知識梳理.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
1．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
題型一. 三角函數(shù)圖像的伸縮變換
1．要得到函數(shù)y＝3sin（2x）的圖象，只需要將函數(shù)y＝3cs2x的圖象（ ）
A．向右平行移動個單位 B．向左平行移動個單位
C．向右平行移動個單位 D．向左平行移動個單位
【解答】解：函數(shù)y＝3sin（2x）＝3cs[（2x）]＝3cs（2x）＝3cs（2x）＝3cs2（x），
故把函數(shù)y＝3cs2x的圖象向右平行移動個單位，可得函數(shù)y＝3sin（2x）的圖象，
故選：A．
2．（2017?新課標(biāo)Ⅰ）已知曲線C1：y＝csx，C2：y＝sin（2x），則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
【解答】解：曲線C2：y＝sin（2x）＝cs（2x），
把C1：y＝csx上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，可得y＝cs2x的圖象；
再把得到的曲線向左平移個單位長度，可以得到曲線C2：y＝cs（2x）＝sin（2x）的圖象，
故選：D．
3．（2021春?閔行區(qū)校級期中）函數(shù)y＝cs（2x+φ）的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)y＝sin（2x）的圖象重合，則|φ|的最小值為 ．
【解答】解：函數(shù)y＝cs（2x+φ）的圖象向右平移個單位長度后得到f（x）＝cs（2x﹣π+φ）＝﹣cs（2x+φ）＝sin（2x+φ）
由于與函數(shù)y＝sin（2x）的圖象重合，
所以φ2k，
整理得：φ＝2kπ，
所以|φ|的最小值為．
故答案為：．
4．（2016春?南通期末）將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度得到y(tǒng)＝sinx的圖象，則 ．
【解答】解：將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，
縱坐標(biāo)不變，可得y＝sin（2ωx+φ）的圖象；
再把圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)＝sin[2ω（x）+φ]＝sin（2ωxφ）的圖象．
再根據(jù)所得圖象為 y＝sinx，∴，求得ω，且 φ，
∴f（x）＝sin（x），
則sin（）＝sin．
5．（2015?湖南）將函數(shù)f（x）＝sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ）個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象．若對滿足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的x1、x2，有|x1﹣x2|min，則φ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為將函數(shù)f（x）＝sin2x的周期為π，函數(shù)的圖象向右平移φ（0＜φ）個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象．若對滿足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有|x1﹣x2|min，
不妨x1，x2，即g（x）在x2，取得最小值，sin（22φ）＝﹣1，此時φ，不合題意，
x1，x2，即g（x）在x2，取得最大值，sin（22φ）＝1，此時φ，滿足題意．
另解：f（x）＝sin2x，g（x）＝sin（2x﹣2φ），設(shè)2x1＝2kπ，k∈Z，2x2﹣2φ2mπ，m∈Z，
x1﹣x2φ+（k﹣m）π，
由|x1﹣x2|min，可得φ，解得φ，
故選：D．
題型二. 已知圖像求解析式
1．圖是函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（x∈R）在區(qū)間上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將y＝sinx（x∈R）的圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
B．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
D．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
【解答】解：由圖象可知函數(shù)的周期為π，振幅為1，
所以函數(shù)的表達(dá)式可以是y＝sin（2x+φ）．
代入（，0）可得φ的一個值為 ，
故圖象中函數(shù)的一個表達(dá)式是y＝sin（2x），
即y＝sin2（x），
所以只需將y＝sinx（x∈R）的圖象上所有的點向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不變．
故選：A．
2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．ωC．D．
【解答】解：結(jié)合圖象1，是個周期，
故T＝4，
故ω，
而y＝sin（φ）＝1，解得：φ，
故選：A．
3．已知函數(shù)f（x）＝Acs（ωx+φ）的圖象如圖所示，f（），則f（0）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由題意可知，此函數(shù)的周期T＝2（ππ），
故，∴ω＝3，f（x）＝Acs（3x+φ）．
f（）＝Acs（φ）＝Asinφ．
又由題圖可知f（）＝Acs（3φ）＝Acs（φπ）
（Acsφ+Asinφ）＝0，
∴f（0）＝Acsφ．
故選：C．
4．已知函數(shù)f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)g（x）＝Acs（ωx+φ）（x∈R）的表述正確的是（ ）
A．函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點（）對稱
B．函數(shù)g（x）在[]遞減
C．函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x對稱
D．函數(shù)h（x）＝cs2x的圖象上所有點向左平移個單位得到函數(shù)g（x）的圖象
【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分圖象知，
最小正周期為T＝2×（），∴ω2；
又ω?φkπ，k∈Z，
φkπ，k∈Z；
∴φ，
∴f（0）＝AtanA＝1，
∴函數(shù)g（x）＝cs（2x）；
x時，g（）＝cs（）0，
g（x）的圖象不關(guān)于點（）對稱，A錯誤；
x∈[，]時，2x∈[0，π]，
g（x）在[]上單調(diào)遞減，B正確；
x時，g（）＝cs（）＝0，
g（x）的圖象不關(guān)于直線x對稱，C錯誤；
h（x）＝cs2x的圖象上所有點向左平移個單位，
得h（x）＝cs2（x）＝cs（2x）的圖象，
不是函數(shù)g（x）的圖象，D錯誤．
故選：B．
題型三. 三角函數(shù)的性質(zhì)
考點1.單調(diào)性
1．函數(shù)y＝sin（﹣2x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．[kπ，kπ]，k∈ZB．[2kπ，2kπ]，k∈Z
C．[kπ，kπ]，k∈ZD．[2kπ，2kπ]，k∈Z
【解答】解：∵函數(shù)y＝sin（﹣2x）＝﹣sin（2x），故本題即求函數(shù)y＝sin（2x） 的增區(qū)間．
令2kπ2x2kπ，k∈z，求得kπx≤kπ，k∈Z，故函數(shù)y＝sin（2x） 的增區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z，
故選：A．
2．已知函數(shù)時取得最大值，則f（x）在[﹣π，0]上的單調(diào)增區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝Asin（x+φ）（A＞0）在取最大值
所以可得，A?sin（φ）＝1
又因為 所以 φ
而（A＞0）與y＝sin（x）的單調(diào)性相同且[﹣π，0]
故函數(shù)在[]上單調(diào)遞增，在[﹣π，]上單調(diào)遞減
故選：D．
3．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x）在區(qū)間[0，a]（其中a＞0）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．{a|0＜a}B．{a|0＜a}
C．{a|a＝kπ，k∈N*}D．{a|2kπ＜a≤2kπ，k∈N*}
【解答】解：由，
得，k∈Z．
取k＝0，得，
則函數(shù)數(shù)f（x）＝sin（2x）的一個增區(qū)間為[，]．
∵函數(shù)f（x）＝sin（2x）在區(qū)間[0，a]（其中a＞0）上單調(diào)遞增，
∴0＜a．
故選：A．
4．已知ω＞0，函數(shù)f（x）＝sin（ωx）在區(qū)間（，π）上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．（0，2]
【解答】解：法一：令：不合題意 排除（D）
合題意 排除（B）（C）
法二：，
得：．
故選：A．
考點2.周期性、奇偶性、對稱性
1．已知函數(shù)f（x）＝cs2x+sin2（x），則（ ）
A．f（x）的最小正周期為π，最小值為
B．f（x）的最小正周期為π，最小值為
C．f（x）的最小正周期為2π，最小值為
D．f（x）的最小正周期為2π，最小值為
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝cs2x+sin2（x）1cs2xcs（2x）＝1?cs2xsin2x＝1cs（2x），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為π，最小值為1，
故選：A．
2．已知f（x）＝sin2x+|sin2x|（x∈R），則下列判斷正確的是（ ）
A．f（x）是周期為2π的奇函數(shù)
B．f（x）是值域為[0，2]周期為π的函數(shù)
C．f（x）是周期為2π的偶函數(shù)
D．f（x）是值域為[0，1]周期為π的函數(shù)
【解答】解：若2kπ≤2x≤2kπ+π，即kπ≤x≤kπ時，sin2x≥0，
f（x）＝sin2x+|sin2x|＝2sin2x；
若2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，即kπx≤kπ+π時，sin2x＜0，
f（x）＝sin2x+|sin2x|＝0，
作出函數(shù)圖象，如下圖：
根據(jù)圖象可知f（x）為周期函數(shù)，最小正周期為π，
函數(shù)的值域為[0，2]．
故選：B．
3．將函數(shù)y＝sin2xcs2x的圖象沿x軸向右平移a個單位（a＞0）所得圖象關(guān)于y軸對稱，則a的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：將函數(shù)y＝sin2xcs2x的圖象沿x軸向右平移a個單位（a＞0），
得到的函數(shù)：y＝sin2（x﹣a）cs2（x﹣a）＝sin（2x﹣2a）cs（2x﹣2a）
＝2sin（2x﹣2a），
∵所得圖象關(guān)于y軸對稱，
∴2akπ（k∈z），解得a（k∈z），
∴a的最小值是．
故選：C．
4．已知函數(shù)f（x）＝asinx﹣bcsx（ab≠0，x∈R）在x處取得最大值，則函數(shù)y＝f（）是（ ）
A．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點（π，0）對稱
B．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱
C．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱
D．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點 （π，0）對稱
【解答】解：將已知函數(shù)變形f（x）＝asinx﹣bcsxsin（x﹣φ），其中tanφ．
又f（x）＝asinx﹣bcsx在處取得最大值，
∴φ2kπ（k∈Z）得φ2kπ（k∈Z），
∴f（x）sin（x），
∴函數(shù)sin（x）csx，
∴函數(shù)是偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱．
故選：B．
考點3.三角函數(shù)性質(zhì)綜合
1．（2019?天津）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函數(shù)，將y＝f（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g（x）．若g（x）的最小正周期為2π，且g（），則f（）＝（ ）
A．﹣2B．C．D．2
【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴φ＝0，
則f（x）＝Asin（ωx）
將y＝f（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g（x）．
即g（x）＝Asin（ωx）
∵g（x）的最小正周期為2π，
∴2π，得ω＝2，
則g（x）＝Asinx，f（x）＝Asin2x，
若g（），則g（）＝AsinA，即A＝2，
則f（x）＝2sin2x，則f（）＝2sin（22sin2，
故選：C．
2．（2015?天津）已知函數(shù)f（x）＝sinωx+csωx（ω＞0），x∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝ω對稱，則ω的值為 ．
【解答】解：∵f（x）＝sinωx+csωxsin（ωx），
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，ω＞0
∴2kπωx2kπ，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[，]，k∈Z，
∴可得：﹣ω①，ω②，k∈Z，
∴解得：0＜ω2且0＜ω2≤2k，k∈Z，
解得：，k∈Z，
∴可解得：k＝0，
又∵由ωxkπ，可解得函數(shù)f（x）的對稱軸為：x，k∈Z，
∴由函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝ω對稱，可得：ω2，可解得：ω．
故答案為：．
3．（2014?大綱版）若函數(shù)f（x）＝cs2x+asinx在區(qū)間（，）是減函數(shù)，則a的取值范圍是 （﹣∞，2] ．
【解答】解：由f（x）＝cs2x+asinx
＝﹣2sin2x+asinx+1，
令t＝sinx，
則原函數(shù)化為y＝﹣2t2+at+1．
∵x∈（，）時f（x）為減函數(shù)，
則y＝﹣2t2+at+1在t∈（，1）上為減函數(shù)，
∵y＝﹣2t2+at+1的圖象開口向下，且對稱軸方程為t．
∴，解得：a≤2．
∴a的取值范圍是（﹣∞，2]．
故答案為：（﹣∞，2]．
4．（2016?新課標(biāo)Ⅰ）若函數(shù)f（x）＝xsin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[，]D．[﹣1，]
【解答】解：函數(shù)f（x）＝xsin2x+asinx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1cs2x+acsx，
由題意可得f′（x）≥0恒成立，
即為1cs2x+acsx≥0，
即有cs2x+acsx≥0，
設(shè)t＝csx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
當(dāng)t＝0時，不等式顯然成立；
當(dāng)0＜t≤1時，3a≥4t，
由4t在（0，1]遞增，可得t＝1時，取得最大值﹣1，
可得3a≥﹣1，即a；
當(dāng)﹣1≤t＜0時，3a≤4t，
由4t在[﹣1，0）遞增，可得t＝﹣1時，取得最小值1，
可得3a≤1，即a．
綜上可得a的范圍是[，]．
另解：設(shè)t＝csx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
由題意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，
解得a的范圍是[，]．
故選：C．
5．（2013?安慶二模）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx），其中ω＞0，若f（）＝f（），且f（x）在區(qū)間（，）上有最小值、無最大值，則ω等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：對于函數(shù)f（x）＝sin（ωx），由f（）＝f（），可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x 對稱，
再根據(jù)f（x）在區(qū)間（，）上有最小值、無最大值，可得ω?，求得ω，
故選：C．
6．（2014?北京）設(shè)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）若f（x）在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性，且f（）＝f（）＝﹣f（），則f（x）的最小正周期為 π ．
【解答】解：由f（）＝f（），可知函數(shù)f（x）的一條對稱軸為x，
則x離最近對稱軸距離為．
又f（）＝﹣f（），則f（x）有對稱中心（，0），
由于f（x）在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性，
則T?T，從而?T＝π．
故答案為：π．
題型四. 三角函數(shù)最值
1．函數(shù)f（x）sin（x）+cs（x）的最大值為（ ）
A．B．1C．D．
【解答】解：函數(shù)f（x）sin（x）+cs（x）sin（x）+cs（﹣x）sin（x）+sin（x）
sin（x）．
故選：A．
2．函數(shù)f（x）＝cs（ωx）（ω＞0）在[0，π]內(nèi)的值域為[﹣1，]，則ω的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝cs（ωx）（ω＞0），
當(dāng)x∈[0，π]時，f（x）∈[﹣1，]，
∴﹣1≤cs（ωx），結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，
則π≤ωπ，
解得ω，
∴ω的取值范圍是[，]．
故選：B．
3．已知函數(shù)f（x）＝cs2x+sinx，則下列說法中正確的是（ ）
A．f（x）的一條對稱軸為x
B．f（x）在（）上是單調(diào)遞減函數(shù)
C．f（x）的對稱中心為（，0）
D．f（x）的最大值為1
【解答】解：對于A，f（x）＝cs2（x）+sin（x）
＝cs（π﹣2x）+csx＝﹣cs2x+csx≠f（x），
所以x不是f（x）的對稱軸，故A錯誤；
對于B，f′（x）＝﹣2sin2x+csx＝﹣4sinxcsx+csx＝csx（1﹣4sinx），
當(dāng)x∈（）時，csx＞0，sinx＜1，所以﹣3＜1﹣4sinx＜﹣1，
所以f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，故B正確；
對于C，f（π﹣x）+f（x）＝cs2（π﹣x）+sin（π﹣x）+cs2x+sinx
＝2cs2x+2sinx＝2f（x）≠0，
所以（，0）不是f（x）的對稱中心，故C錯誤；
對于D，f（x）＝cs2x+sinx＝1﹣2sin2x+sinx，
令t＝sinx∈[﹣1，1]，則y＝﹣2t2+t+1，
當(dāng)t時，函數(shù)取得最大值為﹣21，
所以f（x）的最大值為，故D錯誤．
故選：B．
4．若0＜x，則函數(shù)y＝sinx+csx+sinxcsx的值域為 （1，] ．
【解答】解：令sinx+csx＝t，則sinxcsx，
∴y＝sinxcsx+sinx+csx＝tt2+t（t+1）2﹣1．
∵x∈（0，]，t＝sinx+csxsin（x）∈（1，]．
∴ymax，
x＝0時，y＝1．
函數(shù)y＝sinx+csx+sinxcsx的值域為：（1，]．
5．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0，π]上恰好取得一次最大值1，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由，
化簡，f（x）＝sinωx（1+sinωx）﹣sin2ωx＝sinωx，
由，k∈z，即時，取得最大值1，
因為x∈[0，π]上恰好取得一次最大值，所以k＝0，，
所以，
f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，根據(jù)題意
，即，
結(jié)合上面所述，，
故選：B．
6．已知函數(shù)f（x）＝csx?sin（x）cs2x，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在閉區(qū)間[0，]上的最大值和最小值及相應(yīng)的x值；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[0，]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）由已知，有：f（x）＝csx?（）cs2xcs2xsin2xcs2xsin（2x），﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
所以f（x）的最小正周期Tπ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）∵x∈[0，]，∴2x∈[，]
∴f（x）min＝f（0），f（x）max＝f（）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（3）∵x∈[0，]，∴2x，
∴sin（2x），
∴f（x）max，f（x）min
∵不等式|f（x）﹣m|＜2?f（x）﹣2＜m＜f（x）+2
∴|f（x）﹣m|＜2在x∈[0，]上恒成立?m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2
∴m＜2，即：m的取值范圍是（，2），
m的取值范圍（，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
題型五.三角函數(shù)零點
1．已知函數(shù)f（x）＝sinωxcsωx（ω＞0），若方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四個實數(shù)根，則實數(shù)ω的取值范圍為 ．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinωxcsωx（ω＞0），
＝2sin（ωx），
令2sin（ωx）＝﹣1，
解得：，或（k∈Z），
所以：或（k∈Z），
設(shè)直線y＝﹣1與y＝f（x）在（0，+∞）上從左到右的第四個交點為A第五個交點為B，
則：，．
由于方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四個實數(shù)根，
則：xA＜π≤xB，
即：，
解得：．
故答案為：．
2．已知函數(shù)f（x）sinωxcsωx+cs2ωx，（ω＞0，x∈R），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（）內(nèi)沒有零點，則ω的取值范圍（ ）
A．（0，]B．（0，]∪[]
C．（0，]D．（0，]∪[）
【解答】解：函數(shù)f（x）sinωcsωx+cs2ωx，
，
，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（）內(nèi)沒有零點，
所以：，
即：，
所以：①，
解得：，
②，
解得：ω∈[]，
綜上所述：ω∈（0，]∪[]，
故選：B．
3．函數(shù)圖象上有兩點A（s，t），B（s+2π，t）（﹣2＜t＜2），若對任意s∈R，線段AB與函數(shù)圖象都有五個不同交點，若f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上單調(diào)遞增，在[x2，x3]上單調(diào)遞減，且，則x1的所有可能值是
【解答】解：由于|AB|＝2π且線段AB與函數(shù)圖象都有五個不同交點，
則2T＝22π，即ω＝1，
則f（x）＝2sin（2x），
由題意得x3﹣x2，
則，
即x1＝x2，
∵若f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上單調(diào)遞增，在[x2，x3]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在x2處取得最大值，即f（x2）＝2sin（2x2）＝2，
即sin（2x2）＝1，則2x22kπ，
得x2＝kπ，
則x1＝x2kπkπ，k∈Z，
故答案為：x1＝kπ，k∈Z．
課后作業(yè). 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
1．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象如圖所示，為了得到g（x）＝Asinωx的圖象，只需將函數(shù)y＝f（x）的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度
B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象，可得A＝2，
，∴ω＝2．
再根據(jù)五點法作圖可得2φ，求得φ，∴f（x）＝2sin（2x）．
為了得到g（x）＝Asinωx＝2sin2x的圖象，
只需將函數(shù)y＝f（x）＝2sin（2x）的圖象向左平移個單位長度，
故選：B．
2．關(guān)于函數(shù)y＝2sin（3x）+1，下列敘述正確的是（ ）
A．其圖象關(guān)于直線x對稱
B．其圖象關(guān)于點（，1）對稱
C．其值域是[﹣1，3]
D．其圖象可由y＝2sin（x）+1圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?br>【解答】解：因為sin[3]＝﹣1，y取得最小值，故是對稱軸，故A正確；
因為，故不是對稱中心，故B錯誤；
因為sin（3x）∈[﹣1，1]，故2sin（3x）+1∈[﹣1，3]，故C正確；
由y＝2sin（x）+1到y(tǒng)＝2sin（3x）+1系數(shù)中，只有x的系數(shù)變成了原來的3倍，故所有點的橫坐標(biāo)變成原來的，故D正確．
故選：ACD．
3．已知函數(shù)f（x）＝（a）sinx+（a+1）csx，將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，若對任意x∈R，都有g(shù)（x）≤g（），則a的值為 2 ．
【解答】解：f（x）＝（a）sinx+（a+1）csx＝asin（x）﹣2sin（x），將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）＝asinx﹣2sin（x）＝asinx+2csx，
因為對任意x∈R，都有g(shù)（x）≤g（），所以，解得a＝2；
故答案為：2．
4．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M（，0）對稱，且在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，則ω和φ的值分別為（ ）
A．，B．2，C．2，D．，
【解答】解：由f（x）是偶函數(shù)，φ＝kπ，
∵0≤φ≤π，∴當(dāng)k＝0時，φ，
∴f（x）＝sin（ωx）＝csωx，
∵f（x）圖象上的點關(guān)于M（，0）對稱，
∴f（）＝csω＝0，故ω＝kπ，k∈Z，
即ω（2k+1），
∵f（x）在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，可得，即ω≤2
又∵ω（2k+1），ω＞1
∴當(dāng)k＝1時可得ω＝2．
故選：C．
5．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|，為f（x）的零點：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在區(qū)間（）上有最小值無最大值，則ω的最大值是（ ）
A．11B．13C．15D．17
【解答】解：由題意知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），
x 為y＝f（x）圖象的對稱軸，x為f（x）的零點，
∴?，n∈N*，∴ω＝2n+1，n∈N*，
f（x）在區(qū)間（，）上有最小值無最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求ω的最大值，結(jié)合選項，先檢驗ω＝15，
當(dāng)ω＝15時，由題意可得15+φ＝kπ，φ，函數(shù)為y＝f（x）＝sin（15x），
在區(qū)間（，）上，15x∈（，），
此時f（x）在15x時取得最小值，∴ω＝15滿足題意．
則ω的最大值為15，
故選：C．
6．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx）sin（ωx）（ω＞0），若函數(shù)g（x）＝f（x）在[0，]上有且只有三個零點，則ω的取值范圍為（ ）
A．[2，）B．（2，）C．[）D．（）
【解答】解：f（x）＝2sin（ωx）sin（ωx）＝2sin（ωx）sin（ωx）
＝﹣2cs（ωx）sin（ωx）＝﹣sin（2ωx），
由g（x）＝f（x）0得f（x），
即﹣sin（2ωx），
得sin（2ωx），
∵0≤x，
∴0≤2ωx≤πω，則2ωxπω，
∵sin，
∴要使sin（2ωx），在0≤x上有三個根，
∴2π≤ωπ4π，
得2π≤ωπ，即2≤ω，
即ω的取值范圍是[2，），
故選：A．
函數(shù)
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
圖象
定
義
域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單
調(diào)
性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是遞增函數(shù)，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是遞減函數(shù)
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是遞增函數(shù)，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是遞減函數(shù)
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是遞增函數(shù)
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
對
稱
性
對稱軸是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，對稱中心是(kπ，0)(k∈Z)
對稱軸是x＝kπ(k∈Z)，對稱中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
對稱中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)

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