考點(diǎn)一 分離參數(shù)法(綜合型)
(2020·湖北武漢質(zhì)檢)已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對(duì)任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解】 (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝xln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1.令f′(x)0，所以a≥ln x－eq \f(3,2)x－eq \f(1,2x)在x∈(0，＋∞)上恒成立．設(shè)h(x)＝ln x－eq \f(3,2)x－eq \f(1,2x)(x>0)，則h′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2x2)＝－eq \f(（x－1）（3x＋1）,2x2).令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－eq \f(1,3)(舍)．
當(dāng)x變化時(shí)，h′(x)，h(x)的變化情況如下表：
所以當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取得極大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，所以若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，則a≥h(x)max＝－2，即a≥－2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2，＋∞)．
eq \a\vs4\al()
(1)分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題的思路
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題是指在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，只要研究變量表達(dá)式的最值就可以解決問題．
(2)求解含參不等式恒成立問題的關(guān)鍵是過好“雙關(guān)”
(2020·石家莊質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．
(1)若a＝1，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；
(2)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)若a＝1，則f(x)＝xex－2(2x－1)．
即f′(x)＝xex＋ex－4，
則f′(0)＝－3，f(0)＝2，
所以所求切線方程為3x＋y－2＝0.
(2)由f(1)≥0，得a≥eq \f(1,e－1)>0，
則f(x)≥0對(duì)任意的x>0恒成立可轉(zhuǎn)化為eq \f(a,a＋1)≥eq \f(2x－1,xex)對(duì)任意的x>0恒成立．
設(shè)函數(shù)F(x)＝eq \f(2x－1,xex)(x>0)，
則F′(x)＝－eq \f(（2x＋1）（x－1）,x2ex).
當(dāng)01時(shí)，F(xiàn)′(x)0，a≠1)．
(1)求函數(shù)f(x)的極小值；
(2)若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a.
因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí)，ln a>0，函數(shù)y＝(ax－1)ln a在R上是增函數(shù)，
當(dāng)00，
即f(1)>f(－1)；
當(dāng)00.
(2)g′(x)＝2ax－eq \f(1,x)＝eq \f(2ax2－1,x)(x>0)，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)0時(shí)，由g′(x)＝0得x＝eq \f(1,\r(2a)) .
當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,\r(2a))))時(shí)，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞增．
(3)由(1)知，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.
當(dāng)a≤0，x>1時(shí)，g(x)＝a(x2－1)－ln xeq \f(x2－2x＋1,x2)>0，
因此，h(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
又h(1)＝0，
所以當(dāng)x>1時(shí)，h(x)＝g(x)－f(x)>0，
即f(x)x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：(1)因?yàn)镕(x)＝f(x)＋g(x)＝xex＋eq \f(1,2)x2＋x，
所以F′(x)＝(x＋1)(ex＋1)，
令F′(x)>0，解得x>－1，
令F′(x)g(x1)－g(x2)恒成立，
所以mf(x1)－g(x1)>mf(x2)－g(x2)恒成立．
令h(x)＝mf(x)－g(x)＝mxex－eq \f(1,2)x2－x，x∈[－1，＋∞)，
即只需證h(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增即可．
故h′(x)＝(x＋1)(mex－1)≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
故m≥eq \f(1,ex)，而eq \f(1,ex)≤e，故m≥e，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[e，＋∞)．
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)

極大值

轉(zhuǎn)化關(guān)
通過分離參數(shù)法，先轉(zhuǎn)化為f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))對(duì)?x∈D恒成立，再轉(zhuǎn)化為f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)
求最值關(guān)
求函數(shù)g(x)在區(qū)間D上的最大值(或最小值)問題
x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,a)))
eq \f(1,a)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))
φ′(x)
＋
0
－
φ(x)

極大值

x
(0，eq \r(e))
eq \r(e)
(eq \r(e)，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
單調(diào)遞增
極大值eq \f(1,2e)
單調(diào)遞減

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