1．排列與組合的概念
2.排列數(shù)與組合數(shù)
微思考
1．排列問題和組合問題的區(qū)別是什么？
提示 元素之間與順序有關的為排列，與順序無關的為組合．
2．排列數(shù)與組合數(shù)公式之間有何關系？它們的公式都有兩種形式，如何選擇使用？
提示 (1)排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系為Ceq \\al(m,n)Aeq \\al(m,m)＝Aeq \\al(m,n).
(2)兩種形式分別為：①連乘積形式；②階乘形式．
前者多用于數(shù)字計算，后者多用于含有字母的排列數(shù)式子的變形與論證．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．( × )
(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．( √ )
(3)若組合式Ceq \\al(x,n)＝Ceq \\al(m,n)，則x＝m成立．( × )
(4)排列定義規(guī)定給出的n個元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況．也就是說，如果某個元素已被取出，則這個元素就不再取了．( √ )
題組二 教材改編
2．從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是( )
A．12 B．24 C．64 D．81
答案 B
解析 4本不同的課外讀物選3本分給3位同學，每人一本，則不同的分配方法種數(shù)為Aeq \\al(3,4)＝24.
3．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( )
A．144 B．120 C．72 D．24
答案 D
解析 “插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為Aeq \\al(3,4)＝4×3×2＝24.
4．Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(4,7)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(6,9)的值為________．(用數(shù)字作答)
答案 210
解析 原式＝Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(6,9)＝Ceq \\al(5,9)＋Ceq \\al(6,9)＝Ceq \\al(6,10)＝Ceq \\al(4,10)＝210.
題組三 易錯自糾
5．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有( )
A．192種 B．216種 C．240種 D．288種
答案 B
解析 第一類：甲在最左端，有Aeq \\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(種)排法；第二類：乙在最左端，甲不在最右端，
有4Aeq \\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(種)排法．
所以共有120＋96＝216(種)排法．
6．某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法種數(shù)為________．
答案 30
解析 分兩種情況：(1)A類選修課選1門，B類選修課選2門，有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)種不同的選法；(2)A類選修課選2門，B類選修課選1門，有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,4)種不同的選法．
所以不同的選法共有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,4)＝18＋12＝30(種).
題型一 排列問題
1．用1,2,3,4,5這五個數(shù)字，可以組成比20 000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，共有( )
A．96個 B．78個 C．72個 D．64個
答案 B
解析 根據(jù)題意知，要求這個五位數(shù)比20 000大，則萬位數(shù)必須是2,3,4,5這4個數(shù)字中的一個，當萬位數(shù)是3時，百位數(shù)不是數(shù)字3，符合要求的五位數(shù)有Aeq \\al(4,4)＝24(個)；當萬位數(shù)是2,4,5時，由于百位數(shù)不能是數(shù)字3，則符合要求的五位數(shù)有3×(Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(3,3))＝54(個)，因此共有54＋24＝78(個)這樣的五位數(shù)符合要求．
2．(2020·惠州調研)七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是( )
A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 800
答案 A
解析 除甲、乙外，其余5個人排列為Aeq \\al(5,5)種排法，再用甲乙去插6個空位有Aeq \\al(2,6)種，不同的排法種數(shù)是Aeq \\al(5,5)Aeq \\al(2,6)＝3 600(種)．
3．受新冠肺炎疫情影響，某學校按上級文件指示，要求錯峰放學，錯峰有序吃飯．高三年級一層樓六個班排隊，甲班必須排在前三位，且丙班、丁班必須排在一起，則這六個班排隊吃飯的不同安排方案共有( )
A．240種 B．120種 C．188種 D．156種
答案 B
解析 根據(jù)題意，按甲班位置分3種情況討論：
(1)甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情況有4Aeq \\al(2,2)＝8(種)，將剩余的三個班全排列，安排到剩下的3個位置，有Aeq \\al(3,3)＝6(種)情況，此時有8×6＝48(種)安排方案；
(2)甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情況有3Aeq \\al(2,2)＝6(種)，將剩下的三個班全排列，安排到剩下的三個位置，有Aeq \\al(3,3)＝6(種)情況，此時有6×6＝36(種)安排方案；
(3)甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情況有3Aeq \\al(2,2)＝6(種)，將剩下的三個班全排列，安排到剩下的三個位置，有Aeq \\al(3,3)＝6(種)情況，此時有6×6＝36(種)安排方案．
由分類加法計數(shù)原理可知共有48＋36＋36＝120(種)方案．
思維升華 (1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法和元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．
(2)常見排列數(shù)的求法為：①相鄰問題采用“捆綁法”．②不相鄰問題采用“插空法”．③有限制元素采用“優(yōu)先法”．④特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù)．
題型二 組合問題
1．(2020·新高考全國Ⅰ)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有( )
A．120種 B．90種 C．60種 D．30種
答案 C
解析 先從6名同學中選1名安排到甲場館，有Ceq \\al(1,6)種選法，再從剩余的5名同學中選2名安排到乙場館，有Ceq \\al(2,5)種選法，最后將剩下的3名同學安排到丙場館，有Ceq \\al(3,3)種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)＝60(種)不同的安排方法．
2．為了應對美歐等國的經濟制裁，俄羅斯天然氣公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，則不同的裁員方案的種數(shù)為________．
答案 182
解析 甲、乙中裁一人的方案有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,8)種，甲、乙都不裁的方案有Ceq \\al(4,8)種，故不同的裁員方案共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,8)＋Ceq \\al(4,8)＝182(種)．
3．從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有______種．(用數(shù)字填寫答案)
答案 16
解析 方法一 按參加的女生人數(shù)可分兩類：只有1位女生參加有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)種，有2位女生參加有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4)種．故所求選法共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4)＝2×6＋4＝16(種)．
方法二 間接法：從2位女生，4位男生中選3人，共有Ceq \\al(3,6)種情況，沒有女生參加的情況有Ceq \\al(3,4)種，故所求選法共有Ceq \\al(3,6)－Ceq \\al(3,4)＝20－4＝16(種)．
思維升華 (1)解排列、組合問題要遵循的兩個原則
①按元素(位置)的性質進行分類．
②按事情發(fā)生的過程進行分步．
具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置)．
(2)兩類含有附加條件的組合問題的方法
①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。?br>②“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法或間接法都可以求解，用直接法分類復雜時，可用間接法求解．
題型三 排列與組合的綜合問題
命題點1 相鄰問題
例1 北京APEC峰會期間，有2位女性和3位男性共5位領導人站成一排照相，則女性領導人甲不在兩端，3位男性領導人中有且只有2位相鄰的站法有( )
A．12種 B．24種 C．48種 D．96種
答案 C
解析 從3位男性領導人中任取2人“捆”在一起記作A，A共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(種)不同排法，剩下1位男性領導人記作B,2位女性分別記作甲、乙；則女領導人甲必須在A，B之間，此時共有6×2＝12(種)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，∴共有12×4＝48(種)不同排法．
命題點2 相間問題
例2 某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
答案 B
解析 安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”．對于第一種情況，形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□”，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)＝36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“□小品1□相聲□小品2□”，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,4)＝48(種)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(種)安排方法．
命題點3 特殊元素(位置)問題
例3 大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車服務，二胎政策的放開使得家庭中有兩個孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個孩子共8人，他們準備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個孩子恰有2個來自于同一個家庭的乘坐方式共有( )
A．18種 B．24種 C．36種 D．48種
答案 B
解析 根據(jù)題意，分兩種情況討論：
①A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個孩子要來自不同的家庭，可以在剩下的三個家庭中任選2個，再從每個家庭的2個孩子中任選一個來乘坐甲車，
有Ceq \\al(2,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(種)乘坐方式；
②A家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個家庭中任選1個，讓其2個孩子都在甲車上，對于剩余的兩個家庭，從每個家庭的2個孩子中任選一個來乘坐甲車，有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(種)乘坐方式．
故共有12＋12＝24(種)乘坐方式，故選B.
思維升華 解排列、組合問題要遵循的兩個原則
(1)按元素(位置)的性質進行分類．
(2)按事情發(fā)生的過程進行分步．
具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置)．
跟蹤訓練 (1)把5件不同的產品擺成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有________種．
答案 36
解析 將產品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產品進行全排列，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)種方法，將產品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產品進行全排列，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)種方法．于是符合題意的擺法共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(種)．
(2)數(shù)學活動小組由12名同學組成，現(xiàn)將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的分配方案有( )
A.eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(3,3))Aeq \\al(4,4)種 B．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34種
C.eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))43種 D．Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)43種
答案 B
解析 方法一 首先將12名同學平均分成四組，有eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))種分法，然后將這四組同學分配到四個不同的課題組，有Aeq \\al(4,4)種分法，并在各組中選出1名組長，有34種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，滿足條件的不同分配方案有eq \f(C\\al(3,12)C\\al(3,9)C\\al(3,6),A\\al(4,4))·Aeq \\al(4,4)·34＝Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)34(種)，故選B.
方法二 根據(jù)題意可知，第一組分3名同學有Ceq \\al(3,12)種分法，第二組分3名同學有Ceq \\al(3,9)種分法，第三組分3名同學有Ceq \\al(3,6)種分法，第四組分3名同學有Ceq \\al(3,3)種分法．第一組選1名組長有3種選法，第二組選1名組長有3種選法，第三組選1名組長有3種選法，第四組選1名組長有3種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，滿足條件的不同分配方案有Ceq \\al(3,12)Ceq \\al(3,9)Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(3,3)34種，故選B.
課時精練
1．“中國夢”的英文翻譯為“China Dream”，其中China又可以簡寫為CN，從“CN Dream”中取6個不同的字母排成一排，含有“ea”字母組合(順序不變)的不同排列共有( )
A．360種 B．480種 C．600種 D．720種
答案 C
解析 從其他5個字母中任取4個，然后與“ea”進行全排列，共有Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(5,5)＝600(種)，故選C.
2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為( )
A．8 B．24 C．48 D．120
答案 C
解析 末位數(shù)字排法有Aeq \\al(1,2)種，其他位置排法有Aeq \\al(3,4)種，共有Aeq \\al(1,2)Aeq \\al(3,4)＝48(種)．
3．有七名同學站成一排照畢業(yè)紀念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學要站在一起，則不同的站法有( )
A．240種 B．192種 C．96種 D．48種
答案 B
解析 當丙和乙在甲的左側時，共有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝96(種)排列方法，同理，當丙和乙在甲的右側時也有96種排列方法，所以共有192種排列方法．
4．不等式Aeq \\al(x,8)

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