知識(shí)梳理.數(shù)量積
1．向量的夾角
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．
(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.
(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．
2．平面向量的數(shù)量積
3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
題型一. 基本公式
1．若非零向量、滿足且，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵非零向量、滿足，且，設(shè)與的夾角為θ，θ∈[0，π]，
∴（2）?2?0，即2?，∴2||?||?csθ，
求得csθ，∴θ，
故選：C．
2．已知非零向量，夾角為45°，且||＝2，||＝2．則||等于（ ）
A．2B．2C．D．
【解答】解：非零向量，夾角為45°，且||＝2，||＝2．
可得4，
4﹣2||+||2＝4
則||＝2．
故選：A．
3．已知向量，及實(shí)數(shù)t滿足|t|＝3．若?2，則t的最大值是 ．
【解答】解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|t|＝3，?2，
兩邊平方可得（t）2＝9，
即為2+t22+2t?9，
即有2+t22＝9﹣4t，
由2+t22≥2t||?||≥2t?4t，
當(dāng)且僅當(dāng)，同向時(shí)，取得等號(hào)．
由9﹣4t≥4t，解得t．
即有t的最大值為．
故答案為：．
題型二. 幾何意義——投影
1．設(shè)向量，是夾角為的單位向量，若3，，則向量在方向的投影為（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：∵向量，是夾角為的單位向量，
∴1，．
3，
∴．
∴向量在方向的投影為．
故選：A．
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則 18 ．
【解答】解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AC＝2AO
∵AP⊥BD，AP＝3，
在Rt△APO中，AOcs∠OAP＝AP＝3
∴||cs∠OAP＝2||×cs∠OAP＝2||＝6，
由向量的數(shù)量積的定義可知，||||cs∠PAO＝3×6＝18
故答案為：18
3．如圖，A是半徑為5的圓O上的一個(gè)定點(diǎn)，單位向量在A點(diǎn)處與圓O相切，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合，則?的取值范圍是 [﹣5，5] ．
【解答】解：如圖所示：設(shè)∠PAB＝θ，作OM⊥AP，則∠AOM＝θ，
∴sinθ，AM＝5sinθ，AP＝2AM＝10sinθ．
∴10sinθ×1×csθ＝5sin2θ∈[﹣5，5]，
故答案為：[﹣5，5]．
題型三. 轉(zhuǎn)換基底
1．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，2，||＝1，則?（ ）
A．2B．C．D．﹣2
【解答】解：在△ABC中，AD⊥AB，2，||＝1，
則?（）?
＝0+2?2（）?
＝222?1﹣0＝2，
故選：A．
2．已知向量與的夾角為120°，且，，若且，則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：向量與的夾角為120°，且，，
可得?3×2×cs120°＝﹣3，
若且，
則?（λ）?（）2﹣λ2+（λ﹣1）?
＝4﹣9λ﹣3（λ﹣1）＝0，
解得λ．
故選：C．
3．如圖，P為△AOB所在平面內(nèi)一點(diǎn)，向量，，且點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，向量．若||＝3，||＝2，則的值為 ．

【解答】解：設(shè)線段AB的垂直平分線為PH，H為垂足，
則
，
則（）?（）
（）
（32﹣22）+0．
故答案為：．
題型四. 數(shù)量積運(yùn)算律求最值
1．向量的夾角為120°，，，則的最大值為（ ）
A．B．2C．D．4
【解答】解：|2|≤|2|+||，計(jì)算：|2|22+42+4||2+4||2+4||?||csθ＝1+4﹣43，
∴|2|，|2|≤|2|+||＝2，當(dāng)且僅當(dāng)||2|＝||時(shí)取等號(hào)．
故的最大值為2，
故選：C．
2．已知向量，滿足||＝5，||＝1且|4|，則?的最小值為 ．
【解答】解：∵|4|，
∴81621，
即25﹣816≤21，
∴．
故答案為：．
3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是 [1，4） ．
【解答】解：由已知有：||＝||，，，（0≤λ≤1），
則（））＝（）（）＝﹣3，
所以，
因?yàn)?≤λ≤1，∴∈[1，10]，
因?yàn)?，其中為與的夾角，θ∈（0，π），
因?yàn)閏sθ∈（﹣1，1），所以2×2csθ＝4csθ∈（﹣4，4），
又，所以．
故答案為：[1，4）．
題型五.數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算
1．已知向量（2，1），（1，﹣1），（m﹣2，﹣n），其中m，n均為正數(shù)，且（）∥，下列說法正確的是（ ）
A．與的夾角為鈍角
B．向量在方向上的投影為
C．2m+n＝4
D．mn的最大值為2
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，向量（2，1），（1，﹣1），則?2﹣1＝1＞0，則、的夾角為銳角，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，向量（2，1），（1，﹣1），則向量a在b方向上的投影為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，向量（2，1），（1，﹣1），則（1，2），若（）∥，則（﹣n）＝2（m﹣2），變形可得2m+n＝4，C正確；
對(duì)于D，由C的結(jié)論，2m+n＝4，而m，n均為正數(shù)，則有mn（2m?n）（）2＝2，即mn的最大值為2，D正確；
故選：CD．
2．如圖，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值是 ．
【解答】解：∵，
||，
∴||＝1，||1，
∴（）（）22，
故答案為：
3．已知邊長為2的菱形ABCD中，點(diǎn)F為BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E滿足2，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由題意知：，
設(shè)∠DAB＝θ，
所以（）?（）24csθ﹣4csθ，
所以csθ，
又θ∈（0，π），
所以，
以AC與BD交點(diǎn)為原點(diǎn)，AC為x軸，BD為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
所以A（，0），C（，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（），
設(shè)F（0，t），
則（，t），（，t），
所以2+t（t）＝t2（t）2，
當(dāng)t時(shí)，取最小值，
故選：D．
題型六. 極化恒等式
1．設(shè)向量，滿足||，||，則（ ）
A．﹣1B．1C．4D．﹣4
【解答】解：∵||，∴（）2＝10，∴2?10 ①，
∵||，∴（）2＝6，∴2?6 ②，
①﹣②得 4?4，∴?1．
故選：B．
2．如圖，△ABC是邊長為的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是 [1，13] ．
【解答】解：∵2，∠ACB＝60°
∴?2?2cs60°＝6
∵，
∴（）（）?（）2
∵1
∴?6（）+1＝7（）
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴向量是與AB垂直且方向向上，長度為6的一個(gè)向量
由此可得，點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與共線同向時(shí)，（）取最大值，且這個(gè)最大值為6
當(dāng)與共線反向時(shí)，（）取最小值，且這個(gè)最小值為﹣6
故的最大值為7+6＝13，最小值為7﹣6＝1．即的取值范圍是[1，13]
故答案為：[1，13]
3．已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．﹣3B．﹣6C．﹣2D．
【解答】解：以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），
設(shè)P（x，y），則（﹣x，2y），（﹣2﹣x，﹣y），（2﹣x，﹣y），
所以則的最＝﹣x?（﹣2x）+（2y）?（﹣2y）＝2x2﹣4y+2y2
＝2[x2+2（y）2﹣3]；
所以當(dāng)x＝0，y時(shí)，取得最小值為2×（﹣3）＝﹣6，
故選：B．
課后作業(yè). 數(shù)量積
1．已知向量、滿足，，，則與夾角為（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【解答】解：，，
∴，
∴，
∴，即4，
∴，
∴，且，
∴．
故選：B．
2．已知△ABC滿足，則△ABC的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【解答】解：根據(jù)2?得到：c2＝2bccsA，
由正弦定理2R，可得sin2C＝2sinBsinCcsA，
又C為三角形的內(nèi)角，得到sinC≠0，
可得sinC＝2sinBcsA，
又sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），
∴sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB＝2sinBcsA，即sinAcsB﹣csAsinB＝0，
∴sin（A﹣B）＝0，且A和B都為三角形的內(nèi)角，
∴A＝B，
則△ABC的形狀為等腰三角形．
故選：D．
3．已知向量，||＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|t|≥||，則（ ）
A．⊥B．⊥（）
C．⊥（）D．（）⊥（）
【解答】解：已知向量 ，||＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|t|≥||
即|t|2≥||2∴
即
故選：C．
4．如圖，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則（ ）
A．34B．28C．﹣16D．﹣22
【解答】解：∵，且AM＝3，BC＝10，
∴||＝3，||＝||＝5，
∴25，0，
∴（）?（）
＝9﹣25
＝﹣16．
故選：C．
5．如圖，在△ABC中，，，P為CD上一點(diǎn)，且滿足，若AC＝3，AB＝4，則的值為（ ）
A．﹣3B．C．D．
【解答】解：∵2，∴，
∵∥，∴k，即k（），又∵，
則（m﹣1）k（），∴，∴k，m，
則??（）＝（）?（）22?4×3cs，
故選：C．
6．如圖，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值是 ．
【解答】解：∵，
||，
∴||＝1，||1，
∴（）（）22，
故答案為：
7．已知均為單位向量，且．若，則的取值范圍是（ ）
A．B．[3，5]C．[3，4]D．
【解答】解：∵均為單位向量，且．
∴設(shè)，再設(shè)，
代入，得．
即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距離和為5，
∴的終點(diǎn)軌跡是點(diǎn)（4，0）和（0，3）之間的線段，
，表示M（﹣1，0）到線段AB上點(diǎn)的距離，
最小值是點(diǎn)（﹣1，0）到直線3x+4y﹣12＝0的距離．
∴．
最大值為|MA|＝5．
∴的取值范圍是[3，5]．
故選：B．
8．已知在直角三角形ABC中，A為直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC邊上的高，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（ ）
A．[﹣1，0]B．C．D．
【解答】解：如圖，
由AB＝1，BC＝2，可得AC，
以AB所在直線為x軸，以AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則B（1，0），C（0，），直線BC方程為x1則直線AM方程為yx，
聯(lián)立，解得：M（，），
由圖可知，當(dāng)P在線段BC上時(shí)，?有最大值為0，
當(dāng)P在線段AC上時(shí)，?有最小值，設(shè)P（0，y）（0≤y），
∴?（，）（﹣1，y）y．
∴?的范圍是[，0]．
故選：D．
9．在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足||＝||＝||＝2，???0，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足||＝1，，則||2的最大值為 ．
【解答】解：平面內(nèi)，||＝||＝||＝2，???0，
∴⊥，⊥，⊥，
可設(shè)D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，），
∵動(dòng)點(diǎn)P，M滿足||＝1，，
可設(shè)P（2+csθ，sinθ），M（，），
∴（，），
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ）＝1時(shí)取等號(hào)，
∴||2的最大值為．
故答案為：．
定義
設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cs_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘積
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夾角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充
要條件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0

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