一、函數(shù)奇偶性
定義
設(shè) SKIPIF 1 < 0 為關(guān)于原點對稱的區(qū)間），如果對于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，則稱函數(shù) SKIPIF 1 < 0 為偶函數(shù)；如果對于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，則稱函數(shù) SKIPIF 1 < 0 為奇函數(shù).
性質(zhì)
函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.
奇偶函數(shù)的圖象特征.
函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是偶函數(shù) SKIPIF 1 < 0 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸對稱；
函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是奇函數(shù) SKIPIF 1 < 0 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象關(guān)于原點中心對稱.
(3)若奇函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處有意義，則有 SKIPIF 1 < 0 ；
偶函數(shù) SKIPIF 1 < 0 必滿足 SKIPIF 1 < 0 .
偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.
若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如 SKIPIF 1 < 0 .
對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇 SKIPIF 1 < 0 奇=奇；偶 SKIPIF 1 < 0 偶=偶；奇 SKIPIF 1 < 0 偶=非奇非偶；
奇 SKIPIF 1 < 0 奇=偶；奇 SKIPIF 1 < 0 偶=奇；偶 SKIPIF 1 < 0 偶=偶.
復(fù)合函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.
二、函數(shù)的單調(diào)性
定義
一般地，設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域為D，區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 ，若對于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時，都有 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ），則稱函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間M上是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的，區(qū)間M為函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的一個增（減）區(qū)間.
熟練掌握增、減函數(shù)的定義，注意定義的如下兩種等價形式：
設(shè) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函數(shù) SKIPIF 1 < 0 過單調(diào)遞增函數(shù)圖象上任意不同兩點的割線的斜率恒大于零 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是減函數(shù) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
性質(zhì)
對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：在公共區(qū)間上，增+增=增；減+減=減；增-減=增；減-增=減.
若 SKIPIF 1 < 0 為增函數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 為減函數(shù).若 SKIPIF 1 < 0 為減函數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 為增函數(shù).
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).
三、函數(shù)的周期性
定義
設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，如存在非零常數(shù)T，使得對任何 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 為周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個周期.若在所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，則這個最小的正數(shù)叫做最小正周期.
注：函數(shù)的周期性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，即對于定義域D中的任何一個 SKIPIF 1 < 0 ，都滿足 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 是周期函數(shù)，則其圖像平移若干整數(shù)個周期后，能夠完全重合.
性質(zhì)
若 SKIPIF 1 < 0 的周期為T，則 SKIPIF 1 < 0 也是函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的周期，并且有 SKIPIF 1 < 0 .
有關(guān)函數(shù)周期性的重要結(jié)論（如表所示）
SKIPIF 1 < 0
函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系
若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有兩條對稱軸 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是周期函數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ；
若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象有兩個對稱中心 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是周期函數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ；
若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有一條對稱軸 SKIPIF 1 < 0 和一個對稱中心 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是周期函數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 .
【典型例題】
例1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列四個函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．遞增區(qū)間是 SKIPIF 1 < 0 B．遞減區(qū)間是 SKIPIF 1 < 0
C．遞增區(qū)間是 SKIPIF 1 < 0 D．遞增區(qū)間是 SKIPIF 1 < 0
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是偶函數(shù)，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 恒成立，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小關(guān)系為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是奇函數(shù)，則a的值為（ ）
A．1B．－1
C．±1D．0
（多選題）例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知 SKIPIF 1 < 0 為奇函數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的圖象關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱
B． SKIPIF 1 < 0 的圖象關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
例7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是定義在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ．（1）確定函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）用定義法證明 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足對任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]

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