一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1. 下列各數(shù)中是無理數(shù)的是（ ）
A. 3.14159B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：屬于有理數(shù)，不合題意；
B.屬于有理數(shù)，符合題意；
C.＝5，屬于有理數(shù)，不合題意；
D.屬于無理數(shù)，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了對無理數(shù)定義的應用，能理解無理數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：無理數(shù)包括三方面的數(shù)：①含π的，②開方開不盡的根式，③一些有規(guī)律的數(shù)．
2. 下列命題是假命題的是（ ）
A. 三角形內(nèi)角和為
B. 內(nèi)錯角相等
C. 負數(shù)沒有平方根
D. 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定定理、三角形的外角性質(zhì)判斷即可．
【詳解】A．三角形內(nèi)角和是，本選項說法是真命題，不符合題意；
B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故本選項說法是假命題，符合題意；
C．負數(shù)沒有平方根，本選項說法是真命題，不符合題意；
D．三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，本選項說法是真命題，不符合題意；
故選：B．
3. 已知：點的坐標為，而直線平行于軸，那么點坐標有可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直線平行于軸，可確定點的橫坐標為3，進而可得答案.
【詳解】解：∵點的坐標為，而直線平行于軸，
∴點的橫坐標為3，
∴點的坐標可能為；
故選：A.
【點睛】本題考查了平行于坐標軸的直線上點的坐標特點，熟知平行于軸的直線上點的橫坐標相同是解題的關(guān)鍵.
4. 已知二元一次方程組 ，則等于（ ）
A. B. 5C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用整體思想解題關(guān)鍵．
將兩個方程相加之后，利用整體思想化簡求解．
【詳解】解：，
得：，
則．
故選：B．
5. 小明家1至6月份的用水量統(tǒng)計如圖所示，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中錯誤的是（ ）
A. 眾數(shù)是6噸B. 平均數(shù)是5噸C. 中位數(shù)5.5噸D. 方差是1.2
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)以及方差，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義和計算公式．
根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)和方差的定義進行計算，即可得出答案．
【詳解】解：A、噸出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
眾數(shù)是6噸，故選項正確，不符合題意；
B、平均數(shù)是噸，選項正確，不符合題意；
C、把這些數(shù)從小到大排列為3，4，5，6，6，6，
則中位數(shù)是噸，故選項正確，不符合題意；
D、這組數(shù)據(jù)的方差為，選項錯誤，符合題意；
故選：D．
6. 直線與直線在同一坐標系中的大致圖像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線與直線圖像的位置確定k的正負，若不存在矛盾則符合題意，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：A、過第二、四象限，則，所以過第一、三、四象限，所以A選項符合題意；
B、過第二、四象限，則，所以過第一、三、四象限，所以B選項不符合題意；
C、過第一、三象限，則，所以過第二、一、四象限，所以C選項不符合題意；
D、過第一、三象限，則，所以過第二、一、四象限，所以D選項不符合題意．
故選A．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像：一次函數(shù)的圖像為一條直線，當，圖像過第一、三象限；當，圖像過第二、四象限；直線與y軸的交點坐標為．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 的相反數(shù)是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義進行分析解答即可．
【詳解】的相反數(shù)是．
故答案為：．
【點睛】本題考查相反數(shù)及實數(shù)，熟記“相反數(shù)”的定義：“只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)”是解答這類題的關(guān)鍵．
8. 在國際數(shù)學奧林匹克比賽中，中國隊榮獲團體總分第一名，我國參賽選手比賽成績的方差計算公式為：，上述公式中的“38”是這組數(shù)據(jù)______．
【答案】平均數(shù)
【解析】
【分析】根據(jù)方差計算公式即可分析求解．此題考查了方差的概念和平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方差的計算公式．
【詳解】∵我國參賽選手比賽成績的方差計算公式為：，
∴上述公式中的“38”是這組數(shù)據(jù)平均數(shù)．
故答案為：平均數(shù)．
9. 如圖，將一個直角三角板放置在銳角三角形上，使得該三角板的兩條直角邊恰好分別經(jīng)過點，若，則____．
【答案】##40度
【解析】
【分析】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余的關(guān)系，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余的關(guān)系得到，由此即可得到答案．
【詳解】如圖所示，連接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
10. 已知點關(guān)于軸的對稱點的坐標是，則的值為____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征，明確坐標特征是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征進行求解即可．
【詳解】∵點關(guān)于軸的對稱點的坐標是，
∴，
∴，．
故答案為：．
11. 如圖，已知函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點，則方程組的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組：方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點坐標．根據(jù)兩條直線的交點坐標即可寫出方程組的解．
【詳解】解：∵函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點
∴方程組的解．
故答案為：．
12. 如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點始終落在邊AC上，若△MC為直角三角形，則BM的長為____________
【答案】+或1
【解析】
【分析】①如圖1，當∠MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點，于是得到結(jié)論；②如圖2，當∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到結(jié)論．
【詳解】解：①如圖1，
當∠MC=90°，與A重合，M是BC的中點，
∴BM=BC=+；
②如圖2，當∠MC=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CM是等腰直角三角形，
∴CM=M，
∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點，
∴BM=M，
∴CM=BM，
∵BC=+1，
∴CM+BM=BM+BM=+1，
∴BM=1，
綜上所述，若△MC為直角三角形，則BM的長為+或1，
故答案為：+或1．

【點睛】本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13. （1）計算： ；
（2）解方程組：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】此題考查了解二元一次方程組，二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握以上運算法則．
（1）首先化簡二次根式，然后分母有理化，然后計算加減即可；
（2）方程組利用加減消元法求解即可．
【詳解】（1）
；
（2）
得：
解得
將代入①得：
解得，
∴方程組的解為：．
14. 如圖，已知，可推得．理由如下：
∵（已知），
且（ ）
∴（等量代換）
∴（ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴________（等量代換）
∴（ ）
【答案】（對頂角相等），（同位角相等，兩直線平行），C，（兩直線平行，同位角相等），，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)解答.
【詳解】解：∵（已知），
且（對頂角相等），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代換），
∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
故答案為：（對頂角相等），（同位角相等，兩直線平行），C，（兩直線平行，同位角相等），，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.
【點睛】此題考查平行線的判定及性質(zhì)，熟記平行線的判定定理及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
15. 已知和是某正數(shù)的兩個平方根，的立方根為．
（1）求a，b的值；
（2）求的算術(shù)平方根．
【答案】（1）1，4 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查平方根、立方根．
（1）根據(jù)平方根的定義、立方根的定義解決此題．
（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義解決此題．
【小問1詳解】
解：由題意可知：，即，
，
；
【小問2詳解】
解：由（1）可知：，，
5的算術(shù)平方根是．
16. 在平面直角坐標系中，的頂點坐標．
（1）在圖中作出關(guān)于軸對稱的圖形；
（2）在軸上找一點，使最短，在圖中標出點的位置并寫出點坐標．
【答案】（1）見解析 （2）見解析，點坐標為
【解析】
分析】本題主要考查了坐標與圖形變化軸對稱，軸對稱最短路徑問題，
（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同找到A、B、C對應點的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，連接，交y軸于點P，點P即為所求．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
解：如圖所示，點P即為所求；
∴點坐標為0,4．
17. 先化簡張明家有一塊菜地如圖所示，已知米，米，米，米，且，求這塊菜地面積是多少平方米？
【答案】平方米
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
連接，根據(jù)勾股定理，求得，再根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷是直角三角形，然后根據(jù)這塊草坪的面積等于兩個直角三角形的面積之和代數(shù)求解即可．
【詳解】解：連接，如圖，
∵，米，米，
∴米．
∵米，米，
∴，
∴，
∴這塊菜地面積等于平方米．
四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 甘肅地震學生會向全校2000名學生發(fā)起了愛心捐款活動，為了解捐款情況，學生會隨機調(diào)查了部分學生的捐款金額，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（1）本次接受隨機抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為____人，圖①中 的值是______．
（2）補全條形統(tǒng)計圖．
（3）本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______元，中位數(shù)是______元．
（4）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該校本次活動捐款金額為10元的學生人數(shù)．
【答案】（1）、；
（2）見解析； （3）10，15
（4）608．
【解析】
【分析】（1）由元的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，用元人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得m的值；
（2）總?cè)藬?shù)乘以元對應百分比可得其人數(shù)，據(jù)此可補全圖形；
（3）根據(jù)統(tǒng)計圖可以分別得到本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（4）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以估計該校本次活動捐款金額為元的學生人數(shù)．
【小問1詳解】
本次接受隨機抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為人．
∵
∴ ．
故答案為50、；
【小問2詳解】
捐款元的人數(shù)為，
補全圖形如下：
【小問3詳解】
本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的最多的是10，故眾數(shù)是：元，
本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：元；
【小問4詳解】
估計該校本次活動捐款金額為10元的學生人數(shù)為人．
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、中位數(shù)、眾數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
19. 如圖，將一副三角尺如此放置，，，，點D在邊上，不動，將繞點D轉(zhuǎn)動，使線段與相交，線段與相交．
（1）當時，如圖1．求的度數(shù)；
（2）當與不平行時，如圖2，的度數(shù)會不會變化？請說明由理．
【答案】（1）；
（2）的度數(shù)不會變化，見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)得出，，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，，然后通過已知角度數(shù)和，即可得出的度數(shù)．
【小問1詳解】
∵，
∴，，
∴
【小問2詳解】
繞點D轉(zhuǎn)動過程中，的度數(shù)不會變化．理由如下：
∵，，
∴
∴
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕EF分別與AB、DC交于點E和點F．
（1）證明：△ADF≌△AB′E；
（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面積．
【答案】（1）證明見解析（2）78
【解析】
【詳解】試題分析：（1）利用兩角夾邊對應相等的兩個三角形全等即可判定．
（2）利用三角形面積公式求解即可.
試題解析：（1）∵四邊形ABCD矩形，
∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，
∴∠DAF=∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中
，
∴△ADF≌△AB′E．
（2）解：由折疊性質(zhì)得FA=FC，設(shè)FA=FC=x，則DF=DC－FC=18－x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴．
解得．
∵△ADF≌△AB′E，
∴AE=AF=13．
∴S△AEF===78．
五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21. 為踐行“低碳環(huán)保、綠色出行”的理念，周末小軍和爸爸同時從家騎自行車去圖書館，爸爸先以的速度騎行一段時間，休息了，再以的速度到達圖書館，小軍始終以同一速度騎行，兩人行駛的路程與時間的關(guān)系如圖． 請結(jié)合圖象，解答下列問題．
（1）________；________；______；
（2）若小軍的速度是，小軍出發(fā)后多少分鐘在途中與爸爸第二次相遇．
【答案】（1）10，15，200
（2）分鐘
【解析】
【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，解題的關(guān)鍵是明確題意，從圖象中獲取信息．
（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象可知爸爸以150米/分的速度行駛了1500米，即可求a，再根據(jù)休息了5分鐘得出b即可，根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出的值；
（2）根據(jù)題意，由路程相等得出方程，然后求解即可．
【小問1詳解】
解：由圖可得，
，；
；
【小問2詳解】
解：設(shè)小軍在圖中與爸爸第二次相遇時時間是第分鐘，
，
解得，
答：小軍在圖中與爸爸第二次相遇時的時間是在第分鐘．
22. 春節(jié)快到了，學校“慈善小組”計劃籌集善款購買面包，到福利院送給老人，已知購買2箱豆沙口味面包和2箱大棗口味面包共需110元；購買3箱豆沙口味面包和1箱大棗口味面包共需105元．
（1）求豆沙口味面包和大棗口味面包每箱的單價；
（2）若該小組計劃用375元經(jīng)費購買兩種蛋糕且每種蛋糕最少1箱，經(jīng)費恰好用完，共有幾種購買方案；
【答案】（1）豆沙粽子、大棗粽子每箱的單價為25元，30元．
（2）共有2種購買方案
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組的應用，解本題要弄懂題意，找出題中的關(guān)系式，
（1）設(shè)豆沙粽子、大棗粽子每箱的價格分別為元，元．根據(jù)等量關(guān)系列方程即可．
（2）根據(jù)計劃用375元經(jīng)費購買兩種粽子，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可．
【小問1詳解】
設(shè)豆沙粽子、大棗粽子每箱的價格分別為元，元，
得：，
解得：，
答：豆沙粽子、大棗粽子每箱的單價為25元，30元．
【小問2詳解】
設(shè)購買豆沙粽子箱、大棗粽子箱，
根據(jù)題意，有．整理，得，
，均為正整數(shù)，
可取5或10．
共有2種購買方案．
六．（本大題共12分）
23. 如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C是OB的中點．

（1）求點C的坐標：
（2）在x軸上找一點D，使得，求點D的坐標；
（3）在x軸上是否存在一點P，使得是直角三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）點D的坐標為或
（3）存在，滿足條件的點的坐標為或
【解析】
【分析】（1）先求出點B的坐標，再依據(jù)點C是的中點，求出點C的坐標．
（2）先根據(jù)題意求出，設(shè)點，則，再根據(jù)三角形面積公式可求的長，解得m的值，即可得出點D的坐標．
（3）假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標為，分兩種情況討論：①，②，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【小問1詳解】
∵直線與y軸交于點B，
令得，，
∴，
∴，
∵點C是OB的中點，
∴，
∴．
【小問2詳解】
∵直線與x軸交于點A，
令得，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)點，則，
∴，
解得或，
∴點D的坐標為或；
【小問3詳解】
假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標為，
因為確定，所以是直角三角形需分2種情況分析：
①若，此時點P與原點O重合，坐標為；
②若，則，
∵，，，；
∵，，，
∴，
解得，此時點的坐標為，
綜上所述，滿足條件的點的坐標為或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．

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江西省吉安市萬安縣市級名校2021-2022學年中考一模數(shù)學試題含解析

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