在導數及其應用的客觀題中，有一個熱點考查點，即不給出具體的函數解析式，而是給出函數f(x)及其導數滿足的條件，需要據此條件構造抽象函數，再根據條件得出構造的函數的單調性，應用單調性解決問題的題目，該類題目具有一定的難度．下面總結其基本類型及其處理方法．
類型一 只含f(x)型
定義在R上的函數f(x)滿足f(1)＝1，且對任意x∈R都有f′(x)eq \f(x2＋1,2)的解集為( )
A．(1，2) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(－1，1)
【解析】 構造函數g(x)＝f(x)－eq \f(1,2)x＋c(c為常數)，則g′(x)eq \f(x2＋1,2)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)，
即f(x2)－eq \f(1,2)x2＋c>eq \f(1,2)＋c，即g(x2)>g(1)，
即x2eq \f(f（0）,e0)?e2 015f(－2 015)>f(0)；同理，h(2 015)1，記a＝eq \f(4mf（m＋1）,m＋1)，b＝2eq \r(m)f(2eq \r(m))，c＝(m＋1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4m,m＋1)))，則a，b，c的大小關系為( )
A．ac
C．bc
(2)設函數f(x)在R上的導函數為f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是( )
A．f(x)>0 B．f(x)x D．f(x)eq \f(4m,m＋1).
所以g(m＋1)0；
②當xx2，得f(x)>0.
綜上，對任意x∈R，有f(x)>0，應選A．
【答案】 (1)A (2)A
eq \a\vs4\al()
(1)對于xf′(x)＋nf(x)>0型，構造F(x)＝xnf(x)，則F′(x)＝xn－1[xf′(x)＋nf(x)](注意對xn－1的符號進行討論)，特別地，當n＝1時，xf′(x)＋f(x)>0，構造F(x)＝xf(x)，則F′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0；
(2)對于xf′(x)－nf(x)>0型，且x≠0，構造F(x)＝eq \f(f（x）,xn)，則F′(x)＝eq \f(xf′（x）－nf（x）,xn＋1)(亦需注意對xn＋1的符號進行討論)，特別地，當n＝1時，xf′(x)－f(x)>0，構造F(x)＝eq \f(f（x）,x)，則F′(x)＝eq \f(xf′（x）－f（x）,x2)>0.
類型四 含f(x)±f′(x)tan x型
已知函數f(x)的導函數f′(x)，當x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時，f′(x)sin 2x

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