1．已知圓是以點和點為直徑的圓，點為圓上的動點，若點，點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由題設(shè)可知圓：，在坐標(biāo)系中找到，應(yīng)用三角線相似將轉(zhuǎn)化到，再利用三角形的三邊關(guān)系確定目標(biāo)式的最大值即可.
【詳解】
由題設(shè)，知：且，即圓的半徑為4，
∴圓：，
如上圖，坐標(biāo)系中則，
∴，即△△，故，
∴，在△中，
∴要使最大，共線且最大值為的長度.
∴.
故選：A
2．已知點，分別為橢圓的左、右焦點，點在直線上運動，若的最大值為，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
設(shè)直線，的傾斜角分別為，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求關(guān)于橢圓參數(shù)的表達式，結(jié)合已知求橢圓參數(shù)的數(shù)量關(guān)系，進而求離心率.
【詳解】
由題意知，，，直線為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對稱性，不妨設(shè)為第二象限的點，即，，則，.
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又得最大值為，
，即，整理得，故橢圓的的離心率是.
故選：C.
3．過軸上點的直線與拋物線交于，兩點，若為定值，則實數(shù)的值為（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進行求解即可.
【詳解】
設(shè)直線的方程為，
代入，得，
設(shè)，，則，．
，
同理，，
∴
，
∵為定值是與無關(guān)的常數(shù)，
∴，
故選：D．
4．已知橢圓：的兩個頂點在直線上，，分別是橢圓的左?右焦點，點是橢圓上異于長軸兩個端點的任一點，過點作橢圓的切線與直線交于點，設(shè)直線，的斜率分別為，，則的值為（ ）
A．-B．C．-D．-
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意求出，，進而寫出橢圓的方程，設(shè)點的切線方程為，與橢圓聯(lián)立，由得到，然后依次表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用斜率公式表示出，進而化簡整理即可求出結(jié)果.
【詳解】
∵橢圓的兩頂點在直線上，∴，，∴橢圓的方程為，∴，，設(shè)點的切線方程為，，聯(lián)立，消去得，∵直線與橢圓相切，∴，即，∴，，∴，∴點，又，∴，∴，設(shè)點，又在切線上，∴，∴，∴，
故選：A.
5．已知F是橢圓的左焦點，A是該橢圓的右頂點，過點F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點M，N．記，設(shè)該橢圓的離心率為e，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，
【答案】A
【分析】
設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求的坐標(biāo)，同理可求的坐標(biāo)，利用三點共線可得，利用離心率的范圍可得，從而可判斷為銳角.
【詳解】
不失一般性，設(shè)在軸上方，在軸下方，
設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，
則，，，且.
又.
又直線的方程為，
由可得，
故，所以，故，
同理，故，
因為共線，故，
整理得到即，
若，，
因為，，故，所以，
故.
故選：A.
6．已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于點、，若、兩點在準(zhǔn)線上的射影分別為、，線段的中點為，則下列敘述不正確的是（ ）
A．B．四邊形的面積等于
C．D．直線與拋物線相切
【答案】B
【分析】
對于選項AB，利用向量知識研究與?與的位置關(guān)系即可；對于選項C，可利用拋物線的定義確定、的長度，然后判斷等號是否成立；對于選項D，求出直線的斜率，并設(shè)拋物線在點處的切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由求出，進而可判斷出D選項的正誤.
【詳解】
如圖，由題意可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為．
設(shè)、，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，
因為線段的中點為，所以，
所以，，
所以，，
所以，，A選項正確；
對于B選項，因為，所以，
所以，所以，
所以四邊形的面積等于，B選項錯誤；
對于C選項，根據(jù)拋物線的定義知，，
所以，
，
所以，，C選項正確；
對于D選項，直線的斜率為，
拋物線在點處的切線方程為，
聯(lián)立，消去可得，
由題意可得，可得，即，則.
所以，直線與拋物線相切，D選項正確.
故選：B.
7．如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程可得點的坐標(biāo)，設(shè)，，運用三角形的等面積法，以及雙曲線的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，化簡變形可得關(guān)于，的方程，結(jié)合離心率公式可得所求值．
【詳解】
設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，
可得直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，
可得，，
設(shè)，，
由三角形的等面積法可得，
化簡可得，①
由雙曲線的定義可得，②
在三角形中，為直線的傾斜角），
由，，可得，
可得，③
由①②③化簡可得，
即為，
可得，則．
故選：A．
8．在棱長為的正四面體中，點為所在平面內(nèi)一動點，且滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由題意可知，點在所在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點為、，長軸長為，然后以線段的中點為坐標(biāo)原點，直線所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出橢圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.
【詳解】
如圖所示，在平面內(nèi)，，
所以點在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，取的中點為點，連接，以直線為軸，直線為建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則橢圓的半焦距，長半軸，該橢圓的短半軸為，
所以，橢圓方程為.
點在底面的投影設(shè)為點，則點為的中心，，
故點正好為橢圓短軸的一個端點，
，則，
因為，故只需計算的最大值.
設(shè)，則，
則，
當(dāng)時，取最大值，
即，
因此可得，故的最大值為.
故選：B.
9．已知點為拋物線的焦點，，點為拋物線上一動點，當(dāng)最小時，點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的漸近線的斜率的平方為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
作出圖形，可知與拋物線相切時，取得最小值，求出點的坐標(biāo)，利用雙曲線定義求出2a，結(jié)合，可求得，再利用求得結(jié)果.
【詳解】
由拋物線的對稱性，設(shè)為拋物線第一象限內(nèi)點，如圖所示：
故點作垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點B，由拋物線的定義知，易知軸，可得
當(dāng)取得最大值時，取得最小值，此時與拋物線相切，
設(shè)直線方程為：，
聯(lián)立，整理得，
其中，解得：，由為拋物線第一象限內(nèi)點，則
則，解得：，此時，即或
所以點的坐標(biāo)且
由題意知，雙曲線的左焦點為，右焦點為
設(shè)雙曲線的實軸長為2a，則，，
又，則
故漸近線斜率的平方為
故選：B
10．已知，為雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點為P，與雙曲線相交于點Q，且，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
設(shè)則，由及，求a、t的數(shù)量關(guān)系，可得雙曲線參數(shù)的齊次方程，即可求雙曲線的離心率.
【詳解】
設(shè)，則，而，
∴，，
由，則，，
∴，解得，則，
∴.
故選：B
11．若橢圓上的點到右準(zhǔn)線的距離為，過點的直線與交于兩點，且，則的斜率為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
點代入橢圓方程，點到準(zhǔn)線距離和，解得，由，得，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，聯(lián)立消去即可求出
【詳解】
解：由題意可得，解得，
所以橢圓，
設(shè)：,設(shè)
因為，所以
由得
則結(jié)合，聯(lián)立消去解得
故選：B.
12．已知雙曲線：的左焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
設(shè)，，則，構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)求在上的取值范圍即可.
【詳解】
設(shè)，則.
設(shè)雙曲線的右焦點為，由對稱性可知，則，
所以.令，，
則，令得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
所以，又當(dāng)時，所以.
故的取值范圍是.
故選：B.
13．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點，分別在雙曲線的左、右兩支上，點在軸上，且，，三點共線，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義、等邊三角形的判定及性質(zhì)、余弦定理、雙曲線的離心率公式進行求解即可.
【詳解】
依題意，得，，故；又，故；不妨設(shè)，由雙曲線的定義可得，，，故，故，則，故為等邊三角形，故在中，，即，，，由余弦定理，，則，
故選：B．
14．已知拋物線，為的焦點，過焦點且傾斜角為的直線與交于，兩點，則下面結(jié)論不正確的是（ ）
A．以，為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切
B．
C．過點，分別作拋物線的切線，則兩切線互相垂直
D．記原點為，則
【答案】D
【分析】
根據(jù)拋物線和過焦點的直線的位置關(guān)系，聯(lián)立拋物線方程和直線方程，結(jié)合韋達定理和焦點弦公式，逐個判斷即可得解.
【詳解】
由題意知，令直線，，，
與拋物線聯(lián)立方程，消去得，
由韋達定理知：，，
如圖所示，過，分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，
記的中點為，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
由，
所以以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，故A正確；
由，
所以可得：
，故B正確；
由圖，拋物線在第一象限的解析式為，
所以，
所以過點拋物線的切線的斜率為，
同理過點拋物線的切線的斜率為，
所以，所以兩切線垂直，故C正確；
由，所以可得：
；
如圖，作垂直于，
則，
當(dāng)時，經(jīng)檢驗亦成立，故D錯誤，
故選：D.
15．已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，過作拋物線的一條切線，切點為，且滿足，則拋物線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本題首先可根據(jù)題意得出點，然后設(shè)切線方程為、切點為，通過聯(lián)立拋物線與切線方程解得，最后對、兩種情況分別進行討論，通過即可得出結(jié)果.
【詳解】
由題意可知，拋物線準(zhǔn)線方程為，點，切線斜率一定存在，
設(shè)過點與拋物線相切的直線方程為，切點，
聯(lián)立拋物線與切線方程，轉(zhuǎn)化得，
，解得，
當(dāng)時，直線方程為，
，解得，則，
因為，所以，解得；
當(dāng)時，同理得，
綜上所述，拋物線方程為，
故選：C.
16．過點斜率為正的直線交橢圓于，兩點.，是橢圓上相異的兩點，滿足，分別平分，.則外接圓半徑的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分析可知，P，C，D在一個阿波羅尼斯圓上，設(shè)其半徑為r，且，分直線AB斜率存在及不存在兩種情況分別討論得解．
【詳解】
如圖，
先固定直線AB，設(shè)，則，其中為定值，
故點P，C，D在一個阿波羅尼斯圓上，且外接圓就是這個阿波羅尼斯圓，設(shè)其半徑為r，阿波羅尼斯圓會把點A，B其一包含進去，這取決于BP與AP誰更大，不妨先考慮的阿波羅尼斯圓的情況，BA的延長線與圓交于點Q，PQ即為該圓的直徑，如圖：
接下來尋求半徑的表達式，
由，解得，
同理，當(dāng)時有，，
綜上，；
當(dāng)直線AB無斜率時，與橢圓交點縱坐標(biāo)為，則；
當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，即，
與橢圓方程聯(lián)立可得，
設(shè)，，則由根與系數(shù)的關(guān)系有，，
，
注意到與異號，故，
設(shè)，則，，當(dāng)，即，此時，故，
又，綜上外接圓半徑的最小值為.
故選：D．
17．已知點P在拋物線上，過點P作拋物線的切線，，切點分別為M，N，若，且，則C的準(zhǔn)線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線的方程，聯(lián)立求出交點坐標(biāo) ， 又由，知為三角形的重心，代入重心坐標(biāo)公式，利用已知條件可求出的坐標(biāo)為再代入拋物線方程, 求出，進而求C的準(zhǔn)線方程.
【詳解】
設(shè)，由，得，則，
則 即
同理直線的方程為 ，
聯(lián)立的方程可得，則，
又由，得為三角形的重心,
則， ，得，
則，又拋物線上，得，即，
準(zhǔn)線方程為.
故選：A.
18．已知點P（－1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線y2＝2x交于不同的兩點A、B，若x軸是∠APB的角平分線，則直線l一定過點
A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（-2，0）
【答案】B
【分析】
根據(jù)拋物線的對稱性，分析得出直線過的頂點應(yīng)該在x軸上，再設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)出兩交點的坐標(biāo)，根據(jù)角分線的特征，得到所以AP、BP的斜率互為相反數(shù)，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達定理得到參數(shù)所滿足的條件，最后求得結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)題意，直線的斜率不等于零，并且直線過的定點應(yīng)該在x軸上，
設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元得，
設(shè)，因為x軸是∠APB的角平分線，
所以AP、BP的斜率互為相反數(shù)，所以，
結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系，整理得出，
即，，解得，所以過定點，
故選B.
19．已知 是橢圓與雙曲線的公共焦點，P 是它們的一個公共點，且| PF2 |?| PF1 |，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．D．8
【答案】D
【分析】
由題意可得，再設(shè)橢圓和雙曲線得方程，再利用橢圓和雙曲線的定義和離心率可得的表達式，化簡后再用均值不等式即可求解.
【詳解】
由題意得：，設(shè)橢圓方程為，
雙曲線方程為，
又∵.
∴，∴，
則

，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時等號成立.
則的最小值為8.
故選：D
20．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過且傾斜角為銳角的直線與雙曲線的右支交于，兩點，記的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意作出示意圖，先證焦點三角形內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)均為，再根據(jù)角度關(guān)系結(jié)合半徑關(guān)系，即可求得結(jié)果.
【詳解】
如圖，記的內(nèi)切圓圓心為，
內(nèi)切圓在邊、、上的切點分別為、、，
易知、兩點橫坐標(biāo)相等，，，，
由，即，
得，即，
記點的橫坐標(biāo)為，則，
則，得.
記的內(nèi)切圓圓心為，同理得內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為則軸，
由題意知，，
在中，，
在中，，
所以，即，
所以，
故選：D.
21．如圖，橢圓，是直線上一點，過點作橢圓的兩條切線，，直線與交于點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先證明過橢圓上點處的切線方程是，這樣只要設(shè)，可得切線方程，由切線過可得直線方程，得直線過左焦點，可證明，由直線方程與方程聯(lián)立可解得交點坐標(biāo)，計算，可得，再由不等式的性質(zhì)得出最小值．
【詳解】
設(shè)
若在橢圓的上半部分，則得，
在橢圓上，，
．
∴過點的切線方程是，，即，
同理可證當(dāng)在下半圓時，過的切線方程也是，是橢圓的左右頂點時，切線方程也是．
∴無論在橢圓的何處，切線方程都是．
設(shè)，則過點的切線方程是，
在直線，設(shè)，則由兩切線都過點
∴，∴直線方程是，易知直線過定點，該定點為橢圓左焦點．
直線方程為，則由，得，即，
，，，∴，
，，
∴
．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
故選：A．
22．已知拋物線，焦點為，圓，過的直線與交于、兩點（點在第一象限），且，直線與圓相切，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
設(shè)點、，可得，且，由結(jié)合向量的坐標(biāo)運算以及可求得點的坐標(biāo)，進而可求得直線的方程，由直線與圓相切，得出圓心到直線的距離等于圓的半徑，由此可求得實數(shù)的值.
【詳解】
拋物線的焦點為，設(shè)點、，則，且，
由得，，
由，即，即，可得，，
所以，點的坐標(biāo)為，
直線的斜率為，則直線的方程為，即，
將圓的方程寫為標(biāo)準(zhǔn)式得，則，可得.
由于直線與圓相切，則，解得，合乎題意.
故選：B.
23．已知A，B，C為拋物線上不同的三點，焦點F為的重心，則直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)t的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合題意，求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，由拋物線的焦點的坐標(biāo)為，
焦點F為的重心，
所以，
顯然直線斜率存在，設(shè)為，則直線方程為，
聯(lián)立，消去得：，
所以，即①，且，
所以，
代入式子得，
又點也在拋物線上，所以，即②，
由①②及可解得，即，
又當(dāng)時，直線過點，此時三點共線，
由焦點F為的重心，得與共線，
即點也在直線上，此時點與之一重合，
不滿足點為該拋物線上不同的三點，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為，
故選：C.
24．已知、是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上任意一點，以為直徑作圓，直線與圓交于點（點不在橢圓內(nèi)部），則
A．B．4C．3D．1
【答案】C
【分析】
利用向量的數(shù)量積運算可得，利用，進一步利用橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，進而得解.
【詳解】
連接,設(shè)橢圓的基本量為，
,
故答案為：3.
25．已知雙曲線：的右焦點為，和為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，且在第一象限.連結(jié)并延長交于，連結(jié)，，若是以為直角的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
如圖所示，連接有關(guān)各點，根據(jù)題意可設(shè),為矩形,根據(jù)雙曲線的定義得到,,, 在和中，利用勾股定理列出方程組，消去得到得到的關(guān)系，進而求得離心率.
【詳解】
如圖所示，連接有關(guān)各點，根據(jù)題意可設(shè),
為矩形，且,,,
在和中，
，
由（2）化簡得，代入（1）化簡得，
故選：C.
26．已知是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于兩點，且，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
將與橢圓的左、右焦點連接起來，由橢圓的對稱性得到一個平行四邊形，利用橢圓的定義和余弦定理，結(jié)合重要不等式可得離心率的范圍.
【詳解】
如圖設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，設(shè)直線與橢圓相交于，連接.
根據(jù)橢圓的對稱性可得：四邊形為平行四邊形.
由橢圓的定義有：
由余弦定理有：
即
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又的斜率存在，故不可能在軸上.
所以等號不能成立,即即，所以
故選：A
27．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點為A，若，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（ ）
A．x21B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由向量的加減運算和數(shù)量積的性質(zhì)，可得，由雙曲線的定義可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判斷出所求雙曲線的可能方程．
【詳解】
解：由題可知，，
若，即為，
可得，即有，
由雙曲線的定義可知，
可得，
由于過F2的直線斜率為，
所以在等腰三角形中，，
則，
由余弦定理得：，
化簡得：，
即，，
可得，，
所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：.
故選：D．
28．已知橢圓，，，過點的直線與橢圓交于，，過點的直線與橢圓交于，，且滿足，設(shè)和的中點分別為，，若四邊形為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
畫出圖像，由面積和勾股定理列式可得，，在中，有長度關(guān)系可得，從而得和，再利用點差法得，從而可求得離心率．
【詳解】
如圖，不妨設(shè)，兩條直線的斜率大于零時，連結(jié)，
由題意知，
解得，，或，（舍）
，，
在中，因為，所以，
故此時，．
設(shè)，，則，
兩式相減得，
即，即，
因此離心率，所以，故選D．
29．已知單位向量，滿足，若存在向量，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由題意,設(shè)向量,的夾角為,由化簡求得，設(shè),則,由化簡可知即在以為圓心,半徑為1的圓上,由點與圓的位置關(guān)系分析可得即可得答案.
【詳解】
根據(jù)題意,設(shè)向量,的夾角為,若,
則,
即,解得:.
則在直角坐標(biāo)系中,設(shè),
則,
則有,若,
則有,
即,
變形可得: ,
點C在以為圓心,半徑為1的圓上,設(shè),
則,則有,
則有,
所以的取值范圍是
故選:C.
30．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線分別與雙曲線左右兩支交于兩點，以為直徑的圓過，且，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)圓的性質(zhì)得到，根據(jù)得到.設(shè)為的中點.根據(jù)雙曲線的定義和等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列方程，求得，以及，進而求得直線的斜率.
【詳解】
由為直徑的圓過，所以，由，得，即，即，即，所以，所以.設(shè)，則，由，，兩式相加可得，即有，設(shè)為的中點，在直角三角形中可得，化為，即，而，所以，所以直線的斜率為.
故選：B
31．已知拋物線，F(xiàn)是拋物線C的焦點，M是拋物線C上一點，O為坐標(biāo)原點，，的平分線過FM的中點，則點M的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
設(shè)線段FM的中點為Q，作軸于點N，軸于點，交C的準(zhǔn)線l于點，
則，故,過點Q作于點T,可得重合，設(shè)可得出的坐標(biāo)滿足，再與拋物線方程聯(lián)立，可求出的坐標(biāo).
【詳解】
設(shè)線段FM的中點為Q，作軸于點N，軸于點，交C的準(zhǔn)線l于點，
則，故.
過點Q作于點T，由是的角平分線.
則，由垂線段的唯性知，重合，
可得，則M在以線段PF為直徑的圓上.設(shè)，
則由，得，將代入得
，易知，所以，即，
得，所以.故M的坐標(biāo)為.
故選：A
32．已知是橢圓上的兩個動點，，則以為直角頂點的等腰直角的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．多于
【答案】A
【分析】
當(dāng)軸時，易得有兩個滿足條件的三角形，當(dāng)不垂直于x軸時，通過分析可知點從左頂點運動到右頂點的過程中，是逐漸減小的，可得此種情況沒有滿足題意的等腰直角三角形.
【詳解】
當(dāng)軸時，如圖所示，顯然有兩個滿足條件的三角形.
當(dāng)不垂直于x軸時，不妨假設(shè)，，
，由復(fù)合函數(shù)的單
調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，所以點從左頂點運動到右頂點的
過程中，不存在另一個異于的點，使得.綜上，滿足條件的三角形只有
2個.
故選：A.
33．在平面直角坐標(biāo)系中，圓，若圓上存在以為中點的弦，且，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本題的實質(zhì)是圓上存在兩點，使.若，為切線，則可求得.過向圓引的兩條切線的夾角不小于時，，進而求得答案.
【詳解】
為的中點，且，
為直角三角形，，
若，為切線，且，則，
在中，，，，
則，
過點向圓引的兩條切線的夾角不小于時，滿足題意，
則圓心到的距離不大于，
即，解得.
故選：C.
34．已知橢圓，過x軸上一定點N作直線l，交橢圓C于A，B兩點，當(dāng)直線l繞點N任意旋轉(zhuǎn)時，有（其中t為定值），則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
設(shè)點,當(dāng)直線與軸不重合時,設(shè)的方程為,代入橢圓方程,化簡得 ,利用韋達定理化簡得,因為為定值,特殊值代入即可求得,進而求得定值.
【詳解】
設(shè)點
當(dāng)直線與軸不重合時,設(shè)的方程為,代入橢圓方程,得: ,即.
當(dāng)直線l繞點N任意旋轉(zhuǎn)時，有（其中t為定值）,
當(dāng)時,
當(dāng)時,
,
解得: 代入當(dāng)時, .
故選:B.
35．已知圓與圓，過動點分別作圓、圓的切線，，（分別為切點），若，則的最小值是
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】
P的軌跡為線段的中垂線：，
由，得到的最小值是點到直線的距離的平方，由此能求出結(jié)果．
【詳解】
∵圓與圓，
∴，，
∵過動點分別作圓、圓的切線，，（，分別為切點），，
∴P的軌跡為線段的中垂線，線段的中點坐標(biāo)為，
線段的斜率，的中垂線所在直線的斜率為，
∴P的軌跡方程為，即，
∵表示點與距離的平方，
∴的最小值是點到直線的距離的平方，
∴的最小值為：．
故選：D．
36．已知拋物線，過點的直線與交于不同的兩點，，且滿足，以為中點的線段的兩端點分別為，其中在軸上，在上，則的最小值為
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】
設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達定理求得；設(shè)出方程，利用韋達定理，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于未知量的函數(shù)，求函數(shù)值域即可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)的方程為，代入，得，
所以，，可得.
設(shè)直線方程為，
，同理得，，
所以，
又為中點，所以，即.所以，
所以
，令，則，其對稱軸，
故當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.
故當(dāng)，即軸時，最小，最小值為.
故選：D.
37．設(shè)拋物線的焦點為F，過F的兩條直線，分別交拋物線于點A，B，C，D，且，的斜率，滿足，若的最小值為30，則拋物線的方程為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
設(shè)，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程消元，然后韋達定理可得，，然后利用弦長公式可算出，同理，然后可得，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，然后即可求出
【詳解】
由題意可得直線的方程為：，與聯(lián)立得
.
設(shè)，，
所以，，
所以，
同理可得，
所以.
令，，
則，
當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時，，
所以，，
所以拋物線的解析式為.
故選：B.
38．設(shè)點為橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，且的重心為點，如果，那么的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由題設(shè)條件及橢圓的定義，可得，進而可得為等腰三角形，計算，由重心和中點的定義，，即得解
【詳解】
由于點P為橢圓上一點，
又
故為等腰三角形，以為底的高為：
故

故選：C
39．過雙曲線的右焦點作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點，已知為坐標(biāo)原點，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．或2
【答案】D
【分析】
分在軸同側(cè)和在軸異側(cè)兩種情況進行求解：不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)題意作出圖形，利用圖形中的幾何關(guān)系求出的值，再由離心率求解即可.
【詳解】
有兩種情況：
（1）若在軸同側(cè)，不妨設(shè)在第一象限.如圖，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，則在的平分線上，
過點分別作于，于，
由得四邊形為正方形，利用點到直線的距離公式可得，
焦點到漸近線的距離為，
又，所以，
又，
所以，
所以，
從而可得離心率；
（2）若在軸異側(cè)，不妨設(shè)在第一象限如圖，
易知，，，
因為的內(nèi)切圓半徑為，
所以，
又因為，
所以，，
所以，，
則，
從而可得離心率.
綜上，雙曲線的離心率為或2.
故選：D
40．已知為拋物線的焦點，點都是拋物線上的點且位于軸的兩側(cè)，若(為原點)，則和的面積之和的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
首先設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，利用根系關(guān)系及平面向量數(shù)量積坐標(biāo)公式得到，再計算和的面積之和，利用均值不等式求其最小值即可.
【詳解】
設(shè)直線的方程為，，，
.
，
解得：或.
因為位于軸的兩側(cè)，所以.
即：，.
設(shè)點在軸的上方，則，，.
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取“”號.
所以和的面積之和的最小值為.
故選：A
二、多選題
41．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點且斜率大于0的直線交拋物線于，兩點(其中在的上方)，過線段的中點且與軸平行的直線依次交直線，，于點，，.則（ ）
A．
B．若，是線段的三等分點，則直線的斜率為
C．若，不是線段的三等分點，則一定有
D．若，不是線段的三等分點，則一定有
【答案】AB
【分析】
設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程應(yīng)用韋達定理得，從而可表示出點坐標(biāo)，然后求出點坐標(biāo)，判斷各選項．
【詳解】
拋物線的焦點為，準(zhǔn)線
設(shè)直線方程為，，，
聯(lián)立，消去y得，
由韋達定理得：，，
∴，，直線方程為，
對于A，∵共線，∴，，同理，
，，
∴，即，故A正確；
對于B，若P，Q是線段的三等分點，則，，即，
又，，
∴，∴，又，解得：，故B正確；
對于C，由得，，
，，∴，
又，∴，
當(dāng)時，，故C錯；
對于D，由圖可知，而，只要，就有，故D錯．
故選：AB．
42．已知雙曲線的左?右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，圓，P是雙曲線C與圓O的一個交點，且，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．雙曲線C的離心率為
B．點到一條漸近線的距離為
C．的面積為
D．雙曲線C上任意一點到兩條漸近線的距離之積為2
【答案】ABD
【分析】
由雙曲線及圓的方程知圓O的半徑為c，所以，又，根據(jù)雙曲線的定義、勾股定理、雙曲線中的關(guān)系得雙曲線C的方程為：，從而可判斷選項A正確；求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離公式可判斷選項B、D正確；由面積公式可判斷選項C錯誤.
【詳解】
解：∵雙曲線，
∴，
又圓，
∴圓O的半徑為c，
∴為圓O的直徑，∴，
故作圖如下：
對于A，∵，∴，
∴，令，則，
∴，
∴，又，
∴雙曲線C的離心率，故A正確；
對于B，由于到漸近線的距離，故B正確；
對于C，由離心率得，，
∴，
∴，，
∴的面積為，故C錯誤；
對于D，由得雙曲線C的方程為：，
故其兩條漸近線方程為，即，
設(shè)為雙曲線C上任意一點，則，即①，
到兩條漸近線的距離，，
∴，故D正確；
故選：ABD.
43．曼哈頓距離(或出租車幾何)是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語.例如，在平面上，點和點的曼哈頓距離為：.若點為上一動點，為直線上一動點，設(shè)為，兩點的曼哈頓距離的最小值，則的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】
直線l恒過定點(2，-4)，畫出圖形，對k分類討論并借助導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍即可作答.
【詳解】
直線恒過定點A(2，-4)，
由點(0，0)到直線的距離得，即直線與圓相離，
(1)當(dāng)l的斜率k滿足|k|0，C,A兩點在x軸上方.則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．B．四邊形ACBD面積最小值為
C．D．若，則直線CD的斜率為
【答案】ACD
【分析】
利用拋物線的極坐標(biāo)方程求出，然后即可計算求解，判斷出各選項的真假．
【詳解】
設(shè)AB的傾斜角為，則有，所以，C正確；
，若，則，，
直線CD的斜率為，D正確；
，所以B不正確；
設(shè) ，由拋物線過焦點弦的性質(zhì)可知，，
，所以A正確．
故選：ACD．
66．過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．所在直線的方程為
C．四邊形的外接圓方程為
D．的面積為
【答案】BCD
【分析】
在中利用等面積法得到，即可求出的長度，進而可得，即可判斷A選項；求出以為圓心，為半徑的圓的方程與圓C做差，即可得到所在直線的方程，進而判斷B選項；根據(jù)平面幾何知識可得四邊形的外接圓是以為直徑的圓，進而可以求出圓的方程進行判斷；求出的長度，利用面積公式即可求出的面積，從而可判斷D選項.
【詳解】
因為，所以以為圓心，為半徑的圓交圓于兩點，
因為,
又因為以為圓心，為半徑的圓為，
與相減得
所以所在直線的方程為，故B正確；
連接交于，等面積法可得，即，所以，即，所以，故A錯誤；
四邊形的外接圓是以為直徑的圓，故圓心為，半徑為的圓，故方程為，即，故C正確；
因為，
所以，故D正確；
故選：BCD.
67．已知點為橢圓（）的左焦點，過原點的直線交橢圓于，兩點，點是橢圓上異于，的一點，直線，分別為，，橢圓的離心率為，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】
設(shè)出右焦點，根據(jù)橢圓定義結(jié)合對稱性以及余弦定理可求得的關(guān)系，則離心率可求；設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性寫出的坐標(biāo)，利用點差法可求得的表示，結(jié)合的關(guān)系可求解出的值.
【詳解】
設(shè)橢圓的右焦點，
連接，，根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，
則，且由，可得，
所以，則，．
由余弦定理可得，
所以，所以橢圓的離心率．
設(shè)，，則，，，
所以，又，，相減可得．
因為，所以，所以．
故選：AC．
68．已知點在橢圓上，過點分別作斜率為-2，2的直線，與直線，分別交于，兩點.若，則實數(shù)的取值可能為（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】CD
【分析】
設(shè)出，，三點的坐標(biāo)→利用四邊形為平行四邊形構(gòu)造方程→將轉(zhuǎn)化為關(guān)于點坐標(biāo)的關(guān)系式→的最大值→的范圍.
【詳解】
設(shè)，，，則，，
由題得四邊形為平行四邊形，所以，
故故.
因為，所以，
故實數(shù)的取值范圍為，
故選:CD.
69．曲率半徑是用來描述曲線上某點處曲線彎曲變化程度的量，已知對于曲線上點處的曲率半徑公式為，則下列說法正確的是（ ）
A．對于半徑為的圓，其圓上任一點的曲率半徑均為
B．橢圓上一點處的曲率半徑的最大值為
C．橢圓上一點處的曲率半徑的最小值為
D．對于橢圓上點處的曲率半徑隨著的增大而減小
【答案】AC
【分析】
利用曲率半徑公式的定義，A中有圓上任一點；B、C中由橢圓在， 處分別是最大、最小處，結(jié)合公式求得曲率半徑的范圍；D中由公式得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可，進而可確定正確選項.
【詳解】
A：由題設(shè)知：圓的方程可寫為，所以圓上任一點曲率半徑為，正確；
B、C：由彎曲最大處為，最小處為，所以在處有，
在處有，即，故B錯誤，C正確；
D：由題意，處的曲率半徑，而，
所以，令，
則在上有恒成立，故在上隨著的增大而增大，錯誤；
故選：AC.
70．如圖，已知橢圓的左?右頂點分別是，上頂點為，在橢圓上任取一點，連結(jié)交直線于點，連結(jié)交于點(是坐標(biāo)原點)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為定值B．
C．D．的最大值為
【答案】ABC
【分析】
設(shè)點的坐標(biāo)為，，而，從而可求出直線的斜率，進而可得直線的方程，令，求出的值，可得點的坐標(biāo)，然后可求出的斜率，進而可對選項A，B，C進行判斷，求出直線，的方程，兩方程聯(lián)立可求出點的坐標(biāo)，從而可表示出的長，進而可判斷其最值
【詳解】
解：橢圓的左右頂點分別，
因為點在橢圓上，所以設(shè)點的坐標(biāo)為，，
對于A，，所以A正確；
對于B，因為，
所以直線為，令，得，所以點的坐標(biāo)為，所以，所以，所以B正確；
對于C，因為，所以，所以，所以C正確；
對于D，直線為，直線為，
由兩直線的方程聯(lián)立方程組，解得，
所以點的坐標(biāo)為，
因為，
所以
當(dāng)時，
所以的最大值為錯誤，
故選：ABC
第II卷（非選擇題）
三、填空題
71．已知，是雙曲線的左、右焦點，A，B分別在雙曲線的左右兩支上，且滿足（為常數(shù)），點C在x軸上，，，則雙曲線的離心率為_______．
【答案】
【分析】
根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)、雙曲線的定義、余弦定理、雙曲線離心率公式進行求解即可.
【詳解】
解析： ，∵，所以∴，∴，設(shè)，則．由可知，平分，由角分線定理可知，∴，∴，，，由雙曲線的定義知，，∴，即①，，∴，∴，即是等邊三角形，∴，在中，由余弦定理知，，即，化簡得，②，由①②可得，，∴離心率．
故答案為：
72．已知平面向量、、滿足，，，則的取值范圍為______．
【答案】
【分析】
設(shè)，，，作，，，則，求出線段的中點的軌跡方程為，可得出，設(shè)點，由結(jié)合向量模的三角不等式可求得的取值范圍.
【詳解】
如圖，設(shè)，，，作，，，則，
則，，，
令，即，
，
整理得，
故點的軌跡方程為，，
設(shè)點，圓的方程為，半徑為，
因為，且，，
所以，，.
即，即.
故的取值范圍是.
故答案為：.
73．已知平面非零向量、，、滿足，，若，，則的最小值為______．
【答案】
【分析】
設(shè)，，，，分析可知點、在拋物線上，且為拋物線的一條過焦點的弦，并可得出以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切，可得值點的軌跡為圓，數(shù)形結(jié)合可得出的最小值.
【詳解】
設(shè)，，，則，，
設(shè)點、，則，
設(shè)，則，則，，
由可得，化簡可得，
故點、在拋物線上，
因為，則，故、、三點共線，
即為拋物線的一條過焦點的弦，
設(shè)，則，，所以，，
故點的軌跡是以為直徑的圓，
設(shè)點、，則，
而是線段的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離，
故以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切，
當(dāng)點不是圓與直線的切點時，；
當(dāng)點是圓與直線的切點時，.
綜上所述，的最小值為.
故答案為：.
74．設(shè),分別是橢圓的左?右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，，若，則橢圓的離心率為___________.
【答案】
【分析】
求橢圓的離心率，要列出關(guān)于的等量關(guān)系式，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義以及，可以表示出三角形各邊的長度，通過余弦定理得到各邊關(guān)于的表達式，根據(jù)幾何關(guān)系可以列出關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求出離心率
【詳解】
設(shè)，則，，
，.
，
在中，由余弦定理得，，
，
化簡可得，而，故，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
橢圓的離心率 ，
故答案為：.
75．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作直線l垂直于雙曲線的一條漸近線，直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若，且，則雙曲線C的離心率的取值范圍為________．
【答案】
【分析】
由題意知：在、之間，若過作直線l垂直于B，交于A，可令求、坐標(biāo)，進而可得、，應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示，列方程得到a、c的齊次方程，即可求的范圍.
【詳解】
由題意，雙曲線C的漸近線為，若過作直線l垂直于B，交于A，.
∵且，
∴在、之間，如上圖示，令，
∴，，則，，
∴， 即，
∴，故，得，又，
∴.
故答案為：
76．已知橢圓C：的左，右焦點分別是是橢圓C上第一象限內(nèi)的一點，且的周長為.過點作的切線，分別與軸和軸交于兩點，為原點，當(dāng)點在上移動時，面積的最小值為___________.
【答案】2
【分析】
設(shè)出直線的方程，根據(jù)焦點三角形的周長求解出的值，則橢圓方程可求，聯(lián)立橢圓方程與拋物線方程并根據(jù)相切關(guān)系對應(yīng)的求解出的關(guān)系式，然后表示出面積并結(jié)合基本不等式求解出面積的最小值.
【詳解】
設(shè)直線方程為，
因為的周長為，所以，且，
所以，所以橢圓，
聯(lián)立可得，
所以，所以，
又因為與坐標(biāo)軸交于，
所以，
取等號時，
所以面積的最小值為，
故答案為：.
77．已知拋物線上一點，且拋物線上兩個動點滿足，若直線過定點，則的坐標(biāo)為 _________.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意設(shè)出合適直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程及其韋達定理形式，將轉(zhuǎn)化為和韋達定理有關(guān)的形式，由此求解出的關(guān)系式，用表示后即可求得所過的定點坐標(biāo).
【詳解】
由題意可知，直線的斜率不為零，所以設(shè)，，
所以，所以，所以，
又因為，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以過定點，
故答案為：
78．已知點在拋物線上，過點作拋物線的切線與軸交于點，拋物線的焦點為，若，則的坐標(biāo)為___________.
【答案】
【分析】
設(shè)出點坐標(biāo)，求得切線方程，由此求得點坐標(biāo)，根據(jù)列方程，解方程求得點的坐標(biāo).
【詳解】
，
設(shè)，，
依題意可知過點的切線斜率存在且不為，設(shè)為，
則切線方程為，
即，
由，
化簡得，
，，
，，
故切線方程為，
令得，故，
，，
依題意，，
即，
，，由于，
故，此時，
所以點坐標(biāo)為.
故答案為：
79．已知拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為4，圓，過的直線與拋物線和圓從上到下依次交于四點，則的最小值為_________.
【答案】
【分析】
根據(jù)已知條件先求出拋物線的方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為計算“”的最小值，通過拋物線的焦半徑公式將表示為坐標(biāo)的形式，采用直線與拋物線聯(lián)立的思想，根據(jù)韋達定理和基本不等式求解出最小值.
【詳解】
因為拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以拋物線方程為，
如下圖，，
因為，
設(shè)，所以，
所以，
設(shè)，所以，，所以，
所以，取等號時，
所以的最小值為，
故答案為：.

80．過拋物線：的焦點作直線，分別與拋物線交于，和，，若直線，的斜率分別為，，且滿足，則的最小值為___________.
【答案】12
【分析】
根據(jù)拋物線弦長公式，結(jié)合基本不等式進行求解即可.
【詳解】
拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，
與拋物線方程聯(lián)立得：，
設(shè)，所以，
同理可得：，，
所以有：
，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，
故答案為：12
81．雙曲線的漸近線為正方形的邊、所在的直線，點為該雙曲線的右焦點，若過點的直線與直線、的分別相交于、兩點，則內(nèi)切圓半徑的最大值為______．
【答案】
【分析】
根據(jù)雙曲線和正方形的對稱性、三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式、直角三角形內(nèi)切圓半徑公式、分式型函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
【詳解】
由題意得，過、向軸作垂線，垂足分別為，．
設(shè)，，則，．
，所以有．
又，有．（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
的內(nèi)切圓半徑令，，則在上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)時，有最大值為．
故答案為：
82．已知雙曲線，，，是坐標(biāo)原點，過點的直線交雙曲線于，兩點，若直線上存在點滿足，則的最小值是___________.
【答案】6
【分析】
設(shè)OA的中點為N,根據(jù)已知條件，利用向量的加法的模的幾何意義可得N到直線l的距離小于等于2.當(dāng)直線l與雙曲線的左右支各交于一個交點時，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可得到|MN|的最小值為2a=6,接下來驗證在當(dāng)直線l與雙曲線的右支交于兩點時，且在N到直線l的距離小于等于2時，|MN|的長度大于6即可.
【詳解】
設(shè)OA的中點為N,則N的坐標(biāo)為.
由已知可得直線l上存在點P,使得
即使得，即N到直線l的距離小于等于2.
當(dāng)直線l與雙曲線的左右支各交于一個交點時，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得弦長|MN|的最小值為2a=6,此時直線l即為x軸，N到l的距離為0，符合題意.
當(dāng)直線l與雙曲線的右支交于兩點時，弦越短，直線的斜率的絕對值越大，
當(dāng)斜率不存在時，即MN為通徑時，|MN|的長度取得最小值但此時點M到直線l的距離為,
當(dāng)直線的斜率存在時，直線的斜率的取值范圍,直線的方程為,.
由N到直線l的距離小于等于2，即：，解得，
∴,直線的方程為代入雙曲線的方程并整理化簡得：,
,
易得,設(shè)M,N的橫坐標(biāo)分別為,則,
,
,∴
綜上所述，|MN|的最小值為6，
故答案為：6.
83．已知、分別為拋物線與圓上的動點，拋物線的焦點為，、為平面內(nèi)兩點，且當(dāng)取得最小值時，點與點重合；當(dāng)取得最大值時，點與點重合，則的面積為______.
【答案】
【分析】
利用拋物線和圓的幾何性質(zhì)找出點、，并求出點、的坐標(biāo)，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】
拋物線的焦點為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：
拋物線的準(zhǔn)線為，過點作拋物線的垂線，垂足為點，
由拋物線的定義可得，則，
當(dāng)時，取最小值，此時取最小值，
直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，
點到圓上任意一點的距離，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點，且為線段上的點，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)為射線與拋物線的交點，且為射線與圓的交點（為線段上的點），取得最大值.
直線的斜率為，直線的方程為，
聯(lián)立，解得，即點，
直線的斜率為，直線的方程為，
即，，
點到直線的距離為，因此，.
故答案為：.
84．已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點，過點作圓的切線交雙曲線左支于點，且，則該雙曲線的漸近線方程為__________．
【答案】．
【分析】
設(shè)切點為，過作，垂足為，根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合正弦函數(shù)的定義，雙曲線的定義、雙曲線的漸近線方程進行求解即可.
【詳解】
解：設(shè)切點為，過作，垂足為，
由題意可得，，，
由為的中位線，可得，
，
又，可得，，
，
又，
所以，
所以雙曲線的漸近線方程為．
故答案為：．
85．已知二元函數(shù)的最小值為，則正實數(shù)a的值為________．
【答案】.
【分析】
根據(jù)兩點間距離公式，可得的表達式的幾何意義為：點與點的距離之和，作出圖形，根據(jù)兩點間線段最短，可得的距離即為最小值，化簡計算，即可得結(jié)果.
【詳解】
由題意得，
其幾何意義為：點與點的距離之和，如圖所示：
設(shè)點，則求的最小值即可，
以B為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，
則均為等邊三角形，
所以，
所以，取等號時四點共線，
即，
又，所以，
化簡可得，
左右同時平方，根據(jù)，解得，
故答案為：2.
86．已知點，點為拋物線：的焦點，第一象限內(nèi)的點在拋物線上，則的最大值為______．
【答案】．
【分析】
根據(jù)拋物線定義，結(jié)合換元法、基本不等式進行求解即可.
【詳解】
由已知得，所以拋物線的方程為，準(zhǔn)線：．
如圖，過作于點，則由拋物線的定義可知，則．
設(shè)，在中，．
又，所以．記 ，則，
所以，
由基本不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.
所以，即的最大值為．
故答案為：
87．已知：，，，，則最小值為________.
【答案】
【分析】
由題意不妨設(shè)，，在直角坐標(biāo)系中根據(jù)向量的加減法可得，利用數(shù)形結(jié)合求解即可.
【詳解】
∵，，
不妨設(shè)，，
在直角坐標(biāo)系中作出，，如圖，
，記，則點在過原點與直線平行的直線上，
易知直線方程是即，
記，則，
∴在以為圓心，半徑為的圓上，
到直線的距離為，
∴的最小值為.
即最小值為.
故答案為：.
88．圓的方程為，圓的方程為，過圓上任意一點作圓的兩條切線、，切點分別為、，則的最小值為__________.
【答案】
【分析】
設(shè)，可得出，利用三角函數(shù)的定義以及平面向量數(shù)量積的定義可得出，利用圓的幾何性質(zhì)求得的取值范圍，結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最小值.
【詳解】
設(shè)，則，
由切線長定理可得，，，
，
圓心的坐標(biāo)為，則，
由圖可得，即，則，
由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，取得最小值.
故答案為：.
89．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內(nèi)切圓面積的最大值是_________.
【答案】
【詳解】
令直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得，可設(shè)，則，．可知，又，故．三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內(nèi)切圓半徑，其面積最大值為．故本題應(yīng)填．
90．如圖所示，是橢圓的短軸端點，點在橢圓上運動，且點不與重合，點滿足，則＝____________．
【答案】2
【分析】
本題首先可以設(shè)出點坐標(biāo)，然后利用橢圓的相關(guān)性質(zhì)得出直線的斜率，再通過得出直線的斜率以及直線的方程，然后使用同樣的方式得出直線的方程，并對兩方程進行聯(lián)立化簡，最后再利用點在橢圓上得出與的關(guān)系，最后得出結(jié)果．
【詳解】
設(shè)，則直線的斜率為，
由所以直線的斜率為的斜率為，
于是直線的方程為，
同理，直線的方程為，
聯(lián)立兩直線方程，消去，得，
因為在橢圓上，所以，
從而，所以，
所以故選A．
91．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上存在點，過點作圓的切線，切點分別為，，且，則實數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【分析】
作出圖形，取的中點，可得點，根據(jù)已知條件計算得出，，由此可得出坐標(biāo)原點到直線的距離，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
取的中點，如圖，
由圓的幾何性質(zhì)可得，且，
則，所以，
由，
所以，
由，，.
所以，則，點到直線的距離為，
則或，所以，
故答案為：．
92．已知中，角，，所對的邊分別是，且，則的面積的最大值是___________．
【答案】
【分析】
設(shè)，則點，，設(shè)，根據(jù)題意可求出點在以為圓心，為半徑的圓上，則構(gòu)造基本不等式可得結(jié)果.
【詳解】
如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，則點，，設(shè)，
則由得，
化簡可得：，
這說明點在以為圓心，為半徑的圓上（不含軸上兩點），
于是，

（當(dāng)且僅當(dāng)，，取到等號）．
93．已知為雙曲線：上一點，為坐標(biāo)原點，，為曲線左右焦點.若，且滿足，則雙曲線的離心率為___.
【答案】
【分析】
由知為外接圓的圓心，即有，運用勾股定理和雙曲線的定義，化簡整理，結(jié)合離心率公式計算即可得到.
【詳解】
，
為外接圓的圓心，
，
又，
，
由雙曲線定義可知，
解得，
由
即
即有
所以
故答案為：
94．已知拋物線，其焦點為，準(zhǔn)線為，過焦點的直線交拋物線于點、（其中在軸上方），，兩點在拋物線的準(zhǔn)線上的投影分別為，，若，，則____________.
【答案】3
【分析】
根據(jù)拋物線的的定義可得，利用直角三角形可求出，由面積等積法求出，求出直線的傾斜角，利用公式，計算.
【詳解】
由拋物線的定義得：，，易證，
∴，
∴
∵，
∴，
.∴，
∵，
∴為等邊三角形.
∴直線的傾斜角.
∴，.
∴.
故答案為：3
95．已知雙曲線（）的左、右焦點分別是、，為雙曲線左支上任意一點，當(dāng)最大值為時，該雙曲線的離心率的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】
，，分，兩種情況討論，要注意題目中隱含的條件.
【詳解】
由已知，，因為，當(dāng)時，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值，
由，所以；當(dāng)時，的最大值小于，所以不合題意.
因為，所以，所以，所以
故答案為：
96．已知函數(shù)，則的最大值為______.
【答案】
【分析】
將該函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩點連線的斜率問題，其中為定點，為單位圓上的動點，則可利用直線與圓的位置關(guān)系，解決本題.
【詳解】
，
表示點和點連線的斜率，
又，
則點在單位圓上
設(shè)過點的直線的方程為：，
即，
故單位圓與該直線相切或相交，
，解得，
即，則
故答案為：.
97．已知和為拋物線的焦點和準(zhǔn)線，點為上一點，過作于，若四點共圓（為原點)，則該圓的半徑為____________.
【答案】
【分析】
作出函數(shù)圖象,由四點共圓可知,圓心為垂直平分線的交點,由已知可求得直線的方程,由為中點,可求得點橫坐標(biāo)代入拋物線方程即可求得點坐標(biāo),進而知道點坐標(biāo),求出的垂直平分線方程和直線聯(lián)立即可求得圓心坐標(biāo),進而求得結(jié)果.
【詳解】
四點共圓，所以圓心在和的垂直平分線上，
設(shè)和的垂直平分線為，由知，
即點的橫坐標(biāo)為，又知點的橫坐標(biāo)為，
所以點橫坐標(biāo)為2代入拋物線易得（設(shè)在第一象限），
則，則知線段的垂直平分線方程為，
將與直線聯(lián)立得圓心，所以圓的半徑.
故答案為: .
98．在平面直角坐標(biāo)系中，已知在圓：上運動，且.若直線：上的任意一點都滿足，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】
先求出，再化簡得，再代點到直線的距離公式解不等式得解.
【詳解】
由題得圓的圓心.且,,
（其中是的夾角），
，
因為，
所以,
所以，
所以，
所以.
所以.
故答案為：
99．已知雙曲線C：（）的左、右焦點為，，為雙曲線C上一點，且，若線段與雙曲線C交于另一點A，則的面積為______.
【答案】
【分析】
由已知得即，,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點A坐標(biāo),借助,即可解得所求.
【詳解】
由已知得，又，，所以，解得或，由在雙曲線C上，所以或，所以或（舍去），因此雙曲線C的方程為.又，所以線段的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得，所以，，所以點A坐標(biāo)為，所以.
100．直線：經(jīng)過拋物線：（）的焦點，與拋物線相交于，兩點，過原點的直線經(jīng)過弦的中點，并且與拋物線交于點（異于原點），則的取值范圍是______.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，即可求得拋物線方程；聯(lián)立與拋物線方程，利用韋達定理，求得點的坐標(biāo)，故可用表示；同理設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到點坐標(biāo)，即可將用表示，據(jù)此可將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，求函數(shù)值域即可.
【詳解】
根據(jù)題意，作圖如下：
因為經(jīng)過拋物線：（）的焦點
故可得，則，
故可得拋物線方程為.
聯(lián)立直線與拋物線方程
可得，
設(shè)，
故可得，
，
則中點坐標(biāo)為，
設(shè)直線方程為，
故可得，解得，
聯(lián)立直線與拋物線，
可得，解得，
即點.
則，
故可得，
又因為，故可得，
則.
故答案為：.
任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-20題

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