)據(jù)為160，162，161，163，162，164，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______，眾數(shù)是______；
（2）根據(jù)題中信息，估計(jì)選擇B項(xiàng)目的男生共有______人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中D項(xiàng)目所占圓的圓心角為______度；
（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全區(qū)的跳繩比賽，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法計(jì)算出甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率．
【答案】（1）162；162
（2）175；108 （3）
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、頻數(shù)（率分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、眾數(shù)，能夠讀懂統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法、中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得答案．
（2）先用選擇項(xiàng)目的男生人數(shù)除以扇形統(tǒng)計(jì)圖中的百分比可得全校的男生人數(shù)，再用全校的男生人數(shù)乘以扇形統(tǒng)計(jì)圖中的百分比可得選擇項(xiàng)目的男生人數(shù)；用乘以扇形統(tǒng)計(jì)圖中得百分比即可．
（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，排在第3和第4的為162和162，
該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．
該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的為162，
該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為162．
故答案為：162；162．
【小問(wèn)2詳解】
全校的男生人數(shù)為（人，
選擇項(xiàng)目的男生共有（人．
扇形統(tǒng)計(jì)圖中項(xiàng)目所占圓的圓心角為．
故答案為：175；108．
【小問(wèn)3詳解】
畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果有2種，
甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率為．
22. 清明節(jié)，除了掃墓踏青之外，傳統(tǒng)時(shí)令小吃——青團(tuán)也深受大家歡迎，知味觀推出一款鮮花牛奶青團(tuán)和一款芒果青團(tuán)，鮮花牛奶青團(tuán)每個(gè)售價(jià)是芒果青團(tuán)的倍，4月份鮮花牛奶青團(tuán)和芒果青團(tuán)總計(jì)銷售個(gè)，鮮花牛奶青團(tuán)銷售額為元，芒果青團(tuán)銷售額為元．
（1）求鮮花牛奶青團(tuán)和芒果青團(tuán)的售價(jià)？
（2）5月份正值知味觀店慶，決定再生產(chǎn)個(gè)青團(tuán)回饋新老顧客，但考慮到芒果青團(tuán)較受歡迎，同時(shí)也考慮受機(jī)器設(shè)備限制，因此芒果青團(tuán)的個(gè)數(shù)不少于鮮花牛奶青團(tuán)個(gè)數(shù)的，不多于鮮花牛奶青團(tuán)的倍，其中，鮮花牛奶青團(tuán)每個(gè)讓利元銷售，芒果青團(tuán)售價(jià)不變，并且讓利后的鮮花牛奶青團(tuán)售價(jià)不得低于芒果青團(tuán)售價(jià)的，問(wèn)：知味觀如何設(shè)計(jì)生產(chǎn)方案？使總銷售額最大．
【答案】（1）芒果青團(tuán)的售價(jià)為0.8元，則鮮花牛奶青團(tuán)的售價(jià)為1元；（2）當(dāng)0＜a≤0.2時(shí)，鮮花牛奶青團(tuán)生產(chǎn)4800個(gè)，芒果青團(tuán)生產(chǎn)7200個(gè)，銷售額最大；當(dāng)a=0.2時(shí)，銷售額不變；當(dāng)0.2＜a≤0.4時(shí)，鮮花牛奶青團(tuán)生產(chǎn)4000個(gè)，芒果青團(tuán)生產(chǎn)8000個(gè)，銷售額最大．
【解析】
【分析】（1）設(shè)芒果青團(tuán)的售價(jià)為x元，則鮮花牛奶青團(tuán)的售價(jià)為x元，根據(jù)銷售額以及4月份鮮花牛奶青團(tuán)和芒果青團(tuán)總計(jì)銷售個(gè)列出分式方程即可解答；
（2）設(shè)鮮花牛奶青團(tuán)生產(chǎn)m個(gè)，芒果青團(tuán)生產(chǎn)（12000-m）個(gè)，根據(jù)題意列出不等式，求出，設(shè)銷售額為W元，表達(dá)出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意計(jì)算出a的取值范圍，對(duì)a的值進(jìn)行分類討論，利用一次函數(shù)的增減性，確定方案即可．
【詳解】解：（1）設(shè)芒果青團(tuán)的售價(jià)為x元，則鮮花牛奶青團(tuán)的售價(jià)為x元，則：
，
解得：x=0.8，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=0.8是原方程的解，
∴x=1，
∴芒果青團(tuán)的售價(jià)為0.8元，則鮮花牛奶青團(tuán)的售價(jià)為1元．
（2）設(shè)鮮花牛奶青團(tuán)生產(chǎn)m個(gè)，芒果青團(tuán)生產(chǎn)（12000-m）個(gè)，
由題意可得：，
解得：，
設(shè)銷售額為W元，
則，
∵a＞0，且，則，
①當(dāng)0＜a≤0.2時(shí)，0.2-a＞0，W隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=4800時(shí)，W最大，
②當(dāng)a=0.2時(shí)，0.2-a=0，則無(wú)論如何設(shè)計(jì)，銷售額不變；
③當(dāng)0.2＜a≤0.4時(shí)，0.2-a＜0，W隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=4000時(shí)，W最大，
綜上所述，當(dāng)0＜a≤0.2時(shí)，鮮花牛奶青團(tuán)生產(chǎn)4800個(gè)，芒果青團(tuán)生產(chǎn)7200個(gè)，銷售額最大；當(dāng)a=0.2時(shí)，銷售額不變；當(dāng)0.2＜a≤0.4時(shí)，鮮花牛奶青團(tuán)生產(chǎn)4000個(gè)，芒果青團(tuán)生產(chǎn)8000個(gè)，銷售額最大．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，以及一次函數(shù)與方案設(shè)計(jì)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出關(guān)系式，列出方程或函數(shù)關(guān)系式，并熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)．
23. 如圖1，在梯形中，，，點(diǎn)E在邊上且．動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)E出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿折線E→A→D方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿折線E→B→C方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積為y．

（1）請(qǐng)直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍；
（2）如圖2，在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的面積大于15時(shí)的t的取值范圍 ．
【答案】（1）
（2）作圖見(jiàn)解析，函數(shù)y的最大值是24（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】（1）分兩種情形：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解即可;
（2）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象即可;
（3）利用解析式結(jié)合圖象判斷即可．
【小問(wèn)1詳解】
在梯形中，，
，點(diǎn)在邊上且.
，,
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，如圖，

綜上所述：
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)的最大值是24．
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，，
解得
當(dāng)時(shí)，，
解得
觀察圖象可得，時(shí) ,
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了函數(shù)的圖象，梯形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．
24. 如圖，在中，過(guò)點(diǎn)A、C作，，分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F和E．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）連接，交于點(diǎn)O，點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，若，，求矩形的周長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，得到，結(jié)合，，推出，證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可得到四邊形是矩形；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)可得是的中位線，，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，從而得到的周長(zhǎng)．
小問(wèn)1詳解】
證明：在中，，，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，即，
四邊形是矩形．
【小問(wèn)2詳解】
解：在中，，
點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，，
是的中位線，，
又，，
在中，，
，
矩形的周長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，作的角平分線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將原拋物線沿軸向左平移個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線交軸于點(diǎn)、，點(diǎn)為新拋物線的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為新拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）；
（2），；
（3）或．
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法，即可求解；
（2）交直線于，過(guò)點(diǎn)作于，可得出是正三角形，只需求的最大值即可；
（3）求出平移后的函數(shù)解析式為，求出、，分點(diǎn)在的上方和下方兩種情況討論；
【小問(wèn)1詳解】
解：將點(diǎn)、代入，
得：，
解得，
；
【小問(wèn)2詳解】
如圖1，交直線于，過(guò)點(diǎn)作于，
在中，，
，，
平分，
，
，
，
軸，
，，
，
，
，
，
在中，，
是正三角形，
平分，
，
在，，
在正中，，
是中線，
，
，
，
故當(dāng)取最大值時(shí)，最大，
，
在中，且，
，
或（舍去），
，
設(shè)直線解析式為，
，
，
，
設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，最大，
，
，
即，
當(dāng)時(shí)，有最大值；
【小問(wèn)3詳解】
，
對(duì)稱軸為，
將向左平移個(gè)單位后新拋物線，
、，的對(duì)稱軸為直線，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
則，
，
，
，
與重合，
當(dāng)在下方時(shí)，
，，
，
，，
，
設(shè)直線的解析式為：，
，
，
直線的解析式為：，
聯(lián)立得：，
解得：或（舍去），
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
26. 在中，點(diǎn)G是直線上一點(diǎn)，，連接．
（1）如圖1，若交于點(diǎn)H，，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若，的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，交的平分線于點(diǎn)F，連接，且，請(qǐng)猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）若，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)K是線段的中點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)線段得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】（1）
（2），見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理首先求出的長(zhǎng)，再求出即可；
（2）延長(zhǎng)交于H，連接，先通過(guò)三角形全等證明是等邊三角形，證明四邊形是平行四邊形，再證明是菱形，得，則都是等邊三角形，再利用證明，從而說(shuō)明是等邊三角形，可得，再證得，由，利用等量代換即可證得結(jié)論；
（3）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，，當(dāng)點(diǎn)K落在邊上時(shí)，為最小值，過(guò)點(diǎn)G作于Q，過(guò)點(diǎn)D作于H，利用等腰直角三角形性質(zhì)可得，得出，即可求得答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，；
【小問(wèn)2詳解】
猜想：，理由如下：
延長(zhǎng)交于H，連接，如圖2，
平分，
，
在和中，
，
，
，
是等邊三角形，
．
又四邊形是平行四邊形，
，
，
，
則四邊形是平行四邊形，
，
平分，
，
，
，
菱形，
，
，
、都是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小問(wèn)3詳解】
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
旋轉(zhuǎn)后的是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
是線段的中點(diǎn)，
，
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，，如圖3，
當(dāng)點(diǎn)K落在邊上時(shí)，為最小值，如圖4，過(guò)點(diǎn)G作于Q，過(guò)點(diǎn)D作于H，
則，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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