【知識重溫】
一、必記3個知識點
1．頻率分布直方圖
(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種．一種是用樣本的①________估計總體的分布．另一種是用樣本的②________估計總體的數(shù)字特征．
(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示③________，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的④________表示．各小長方形的面積總和⑤________.
(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．隨著⑥________的增加，作圖時所分的⑦________增加，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為⑧________________，它能夠更加精細地反映出總體在各個范圍內(nèi)取值的⑨________.
(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便．
2．眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)
(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)⑩________的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在?________位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的?________.
(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即eq \x\t(x)＝?__________.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該?________.
3．樣本方差，標(biāo)準差
標(biāo)準差
s＝ eq \r(\f(1,n)[?x1－\x\t(x)?2＋?x2－\x\t(x)?2＋…＋?xn－\x\t(x)?2])，
其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，eq \x\t(x)是?________.標(biāo)準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準差的平方．通常用樣本方差估計總體方差，當(dāng)樣本容量?________總體容量時，樣本方差越接近總體方差．
二、必明1個易誤點
不要把直方圖錯認為條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機變量，縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機變量，縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距，連續(xù)隨機變量在某一點上是沒有頻率的．
【小題熱身】
一、判斷正誤
1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．
(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．( )
(2)頻率分布直方圖中各個長方形的面積之和為1.( )
(3)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．( )
(4)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．( )
(5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．( )
二、教材改編
2．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是( )
A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2
B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
C．平均數(shù)為2，方差為2.4
D．中位數(shù)為3，方差為2.8
3．已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．

三、易錯易混
4．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，則在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻率是( )
A．0.05 B．0.25
C．0.5 D．0.7
5．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq \(x,\s\up6(－))＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________．

四、走進高考
6．[2019·全國卷Ⅱ]演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是( )
A．中位數(shù) B．平均數(shù)
C．方差 D．極差

eq \x(考點一) 樣本的數(shù)字特征[自主練透型]
1．[2018·江蘇卷]
已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為________．
2．[2021·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考]從某小學(xué)隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總?cè)缦拢?br>由此表估計這100名小學(xué)生身高的中位數(shù)為(結(jié)果保留4位有效數(shù)字)( )
A．119.3 B．119.7
C．123.3 D．126.7
3．[2021·惠州市調(diào)研考試試題]某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機抽取了100個產(chǎn)品為樣本．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的方差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差為( )
A．8 B．15
C．16 D．32

悟·技法
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義及計算公式
(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明地描述，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)集中趨勢，方差和標(biāo)準差描述波動的大?。?br>(2)平均數(shù)、方差的公式推廣．
①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq \x\t(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq \(x,\s\up6(－))＋a.
②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.
(ⅰ)數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
(ⅱ)數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
(3)方差的簡化計算公式．
s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－neq \(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－eq \(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

考點二 莖葉圖[自主練透型]
4．[2021·廣東廣雅中學(xué)、江西南昌二中聯(lián)考]某市重點中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個小組，在一次階段考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，則m＋n的值是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
5．[2021·陜西商洛質(zhì)檢]在一次53.5千米的自行車個人賽中，25名參賽選手成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示，現(xiàn)將參賽選手按成績由好到差編為1～25號，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人，已知選手甲的成績?yōu)?5分鐘，若甲被選取，則被選取的其余4名選手的成績的平均數(shù)為( )
A．95 B．96
C．97 D．98
悟·技法

莖葉圖的應(yīng)用
(1)莖葉圖中的“莖”上的數(shù)字代表十位上的數(shù)字，“葉”上的數(shù)字代表個位上的數(shù)字(若沒有則表示該數(shù)據(jù)不存在)；
(2)解題時，可把莖葉圖中的數(shù)字按大小順序轉(zhuǎn)化為總體的個體數(shù)字再求解.
考點三 頻率分布直方圖[互動講練型]
[例1] [2020·天津卷]從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為( )
A．10 B．18
C．20 D．36
悟·技法
1.繪制頻率分布直方圖時的2個注意點
(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確．
(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq \f(頻率,組距)，而不是頻率．
2．由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時，需掌握的2個關(guān)系式
(1)eq \f(頻率,組距)×組距＝頻率．
(2)eq \f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq \f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù).
[變式練]——(著眼于舉一反三)
1．[2021·長沙市統(tǒng)一模擬考試]某學(xué)校對本校高三500名學(xué)生的視力進行了一次調(diào)查，隨機抽取了100名學(xué)生的體檢表，得到的頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，則估計本校高三這500名學(xué)生中視力在4.8以上(含4.8)的人數(shù)為( )
A．185 B．180
C．195 D．200

eq \x(考點四) 扇形圖與折線圖[互動講練型]
[例2] (1)[2018·全國卷Ⅰ]某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅狀圖：
則下面結(jié)論中不正確的是( )
A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少
B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上
C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍
D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半
(2)[2021·山東濟寧模擬]如圖為某市國慶節(jié)7天假期的樓房認購量與成交量的折線圖，小明同學(xué)根據(jù)折線圖對這7天的認購量(單位：套)與成交量(單位：套)作出如下判斷，其中判斷正確的是( )
A．日成交量的中位數(shù)是26
B．日成交量超過日平均成交量的有2天
C．認購量與日期正相關(guān)
D．10月7日認購量的增幅大于10月7日成交量的增幅
悟·技法
(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚的表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．
(2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的變化趨勢.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
2．[2021·開封市第一次模擬考試]某省普通高中學(xué)業(yè)水平考試成績由高分到低分按人數(shù)所占比例依次分為A，B，C，D，E五個等級，A等級15%，B等級30%，C等級30%，D，E等級共25%.其中E等級為不合格，原則上比例不超過5%.該省某校高二年級學(xué)生都參加學(xué)業(yè)水平考試，先從中隨機抽取了部分學(xué)生的考試成績進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示．若該校高二年級共有1 000名學(xué)生，則估計該年級拿到C等級及以上級別的學(xué)生人數(shù)為( )
A．45 B．660
C．880 D．900
3．某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值(單位：℃)數(shù)據(jù)，繪制如下折線圖：
那么，下列敘述不正確的是( )
A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)
B．全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大
C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10 ℃的月份有5個
D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢

第四節(jié) 用樣本估計總體
【知識重溫】
①頻率分布 ②數(shù)字特征 ③eq \f(頻率,組距) ④面積
⑤等于1 ⑥樣本容量 ⑦組數(shù) ⑧總體密度曲線 ⑨百分比 ⑩最多 ?最中間
?中位數(shù) ?eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn) ?相等
?平均數(shù) ?接近
【小題熱身】
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
(5)√
2．答案：C
3．解析：5個數(shù)的平均數(shù)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它們的方差s2＝eq \f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.
答案：0.1
4．解析：由題意知，在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq \f(14,20)＝0.7.
答案：D
5．解析：∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∴eq \f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，∴eq \f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
答案：16,18
6．解析：記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.
答案：A
課堂考點突破
考點一
1．解析：這5位裁判打出的分數(shù)分別是89,89,90,91,91，因此這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為eq \f(89＋89＋90＋91＋91,5)＝90.
答案：90
2．解析：本題考查中位數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．由題意知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]的頻率依次為0.05,0.35,0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設(shè)中位數(shù)為x，則(x－120)×eq \f(0.3,10)＝0.1，解得x≈123.3.故選C.
答案：C
3．解析：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的方差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差為22×8＝32，故選D.
答案：D
考點二
4．解析：∵甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，
∴由莖葉圖可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7，∴m＝3，
∵乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，∴n＝9，
∴m＋n＝12.故選C.
答案：C
5．解析：由系統(tǒng)抽樣法及已知條件可知被選中的其他4人的成績分別是88,94,99,107，故平均數(shù)為eq \f(88＋94＋99＋107,4)＝97，故選C.
答案：C
考點三
例1 解析：由題知[5.43,5.45)與[5.45,5.47)所對應(yīng)的小矩形的高分別為6.25,5.00，所以[5.43,5.47)的頻率為(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，所以直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為80×0.225＝18，故選B.
答案：B
變式練
1．解析：由題意得頻率分布直方圖前三組的頻率依次為0.03,0.07,0.27，所以前三組的頻數(shù)依次為3,7,27，則后四組的頻數(shù)和為90，又后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，所以后四組的頻數(shù)依次為27,24,21,18，所以視力在4.8以上(含4.8)的頻率為39%，故本校高三這500名學(xué)生中視力在4.8以上(含4.8)的人數(shù)約為500×39%＝195.選C.
答案：C
考點四
例2 解析：(1)設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為2a.新農(nóng)村建設(shè)前后，各項收入的對比如下表：
故選A.
(2)7天假期樓房的成交量從小到大依次為8,13,16,26,32,38,166，所以日成交量的中位數(shù)為26，所以A正確；日平均成交量為eq \f(8＋13＋16＋26＋32＋38＋166,7)≈42.7，只有一天日成交量超過日平均成交量，所以B錯誤；由折線圖的起伏變化可知，認購量與日期不是正相關(guān)，所以C錯誤；10月7日認購量的增幅為eq \f(276－112,112)×100%≈146.4%，10月7日成交量的增幅為eq \f(166－38,38)≈336.8%，顯然10月7日認購量的增幅小于10月7日成交量的增幅，所以D錯誤，故選A.
答案：(1)A (2)A
變式練
2．解析：由題中兩圖可知C等級所占比例為12÷eq \f(10,20%)＝24%，所以C等級及以上級別所占比例為20%＋24%＋46%＝90%，所以C等級及以上級別的學(xué)生人數(shù)為1 000×90%＝900.故選D.
答案：D
3．解析：對于A，根據(jù)折線圖可以發(fā)現(xiàn)除2月份外，各月最低氣溫平均值越高，最高氣溫平均值也越高，總體呈正相關(guān)，A正確；對于B，通過折線圖觀察，2月份的兩個點距離最大，B正確；對于C，各月最低氣溫平均值不高于10 ℃的有1月，2月，3月，11月，12月，共有5個月，C正確；對于D，觀察折線圖可知，7月份到8月份氣溫在上升，D錯誤．
答案：D
身高
(100,110]
(110,120]
(120,130]
(130,140]
(140,150]
頻數(shù)
5
35
30
20
10
新農(nóng)村
建設(shè)前
新農(nóng)村
建設(shè)后
新農(nóng)村建設(shè)
后變化情況
結(jié)論
種植收入
60%a
37%×2a＝74%a
增加
A錯
其他收入
4%a
5%×2a＝10%a
增加了一倍以上
B對
養(yǎng)殖收入
30%a
30%×2a＝60%a
增加了一倍
C對
養(yǎng)殖收入
＋第三產(chǎn)
業(yè)收入
(30%＋6%)a
＝36%a
(30%＋28%)
×2a＝116%a
超過經(jīng)濟收
入2a的一半
D對

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高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)學(xué)案11．2《用樣本估計總體》(含詳解)

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2022屆高三統(tǒng)考數(shù)學(xué)（文科）人教版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：11.4 用樣本估計總體

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