1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b為常數(shù))3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差
(1)若 X 服從兩點(diǎn)分布，則 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若 X～B(n，p)，則 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【名師點(diǎn)睛】(1)若x1，x2相互獨(dú)立，則E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).(2)均值與方差的關(guān)系：D(X)＝E(X2)－E2(X).(3)超幾何分布的均值：若 X 服從參數(shù)為 N，M，n 的
超幾何分布，則 E(X)＝
1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無(wú)關(guān).(
(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.
(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平
(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的
情況，因此它們是一回事.(
2.(教材改編題)已知 X 的分布列為
3.(教材改編題)若隨機(jī)變量 X 滿足 P(X＝c)＝1，其中 c為常數(shù)，則 D(X)的值為________.答案：0
4.(2021 年浙江)袋中有 4 個(gè)紅球，m 個(gè)黃球，n 個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為ξ，若取出的兩個(gè)球 ________，E(ξ)＝________.
5.(2020 年浙江)一個(gè)盒子里有 1 個(gè)紅 1 個(gè)綠 2 個(gè)黃四個(gè)質(zhì)地大小相同的球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則 P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.
離散型隨機(jī)變量的均值與方差
[例 1](2021 年新高考Ⅰ)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有 A，B 兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A 類問題中的每個(gè)問題回答正確得 20 分，否則得 0 分；B 類問題中的每個(gè)問題回答正確得 80 分，否則得 0 分.
已知小明能正確回答 A 類問題的概率為 0.8，能正確回答 B 類問題的概率為 0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無(wú)關(guān).
(1)若小明先回答 A 類問題，記 X 為小明的累計(jì)得分，
(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類
解：(1)由已知可得，X 的所有可能取值為 0,20,100，則 P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以 X 的分布列為
(2)由(1)可知小明先回答 A 類問題累計(jì)得分的期望為
E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，
若小明先回答 B 類問題，記 Y 為小明的累計(jì)得分，則 Y 的所有可能取值為 0,80,100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
則 Y 的期望為 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝
因?yàn)?E(Y)＞E(X)，
所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答 B
【變式訓(xùn)練】1.(2021 年拉薩二模)設(shè)隨機(jī)變量 X，Y 滿足 Y＝2X＋3，
若 E(X)＝2，D(X)＝8，則 E(Y)和 D(Y)分別等于(
解析：因?yàn)?Y＝2X＋3，E(X)＝2，D(X)＝8，所以 E(Y)＝2E(X)＋3＝2×2＋3＝7，D(Y)＝22×D(X)＝4×8＝32.故選 C.答案：C
2.(2021 年瑤海月考)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員站在 A，B，C三處進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，每人在這三處各投籃一次，每人每次投籃是否投中均相互獨(dú)立，且甲、乙兩人在 A，B，C
(1)設(shè) X 表示甲運(yùn)動(dòng)員投中的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分
(2)求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員共投中的個(gè)數(shù)不少于 5 的概率.
解：(1)根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為0,1,2,3，
均值與方差在決策問題中的應(yīng)用
[ 例 2] 某投資公司對(duì)以下兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行前期市場(chǎng)調(diào)研，項(xiàng)目 A：通信設(shè)備.根據(jù)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為：獲利 40%、損失 20%、不賠不賺，且這三種項(xiàng)目 B：新能源汽車.根據(jù)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為：獲利 30%、虧損 10%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為 b，c.
經(jīng)測(cè)算，當(dāng)投入 A，B 兩個(gè)項(xiàng)目的資金相等時(shí)，它們
所獲得的平均收益(即數(shù)學(xué)期望)也相等.
(1)求 a，b，c 的值；
(2)若將 100 萬(wàn)元全部投到其中的一個(gè)項(xiàng)目，請(qǐng)你從投資回報(bào)穩(wěn)定性考慮，為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由.
【題后反思】隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.
計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝 3 臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過去 50 年的水文資料顯示：水庫(kù)年入流量 X(一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在 40 以上.其中，有 10 年不足 80，有 35 年不低于 80 且不超過 120，有 5年超過 120.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.
(1)求未來(lái) 4 年中，至多有 1 年的年入流量超過 120 的
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量 X 限制，并有如下關(guān)系：
若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為 5 000 萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損 800 萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？
(2)記水電站年總利潤(rùn)為 Y(單位：萬(wàn)元).①安裝 1 臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形
由于水庫(kù)年入流量總大于 40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概
對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn) Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
②安裝 2 臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形
依題意，當(dāng) 40

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