專題突破練22　圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題1.(2021·河北唐山一模)已知拋物線E:x2=4y,點P(1,-2),斜率為k(k>0)的直線l過點P,與拋物線E相交于不同的兩點A,B.(1)求k的取值范圍;(2)斜率為-k的直線m過點P,與拋物線E相交于不同的點C,D,證明:直線AC、直線BD及y軸圍成等腰三角形.                2.(2021·山東濰坊三模)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,點P(m,2)(m>0)在拋物線C上,且滿足|PF|=3.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點G(0,4)的直線l與拋物線C交于A,B兩點,分別以A,B為切點的拋物線C的兩條切線交于點Q,求△PQG周長的最小值.                3.(2021·廣東深圳一模)設(shè)O是坐標(biāo)原點,以F1,F2為焦點的橢圓C:=1(a>b>0)的長軸長為2,以|F1F2|為直徑的圓和C恰好有兩個交點.(1)求橢圓C的方程;(2)P是橢圓C外的一點,過P的直線l1,l2均與橢圓C相切,且l1,l2的斜率之積為m-1≤m≤-,記u為|PO|的最小值,求u的取值范圍.             4.(2021·北京通州一模)已知橢圓C:=1(a>b>0)的短軸長為2,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)點P是橢圓C上一點,且在第一象限內(nèi),過P作直線交y軸正半軸于點A,交x軸負(fù)半軸于點B,與橢圓C的另一個交點為E,且PA=AB,點Q是點P關(guān)于x軸的對稱點,直線QA與橢圓C的另一個交點為F.①證明:直線AQ,AP的斜率之比為定值;②求直線EF的斜率的最小值.            5.(2021·河北唐山三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C為動點,設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與邊AC,BC,AB相切于P,Q,R,且|CP|=1,記點C的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)不過原點O的直線l與曲線E交于M,N,且直線y=-x經(jīng)過MN的中點T,求△OMN的面積的最大值.                   6.(2021·河南九師聯(lián)盟聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,短軸的一個端點的坐標(biāo)為(0,-1).(1)求橢圓C的方程;(2)點F為橢圓C的右焦點,過橢圓C上一點A(x1,y1)(x1y1≠0)的直線l1:x1x+2y1y=2與直線l2:x=2交于點P,直線AF交橢圓C于另一點B,設(shè)AB與OP交于點Q.證明:①∠AFP=;②Q為線段AB的中點.                        
專題突破練22　圓錐曲線中的范圍、最值、證明:問題1.(1)解: 由題意設(shè)l的方程為y+2=k(x-1),與x2=4y聯(lián)立得,x2-4kx+4k+8=0.由Δ>0得k2-k-2>0,即k<-1或k>2.又k>0,所以k的取值范圍是(2,+∞).(2)證明: 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由(1)可得x1+x2=4k.由題意設(shè)m的方程為y+2=-k(x-1),與x2=4y聯(lián)立得,x2+4kx-4k+8=0,得x3+x4=-4k.kAC=,同理kBD=,因為kAC+kBD==0,所以直線AC、直線BD及y軸圍成等腰三角形.2.解: (1)由拋物線定義,得|PF|=2+=3,得p=2,故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為y=kx+4,聯(lián)立消去x,得x2-4kx-16=0,Δ>0,x1+x2=4k,x1x2=-16.設(shè)A,B處的切線斜率分別為k1,k2,則k1=,k2=,在點A處的切線方程為y-y1=(x-x1),即y=,①同理,在點B處的切線方程為y=,②由①②得xQ==2k,代入①或②中可得yQ=kx1-=y1-4-y1=-4,故Q(2k,-4),即點Q在定直線y=-4上.設(shè)點G關(guān)于直線y=-4的對稱點為G',則G'(0,-12),由(1)知P(2,2),∵|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G'Q|≥|G'P|=2,即P,Q,G'三點共線時等號成立,∴△PQG周長的最小值為|GP|+|G'P|=2+2.3.解: (1)由題意可得2a=2,故a=.因為以|F1F2|為直徑的圓和橢圓C恰好有兩個交點,則b=c,b2+c2=2b2=a2=2,可得b=c=1,因此橢圓C的方程為+y2=1.(2)由題意可知,直線l1,l2的斜率存在且不為零,設(shè)過點P(x0,y0)的切線l:y-y0=k(x-x0),聯(lián)立消去y可得(2k2+1)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-2=0,由于直線l與橢圓C相切,則Δ=16k2(y0-kx0)2-4(2k2+1)[2(y0-kx0)2-2]=0,化簡并整理得(y0-kx0)2=2k2+1.整理成關(guān)于k的二次方程得(-2)k2-2x0y0k+-1=0(易知x0≠±),設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,易知k1,k2為關(guān)于k的二次方程(-2)k2-2x0y0k+-1=0的兩根,所以k1k2==m,=m+1-2m,所以,=(m+1)+1-2m,故|PO|=.易知當(dāng)x0=0時,有u=|PO|min=.因為-1≤m≤-,所以≤u≤,即u的取值范圍是[].4.(1)解: 由題意得解得所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)①證明: 設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),因為點Q是點P(x0,y0)關(guān)于x軸的對稱點,PA=AB,所以Q(x0,-y0),A.所以直線QA的斜率為kQA=,PA的斜率為kPA=.所以=-3.所以直線AQ,AP的斜率之比為定值.②解: 設(shè)直線PA的方程為y=kx+m.聯(lián)立方程組化簡得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.設(shè)點E的坐標(biāo)是(x1,y1),所以x0x1=.所以x1=.所以y1=+m.所以點E的坐標(biāo)是.由①可知,直線QA的方程是y=-3kx+m.所以點F的坐標(biāo)是.所以直線EF的斜率kEF=.因為k>0,所以kEF=×2.當(dāng)且僅當(dāng)6k=,即k=時,kEF有最小值.所以直線EF的斜率的最小值是.5.解: (1)依題意可知,|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲線E是以A,B為焦點,長軸長為4的橢圓(除去與x軸的交點),因此曲線E的方程為=1(y≠0).(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),顯然直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m(m≠0),代入=1,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,(*)則x1+x2=-,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=,故MN的中點T的坐標(biāo)為.而直線y=-x經(jīng)過MN的中點T,得=-,又m≠0,所以直線l的斜率k=.故(*)式可化簡為3x2+3mx+m2-3=0,故x1+x2=-m,x1x2=,由Δ=36-3m2>0且m≠0,得-2<m<2且m≠0.又|MN|=|x1-x2|=,而點O到直線l的距離d=,則△OMN的面積S=|m|×,當(dāng)且僅當(dāng)m=±時,等號成立,此時滿足-2<m<2且m≠0,所以△OMN的面積的最大值為.6.(1)解: 設(shè)橢圓C的半焦距為c,因為短軸的一個端點的坐標(biāo)為(0,-1),所以b=1,所以a2-c2=1.①因為e=,所以a=c.②由①②,得c=1,所以a=,所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明: ①將x=2代入x1x+2y1y=2,得2x1+2y1y=2,解得y=,所以P.又F(1,0),A(x1,y1),所以=(x1-1,y1),=x1-1+y1·=0,所以FA⊥FP,故∠AFP=.②由直線AB過焦點F(1,0),得直線AB的方程為(x1-1)y=y1(x-1),代入x2+2y2=2,并結(jié)合+2=2整理,得(3-2x1)y2+2(x1-1)y1y-=0.設(shè)B(x2,y2),則y1+y2=-.設(shè)AB中點為R(x0,y0),則y0==-,x0=y0+1=+1=,即R,所以,即共線,即AB的中點R在直線OP上,從而點R與Q重合,故Q是線段AB的中點.

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