函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性及單調(diào)性，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題．
一、奇函數(shù)的最值性質(zhì)
已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f(x) 在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.
設(shè)函數(shù)f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________．
【解析】 函數(shù)f(x)的定義域為R，
f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1)＝1＋eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，
設(shè)g(x)＝eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，則g(－x)＝－g(x)，
所以g(x)為奇函數(shù)，
由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
【答案】 2
二、抽象函數(shù)的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.
已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意實數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)＋2eq \r(2)，若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，f(1)＝2，則f(17)＝________．
【解析】 由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)．
由f(x＋4)＝－f(x)＋2eq \r(2)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2eq \r(2)＝f(x)，所以f(x)是最小正周期為8的偶函數(shù)，所以f(17)＝f(1＋2×8)＝f(1)＝2.
【答案】 2
三、抽象函數(shù)的對稱性
已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(a＋b,2)對稱，特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱．
(2020·黑龍江牡丹江一中期末)設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，下面關(guān)于f(x)的判定，其中正確命題的個數(shù)為( )
①f(4)＝0；
②f(x)是以4為周期的函數(shù)；
③f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱；
④f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 因為f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，f(4)＝f(0)＝0，
因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f[(x＋1)＋1]＝f(－x)，
令t＝x＋1，則f(t＋1)＝f(1－t)，所以f(x＋1)＝f(1－x)，
所以f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，而f(2＋x)＝f(2－x)顯然不成立．
故正確的命題是①②③，故選C．
【答案】 C

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