一、單選題
1．已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
計(jì)算出正四棱錐的底面積，然后利用錐體的體積公式可求出該正四棱錐的體積．
【詳解】
正四棱錐的底面積為，正四棱錐的高為
因此，該正四棱錐的體積為．
故選：A．
2．已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，，則D．若，，則
【答案】D
【分析】
利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)定理，依次分析即得解
【詳解】
選項(xiàng)A：有可能出現(xiàn)的情況；
選項(xiàng)B：和有可能異面；
選項(xiàng)C：和有可能相交；
選項(xiàng)D：由，，得直線和平面沒有公共點(diǎn)，所以，
故選：D
3．如圖，空間四邊形中，點(diǎn)在線段上，且，為的中點(diǎn)，，則，，的值分別為（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】B
【分析】
利用空間向量的基本定理求解.
【詳解】
因?yàn)椋?br>，
所以，，.
故選：B.
4．已知，，是三個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】C
【分析】
利用空間中點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系即可對每個(gè)選項(xiàng)做出判斷，從而選出正確選項(xiàng).
【詳解】
對于選項(xiàng)A：若，，則與平行或相交，故選項(xiàng)A不正確；
對于選項(xiàng)B：若，，則與 可平行、異面、或相交，故選項(xiàng)B不正確；
對于選項(xiàng)C：若，，則，垂直于同一平面的兩個(gè)直線平行，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：若，，則與平行或相交，故選項(xiàng)D不正確.
故選：C
5．已知四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形，俯視圖為正方形，則該四棱錐的體積（單位：）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)四棱錐是正四棱錐求解.
【詳解】
如圖所示：
由題意知：四棱錐是正四棱錐，
因?yàn)樗睦忮F的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形，
所以，
則正四棱錐的高為：，
又因?yàn)楦┮晥D為正方形，
所以，
故選：B
6．在正方體中，則直線與直線所成角大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
設(shè)正方體的棱長為，連接，證明可得或其補(bǔ)角即為直線與直線所成角，在中求即可求解.
【詳解】
設(shè)正方體的棱長為，連接，
因?yàn)榍遥运倪呅问瞧叫兴倪呅危?br>可得，
所以或其補(bǔ)角即為直線與直線所成角，
在中，，所以，
所以直線與直線所成角大小為，
故選：C.
7．正方體的棱長為，為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則△面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點(diǎn)的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值．
【詳解】
以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，設(shè)
所以，得，
所以
因?yàn)槠矫?，所?br>故△面積的最小值為
故選：B
8．在直三棱柱中，.、分別是、的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CA、方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，分別求出的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積求出即可.
【詳解】
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CA、方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，
如圖，設(shè)，
則，
所以，
故選：D
9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1B．AD⊥平面CB1D1
C．AC1⊥BDD．異面直線AD與CB1所成的角為45°
【答案】B
【分析】
利用直線與平面平移以及垂直的關(guān)系，結(jié)合異面直線所成角判斷命題的真假即可.
【詳解】
解：A，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，①BD∥B1D1，B1D1?平面CB1D1；
BD?平面CB1D1；所以BD∥平面CB1D1；A正確；
B，；AD∥A1D1，且⊥平面，所以⊥平面，
又平面與平面CB1D1不平行，所以AD與平面CB1D1不平行，；B不正確；
C，AC1在底面ABCD上的射影AC，BD⊥AC；所以AC1⊥BD；C正確；
D，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得
所以異面直線AD與CB1所成的角即為直線與CB1所成的角,
由，所以異面直線AD與CB1所成的角為45°；D正確
故選：B.
10．已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，則實(shí)數(shù)m的值等于（ ）
A．B．－2
C．0D．或－2
【答案】B
【分析】
利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，即可求得結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)m＝0時(shí)，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，
與不平行，∴m≠0，∵，
∴，解得m＝－2.
故選：B
11．正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．異面
C．平行D．垂直
【答案】A
【分析】
連接與交于點(diǎn)F，易得是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線與直線的位置關(guān)系.
【詳解】
如圖所示，連接與交于點(diǎn)F，
由題意，易得四邊形是平行四邊形，
在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，
∴，又且共面，則直線與直線相交.
故選：A.
12．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】
先用余弦定理求出，再由勾股定理可證，可所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)以及、的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.
【詳解】
因?yàn)橹比庵?，，，?br>在中，由余弦定理可得：，
所以，
所以，所以，進(jìn)而可得兩兩垂直，
所以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，
設(shè)異面直線與所成角的平面角為，
則異面直線與所成角的余弦值為：，
故選：B.
13．把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)（皮球不變形），則皮球的半徑為（ ）
A． cmB．10 cm
C． cmD．30 cm
【答案】B
【分析】
判斷出球心的位置，由此計(jì)算出球的半徑.
【詳解】
依題意可知該四棱錐是正四棱錐，且平面，則.
，
，
所以，
到的距離都是，
在等腰直角三角形中，到的距離為，
同理可得到的距離也是.
所以是皮球的球心，且皮球的半徑為.
故選：B
14．一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個(gè)面均為直角三角形.如圖，在四面體PABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF（此外不再增加任何連線），則圖中直角三角形最多有（ ）
A．6個(gè)B．8個(gè)
C．10個(gè)D．12個(gè)
【答案】C
【分析】
由題設(shè)，若四面體PABC為“鱉臑”，應(yīng)用線面、面面垂直的判定、性質(zhì)只需AE⊥EF、AE⊥PC、EF⊥PC，即PAEF也是“鱉臑”，即可保證直角三角形最多，進(jìn)而確定個(gè)數(shù)即可.
【詳解】
為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設(shè)四面體PABC為“鱉臑”，
其中PA⊥面ABC，BC面ABC，則PA⊥BC，
又AB⊥BC，ABPA = A，
∴CB⊥面PAB.
若AE⊥PB，EF⊥PC：
由CB⊥面PAB，BC面PBC，則面PAB⊥面PBC，又AE面PAB，面PAB∩面PBC=PB，
∴AE⊥面PBC，EF、PC面PBC，則AE⊥EF且AE⊥PC，又EF⊥PC，
∴四面體PAEF也是“鱉臑”，則10個(gè)三角形全是直角三角形，
故選：C.
15．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且，則四棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用勾股定理判斷平面，過正方形的中心作垂線，再過中點(diǎn)作此垂線的垂線，交點(diǎn)即為外接球的球心，求出外接球半徑，由表面積公式即可求解.
【詳解】
由題意可知，，
所以，，
又，
所以平面，
過正方形的中心作垂線，
再過中點(diǎn)作此垂線的垂線，交點(diǎn)為，
此點(diǎn)即為外接球的球心，
則外接球半徑，
所以四棱錐外接球的表面積.
故選：C
二、多選題
16．給出下列命題，其中正確的有（ ）
A．空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底
B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底
C．已知空間向量，，則
D．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是
【答案】BD
【分析】
對選項(xiàng)A，B，根據(jù)空間向量基底概念即可判斷A錯(cuò)誤，B正確，對選項(xiàng)C，根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷C錯(cuò)誤，對選項(xiàng)D，根據(jù)投影向量概念求解即可.
【詳解】
對選項(xiàng)A，因?yàn)榭臻g中只有不共面的三個(gè)向量可以作為一組基底，故A錯(cuò)誤.
對選項(xiàng)B，因?yàn)?，則、與任何向量都是共面向量，故B正確.
對選項(xiàng)C，，，
因?yàn)?，所以、不平行，故C錯(cuò)誤.
對選項(xiàng)D，，，
所以向量在向量上的投影向量為.故D正確.
故選：BD
17．如圖，正方體的棱長為4，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．直線與是異面直線
B．直線與平行
C．直線與垂直
D．三棱錐的體積為
【答案】AD
【分析】
A選項(xiàng)結(jié)合異面直線的定義即可判斷；B證得即可判斷；C由直線與是矩形的兩條對角線即可判斷；D用正方體的體積減去四個(gè)三棱錐的體積即可求出結(jié)果判斷.
【詳解】
直線在平面內(nèi)與沒有交點(diǎn)，所以直線與是異面直線，故A項(xiàng)正確；
因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊，因此，又因?yàn)?，所?故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
直線與是矩形的兩條對角線，不垂直，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
．
故D項(xiàng)正確．
故選：AD.
18．如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使面
B．二面角的平面角大小為
C．的最小值是
D．到平面的距離最大值是
【答案】AC
【分析】
對于A，當(dāng)與重合時(shí)可得結(jié)論，對于B，二面角就是二面角，從而可求出結(jié)果，對于C，如圖沿棱展開面為面，利用兩點(diǎn)之間線段最短判斷，對于D，當(dāng)與重合時(shí)，點(diǎn)到面的距離最大，從而可求得結(jié)果
【詳解】
對于A，當(dāng)與重合時(shí)，，根據(jù)線面平行的判定，可得使面，故正確；
對于B，二面角就是二面角，其平面角大小為.故錯(cuò)；
對于C，如圖沿棱展開面為面，使點(diǎn)，，，，，共面，則的最小值為，故正確；
對于D，當(dāng)與重合時(shí)，垂直平面，此時(shí)點(diǎn)到面距離最大值為，故錯(cuò).
故選：AC.
19．已知、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面.下列說法中正確的是（ ）
A．若，，，則B．若，，則
C．若，，，則D．若，，，則
【答案】ACD
【分析】
對于A，利用線面平行的性質(zhì)定理判斷，對于B，利用線面平行的判定定理判斷，對于C，利用線面垂直的判定定理判斷即可，對于D，利用面面平行的判定方法判斷
【詳解】
由線面平行的性質(zhì)定理可知，A正確；
若∥∥，則∥或，即B錯(cuò)誤；
設(shè)的法向量分別為，若，則，又，則∥，∥，所以，即C正確；
若，則∥，又∥，則∥，即D正確.
故選：ACD
20．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（ ）
A．＝2－－；B．；
C．；D．＋＋＋＝0；
【答案】ABD
【分析】
根據(jù)四點(diǎn)共面的條件對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng)．
【詳解】
與，，一定共面的充要條件是，
對于A選項(xiàng)，由于，所以不能得出共面，
對于B選項(xiàng)，由于，所以不能得出共面，
對于C選項(xiàng)，由于，則為共面向量，所以共面，
對于D選項(xiàng)，由得，而，所以不能得出共面．
故選：ABD
21．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】
根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.
【詳解】
設(shè)正方體的棱長為，
對于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯(cuò)誤.
對于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.
對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.
對于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
則，
因?yàn)?，故，故?br>所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，
因?yàn)檎襟w的棱長為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
22．設(shè)一空心球是在一個(gè)大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1，若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上?所有面均與內(nèi)球相切，則（ ）
A．該正方體的核長為2B．該正方體的體對角線長為
C．空心球的內(nèi)球半徑為D．空心球的外球表面積為
【答案】BD
【分析】
設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，利用正方體的對角線求得，根據(jù)兩球上點(diǎn)的距離最小值為，求解后得到r，R，進(jìn)而求得正方體的對角線和外接球的表面積.
【詳解】
設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，則正方體的棱長為，體對角線長為，∴，
又由題知，所以，，
∴正方體棱長為，體對角線長為，
∴外接球表面積為，
故選：BD.
23．在正三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．存在點(diǎn)，使得
C．三棱錐的體積為
D．直線與平面所成角的余弦值為
【答案】AC
【分析】
A.利用空間向量運(yùn)算求解判斷；B. 利用空間向量運(yùn)算求解判斷；C.利用等體積法求解判斷；D.利用線面角的求解判斷.
【詳解】
由題意，畫出正三棱柱如圖所示，
向量，故A正確；
假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，所以.因?yàn)?，所?解得.故B錯(cuò)誤；
因?yàn)檎庵?，所以，所以，所以，故C正確；
設(shè)中點(diǎn)為，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面所成的角，.故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
第II卷（非選擇題）
三、填空題
24．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、BC的中點(diǎn)，則三棱錐N-DMC1的體積為___________.
【答案】1
【分析】
利用等體法以及三棱錐的體積公式即可求解.
【詳解】
.
故答案為：1
25．已知正三棱錐的底面邊長是，側(cè)棱與底面所成角為，則此三棱錐的體積為__．
【答案】
【分析】
過作平面交于點(diǎn)，延長交于，在中，求得，
根據(jù)平面，得到，求得，結(jié)合體積公式，即可求解.
【詳解】
如圖所示，過作平面交于點(diǎn)，延長交于，
所以點(diǎn)是的中心，所以是等邊的一條高，其中邊長為，
所以，可得，
因?yàn)槠矫?，所以?br>在直角中，可得，
由的邊長為，可得，
所以三棱錐的體積為.
故答案為：.
26．如圖，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，則異面直線與AC所成角的余弦值是__________________．
【答案】
【分析】
由AC∥，知是異面直線與AC所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線與AC所成角的余弦值．
【詳解】
解：連結(jié)，∵AC∥，
∴是異面直線與AC所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，
∴，，，，
∴
∴異面直線與AC所成角的余弦值為．
故答案為：．
27．已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．
【答案】
【分析】
先畫出圓臺的軸截面，利用圓心到上底圓周上一點(diǎn)等于外接球半徑，圓心到下底圓周上一點(diǎn)等于外接球半徑，建立方程，解出外接球半徑，求出外接球表面積.
【詳解】
如圖所示，
設(shè)外接球半徑為r，球心到上底的距離為h，則球心到下底的距離為
則有，，解得，．所以外接球的表面積為．
故答案為：
28．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為3，且，則__.
【答案】
【分析】
由空間向量的加法法則有，然后平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算可得．
【詳解】
平行六面體中，，
..
故答案為：．
29．如圖，在空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，則用向量表示向量________．
【答案】
【分析】
根據(jù)，由此能求出結(jié)果．
【詳解】
∵在空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，
∴．
故答案為：．
30．已知四棱錐P﹣ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱錐P﹣ABCD的體積為，則球O的表面積為___________.
【答案】
【分析】
由題意，畫出示意圖，四棱錐P﹣ABCD的體積，，，，球O的半徑，進(jìn)而求解.
【詳解】
解：由題意，畫出示意圖如圖：
則正方形ABCD面積S=4，
∵ 四棱錐P﹣ABCD的體積，∴ ，
，
球O的半徑
球O的表面積：.
故答案為：
任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題
一、單選題
1．在三棱錐P－ABC中，，△PAB，△PAC，△PBC的面積分別記為，且，則此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)三角形面積公式求出面積，聯(lián)立方程求出棱長，再求出棱錐高得出棱錐體積，由等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可.
【詳解】
，
，
，
解得，，
由余弦定理可得，，
取的中點(diǎn)，連接，，如圖，
可得，，，，，
所以，
所以平面ABC，
內(nèi)切球半徑，
故選：B
2．在立體幾何探究課上，老師給每個(gè)小組分發(fā)了一個(gè)正四面體的實(shí)物模型，同學(xué)們在探究的過程中得到了一些有趣的結(jié)論.已知直線平面，直線平面，F(xiàn)是棱BC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下列三個(gè)結(jié)論：
①若分別為棱的中點(diǎn)，則直線平面；
②在棱BC上存在點(diǎn)F，使平面；
③當(dāng)F為棱BC的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．③B．①③C．①②D．②③
【答案】A
【分析】
將正四面體放在正方體中，如圖，由正方體的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．
【詳解】
可將正四面體放在正方體中研究，如圖，
對于①，由直線平面，直線平面，知平面是與左右兩個(gè)側(cè)面平行的平面，
是前后兩個(gè)側(cè)面的中心（對角線交點(diǎn)），則直線平面或直線平面，故①錯(cuò)誤.
對于②，正方體的左、右兩個(gè)側(cè)面與平面平行，因此，與平面垂直的直線只能是與其四條側(cè)棱平行或重合的直線，故②錯(cuò)誤.
對于③，平面就是平面，由與側(cè)面垂直，得面面垂直，故③正確，
故選：A．
3．已知圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為4，高為7，若點(diǎn)A、B、C在下底面圓的圓周上，且，點(diǎn)Р在上底面圓的圓周上，則的最小值為（ ）
A．246B．226C．208D．198
【答案】D
【分析】
問題可轉(zhuǎn)化為三棱錐且三棱錐有外接球，求轉(zhuǎn)化為求的最值，再轉(zhuǎn)化為利用向量求解即可.
【詳解】
如圖，
ABC的外心是AC中點(diǎn)，點(diǎn)P到底面ABC的距離為7，設(shè)Р所在截面圓的圓心為，此截面與平面ABC平行，球心在上，
，
則，
設(shè)P在平面ABC上的射影為Q，則Q在以為圓心，3為半徑的圓，因?yàn)镻Q⊥平面ABC，所以PQ與平面ABC內(nèi)所有直線都垂直，PQ=7,
所以
，
當(dāng)反向時(shí)，取得最小值-12，
所以的最小值
故選：D
4．北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計(jì)算求解即可．
【詳解】
解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，
因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，
所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形組成，
所以面角和為，
故總曲率為．
故選：B.
5．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．不確定
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意可知平面，而，在線段上運(yùn)動(dòng)，則平面，從而得出點(diǎn)到直線的距離不變，求出的面積，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證出平面，得出點(diǎn)到平面的距離為，最后利用棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.
【詳解】
解：由題可知，正方體的棱長為1，
則平面，又，在線段上運(yùn)動(dòng)，
平面，
點(diǎn)到直線的距離不變，
由正方體的性質(zhì)可知平面，則，
而，，
故的面積為，
又由正方體可知，，，且，
平面，則平面，
設(shè)與交于點(diǎn)，則平面，
點(diǎn)到平面的距離為，
.
故選：A.
6．如圖已知正方體，點(diǎn)是對角線上的一點(diǎn)且，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，平面
C．當(dāng)為直角三角形時(shí)，D．當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，
【答案】D
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得；
【詳解】
解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以
對于A：若平面，則，則，解得，故A錯(cuò)誤；
對于B：若平面，則，即，解得，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)為直角三角形時(shí)，有，即，解得或（舍去），故C錯(cuò)誤；
設(shè)到的距離為，則，
當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，，故正確．
故選：．
7．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于a，點(diǎn)E、F、G分別為AB、AD、DC的中點(diǎn)，則a2等于（ ）
A．2?B．2?C．2?D．2?
【答案】B
【分析】
由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，對各個(gè)選項(xiàng)中式子進(jìn)行運(yùn)算，可得結(jié)論．
【詳解】
由題意可得，22a?a?cs（π﹣∠BAD）＝2a2?（﹣cs60°）＝﹣a2，故排除A．
∵2?2?a?a?cs60°＝a2，故B滿足條件．
∵2?2??a?csπ＝﹣a2，故排除C．
∵2?2??a?cs60°，故排除D，
故選：B
8．如圖一，矩形中，，交對角線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則下列判斷一定成立的是（ ）
A．B．平面
C．平面D．平面平面
【答案】D
【分析】
利用反證法可判斷A選項(xiàng)；由二面角的變化可判斷B選項(xiàng)；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用面面垂直的判定定理可判斷D選項(xiàng).
【詳解】
翻折前，，，
翻折后，對應(yīng)地有，，，
，則平面，
平面，故平面平面，D選項(xiàng)一定成立；
對于B選項(xiàng)，由上可知，二面角的平面角為，
在翻折的過程中，會(huì)發(fā)生變化，則與不一定垂直，
即與平面不一定垂直，故B選項(xiàng)不一定成立；
對于A選項(xiàng)，設(shè)，在圖一中，，
所以，，可得，，
因?yàn)?，則，
故，所以，，
在圖二中，過點(diǎn)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，連接，
則，故，則，
又因?yàn)?，故不為的中點(diǎn)，
因?yàn)?，，則，
若，且，則平面，
平面，則，
由于、平面，且，故，
由于為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，與已知條件矛盾，A選項(xiàng)不成立；
對于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，因?yàn)?，平面，平面?br>所以，平面，
若平面，，則平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，則，
由于為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，與已知條件矛盾，C選項(xiàng)不成立.
故選：D.
9．點(diǎn)M是棱長為3的正方體中棱的中點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，則的長度范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面與于，取中點(diǎn)F，在上取點(diǎn)H，使，在上取點(diǎn)G，使，可得截面，
【詳解】
解：以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)平面與于，連接，由平面平面，是截面與這兩個(gè)平面的交線，因此，取中點(diǎn)F，在上取點(diǎn)H，使，在上取點(diǎn)G，使，連接，
易得，所以，又，所以，
所以，而平面，平面，所以平面，
易知，，，，，
∴，，，，，所以，共面，
，，所以，同理得平面，
是平面內(nèi)兩相交直線，則平面平面，
∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，∴P點(diǎn)的軌跡是線段，
又點(diǎn)C到線段的距離，
∴的長度的最小值為，，，
∴長度的最大值為.
∵的長度范圍為．
故選：B.
10．如圖，在正方體中，點(diǎn)M在線段(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是（ ）
①平面； ②異面直線與所成角的取值范圍是；
③平面恒成立； ④三棱錐的體積不是定值．
A．①③B．①②C．①②③D．②④
【答案】B
【分析】
根據(jù)給定條件證得平面平面可判斷①；由及正可判斷②；
取特殊位置說明與不垂直判斷③；利用等體積法轉(zhuǎn)化可判斷④即可作答.
【詳解】
在正方體中，連接，如圖，

因?qū)敲鍭BC1D1是矩形，則AD1//BC1，而平面ACD1，平面ACD1，于是得BC1//平面ACD1，同理，A1B//平面ACD1，
而，平面，因此，平面平面，又平面，故有平面，①正確；
因，即異面直線與所成角即為與所成角，而是正三角形，
點(diǎn)M在線段(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角范圍為，②正確；
當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，直線過點(diǎn)C，，即此時(shí)與不垂直，平面不恒成立，③錯(cuò)誤；
因BC1//平面ACD1，則，即三棱錐的體積是定值，④錯(cuò)誤.
故選：B
11．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（ ）
A．B．100πC．D．20π
【答案】D
【分析】
由題知，，，設(shè)為三角形的外心，進(jìn)而得，過作三角形的垂線，球心在上，且，進(jìn)而得外接球半徑，再計(jì)算表面積即可得答案.
【詳解】
如圖：因?yàn)槠矫?，?br>所以，，
因?yàn)?，由余弦定理可解得?br>設(shè)為三角形的外心，
則由正弦定理得三角形外接圓半徑為2，
即，
過作三角形的垂線，球心在上，則，
可求外接球半徑，
故該四面體的外接球的表面積是，
故選：D.
12．已知圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由圓錐側(cè)面展開圖的圓心角可構(gòu)造方程求得圓錐底面半徑，在中，利用勾股定理可構(gòu)造關(guān)于圓錐外接球半徑的方程，解方程求得，根據(jù)球的表面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意得：，解得：.
如圖，是圓錐的一條母線，由圓錐的性質(zhì)知其外接球的球心在上，連接，，
設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則，
則，
，即，解得：，
圓錐的外接球的表面積為.
故選：C.
13．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平面與平面的交線為，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
（1）平面；
（2）平面；
（3）直線與所成角的余弦值為；
（4）平面截四棱錐所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為．
A．1個(gè)B．2個(gè)
C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】
對A，取的中點(diǎn)，連接，證明平面，即平面，可判斷A；對B，若平面，則，結(jié)合，可判斷B；對C， 根據(jù)，故判斷C；對D，連接，分別求出兩部分的體積即可判斷D.
【詳解】
對A，取的中點(diǎn)，連接，則，即，，，四點(diǎn)共面，即為，
因?yàn)?，平面，平面，所以平面，即平面，故A正確；
對B：由，若平面．則必有，即四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?，，所以矛盾，故B錯(cuò)誤；
對C：與所成角，即與所成角，即與所成角，由底面得．則，故C正確；
對D：連接，由A知截面就是平面，下半部分分為四棱錐和三棱錐.
，，
由底面得，又，，平面，所以平面，即平面.
所以，即下半部分體積為.
所以上半部分體積與下半部分體積之比為，故D正確．
因此正確的結(jié)論有3個(gè).
故選：C．
14．在四棱錐中，平面平面，且是邊長為2的正三角形，是正方形，則四棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點(diǎn)F,取AD的中點(diǎn)E,在截面PEF中，利用勾股定理求出球的半徑，即可求四棱錐P-ABCD的外接球的體積.
【詳解】
連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點(diǎn)F，取AD的中點(diǎn)E,在截面PEF中，連結(jié)，如圖，
在等邊中，AD的中點(diǎn)為E，
所以, 又平面平面, 是交線，
所以平面, 且，
設(shè)，外接球半徑為R,
則在正方形中，，
在中，，
而在截面中，，
由可得：
解得，
所以,
所以.
故選：D
15．已知在正四面體ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，P是棱AC上的一動(dòng)點(diǎn)，BP＋PE的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為（ ）
A．πB．π
C．4πD．π
【答案】D
【分析】
首先設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，根據(jù)題意得到的最小值為，從而得到，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化得到內(nèi)切球半徑，再計(jì)算其體積即可.
【詳解】
設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，如圖所示：
則的最小值為，
解得.
如圖所示：為正四面體的高，
，正四面體高.
所以正四面體的體積.
設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，如圖所示：
則到正四面體四個(gè)面的距離相等，都等于，
所以正四面體的體積，解得.
所以內(nèi)切球的體積.
故選：D
16．在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，若平面平面，且平面與棱，，分別交于點(diǎn)，，，其中點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)已知條件結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理可確定出，根據(jù)點(diǎn)的位置可確定出的位置，由此可計(jì)算出三棱錐的體積.
【詳解】
如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，
由正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知：，
所以六點(diǎn)共面，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面?br>又平面平面，平面平面，
所以，由為所在邊中點(diǎn)可知為中點(diǎn)，
同理可知：為的中點(diǎn)，
所以，且，，兩兩垂直，
所以三棱錐的體積為，
故選：D.
17．已知球，過其球面上，，三點(diǎn)作截面，若點(diǎn)到該截面的距離是球半徑的一半，且，，則球的表面積為（ ）（注：球的表面積公式
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)條件先計(jì)算出外接圓的半徑，然后根據(jù)球的半徑、球心到截面的距離、外接圓的半徑構(gòu)成直角三角形的三邊，由此列出方程可求外接球的半徑，則球的表面積可求.
【詳解】
如圖，
設(shè)球的半徑為，是的外心，外接圓的半徑為，
則平面，
在中，，，則，
由正弦定理可得，即，
在中，有，得．
球的表面積為．
故選：A．
18．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中點(diǎn)，則異面直線BC與AP所成角的余弦值為（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】
取的中點(diǎn)Q，連接.先證明即異面直線與所成的角或其補(bǔ)角. 在三角形APQ中，由余弦定理求出異面直線BC與AP所成角的余弦值.
【詳解】
如圖，
取的中點(diǎn)Q，連接.
因?yàn)椋约串惷嬷本€與所成的角或其補(bǔ)角.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
設(shè)，則，
在三角形APQ中，由余弦定理得：.
故選：D
19．一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為、、，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由題設(shè)易知，設(shè)利用正方形、正三角形的性質(zhì)及勾股定理求出、、，即可知它們的比例關(guān)系.
【詳解】
設(shè)四棱錐為，三棱錐為，則三棱錐為正四面體，四棱錐為正四棱錐，顯然．
設(shè)，正方形的中心為，正三角形的中心為，
連接，，，，則，，
，，即，，
．
故選：C
20．如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為，在即可得到答案；
【詳解】
解：過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，
由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為
又由已知，
連接，則為與平面所成的角，
設(shè)，則，，
直線與平面所成的角的正弦值．
故選：．
二、多選題
21．如圖，已知正方體，則四個(gè)推斷正確的是（ ）
A．B．
C．平面平面D．平面平面
【答案】BCD
【分析】
對于A，與成角；對于B，由，，得；對于C，由，，得平面平面；對于D，由，，得平面平面．
【詳解】
在正方體中，
對于A，由正方體的性質(zhì)可知，
所以即為異面直線與所成的角，
在中顯然，所以與成角，故A錯(cuò)誤；
對于B，，，，故B正確；
對于C，，，、平面，、平面，
∴平面，平面，又，
平面平面，故C正確；
對于D，，，，平面，
所以平面，又平面
平面平面，故D正確．
故選：BCD．
22．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)C到平面的距離為
【答案】BCD
【分析】
A. 設(shè)，易證平面AEF判斷； B.取的中點(diǎn)，連接，證明平面 平面AEF判斷；C.接，易證，得到截面為等腰梯形 求解判斷； D. 利用等體積法，由求解判斷.
【詳解】
A. 若，因?yàn)?平面ABCD，則 ，又，所以平面AEF，則 ，則 ，故錯(cuò)誤；
B.如圖所示：
取的中點(diǎn)，連接，易知，又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，同理平面AEF，
又，所以平面 平面AEF，因?yàn)槠矫妫云矫鍭EF，故正確；
C.如圖所示：
連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則 ，所以 共面，則截面為等腰梯形 ，又，
等腰梯形的高為 ，所以等腰梯形的面積為，故正確；

D. 因?yàn)椋?，所以點(diǎn)C到平面的距離為，故正確.
故選：BCD
23．正四棱錐的所有棱長為2，用垂直于側(cè)棱的平面截該四棱錐，則（ ）
A．截面可以是三角形
B．與底面所成的角為
C．與底面所成的角為
D．當(dāng)平面經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：1
【答案】ACD
【分析】
對于A：取PC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE、DE、BD.可以證明面BDE，即可判斷A；
對于B、C：作為與底面所成的角.即可求得；
對于D：分別求出上下兩部分幾何體的體積，即可判斷.
【詳解】
對于A:取PC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE、DE、BD.
因?yàn)檎睦忮F的所有棱長為2，所以△PBC、△PBC為正三角形，所以又,則面BDE，即△BDE為截面.故A正確；
對于B、C:過P作底面ABCD于O，則O為AC中點(diǎn).則即為與底面所成的角.
因?yàn)檎睦忮F的所有棱長為2，所以,
所以,所以.故B錯(cuò)誤，C正確；
對于D:由A的推導(dǎo)過程可知：平面經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，平面即為平面BDE.
此時(shí).
因?yàn)?
所以,
所以.故D正確
故選：ACD
24．如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐體積的最大值為
B．三棱錐體積的最小值為
C．存在某個(gè)位置，使得
D．設(shè)二面角的平面角為，且，則
【答案】AC
【分析】
是的中點(diǎn)﹐點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（圓錐的底面圓），作出圖形，觀察到平面距離的最大值和最小值，計(jì)算體積判斷AB，把去掉，作出圖形，分析與所成角，二面角的大小判斷CD．
【詳解】
在圖1中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)﹐點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
易知當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)，三棱錐的體積最大，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到的位置時(shí)，的體積最小.
在中，.
設(shè)到平面的距離分別為，則，
所以三棱錐體積的最大值為，最小值為，A正確，B錯(cuò)誤.
如圖2，因?yàn)橹本€與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為，母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為﹐
所以直線與所成角的范圍為，即，
因?yàn)椋源嬖趭A角為的情況，
又因?yàn)榫€線角的取值范圍不包含鈍角，所以直線與所成角的范圍為，
即可得出C正確.
如圖2，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，二面角的平面角為，
在與中，
所以，
所以，所以，即，D錯(cuò)誤.
故選：AC
25．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（ ）
A．
B．平面
C．向量與的夾角是60°
D．直線與AC所成角的余弦值為
【答案】AC
【分析】
根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對選項(xiàng)中的命題分析，判斷正誤即可．
【詳解】
解：對于，
，
所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于
，所以，即，
，所以，即，因?yàn)椋矫?，所以平面，選項(xiàng)正確；
對于：向量與 的夾角是，所以向量與的夾角也是，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以選項(xiàng)正確．
故選：AC．
26．正方體中，是棱的中點(diǎn)，在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面.以下命題正確的有（ ）
A．側(cè)面上存在點(diǎn)，使得
B．直線與直線所成角可能為
C．平面與平面所成銳二面角的正切值為
D．設(shè)正方體棱長為1，則過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面面積最大為
【答案】ACD
【分析】
由面面平行的性質(zhì)可得出點(diǎn)的軌跡，再找出點(diǎn)，使得可判斷A；由異面直線所成的角的定義求出角的范圍可判斷B；計(jì)算二面角的平面角可判斷C；求出最大截面的面積可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】

對于A:取和的中點(diǎn)分別為，，連接，，，則，，，，所以面面，因?yàn)樵趥?cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，所以點(diǎn)在線段上，因?yàn)槭钦襟w，所以，若為線段的中點(diǎn)，可得，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；
對于B：因?yàn)椋耘c直線所成角即為與直線所成角，則即為異面直線所成的角，設(shè)正方體的棱長為，在中，，若所成的角為，則，而最大為，所以，所以所成角不可能為，故選項(xiàng)B不正確；
對于C：因?yàn)槊婷?，所以平面與平面所銳二面角，
即為平面與平面所成銳二面角，因?yàn)槊婷?，，，?dāng)為線段的中點(diǎn)，可得，，所以即為二面角的平面角，且，，
所以，故選項(xiàng)C正確；
對于D:當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面面積最大，取的中點(diǎn)，，，則截面為菱形，，，其面積為 故選項(xiàng)D正確，
故選：ACD.
27．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動(dòng)，且.則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，ME與CN相交
B．MN始終與平面BCE平行
C．異面直線AC與BF所成的角為
D．當(dāng)時(shí)，MN的長最小，最小為
【答案】BD
【分析】
以B為原點(diǎn)，BA，BE，BC所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
證明向量不共面可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；判斷與平面BCE的法向量垂直可判斷選項(xiàng)B；利用向量法可求異面直線所成的角，從而判斷選項(xiàng)C；利用兩點(diǎn)間的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】
以B為原點(diǎn)，BA，BE，BC所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)?，所以?
當(dāng)時(shí)，，
，
若ME與CN相交，則四點(diǎn)共面，
設(shè)，則，該方程無解，所以ME與CN不相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
平面BCE的法向量為，此時(shí)，
所以MN始終與平面BCE平行，故B正確；
，設(shè)異面直線AC與BF所成的角為，
所以，所以異面直線AC與BF所成的角為60°，故C錯(cuò)誤；
，
所以當(dāng)時(shí)，MN的長最小，最小為，故D正確.

故選：BD.
28．(多選)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論正確的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．異面直線AD與CB1所成的角為60°
【答案】ABC
【分析】
由的射影、、，結(jié)合線面垂直的判定即可知B、C的正誤；構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合C選項(xiàng)即可判斷A的正誤，再利用線線角的向量求法求AD與CB1所成角.
【詳解】
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)閤，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由在面、面、面的射影、、，即，，，又，則AC1⊥面CB1D1，
∴B、C正確；
設(shè)正方體棱長為1，易知＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,1)，
∴，即BD∥面CB1D1，故A正確；
∵＝(－1,0,0)，＝(1,0,1)，
∴，
∴AD與CB1所成的角為45°，故D錯(cuò)，
故選：ABC．
29．已知四邊形ABCD為正方形，GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，F(xiàn)B，BE，H為BF的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．DE⊥BF
B．EF與CH所成角為
C．EC⊥平面DBF
D．BF與平面ACFE所成角為
【答案】ABC
【分析】
根據(jù)題意，將幾何體補(bǔ)形為正方體，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的運(yùn)算得到答案.
【詳解】
由題意得，所得幾何體可以補(bǔ)形成一個(gè)正方體，如圖所示．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AD＝DC＝DG＝2，
則D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(xiàn)(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1)．
對A，，所以，
則，正確；
對B，，設(shè)所成角為，
所以，正確；
對C，，
設(shè)是平面DBF的一個(gè)法向量，所以，
令x=1，則，所以，則EC⊥平面DBF，正確；
對D，由題意，EA⊥平面ABCD，則EA⊥DB，易得：DB⊥AC，EA與AC交于A，
則DB⊥平面ACFE，則是平面ACFE的一個(gè)法向量，
設(shè)BF與平面ACFE所成的角為，
所以，錯(cuò)誤.
故選：ABC.
30．下圖中正方體邊長為2，則下列說法正確的是（ ）
A．平面平面
B．正方體外接球與正四面體外接球半徑相等均為
C．正四面體內(nèi)切球半徑為
D．四面體內(nèi)切球半徑為
【答案】BCD
【分析】
取的中點(diǎn)，連接和，計(jì)算二面角的平面角即可判斷A；由正四面體與正方體有同一個(gè)外接球可判斷B，利用等體積求內(nèi)切球的半徑可判斷CD，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】
對于A：因?yàn)檎襟w的邊長為，所以，
所以和是等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接和，
則，，所以即為二面角的平面角，
因?yàn)椋?，因?yàn)椋?br>所以不等于，即二面角的平面角不等于，所以平面平面不成立，故選項(xiàng)A不正確；
對于B：正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都是正方體的頂點(diǎn)，所以正四面體與正方體有同一個(gè)外接球，且外接球的半徑為，故選項(xiàng)B正確；
對于C：正四面體內(nèi)切球半徑為，正四面體的高為
，
由體積相等可得：，可得 ，故選項(xiàng)C正確；
對于D：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，
由體積相等可得：，
即，解得：，
故選項(xiàng)D正確；
故選：BCD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題
31．空間四面體中，，，，直線和所成的角為，則該四面體的外接球的表面積為 __.
【答案】/11.5π
【分析】
將該四面體的六條棱看成某長方體的六個(gè)面的對角線，然后該長方體的外接球即為該四面體的外接球，最后求出外接球的表面積
【詳解】
如圖所示，
因?yàn)椋?，，先將四面體的六條棱看成該長方體如圖所示的六條面對角線，下面驗(yàn)證直線和所成的角為，
易知，，且，互相平分于點(diǎn)，所以，
設(shè)長方體的三邊長為，，，則，解得，
故是等邊三角形，則，即直線和所成的角為，即成立，
故四面體的六條棱看成該長方體如圖所示的六條面對角線，四面體的外接球即為該長方體的外接球，所以外接球的直徑，故外接球的表面積為.
故答案為：.
32．如圖，A、B、C、D、P是球O上5個(gè)點(diǎn)，ABCD為正方形，球心O在平面ABCD內(nèi)，，，則PA與CD所成角的余弦值為______．
【答案】
【分析】
由題可得∠PAB即為所求，設(shè)球O的半徑為r，則可得，，在等腰三角形PAB中，即得.
【詳解】
∵ABCD為正方形，
∴AB∥CD，
∴∠PAB即為異面直線PA與CD所成角，
設(shè)球O的半徑為r，球心O在平面ABCD內(nèi)，則O為正方形ABCD的中心，
由題可知，又，
∴，又，
∴，
在等腰三角形PAB中，.
故答案為：.
33．已知圓錐、圓柱的底面半徑和體積都相等，則它們的軸截面的面積之比的比值是___________
【答案】
【分析】
利用公式分別求出圓錐和圓柱的體積以及他們的軸截面面積，然后結(jié)合已知條件求出圓錐與圓柱的高的比值，進(jìn)而求出它們的軸截面的面積之比的比值.
【詳解】
由題意，設(shè)圓錐、圓柱的底面半徑為，高分別為、，體積分別為、，軸截面面積為、，
從而，，，，
因?yàn)閳A錐、圓柱的體積相等，
所以，即，
故，
從而圓錐、圓柱的軸截面的面積之比的比值是.
故答案為：.
34．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左圖是南北朝官員獨(dú)孤信的印信，它是由正方形和正三角形圍成.右圖是根據(jù)這只印信作出的直觀圖，直觀圖的所有頂點(diǎn)都在一正方體的表面上（如果一個(gè)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)正方體同一個(gè)側(cè)面的四條棱上，那么這個(gè)八邊形的邊長就等于這個(gè)直觀圖的棱長）.若這個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則這只印信的表面積為__________.
【答案】/
【分析】
根據(jù)正方體外接球的半徑可確定其棱長為；根據(jù)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)正方體同一個(gè)側(cè)面的四條棱上可構(gòu)造方程求得正八邊形的邊長，即為直觀圖的棱長，進(jìn)而根據(jù)直觀圖的構(gòu)成可求得表面積.
【詳解】
設(shè)正方體棱長為，
正方體的所有頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，
，解得：；
設(shè)正八邊形的邊長為，則，
整理可得：，解得：，即直觀圖棱長為；
由直觀圖可知：印信是由個(gè)正方形，個(gè)等邊三角形拼接而成，
印信的表面積.
故答案為：.
35．如圖，在直三棱柱中，，，已知G與E分別為和的中點(diǎn)，D和F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則線段DF的長度的平方取值范圍為__________.
【答案】.
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可得，再表示出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】
解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，
∴，，
∵，∴，∴，
又，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即為，顯然線段DF長度的最大值是1，但不包括端點(diǎn)，故不能取1，
綜上，線段DF長度的平方取值范圍為.
故答案為：.
36．如圖，在長方體中，已知，點(diǎn)，分別在棱，上.二面角的大小為30°.若三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.
【答案】
【分析】
由題條件可求，再利用長方體的性質(zhì)可得三棱錐的外接球的半徑，即求.
【詳解】
如圖過D作DE⊥MN于E，連D1E，則，
由長方體的性質(zhì)可知，DD1⊥平面ABCD，
∴DD1⊥MN，DD1∩DE=D，
∴MN⊥平面DED1
∴∠D1ED為二面角的平面角，
∴∠D1ED，又，
∴，又三棱錐的體積為，
∴，
∴，
∴，
設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，則
，
∴三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：
37．異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點(diǎn)C、D分別在直線a、b上，若，，，則________．
【答案】或
【分析】
過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，要注意E、C在AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情況，結(jié)合已知有，再過C作CF⊥BE于F，求出DE、EC的長度，在Rt△DEC中應(yīng)用勾股定理求.
【詳解】
由題意，過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，如下示意圖，
∴由題設(shè)知：面ABEC為直角梯形且，
過C作CF⊥BE于F，則CF=AB=2，，可得DE=，BE=，
∴如圖1，易得EF=，則EC=，
在Rt△DEC中，CD=.
如圖2，易得EF=，則EC=，
在Rt△DEC中，CD=.
故答案為：或
38．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為4的正方形，SD⊥面ABCD，點(diǎn)M、N分別是AD、CD的中點(diǎn)，P為SD上一點(diǎn)，且SD＝3PD＝3，H為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若SH∥面PMN，則SH的最小值為__．
【答案】
【分析】
取為中點(diǎn)，連結(jié)，可證明平面平面，故當(dāng)H在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有SH∥面PMN，由于，故當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，，SH取得最小值，計(jì)算即得解
【詳解】
連接BD,AC交于點(diǎn)O，MN交BD于Q,如圖所示：
四棱錐S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以SD⊥BD；
由點(diǎn)M、N分別是AD、CD的中點(diǎn)，所以MN∥AC；
取為中點(diǎn)，連結(jié)，交BD于E，故,
又SD＝3PD＝3，連接SE，
則＝＝，所以PQ∥SE；
又,故平面平面,
故當(dāng)H在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有SH∥面PMN
由于為中點(diǎn)，故,
當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，,
此時(shí)SH取得最小值為＝＝．
故答案為：
39．如圖，在中，，，是棱的中點(diǎn)，以為折痕把折疊，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為___________.
【答案】
【分析】
由已知求出，當(dāng)，即平面，三棱錐體積最大，再利用模型法求出外接球半徑即得解.
【詳解】
在中，因?yàn)?，?br>由余弦定理可得
，所以，
當(dāng)，即平面，三棱錐體積最大，
此時(shí)??兩兩垂直，可把三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)長方體，
且長方體長?寬?高分別為：，
所以三棱錐的外接球半徑為：
，
所以外接球的表面積為.
故答案為：
40．在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長都是，且平面平面，活動(dòng)彈子分別在正方形對角線上移動(dòng)，若，則長度的最小值為__________．
【答案】
【分析】
的最小值即為兩條異面直線間的距離，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線的公垂向量為，由距離公式可求得答案.
【詳解】
分別是異面直線上的點(diǎn)，的最小值即為兩條異面直線間的距離，
平面平面，，平面平面，平面，
又，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
設(shè)異面直線的公垂向量為，則,
令，則，，
，即的最小值為．
故答案為：
任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-30題
一、單選題
1．已知四面體ABCD的所有棱長均為，M，N分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AB上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：
①線段MN的長度為1；
②若點(diǎn)G為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則無論點(diǎn)F與G如何運(yùn)動(dòng)，直線FG與直線CD都是異面直線；
③的余弦值的取值范圍為；
④周長的最小值為．
其中正確結(jié)論的為（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】D
【分析】
將正四面體ABCD放置于正方體中，由M，N所處位置即可判斷①；取AB，MN，CD中點(diǎn)F，G，E，探討它們的關(guān)系可判斷②；
計(jì)算可判斷③；把正與正展開在同一平面內(nèi)，計(jì)算即可判斷④并作答.
【詳解】
如圖，在棱長為1的正方體上取頂點(diǎn)A，B，C，D，并順次連接即可得四面體ABCD，其棱長均為，
因M，N分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，則M，N恰為正方體相對面的中心，即MN=1，①正確；
取AB的中點(diǎn)F，MN的中點(diǎn)G，CD的中點(diǎn)E，由正方體的結(jié)構(gòu)特征知F，G，E共線，即直線FG與直線CD交于E，②不正確；
中，，，由余弦定理得：
，當(dāng)點(diǎn)F無限接近于點(diǎn)B時(shí)，無限接近于，③不正確；
把四面體ABCD中的正與正展開在同一平面內(nèi)，連接MN，MN必過AB的中點(diǎn)，在AB上任取點(diǎn)，連，如圖，
此時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)重合時(shí)取“=”，則對AB上任意點(diǎn)F，有最小值，
于是得在四面體ABCD中，周長有最小值，④正確，
所以①④為正確的結(jié)論.
故選：D
2．已知三棱錐，其中平面，，，.已知點(diǎn)為棱（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，若光線從點(diǎn)出發(fā)，依次經(jīng)過平面與平面反射后重新回到點(diǎn)，則光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
依題意可知光線所構(gòu)成的平面與平面和平面均垂直，即平面. 問題等價(jià)于：光線從線段（不含端點(diǎn)）上的點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過反射后重新回到點(diǎn)，求光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍. 以為原點(diǎn)，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)（），分別求得關(guān)于的對稱點(diǎn)和關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)幾何光學(xué)知識可得光線經(jīng)過路徑長度為線段的長度，進(jìn)而可求得結(jié)果.
【詳解】
依題意可知光線所構(gòu)成的平面與平面和平面均垂直.
如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平面；因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面平?
所以平面與平面和平面均垂直.
因此，問題等價(jià)于：光線從線段（不含端點(diǎn)）上的點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過反射后重新回到點(diǎn)，求光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍.
以為原點(diǎn)，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.
則，，所以的方程為，即，
設(shè)（）關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
則，解得，即，
關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
根據(jù)幾何光學(xué)知識可得光線經(jīng)過路徑長度為線段的長度.
因?yàn)?，所?
故選：C.
3．如圖，已知銳二面角的大小為，，，，，，，C，D為AB，MN的中點(diǎn)，若，記AN，CD與半平面所成角分別為，，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】
根據(jù)面面角的定義求得，根據(jù)線面角的定義找到，，通過比較的正弦值比較兩角的大小，接著根據(jù)的范圍判斷的大小，根據(jù)線段長度的大小關(guān)系求得的大小關(guān)系.
【詳解】
分別過點(diǎn)和點(diǎn)作，的平行線相交于點(diǎn)，
因?yàn)?，所?所以，
過點(diǎn)作，連接，所以，
所以,,由于，所以，
所以，又因?yàn)槎紴殇J角，
所以，又，所以，則，
所以；
取線段中點(diǎn)為點(diǎn)，又C，D為AB，MN的中點(diǎn)，
所以與平行且相等，所以，
所以CD與半平面所成角為，
顯然，又因?yàn)?，所以?br>故選：A.
4．在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是對角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），有以下四個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)，使得平面平面；
②存在點(diǎn)，使得平面；
③若的周長為L，則L的最小值為；
④若的面積為，則．
則正確的結(jié)論為（ ）
A．①③B．①②③C．①②④D．②④
【答案】B
【分析】
根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質(zhì)定理，可判定②正確；將平面與平面展開到同一平面，由兩點(diǎn)之間線段最短，可判定③正確；由三角形的面積公式，可求得的面積的范圍，可判定④錯(cuò)誤.
【詳解】
解：
連接，設(shè)平面與體對角線交于點(diǎn)，
由，，,
平面，即平面,
平面，平面平面，
存在點(diǎn)，使得平面平面，故①對；
由，平面，平面，
所以平面，同理由可得平面，
又，所以平面平面，
設(shè)平面與交于點(diǎn)M，則平面，
所以平面，故②對；
將平面與平面展開到同一平面，如圖所示
則，
所以的周長為L的最小值為，故③對；
連接交于點(diǎn)O，過O作，

在正方體中，平面，
平面，，
由，
則，即，
此時(shí)面積為，
故④錯(cuò)；
故選：B．
5．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P是正方體棱上一點(diǎn)，若滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4，則d的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先求得正方體的8個(gè)頂點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和，進(jìn)而得到得到在棱上的運(yùn)動(dòng)時(shí)d的取值范圍，然后再根據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4取交集即可.
【詳解】
如圖所示：

因?yàn)轫旤c(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和分別為
所以當(dāng)點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是；
因?yàn)轫旤c(diǎn)，到兩點(diǎn)的距離之和分別為：
，
所以當(dāng)點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是；
因?yàn)轫旤c(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和分別為：
， ， ，，
所以當(dāng)點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是；
當(dāng)點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，
易得，此式可看成點(diǎn)與間的距離，
所以
因?yàn)轫旤c(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和分別為：
，，
所以當(dāng)點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是.
由幾何直觀可知，點(diǎn)在正方體的每一條棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所在的位置與的值是一一對應(yīng)的，
所以當(dāng)?shù)狞c(diǎn)的個(gè)數(shù)為4時(shí)，則的取值范圍是，
故選：C（無答案）
6．在三棱錐中，，點(diǎn)在面上的投影是的垂心，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先根據(jù)題意作出各二面角的平面角，再在每一個(gè)直角三角形中將角用三角函數(shù)表示出達(dá)，然后再通過比較邊長從而達(dá)到比較角的大小的目的.
【詳解】
因?yàn)闉辄c(diǎn)在平面的投影，且為的垂心連接交于點(diǎn)，連接，可知平面，所以，可知，所以在上的投影為，過作，連接.連接交于，連接.
這樣.
又因?yàn)?在中，,可得.
在中，
,
,
，
又因?yàn)樵谥?，，所以，所以?br>所以，所以
而
所以.
所以在中，，
所以在中，，
因?yàn)椋?，所?
由題意，可知平面，所以，
又為的垂心，所以，且，
所以平面，所以，
取的中點(diǎn)，連接、.
由于為正三角形，所以，且，
所以平面，因此，由于為的中點(diǎn)，所以，
又，所以三棱錐為正三棱錐.
在分別，中，，
而，，
從而可知選項(xiàng)C正確.
故選：C.
7．已知正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．存在點(diǎn)，使得直線與直線相交
C．當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成的角為
D．平面截正方體所得的截面是五邊形
【答案】B
【分析】
對A用等體積轉(zhuǎn)換可知其正確；對B用反證法可知其錯(cuò)誤；對C用兩異面直線所成的角可知其正確；對D由作圖可知其正確.
【詳解】
對于選項(xiàng)A：如圖，因?yàn)?，所以A正確；
對于選項(xiàng)B：若存在點(diǎn)，使得直線與直線相交，則，，，四點(diǎn)共面，又平面平面，平面，平面，所以，又，所以，矛盾. 所以B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：取的中點(diǎn)，連接，則，則或其補(bǔ)角 是異面直線與所成的角，連接，易知，連接，，，由余弦定理得，所以直線與直線所成的角為，所以C正確；
對于選項(xiàng)D：過點(diǎn)作的平行線，交線段于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，，則五邊形就是平面截正方體表面所得的截面，所以D正確．
故選：B．
8．如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）
A．的大小不會(huì)發(fā)生變化B．二面角的平面角的大小不會(huì)發(fā)生變化
C．與平面所成的角變大D．與所成的角先變小后變大
【答案】C
【分析】
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，可證明在三角形沿直線折起的過程中，平面，然后用的值分別將各個(gè)選項(xiàng)中的角的相應(yīng)三角函數(shù)表示出來，然后判斷可得答案.
【詳解】
設(shè)等邊三角形的邊長為1，，則
在中，由，則
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則
,所以，
在三角形沿直線折起的過程中，始終滿足.
由平面平面，平面平面，所以平面
由平面,則
在中， ,
所以
所以
所以大小不變，故選項(xiàng)A正確.
過作交于點(diǎn)，由，則
由平面，又平面，則
由,所以平面,
所以為二面角的平面角
在直角中，
所以大小不變，故選項(xiàng)B正確.

由,則，又, 且
所以 平面，又平面,所以
由平面，由平面,則
所以

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
由等體積法可得,即
則
設(shè)與平面所成的角為，則
當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，的值從1變小到0，這一過程中逐漸變大.
所以在這一過程中，變小，則角變小， 故選項(xiàng)C不正確.
由，則 (或其補(bǔ)角)為與所成的角.
由上可知：，則
函數(shù)的對稱軸為
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)從1變到的過程中，變小，當(dāng)從變到0的過程中，變大，
所以選項(xiàng)D正確.
故選：C
9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的踢足球活動(dòng).如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，，，滿足，，則該“鞠”的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
本題實(shí)際上是求四面體外接球的面積問題. 設(shè)出球心，根據(jù)已知條件求出外接球半徑即可.
【詳解】
由已知得△，△均為等邊三角形.如圖所示，
設(shè)球心為，△的中心為，
取的中點(diǎn)，連接，，，，，，
則，，得平面，
且可求得，
而，所以.
在平面中過點(diǎn)作的垂線，與的延長線交于點(diǎn)，
由平面，得，
故平面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則四邊形是矩形.
則，，
，.
設(shè)球的半徑為，，
則由，，
得，，
解得，.
故三棱錐外接球的表面積.
故選：B.
10．已知在中，斜邊，，若將沿斜邊上的中線折起，使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
依題意作出三棱錐的外接球的球心，進(jìn)而通過計(jì)算求得外接球半徑，最終可求得外接球的表面積.
【詳解】
依題意知，△是邊長為1的等邊三角形，設(shè)其外接圓半徑為，由正弦定理易得；
△是腰長為1的等腰三角形，同理可得其外接圓半徑.
在三棱錐中，分別過△和的外心、作它們的垂線，二者交于點(diǎn)，則是三棱錐的外接球的球心.
取的中點(diǎn)為，連接，，由平面平面可知，四邊形為矩形.
在直角△中，，，所以，所以，在直角△中，，
所以.
故三棱錐的外接球的表面積.
故選：A.
11．如圖，在長方體中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則平面與平面所成的銳二面角正切的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
以A為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
用向量法求解即可.
【詳解】
以A為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、、、、其中.
則,.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)x=-1，則，
顯然是面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，
要使平面與平面所成的銳二面角正切的最小，只需平面與平面所成的銳二面角最小，只需平面與平面所成的銳二面角余弦最大.
所以當(dāng)時(shí)，最小，最大.
此時(shí)，
所以.
故選：B
12．已知正方體的棱長為，M，N為體對角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點(diǎn)P的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先通過位置關(guān)系的證明說明在平面內(nèi)，然后根據(jù)已知條件求解出的長度，根據(jù)的長度確定出在平面內(nèi)的軌跡形狀，由此求解出對應(yīng)的軌跡長度.
【詳解】
如圖所示：
連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫危裕?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又平面，平面，
所以平面，所以，
同理可知：，
又因?yàn)槠矫?，平面，?br>所以平面，
根據(jù)題意可知：，所以為正三角形，所以，
所以，設(shè)到平面的距離為，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，所以，
所以即為與平面的交點(diǎn)，由題意可知：平面，所以，
所以，再如下圖所示：
在正三角形中，高，
所以內(nèi)切圓的半徑，且，
取的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接，所以，
所以是以長度為邊長的正三角形，所以的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓，圓的周長為，
在內(nèi)部的軌跡是三段圓弧，每一段圓弧的圓心角為，所以對應(yīng)的軌跡長度是圓周長的一半為，
故選：B.
13．已知半球與圓臺有公共的底面，圓臺上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺側(cè)面積取最大值時(shí)，圓臺母線與底面所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，，作于點(diǎn)，延長交球面于點(diǎn)，則由圓的相交弦定理可得，從而可求得，進(jìn)而可表示出圓臺的側(cè)面積，求出其最大值，從而可得的值，然后在求出圓臺母線與底面所成角的余弦值即可
【詳解】
如圖1所示，設(shè)，，作于點(diǎn)，延長交球面于點(diǎn)，則，，由圓的相交弦定理及圖2得，即，解得，
則圓臺側(cè)面積，
則，令，則或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．
當(dāng)時(shí)，，則．
在軸截面中，為圓臺母線與底面所成的角，在中可得，
故選：D．
14．如圖，等腰直角中，，點(diǎn)為平面外一動(dòng)點(diǎn)，滿足，，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)，使得平面平面；
②存在點(diǎn)，使得平面平面；
③設(shè)的面積為，則的取值范圍是；
④設(shè)二面角的大小為，則的取值范圍是.
其中正確結(jié)論是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】
①當(dāng)時(shí)，結(jié)合條件，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判斷；②取AP的中點(diǎn)M，根據(jù)，得到，利用反證法判斷；③由AP=4，AC=2，得到，由點(diǎn)P在平面上的極限位置判斷；④根據(jù)，由點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí) ，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，根據(jù)，由判斷.
【詳解】
如圖所示：
①當(dāng)時(shí)，又，所以平面ABC，所以，又，所以平面PBC，又平面PAC，所以平面平面，故正確；
②取AP的中點(diǎn)M，連接BM，CM，因?yàn)椋?，假設(shè)平面平面，則平面PAC，則，而BM=BC=2，，不成立，故錯(cuò)誤；
③因?yàn)锳P=4，AC=2，所以，當(dāng)點(diǎn)P在平面上，且C，P在A，B的異側(cè) ，當(dāng)C，P在A，B的同側(cè)時(shí)，A，C，P共線， ，因?yàn)辄c(diǎn)為平面外，則的取值范圍是，故錯(cuò)誤；
④因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí) ，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，因?yàn)椋瑒t，所以，所以的取值范圍是，故正確.
故選：B
15．已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個(gè)半圓面所在的平面垂直，折到點(diǎn)位置，如圖2．設(shè)直線與直線OC所成的角為，則（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】
根據(jù)圓的性質(zhì)知，過D作于，連接CE、AC，設(shè)圓的半徑為，有，利用余弦定理、線面垂直的性質(zhì)證，結(jié)合勾股定理判斷是否為直角；再過作交于，則F為中點(diǎn)，連接，即直線與直線OC所成的角為，過F作于，連接，利用勾股定理及余弦定理求，即可比較與60°的大小.
【詳解】
圖1中過D作于，連接CE、AC，設(shè)圓的半徑為，
由，則且，
∴在△中，，而，
∵圖2中兩個(gè)半圓面所在的平面垂直，它們交線為AB，且面，
∴面，面，則，
∴在Rt△中，，而
∴，故，
過作交于，則F為中點(diǎn)，連接，即直線與直線OC所成的角為，，，
過F作于，連接，且面面，面，
∴面，面，則，
而在圖1中，，，，在△中，，
∴圖2，在Rt△中，，則在△中，，
∴.
故選：C
二、多選題
16．如圖，底面ABCD為邊長是4的正方形，半圓面底面ABCD．點(diǎn)P為半圓弧(不含A，D點(diǎn))一動(dòng)點(diǎn)．下列說法正確的是（ ）
A．三梭錐P—ABD的每個(gè)側(cè)面三角形都是直角三角形
B．三棱錐P—ABD體積的最大值為
C．三棱錐P—ABD外接球的表面積為定值
D．直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為
【答案】AC
【分析】
對于A，根據(jù)面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得，由平面幾何知識可證得，，，由此可判斷；
對于B，當(dāng)點(diǎn)P是半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P—ABD的底面積取得最大值，由棱錐的體積公式計(jì)算可判斷；
對于C，取BD的中點(diǎn)O，則有點(diǎn)O為三棱錐P—ABD外接球的球心，由球的表面積公式計(jì)算可判斷；
對于D，過點(diǎn)P作于，連接HB，則有就是直線PB與平面ABCD所成的角的平面角，設(shè)，表示，令，由基本不等式可求得，由此可判斷.
【詳解】
解：對于A，因?yàn)榈酌鍭BCD為邊長是4的正方形，所以，
又半圓面底面ABCD，半圓面底面，所以半圓面，所以，所以是直角三角形，，
因?yàn)锳D是圓的直徑，所以，所以是直角三角形，；
因?yàn)?，所以是直角三角形，?br>所以在中有，所以，所以是直角三角形，所以三棱錐P—ABD的每個(gè)側(cè)面三角形都是直角三角形，故A正確；
對于B，在三棱錐P—ABD中，半圓面，所以AB是三棱錐P—ABD的高，當(dāng)點(diǎn)P是半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P—ABD的底面積取得最大值，三棱錐P—ABD的體積取得最大值，故B不正確；
對于C，取BD的中點(diǎn)O，由A選項(xiàng)的解析得，所以點(diǎn)O為三棱錐P—ABD外接球的球心，所以三棱錐P—ABD外接球的表面積為，故C正確；
對于D，過點(diǎn)P作于，連接HB，
又半圓面底面ABCD，半圓面底面，所以面，
所以BH就是PB在面內(nèi)的射影，所以就是直線PB與平面ABCD所成的角的平面角，
設(shè)，則，，所以在直角三角形中，，，
所以，
所以，
令，則，且，所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足）時(shí)，取等號，
所以，所以，
所以，即直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為，故D不正確，
故選：AC.

17．已知正方體的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)，則（ ）
A．若，則三棱錐的的外接球表面積為
B．若平面，則不可能垂直
C．若平面，則點(diǎn)的位置唯一
D．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則三棱錐的體積是三棱錐體積的一半
【答案】CD
【分析】
根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系并得出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，其中，由，可知，設(shè)三棱錐的的外接球的球心為，根據(jù)球心到球上各點(diǎn)距離相等以及空間兩點(diǎn)間的距離公式，可求出球心的坐標(biāo)，再利用球的表面積公式進(jìn)行計(jì)算即可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量求法向量的方法求出平面的法向量，有條件得出，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得出，進(jìn)而求出，可知當(dāng)時(shí)，從而可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)平面，得出，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求出和的值，即可判斷C選項(xiàng)；利用三棱錐體積公式和等體積法分別求出和，結(jié)合條件即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】
解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：
則，
由于動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)，可設(shè)，其中，
對于A選項(xiàng)，由于，則為的中點(diǎn)，此時(shí)，
設(shè)三棱錐的的外接球的球心為，
則，即，
解得：，所以，
則三棱錐的的外接球的半徑為，
所以三棱錐的的外接球表面積為，故A不正確；
對于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，
則，令，得，故，
而，若平面，則，
則，即，所以，
此時(shí)，而，
所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，故B不正確；
對于C選項(xiàng)，若平面，則，
由于，，
則，解得：或（舍去），
此時(shí)，即點(diǎn)的位置唯一，使得平面，故C正確；
對于D選項(xiàng)，點(diǎn)為中點(diǎn)，由正方體可知平面，
三棱錐的體積為：，
由于在正方形內(nèi)，則到平面為，
三棱錐體積為：，
而，所以，
所以三棱錐的體積是三棱錐體積的一半，故D正確.
故選：CD.
18．為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確（ ）
A．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)的球的截面圓的面積為
B．異面直線與所成的角的余弦值為
C．多面體的體積為
D．球離球托底面的最小距離為
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)球的體積，應(yīng)用球體體積公式求其半徑，A由已知條件求過A、B、C的截面圓半徑，進(jìn)而求其面積即可；B過作且，找到異面直線的所成角，應(yīng)用余弦定理求余弦值；C將多面體補(bǔ)全為三棱柱，可知多面體為三棱柱去掉三個(gè)三棱錐，應(yīng)用棱柱、棱錐的體積公式求體積即可；D由球體縱向軸截面求球心到過A、B、C所在截面圓的距離，進(jìn)而求球離球托底面的最小距離.
【詳解】
設(shè)球的半徑為，則，解得，
A：經(jīng)過A、B、C的球的截面圓，如下圖即為等邊△的外接圓，若其半徑為，則，所以面積為，故錯(cuò)誤；
B：如下圖，過作且，則為異面直線與所成角，且△△，為中點(diǎn)，
∴，故，故正確；
C：將幾何體補(bǔ)全為直三棱柱，如下圖示，
∴多面體的體積為直三棱柱體積減去三個(gè)相同的三棱錐，
∴由下圖知：，故正確.
D：如下圖為球體縱向軸截面，為球面上過A、B、C的截面圓直徑，則，
∴球離球托底面的最小距離為，故正確.
故選：BCD
19．已知邊長為的菱形中，，將沿翻折，下列說法正確的是（ ）
A．在翻折的過程中，直線，始終不可能垂直
B．在翻折的過程中，三棱錐體積最大值為
C．在翻折過程中，三棱錐表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球表面積為
D．在翻折的過程中，點(diǎn)在面上的投影為，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值為
【答案】BC
【分析】
直接利用平面圖形翻折問題的應(yīng)用，結(jié)合面面垂直、體積公式、異面直線的夾角逐項(xiàng)判斷.
【詳解】
如圖，
在翻折過程中構(gòu)成四面體D-ABC，和是正三角形，取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，
A.BO=DO=，則在翻折過程中，BD的范圍是，當(dāng)時(shí)，四面體D-ABC是正四面體，則，故錯(cuò)誤；
B. 三棱錐的底面積為，因?yàn)椋?平面，
又 平面，則平面平面BOD，
過D作，平面平面BOD=BO，則平面ABC，
又， 當(dāng)且僅當(dāng)與O重合時(shí)，等號成立，
所以體積最大值為，故正確；
C.三棱錐中，，而，
所以三棱錐表面積為：，
而在翻折過程中，的范圍是，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此三棱錐表面積的最大值為，
此時(shí)，，等腰的底邊BD上的高為，則，
所以，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則，
當(dāng)三棱錐表面積取最大值時(shí)， ，
此時(shí)內(nèi)切球的表面積為，故正確；
D.在翻折的過程中，點(diǎn)無限接近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)也無限接近點(diǎn)B，而E為棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，E接近于點(diǎn)D時(shí)，接近于0，故錯(cuò)誤；
故選：BC
20．如圖，是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板組成的三角形，，.現(xiàn)將沿斜邊翻折成△不在平面內(nèi)）.若，分別為和的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．與不可能垂直
C．二面角正切值的最大值為
D．直線與所成角的取值范圍為
【答案】AD
【分析】
對于A，由題得，從而判斷平面；對于B，由，則，當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)滿足平面；對于C，作出二面角的平面角，設(shè)，所以，求得最值；對于D，作，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，從而求得與所成角的最大值和最小值.
【詳解】
對于A選項(xiàng)：由，分別為和的中點(diǎn)，則，由平面，平面，
所以平面，故A正確；
對于B選項(xiàng)：由，則，當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)滿足平面，因此，所以B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)：如圖，取的中點(diǎn)O，連接DO并延長到E，使DO=OE,
作于，作于，連接，
所以，為二面角的平面角，
設(shè)，，
所以，所以C錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)：如圖，作，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，
所以與夾角為，與夾角為，又不在平面內(nèi)，
，，
所以與所成角的取值范圍，所以D正確，
故選：AD.
21．已知邊長為的菱形中，，將沿翻折，下列說法正確的是（ ）
A．在翻折的過程中，直線，可能相互垂直
B．在翻折的過程中，三棱錐體積最大值為
C．在翻折的過程中，三棱錐表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球表面積為
D．在翻折的過程中，點(diǎn)在面上的投影為，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值為
【答案】ABC
【分析】
直接利用平面圖形翻折問題的應(yīng)用，結(jié)合面面垂直、體積公式、異面直線夾角逐一判斷各選項(xiàng)即可作答.
【詳解】
如圖，在翻折過程中構(gòu)成四面體，和是正三角形，取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，
對于A，，則在翻折過程中，BD的范圍是，當(dāng)時(shí)，是正四面體，此時(shí)，則A正確；
對于B，三棱錐的底面積是定值，因，，則平面BOD，
平面ABC，則平面平面BOD，過D作直線BO于，而平面平面，
于是得平面ABC，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)O重合時(shí)取“=”，
因此，，B正確；
對于C，三棱錐中，，而，即三棱錐的表面積，
而在翻折過程中，的范圍是，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
因此得三棱錐的表面積的最大值為，此時(shí)，
等腰的底邊BD上的高，，
從而得，設(shè)三棱錐內(nèi)切球半徑為r，
由得取最大值時(shí)的，此球的表面積為，C正確；
對于D，在翻折過程中，當(dāng)點(diǎn)D無限接近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)也無限接近點(diǎn)B，而E為棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，E接近于點(diǎn)D時(shí)，接近于0，D不正確.
故選：ABC
22．已知正方體的棱長為2，是底面的中心，是棱上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），則（ ）
A．平面截正方體所得截面一定是梯形
B．存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為
C．存在點(diǎn)，使得與相交
D．當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體外接球所得截面圓的面積
【答案】ABD
【分析】
對于A選項(xiàng)，連接，，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，進(jìn)而得四邊形就是平面截正方體所得的截面，即可判斷；對于B選項(xiàng)，連接，在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，故，即可判斷；對于C選項(xiàng)，根據(jù)異面直線的定義容易判斷；對于D選項(xiàng)，設(shè)平面的中心為，連接，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，再根據(jù)幾何關(guān)系求解平面截正方體外接球所得截面圓的半徑即可.
【詳解】
如圖1，連接，，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，易知與平行且不相等，連接，則四邊形就是平面截正方體所得的截面，由，可得，四邊形為梯形，A正確；

如圖2，連接，在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，則平面，所以，所以存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，所以B正確；
因?yàn)槭瞧矫嫱庖稽c(diǎn)，在平面內(nèi)，直線平面，且直線，所以與一定異面，C錯(cuò)誤；
如圖3，設(shè)平面的中心為，連接，則的中點(diǎn)就是正方體外接球的球心，連接，當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，易知為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)?，，所以平面，所以，又，所以平面，易知，所以，又正方體外接球的直徑為，所以平面截正方體外接球所得截面圓的半徑，故所得截面圓的面積為，所以D正確．
故選:ABD．
23．在四面體中，，，直線，所成的角為60°，，，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】
直線，所成的角為60°，則△分頂角為的等腰三角形、等邊三角形兩種情況，過作且，連接、、，且與交于O點(diǎn)，易證面，進(jìn)而得到面面，根據(jù)矩形、等邊或等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合四面體的外接球球心、半徑與兩個(gè)垂直平面外接圓圓心、半徑的關(guān)系，即可求外接球半徑，進(jìn)而求表面積.
【詳解】
當(dāng)四面體如下圖示，
過作且，連接、、，且與交于O點(diǎn)，則△為等邊三角形，為矩形且O點(diǎn)為外接圓圓心，即，又，，
∴面，面，則面面，
過為中點(diǎn)，連接、，若為面外接圓圓心，為四面體的外接球球心，則，，有，如下圖示，
∴四面體的外接球半徑，則外接球表面積為.
當(dāng)四面體如下圖示，
過作且，連接、、，且與交于O點(diǎn)，則△為等腰三角形，為矩形且O點(diǎn)為外接圓圓心，即，又，，
∴面，面，則面面，
過為中點(diǎn)，連接，若為面外接圓圓心，為四面體的外接球球心，則，，如下圖示，
∴四面體的外接球半徑，則外接球表面積為.
故選：CD
第II卷（非選擇題）
三、填空題
24．已知一正三棱錐的體積為，設(shè)其側(cè)面與底面所成銳二面角為，則當(dāng)?shù)扔赺_____時(shí)，側(cè)面積最小．
【答案】
【分析】
畫出正三棱錐，設(shè)底面邊長為，高為，結(jié)合體積公式列出關(guān)系式，三角函數(shù)表示出，面積公式表示出側(cè)面積，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【詳解】
如圖：設(shè)正三棱錐底面邊長為，高為，在底面投影為，則，化簡得，由二面角定義可知，應(yīng)為側(cè)面與底面所成銳二面角的平面角，，即，，
側(cè)面積為：，結(jié)合得，代入側(cè)面積公式得，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單減，時(shí)，，單增，故，此時(shí)側(cè)面積有最小值，即，，此時(shí).
故答案為：
25．球面幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等面都有廣泛的應(yīng)用，如圖，A，B，C是球面上不同的大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的圖形稱為球面．已知地球半徑為R，北極為點(diǎn)N，P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)若P，Q在赤道上，且，則球面的面積為________；若，則球面的面積為________．
【答案】
【分析】
先證明“如果確定球面三角形的三個(gè)大圓所成的二面角分別為，則球面三角形的面積為，其中為球的半徑”，再根據(jù)題設(shè)條件求出二面角的大小，從而可求球面面積的大小.
【詳解】
現(xiàn)證明一個(gè)結(jié)論：如果確定球面三角形的三個(gè)大圓所成的二面角分別為，則球面三角形的面積為，其中為球的半徑.
證明：如圖，設(shè)為關(guān)于球心的對稱點(diǎn)，則均為球面上的點(diǎn)，
且均為直徑，我們用表示球面三角形的面積.
設(shè)，，，
則，
同理，.
所以，
而，
故，
又，
故.
若P，Q在赤道上，因?yàn)闉闃O點(diǎn)且，故，
故確定球面三角形的三個(gè)大圓所成的二面角均為，故球面面積為.
若，則，
同理.
過作的垂線，垂足為，連接，則，
因?yàn)?，故?br>故，而，故，
故且
故，而為三角形內(nèi)角，
故，故的大小為，
故根據(jù)對稱性可知確定球面三角形的三個(gè)大圓所成的二面角均為，
故球面三角形的面積為.
故答案為：，.
26．如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，將沿直線折成，使得二面角的平面角為銳角，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn))，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，在底面內(nèi)的射影面積為___________.
【答案】
【分析】
如圖，設(shè)二面角的平面角，則由已知條件可得，所以為鈍角，所以，即直線與平面所成角最大時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，然后求出直線與平面所成角的正弦值，利用基本不等式求出其最大值，即可得，從而可求出在底面內(nèi)的射影面積
【詳解】
解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，則由題意可知，則是二面角的平面角，
因?yàn)椋栽谄矫嫔系耐队霸谏?，記?br>設(shè)二面角的平面角，則
，
所以，即，
所以為鈍角，所以，即直線與平面所成角最大時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
因?yàn)樵诰匦沃?，是邊的中點(diǎn)，
所以均為等腰直角三角形，,
所以,即，
所以到平面的距離為，
所以此時(shí)直線與平面所成角的正弦值為
，
令，則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，即，此時(shí)，
所以在底面內(nèi)的射影面積為，
故答案為：
27．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，與底面成角，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值是________.
【答案】
【分析】
作，再由，易得，從而平面ABE，由面面垂直的判定定理得到平面ABE平面BCD，得到與底面成的角為,然后在中，設(shè) ，BA與BP的夾角為，利用余弦定理得，根據(jù)直線與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，得到，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解.
【詳解】
如圖所示：
作，垂足為E，連接BE，
因?yàn)?
所以平面ACD，則，又，
所以平面ABE，又平面BCD，
所以平面ABE平面BCD，
所以點(diǎn)A的射影在直線BE上，
所以與底面成的角為,
在中，設(shè) ，BA與BP的夾角為，
由余弦定理得，
兩邊同除以得 ，
因?yàn)橹本€與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，
所以 ，
所以，當(dāng)點(diǎn)在BE上取等號，
又因?yàn)?，所以，
當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在E處，取得最小值，
所以的最小值是，
故答案為；
28．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，若，，則的最小值為_________．
【答案】．
【分析】
由已知求得F的軌跡，再由CE⊥BG分析得到，G的軌跡，然后數(shù)形結(jié)合即可求得|FG|的最小值．
【詳解】
如圖，取A1D1的中點(diǎn)O，連接EO，F(xiàn)O，
則EO⊥平面A1B1C1D1，連接OE，由，OE＝2，
可得OF＝1，則F在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，
取CD中點(diǎn)K，連接BK，在正方形ABCD中，
由E為AD的中點(diǎn)，K為CD的中點(diǎn)，
可得CE⊥BK，取C1D1的中點(diǎn)H，連接KH，B1H，
由BB1∥KH，BB1＝KH，得四邊形BB1HK為平行四邊形，則BK∥B1H，得G在線段B1H上．
過O作OG⊥B1H，交半圓弧于F，則|FG|為要求的最小值．
由已知可得，設(shè)|OG|＝h，
由等面積法可得，，
可得h，∴|FG|的最小值為．
故答案為:．
29．在棱長為的正方體中，過對角線的一個(gè)平面交于，交于，得四邊形，給出下列結(jié)論：
①四邊形有可能為梯形；
②四邊形有可能為菱形；
③四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形；
④四邊形有可能垂直于平面；
⑤四邊形面積的最小值為.
其中正確結(jié)論的序號是_____________
【答案】②③④⑤
【分析】
利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷①的正誤；取、分別為、的中點(diǎn)，結(jié)合①可判斷②的正誤；利用正投影的概念可判斷③的正誤；取、分別為、的中點(diǎn)，利用面面垂直的判定定理可判斷④的正誤；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出四邊形面積的最小值，可判斷⑤的正誤.
【詳解】
對于①，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>平面平面，所以，，同理可得，
所以，四邊形為平行四邊形，①錯(cuò)誤；
對于②，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，同理可得，
又因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，此時(shí)，四邊形為菱形，②正確；
對于③，四邊形在底面內(nèi)的投影為正方形，③正確；
對于④，連接、、、、，
在正方體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，
且，所以，四邊形為平行四邊形，，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，
平面，平面，，
，平面，則平面，
因?yàn)槠矫?，此時(shí)，平面平面，④正確；
對于⑤，取線段的中點(diǎn)，設(shè)，其中，則，，
由勾股定理可得，
，
由余弦定理可得，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；
當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理可知，四邊形面積的最小值為.
綜上可知，⑤正確.
故答案為：②③④⑤.
30．在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面把正方體截成兩部分，則截面的周長為________.
【答案】
【分析】
首先通過線面之間的平行關(guān)系，畫出過點(diǎn)A，E，F(xiàn)和正方體的截面五邊形，再利用平行線相交的應(yīng)用和成比例問題的應(yīng)用，求出截面五邊形的邊長，進(jìn)而求得周長得解.
【詳解】
通過線面之間的平行關(guān)系，畫出過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的截面五邊形，如圖所示
如圖，過點(diǎn)作交于H，易知，故點(diǎn)H為的4等分點(diǎn)，
在直角中，，，由勾股定理知
在直角中，，，由勾股定理知
連接AH，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)P，則
，即，解得，
在直角中，，，由勾股定理知．
在直角中，，，由勾股定理知．
在直角中，，，由勾股定理知．
所以截面五邊形的周長為
故答案為：.

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題25 圓錐曲線壓軸小題必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題25 圓錐曲線壓軸小題必刷100題（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題25圓錐曲線壓軸小題必刷100題原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題25圓錐曲線壓軸小題必刷100題解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共131頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題23 概率統(tǒng)計(jì)綜合大題必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題23 概率統(tǒng)計(jì)綜合大題必刷100題（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題23概率統(tǒng)計(jì)綜合大題必刷100題原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題23概率統(tǒng)計(jì)綜合大題必刷100題解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共221頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題21 排列組合與概率必刷小題100題（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題21 排列組合與概率必刷小題100題（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題21排列組合與概率必刷小題100題原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題21排列組合與概率必刷小題100題解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共37頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題20 立體幾何綜合大題必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題20 立體幾何綜合大題必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題14 數(shù)列求和綜合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題14 數(shù)列求和綜合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題13 數(shù)列的性質(zhì)必刷小題100題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題13 數(shù)列的性質(zhì)必刷小題100題（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題04 函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)百題刷過關(guān)專題04 函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部