專題09 數(shù)量積題型歸納講義-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題九《平面向量》講義
9.2 數(shù)量積
知識梳理.數(shù)量積
1．向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．
(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.
(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．
2．平面向量的數(shù)量積
定義
設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cos_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積
3.向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
模
|a|＝
|a|＝
夾角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要條件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
題型一.基本公式
1．若非零向量a→、b→滿足|a→|=|b→|且(2a→+b→)⊥b→，則a→與b→的夾角為（　　）
A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6
【解答】解：∵非零向量a→、b→滿足|a→|=|b→|，且(2a→+b→)⊥b→，設(shè)a→與b→的夾角為θ，θ∈[0，π]，
∴（2a→+b→）?b→=2a→?b→+b→2=0，即2a→?b→=-b→2，∴2|a→|?|a→|?cosθ=-|a→|2，
求得cosθ=-12，∴θ=2π3，
故選：C．
2．已知非零向量a→，b→夾角為45°，且|a→|＝2，|a→-b→|＝2．則|b→|等于（　　）
A．22 B．2 C．3 D．2
【解答】解：非零向量a→，b→夾角為45°，且|a→|＝2，|a→-b→|＝2．
可得a→2-2a→?b→+b→2=4，
4﹣22|b→|+|b→|2＝4
則|b→|＝22．
故選：A．
3．已知向量a→，b→及實數(shù)t滿足|a→+tb→|＝3．若a→?b→=2，則t的最大值是　98?。?br /> 【解答】解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|a→+tb→|＝3，a→?b→=2，
兩邊平方可得（a→+tb→）2＝9，
即為a→2+t2b→2+2ta→?b→=9，
即有a→2+t2b→2＝9﹣4t，
由a→2+t2b→2≥2t|a→|?|b→|≥2ta→?b→=4t，
當(dāng)且僅當(dāng)a→，b→同向時，取得等號．
由9﹣4t≥4t，解得t≤98．
即有t的最大值為98．
故答案為：98．

題型二.幾何意義——投影
1．設(shè)向量e1→，e2→是夾角為2π3的單位向量，若a→=3e1→，b→=e1→-e2→，則向量b→在a→方向的投影為（　?。?br /> A．32 B．12 C．-12 D．1
【解答】解：∵向量e1→，e2→是夾角為2π3的單位向量，
∴|e1→|=|e2→|=1，e1→?e2→=1×1×cos2π3=-12．
|a→|=|3e1→|=3，
∴a→?b→=3e1→?(e1→-e2→)=3e1→2-3e1→?e2→=3-3×(-12)=92．
∴向量b→在a→方向的投影為b→?a→|a→|=923=32．
故選：A．
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則AP→?AC→=　18?。?br />
【解答】解：設(shè)AC與BD交于點O，則AC＝2AO
∵AP⊥BD，AP＝3，
在Rt△APO中，AOcos∠OAP＝AP＝3
∴|AC→|cos∠OAP＝2|AO→|×cos∠OAP＝2|AP→|＝6，
由向量的數(shù)量積的定義可知，AP→?AC→=|AP→||AC→|cos∠PAO＝3×6＝18
故答案為：18

3．如圖，A是半徑為5的圓O上的一個定點，單位向量AB→在A點處與圓O相切，點P是圓O上的一個動點，且點P與點A不重合，則AP→?AB→的取值范圍是　[﹣5，5]?。?br />
【解答】解：如圖所示：設(shè)∠PAB＝θ，作OM⊥AP，則∠AOM＝θ，
∴sinθ=AMOA，AM＝5sinθ，AP＝2AM＝10sinθ．
∴AP→?AB→=10sinθ×1×cosθ＝5sin2θ∈[﹣5，5]，
故答案為：[﹣5，5]．

題型三. 轉(zhuǎn)換基底
1．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，BC→=23BD→，|AD→|＝1，則AC→?AD→=（　　）

A．23 B．3 C．32 D．﹣23
【解答】解：在△ABC中，AD⊥AB，BC→=23BD→，|AD→|＝1，
則AC→?AD→=（AB→+BC→）?AD→=AB→?AD→+BC→?AD→=BC→?AD→
＝0+23BD→?AD→=23（AD→-AB→）?AD→
＝23AD→2-23AB→?AD→=23?1﹣0＝23，
故選：A．
2．已知向量AB→與AC→的夾角為120°，且|AB→|=3，|AC→|=2，若AP→=λAB→+AC→且AP→⊥BC→，則實數(shù)λ的值為（　?。?br /> A．37 B．73 C．712 D．127
【解答】解：向量AB→與AC→的夾角為120°，且|AB→|=3，|AC→|=2，
可得AB→?AC→=3×2×cos120°＝﹣3，
若AP→=λAB→+AC→且AP→⊥BC→，
則AP→?BC→=（λAB→+AC→）?（AC→-AB→）=AC→2﹣λAB→2+（λ﹣1）AB→?AC→
＝4﹣9λ﹣3（λ﹣1）＝0，
解得λ=712．
故選：C．
3．如圖，P為△AOB所在平面內(nèi)一點，向量OA→=a→，OB→=b→，且點P在線段AB的垂直平分線上，向量OP→=c→．若|a→|＝3，|b→|＝2，則c?(a→-b→)的值為　52　．

【解答】解：設(shè)線段AB的垂直平分線為PH，H為垂足，
則OP→=OB→+BH→+HP→=OB→+12BA→+HP→
=OB→+12OA→-12OB→+HP→=12OA→+12OB→+HP→，
則c?(a→-b→)=（12OA→+12OB→+HP→）?（OA→-OB→）
=12（OA→2-OB→2）+HP→?BA→
=12×（32﹣22）+0=52．
故答案為：52．

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題型四.數(shù)量積運算律求最值
1．向量a→，b→的夾角為120°，|a→|=|b→|=1，|c→|=2，則|a→+2b→+c→|的最大值為（　?。?br /> A．2-3 B．2 C．2+3 D．4
【解答】解：|a→+2b→+c→|≤|a→+2b→|+|c→|，計算：|a→+2b→|2=a→2+4b→2+4a→?b→=|a→|2+4|b→|2+4|a→|?|b→|cosθ＝1+4﹣4×12=3，
∴|a→+2b→|=3，|a→+2b→+c→|≤|a→+2b→|+|c→|＝2+3，當(dāng)且僅當(dāng)||a→+2b→|＝|c→|時取等號．
故|a→+2b→+c→|的最大值為2+3，
故選：C．
2．已知向量a→，b→滿足|a→|＝5，|b→|＝1且|a→-4b→|≤21，則a→?b→的最小值為　52?。?br /> 【解答】解：∵|a→-4b→|≤21，
∴a→2-8a→?b→+16b→2≤21，
即25﹣8a→?b→+16≤21，
∴a→?b→≥52．
故答案為：52．
3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M是線段BC上的動點，若BD→?AM→=-3，則BA→?BC→的取值范圍是　[1，4）?。?br /> 【解答】解：由已知有：|AB→|＝|BC→|，CD→=12BA→，BM→=λBC→，（0≤λ≤1），
則BD→?AM→=（BC→+CD→）?(AB→+BM→）＝（BC→+12BA→）（λBC→-BA→）＝﹣3，
所以BA→?BC→=2+8λ2-λ=182-λ-8，
因為0≤λ≤1，∴BA→?BC→∈[1，10]，
因為BA→?BC→=|BA→|?|BC→|?cosθ，其中θ為BA→與BC→的夾角，θ∈（0，π），
因為cosθ∈（﹣1，1），所以BA→?BC→=2×2cosθ＝4cosθ∈（﹣4，4），
又1?BA→?BC→?10，所以BA→?BC→∈[1，4)．
故答案為：[1，4）．

題型五.數(shù)量積坐標(biāo)運算
1．已知向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），c→=（m﹣2，﹣n），其中m，n均為正數(shù)，且（a→-b→）∥c→，下列說法正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)→與b→的夾角為鈍角
B．向量a→在b→方向上的投影為55
C．2m+n＝4
D．mn的最大值為2
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），則a→?b→=2﹣1＝1＞0，則a→、b→的夾角為銳角，A錯誤；
對于B，向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），則向量a在b方向上的投影為a→?b→|b→|=22，B錯誤；
對于C，向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），則a→-b→=（1，2），若（a→-b→）∥c→，則（﹣n）＝2（m﹣2），變形可得2m+n＝4，C正確；
對于D，由C的結(jié)論，2m+n＝4，而m，n均為正數(shù)，則有mn=12（2m?n）≤12（2m+n2）2＝2，即mn的最大值為2，D正確；
故選：CD．
2．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB→?AF→=2，則AE→?BF→的值是　2?。?br />
【解答】解：∵AF→=AD→+DF→，
AB→?AF→=AB→?(AD→+DF→)=AB→?AD→+AB→?DF→=AB→?DF→=2|DF→|=2，
∴|DF→|＝1，|CF→|=2-1，
∴AE→?BF→=（AB→+BE→）（BC→+CF→）=AB→?CF→+BE→?BC→=-2(2-1)+1×2=-2+2+2=2，
故答案為：2
3．已知邊長為2的菱形ABCD中，點F為BD上一動點，點E滿足BE→=2EC→，AE→?BD→=-23，則AF→?EF→的最小值為（　?。?br /> A．-23 B．-43 C．-15275 D．-7336
【解答】解：由題意知：BE→=23BC→，
設(shè)∠DAB＝θ，
所以AE→?BD→=（AB→+BE→）?（AD→-AB→）=AB→?AD→-AB→2+23BC→?AD→-23BC→?AB→=4cosθ﹣4+83-83cosθ=-23，
所以cosθ=12，
又θ∈（0，π），
所以θ=π3，
以AC與BD交點為原點，AC為x軸，BD為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
所以A（-3，0），C（3，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（233，-13），
設(shè)F（0，t），
則AF→=（3，t），EF→=（-233，t+13），
所以AF→?EF→=-2+t（t+13）＝t2+13t-2=（t+16）2-7336，
當(dāng)t=-16時，AF→?EF→取最小值-7336，
故選：D．

題型六.極化恒等式
1．設(shè)向量a→，b→滿足|a→+b→|=10，|a→-b→|=6，則a→?b→=（　　）
A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4
【解答】解：∵|a→+b→|=10，∴（a→+b→）2＝10，∴a→2+b→2+2a→?b→=10 ①，
∵|a→-b→|=6，∴（a→-b→）2＝6，∴a→2+b→2-2a→?b→=6 ②，
①﹣②得 4a→?b→=4，∴a→?b→=1．
故選：B．
2．如圖，△ABC是邊長為23的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則AP→?BP→的取值范圍是　[1，13]?。?br />
【解答】解：∵|AC→|=|BC→|=23，∠ACB＝60°
∴AC→?BC→=23?23cos60°＝6
∵AP→=AC→+CP→，BP→=BC→+CP→
∴AP→?BP→=（AC→+CP→）（BC→+CP→）=AC→?BC→+CP→（AC→+BC→）+CP→2
∵|CP→|=1
∴AP→?BP→=6+CP→（AC→+BC→）+1＝7+CP→（AC→+BC→）
∵△ABC是邊長為23的等邊三角形，
∴向量AC→+BC→是與AB垂直且方向向上，長度為6的一個向量
由此可得，點P在圓C上運動，當(dāng)CP→與AC→+BC→共線同向時，CP→（AC→+BC→）取最大值，且這個最大值為6
當(dāng)CP→與AC→+BC→共線反向時，CP→（AC→+BC→）取最小值，且這個最小值為﹣6
故AP→?BP→的最大值為7+6＝13，最小值為7﹣6＝1．即AP→?BP→的取值范圍是[1，13]
故答案為：[1，13]
3．已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PA→?(PB→+PC→)的最小值為（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣6 C．﹣2 D．-83
【解答】解：以BC中點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則A（0，23），B（﹣2，0），C（2，0），
設(shè)P（x，y），則PA→=（﹣x，23-y），PB→=（﹣2﹣x，﹣y），PC→=（2﹣x，﹣y），
所以則PA→?(PB→+PC→)的最＝﹣x?（﹣2x）+（23-y）?（﹣2y）＝2x2﹣43y+2y2
＝2[x2+2（y-3）2﹣3]；
所以當(dāng)x＝0，y=3時，PA→?(PB→+PC→)取得最小值為2×（﹣3）＝﹣6，
故選：B．

課后作業(yè).數(shù)量積
1．已知向量a→、b→滿足|a→|=1，|b→|=2，|2a→+b→|=3|2a→-b→|，則a→與b→夾角為（　?。?br /> A．45° B．60° C．90° D．120°
【解答】解：|a→|=1，|b→|=2，|2a→+b→|=3|2a→-b→|，
∴(2a→+b→)2=3(2a→-b→)2，
∴4a→2+4a→?b→+b→2=12a→2-12a→?b→+3b→2，
∴4a→2-8a→?b→+b→2=0，即4-8a→?b→+4=0，
∴a→?b→=1，
∴cos＜a→，b→＞=a→?b→|a→||b→|=12，且0°≤＜a→，b→＞≤180°，
∴＜a→，b→＞=60°．
故選：B．
2．已知△ABC滿足AB→2=2BA→?CA→，則△ABC的形狀為（　?。?br /> A．直角三角形 B．等邊三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：根據(jù)AB→2=2BA→?CA→得到：c2＝2bccosA，
由正弦定理bsinB=csinC=2R，可得sin2C＝2sinBsinCcosA，
又C為三角形的內(nèi)角，得到sinC≠0，
可得sinC＝2sinBcosA，
又sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），
∴sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝2sinBcosA，即sinAcosB﹣cosAsinB＝0，
∴sin（A﹣B）＝0，且A和B都為三角形的內(nèi)角，
∴A＝B，
則△ABC的形狀為等腰三角形．
故選：D．
3．已知向量a→≠e→，|e→|＝1，對任意t∈R，恒有|a→-te→|≥|a→-e→|，則（　?。?br /> A．a(chǎn)→⊥e→ B．a(chǎn)→⊥（a→-e→）
C．e→⊥（a→-e→） D．（a→+e→）⊥（a→-e→）
【解答】解：已知向量a→≠e→，|e→|＝1，對任意t∈R，恒有|a→-te→|≥|a→-e→|
即|a→-te→|2≥|a→-e→|2∴t2-2a→?e→t+2a→?e→-1≥0
即△=(2a→?e→)2-4(2a→?e→-1)≤0即(a→?e→-1)2≤0∴a→?e→-1=0a→?e→-e→2=0∴e→?(a→-e→)=0
故選：C．
4．如圖，在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則AB→?AC→=（　?。?br />
A．34 B．28 C．﹣16 D．﹣22
【解答】解：∵AB→=AM→+MB→，AC→=AM→+MC→且AM＝3，BC＝10，
∴|AM→|＝3，|BM→|＝|MC→|＝5，
∴MB→?MC→=-25，AM→?MC→+AM→?MB→=AM→?(MC→+MB→)=0，
∴AB→?AC→=（AM→+MB→）?（AM→+MC→）=AM→2+AM→?MC→+MB→?AM→+MB→?MC→
＝9﹣25
＝﹣16．
故選：C．
5．如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P為CD上一點，且滿足AP→=mAC→+12AB→，若AC＝3，AB＝4，則AP→?CD→的值為（　?。?br />
A．﹣3 B．-1312 C．1312 D．112
【解答】解：∵AD→=2DB→，∴AD→=23AB→，
∵CP→∥CD→，∴CP→=kCD→，即AP→-AC→=k（AD→-AC→），又∵AP→=mAC→+12AB→，
則（m﹣1）AC→+12AB→=k（23AB→-AC→），∴m-1=-k12=23k，∴k=34，m=14，
則AP→?CD→=AP→?（AD→-AC→）＝（14AC→+12AB→）?（23AB→-AC→）=13AB→2-14AC→2-13AB→?AC→=163-94-13×4×3cosπ3=1312，
故選：C．

6．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB→?AF→=2，則AE→?BF→的值是　2　．

【解答】解：∵AF→=AD→+DF→，
AB→?AF→=AB→?(AD→+DF→)=AB→?AD→+AB→?DF→=AB→?DF→=2|DF→|=2，
∴|DF→|＝1，|CF→|=2-1，
∴AE→?BF→=（AB→+BE→）（BC→+CF→）=AB→?CF→+BE→?BC→=-2(2-1)+1×2=-2+2+2=2，
故答案為：2
7．已知a→、b→均為單位向量，且a→?b→=0．若|c→-4a→|+|c→-3b→|=5，則|c→+a→|的取值范圍是（　　）
A．[3，10] B．[3，5] C．[3，4] D．[10，5]
【解答】解：∵a→、b→均為單位向量，且a→?b→=0．
∴設(shè)a→=(1，0)，b→=(0，1)，再設(shè)c→=(x，y)，
代入|c→-4a→|+|c→-3b→|=5，得(x-4)2+y2+x2+(y-3)2=5．
即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距離和為5，
∴c→的終點軌跡是點（4，0）和（0，3）之間的線段，
|c→+a→|=(x+1)2+y2，表示M（﹣1，0）到線段AB上點的距離，
最小值是點（﹣1，0）到直線3x+4y﹣12＝0的距離．
∴|c→+a→|min=|-3-12|5=3．
最大值為|MA|＝5．
∴|c→+a→|的取值范圍是[3，5]．
故選：B．

8．已知在直角三角形ABC中，A為直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC邊上的高，點P在△ABC內(nèi)部或邊界上運動，則AM→?BP→的取值范圍是（　　）
A．[﹣1，0] B．[-12，0] C．[-34，12] D．[-34，0]
【解答】解：如圖，
由AB＝1，BC＝2，可得AC=3，
以AB所在直線為x軸，以AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則B（1，0），C（0，3），直線BC方程為x+y3=1則直線AM方程為y=33x，
聯(lián)立，解得：M（34，34），
由圖可知，當(dāng)P在線段BC上時，AM→?BP→有最大值為0，
當(dāng)P在線段AC上時，AM→?BP→有最小值，設(shè)P（0，y）（0≤y≤3），
∴AM→?BP→=（34，34）（﹣1，y）=-34+34y≥-34．
∴AM→?BP→的范圍是[-34，0]．
故選：D．

9．在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足|DA→|＝|DB→|＝|DC→|＝2，DA→?BC→=DB→?AC→=DC→?AB→=0，動點P，M滿足|AP→|＝1，PM→=MC→，則|BM→|2的最大值為　494?。?br /> 【解答】解：平面內(nèi)，|DA→|＝|DB→|＝|DC→|＝2，DA→?BC→=DB→?AC→=DC→?AB→=0，
∴DA→⊥BC→，DB→⊥AC→，DC→⊥AB→，
可設(shè)D（0，0），A（2，0），B（﹣1，3），C（﹣1，-3），
∵動點P，M滿足|AP→|＝1，PM→=MC→，
可設(shè)P（2+cosθ，sinθ），M（1+cosθ2，sinθ-32），
∴BM→=（3+cosθ2，sinθ-332），
∴BM→2=(3+cosθ2)2+(sinθ-332)2=37+12sin(π6-θ)4≤494，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（π6-θ）＝1時取等號，
∴|BM→|2的最大值為494．
故答案為：494．
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