一、知識(shí)梳理
1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcs__β±cs_αsin__β；
cs(α?β)＝cs_αcs__β±sin_αsin__β；
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±β，α，β均不為kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcs__α；
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，2α均不為kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
3．三角函數(shù)公式的關(guān)系
常用結(jié)論
四個(gè)必備結(jié)論
(1)降冪公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
(2)升冪公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
(4)輔助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin (x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
二、教材衍化
1．若cs α＝－eq \f(4,5).α是第三象限的角，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________．
解析：因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
答案：－eq \f(7\r(2),10)
2．sin 347°cs 148°＋sin 77°cs 58°＝________．
解析：sin 347°cs 148°＋sin 77°cs 58°
＝sin(270°＋77°)cs(90°＋58°)＋sin 77°cs 58°
＝(－cs 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cs 58°
＝sin 58°cs 77°＋cs 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
3．化簡(jiǎn)：eq \f(sin 50°,sin 65°·\r(1－cs 50°))＝________．
解析：原式＝eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－cs 50°))
＝eq \f(cs 40°,cs 25°·\r(2)sin 25°)＝eq \f(cs 40°,\f(\r(2),2)sin 50°)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( )
(2)兩角和與差的正切公式中的角α，β是任意角．( )
(3)cs 80°cs 20°－sin 80°sin 20°＝cs(80°－20°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).( )
(4)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對(duì)任意角α，β都成立．( )
(5)存在實(shí)數(shù)α，使tan 2α＝2tan α.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易錯(cuò)糾偏
eq \a\vs4\al(常見(jiàn),誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)不會(huì)用公式找不到思路；
(2)不會(huì)合理配角出錯(cuò)．
1．sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cs 15°＝eq \r(2)sin(15°＋45°)＝eq \r(2)sin 60°＝eq \f(\r(6),2).
答案：eq \f(\r(6),2)
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，則tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tan（α－β）,1＋tan α·tan（α－β）)
＝eq \f(3－2,1＋3×2)＝eq \f(1,7).
答案：eq \f(1,7)
第1課時(shí) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
考點(diǎn)一 和差公式的直接應(yīng)用(基礎(chǔ)型)
復(fù)習(xí)指導(dǎo)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．
2．能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．
核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
1．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，則tan(α－β)的值為( )
A．－eq \f(2,11) B．eq \f(2,11)
C．eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
解析：選A．因?yàn)閟in α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
因?yàn)閠an(π－β)＝eq \f(1,2)＝－tan β，
所以tan β＝－eq \f(1,2)，
則tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝－eq \f(2,11).
2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，則sin α＝( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(5),5)
解析：選B．由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin αcs α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcs α＝1－sin2α.因?yàn)棣痢蔱q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α＝eq \r(1－sin2 α)，
所以2sin αeq \r(1－sin2 α)＝1－sin2 α，
解得sin α＝eq \f(\r(5),5)，故選B．
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
解：(1)因?yàn)棣痢蔱q \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sin eq \f(π,4)cs α＋cs eq \f(π,4)sin α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))＝cs eq \f(5π,6)cs 2α＋sin eq \f(5π,6)sin 2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(4＋3\r(3),10).
eq \a\vs4\al()
利用三角函數(shù)公式時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)首先要注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和符號(hào)變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡(jiǎn)記為：“同名相乘，符號(hào)反”．
(2)應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．
(3)應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．
考點(diǎn)二 三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能運(yùn)用三角函數(shù)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算
(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，則cs C的值為( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
(2)(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________．
【解析】 (1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝eq \f(3π,4)，則C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).
(2)因?yàn)閟in α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cs2β＋2sin αcs β＝1 ①，
cs2α＋sin2β＋2cs αsin β＝0 ②，
①②兩式相加可得sin2α＋cs2α＋sin2β＋cs2β＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
【答案】 (1)B (2)－eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
(1)三角函數(shù)公式活用技巧
①逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用．
(2)三角函數(shù)公式逆用和變形使用應(yīng)注意的問(wèn)題
①公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系；
②注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”以便構(gòu)造適合公式的形式．
1．(1－tan215°)cs215°的值等于( )
A．eq \f(1－\r(3),2) B．1
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(1,2)
解析：選C．(1－tan215°)cs215°＝cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
2．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，則cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
解析：選D．cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)sin 2α＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
3．(一題多解)eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．1 D．eq \r(2)
解析：選D．法一：eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝eq \r(3)cs 15°－2sin 15°·2sin 15°cs 15°＝eq \r(3)cs 15°－2sin 15°·sin 30°＝eq \r(3)cs 15°－sin 15°＝2cs(15°＋30°)＝2cs 45°＝eq \r(2).故選D．
法二：因?yàn)閏s 15°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，所以eq \r(3)cs 15°－4sin215°·cs 15°＝eq \r(3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),4)))eq \s\up12(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)×(eq \r(3)－2＋eq \r(3))＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)×(2eq \r(3)－2)＝eq \r(2).故選D．
考點(diǎn)三 三角公式的靈活應(yīng)用(綜合型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))三角公式的靈活應(yīng)用實(shí)質(zhì)是三角恒等變換，恒等變換前需清楚已知式中角的差異、函數(shù)名稱的差異、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化．
角度一 三角函數(shù)公式中變“角”
(2020·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)考前訓(xùn)練)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________．
【解析】 由題意知，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)

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