1．雙曲線的定義
(1)定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡．
(2)符號表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常數(shù))(00，b>0)，如何求其他具有共同漸近線的雙曲線方程？
提示 可設(shè)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．( × )
(2)雙曲線eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( √ )
(3)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq \r(2).( √ )
(4)若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝1.( √ )
題組二 教材改編
2．若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為( )
A.eq \r(5) B．5 C.eq \r(2) D．2
答案 A
解析 由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，雙曲線的漸近線方程為eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).
3．(2021·阜陽模擬)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))的一條漸近線經(jīng)過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(6)))，則該雙曲線的離心率為( )
A．2 B.eq \r(2) C．3 D.eq \r(3)
答案 A
解析 雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))的一條漸近線為y＝eq \f(b,a)x過第一象限，所以點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(6)))在漸近線y＝eq \f(b,a)x上，可得eq \r(6)＝eq \r(2)×eq \f(b,a)，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1＋3)＝2.
4．經(jīng)過點A(4,1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________．
答案 eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1
解析 設(shè)雙曲線的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝±1(a>0)，
把點A(4,1)代入，得a2＝15(舍負)，
故所求方程為eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1.
題組三 易錯自糾
5．(多選)(2020·遼寧六校協(xié)作體月考)若方程eq \f(x2,3－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1所表示的曲線為C，則下面四個命題中錯誤的是( )
A．若C為橢圓，則10，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，在雙曲線上存在點P滿足2|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|≤|eq \(F1F2,\s\up6(—→))|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C．(1，eq \r(2)] D．[eq \r(2)，＋∞)
答案 B
解析 當P不是雙曲線與x軸的交點時，連接OP，因為OP為△PF1F2的邊F1F2上的中線，所以eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→)))；當P是雙曲線與x軸的交點時，同樣滿足上述等式．因為雙曲線上存在點P滿足2|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|≤|eq \(F1F2,\s\up6(—→))|，所以4|eq \(PO,\s\up6(→))|≤2c，由|eq \(PO,\s\up6(→))|≥a，可知4a≤2c，則e≥2，選B.
(2)(2020·濰坊模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點A，與右支交于點B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq \f(2π,3)，則 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因為∠F1AF2＝eq \f(2,3)π，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝eq \f(1,2)×2a×4a×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)a2.
由雙曲線定義可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以|BA|＝|BF2|，又∠F1AF2＝eq \f(2,3)π，
所以△BAF2為等邊三角形，邊長為4a，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(\r(3),4)|AB|2＝eq \f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq \r(3)a2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq \f(1,2).故選B.
思維升華 (1)求雙曲線的漸近線或離心率的方法
①求出a，b，c直接求離心率，寫漸近線方程．
②列出a，b，c的各次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．
(2)雙曲線性質(zhì)的綜合應用要充分注意與平面幾何知識的聯(lián)系，善于發(fā)現(xiàn)條件中的相等或不等關(guān)系．
跟蹤訓練2 (1)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
答案 D
解析 由題意，可得F(1,0)，直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x.
將x＝－1代入y＝±eq \f(b,a)x，得y＝±eq \f(b,a)，
所以點A，B的縱坐標的絕對值均為eq \f(b,a).
由|AB|＝4|OF|可得eq \f(2b,a)＝4，即b＝2a，b2＝4a2，
故雙曲線的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(5).
(2)設(shè)雙曲線eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右頂點為A，右焦點為F.過點F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為________．
答案 eq \f(32,15)
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.
∴A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，不妨設(shè)直線BF的方程為y＝eq \f(4,3)(x－5)，
代入雙曲線方程解得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).
∴S△AFB＝eq \f(1,2)|AF|·|yB|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
課時精練
1．已知雙曲線eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的標準方程為( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1
答案 D
解析 由題意，得2eq \r(m)＝eq \r(m＋6)，解得m＝2，所以雙曲線的標準方程為eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1.
2．已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是( )
A．(－1,3) B．(－1，eq \r(3))
C．(0,3) D．(0，eq \r(3))
答案 A
解析 ∵方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))＝3，,\f(x\\al(2,0),4)－\f(y\\al(2,0),5)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＝\f(56,9)，,y\\al(2,0)＝\f(25,9)，))所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(14),3)，\f(5,3)))，
所以S△OPF＝eq \f(1,2)|OF|·y0＝eq \f(1,2)×3×eq \f(5,3)＝eq \f(5,2).
6．(2021·山南模擬)已知A，B，C是雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的三個點，AB經(jīng)過原點O，AC經(jīng)過右焦點F，若BF⊥AC且2|AF|＝|CF|，則該雙曲線的離心率是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(\r(17),3) C.eq \f(\r(17),2) D.eq \f(9,4)
答案 B
解析 設(shè)左焦點為F′，|AF|＝m，連接AF′，CF′，BF′，
則|FC|＝2m，|AF′|＝2a＋m，|CF′|＝2a＋2m，|FF′|＝2c.
因為BF⊥AC，且AB經(jīng)過原點O，
所以四邊形FAF′B為矩形．
在Rt△AF′C中，|AF′|2＋|AC|2＝|F′C|2，
代入得(2a＋m)2＋(3m)2＝(2a＋2m)2，
化簡得m＝eq \f(2a,3)，
所以在Rt△AF′F中，|AF′|2＋|AF|2＝|F′F|2，
代入得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(2a,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c))2，
化簡得eq \f(c2,a2)＝eq \f(17,9)，即e＝eq \f(\r(17),3).
7．(多選)(2020·新高考全國Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為eq \r(n)
C．若mn0，則C是兩條直線
答案 ACD
解析 對于A，當m>n>0時，有eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0，方程化為eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確．
對于B，當m＝n>0時，方程化為x2＋y2＝eq \f(1,n)，表示半徑為eq \r(\f(1,n))的圓，故B錯誤．
對于C，當m>0，n0時，方程化為y＝±eq \r(\f(1,n))，表示兩條平行于x軸的直線，故D正確．
8．(多選)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點，點P是其一條漸近線上一點，且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點P，則( )
A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x
B．以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1
C．點P的橫坐標為±1
D．△PF1F2的面積為eq \r(2)
答案 ACD
解析 等軸雙曲線C：y2－x2＝1的漸近線方程為y＝±x，故A正確；
由雙曲線的方程可知|F1F2|＝2eq \r(2)，
所以以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝2，故B錯誤；
點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝2上，
不妨設(shè)點P(x0，y0)在直線y＝x上，
所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，
則點P的橫坐標為±1，故C正確；
由上述分析可得△PF1F2的面積為eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，故D正確．
故選ACD.
9．(2020·北京)已知雙曲線C：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，則C的右焦點的坐標為________；C的焦點到其漸近線的距離是________．
答案 (3,0) eq \r(3)
解析 由eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，得c2＝a2＋b2＝9，
解得c＝3，焦點在x軸上，
所以雙曲線C的右焦點坐標為(3,0)．
雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq \f(\r(3),\r(6))x，
即x－eq \r(2)y＝0，
所以焦點(3,0)到漸近線的距離為d＝eq \f(3,\r(1＋?－\r(2)?2))＝eq \r(3).
10．(2021·焦作模擬)已知左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2的雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線l：x－2y＝0互相垂直，點P在雙曲線C上，且|PF1|－|PF2|＝3，則雙曲線C的焦距為________．
答案 3eq \r(5)
解析 雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線為y＝±eq \f(b,a)x，
一條漸近線與直線l：x－2y＝0相互垂直，可得eq \f(b,a)＝2，
即b＝2a，由雙曲線的定義可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
可得a＝eq \f(3,2)，b＝3，即有c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(\f(9,4)＋9)＝eq \f(3\r(5),2)，
即焦距為2c＝3eq \r(5).
11.如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________．
答案 eq \r(3)＋1
解析 設(shè)|F1F2|＝2c，連接AF1(圖略)，
∵△F2AB是等邊三角形，且F1F2是⊙O的直徑，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c,2a＝eq \r(3)c－c，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1.
12．(2021·廣安鄰水實驗中學模擬)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為原點，若以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個交點為P，且|F1P|＝eq \r(3)|OP|，則C的漸近線方程為________．
答案 y＝±eq \r(3)x
解析 根據(jù)雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，O為原點，以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個交點為P，如圖所示，
則|F1O|＝|OP|＝c，|F1P|＝eq \r(3)|OP|＝eq \r(3)c，
所以在△POF1中，由余弦定理可得cs∠POF1＝eq \f(|OP|2＋|OF1|2－|PF1|2,2|OP|·|OF1|)＝eq \f(c2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)c))2,2×c×c)＝－eq \f(1,2).
所以∠POF1＝eq \f(2π,3)，則∠POF2＝eq \f(π,3)，
所以tan∠POF2＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3)，
則漸近線方程為y＝±eq \r(3)x.
13．(多選)(2021·百師聯(lián)盟模擬)雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點在圓O：x2＋y2＝13上，圓O與雙曲線C的漸近線在第一、二象限分別交于點M，N，點E(0，a)滿足eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0(其中O為坐標原點)，則( )
A．雙曲線C的一條漸近線方程為3x－2y＝0
B．雙曲線C的離心率為eq \f(\r(13),2)
C．|eq \(OE,\s\up6(→))|＝1
D．△OMN的面積為6
答案 ABD
解析 如圖，設(shè)雙曲線C的焦距為2c＝2eq \r(13)，MN與y軸交于點P，由題意可知|OM|＝c＝eq \r(13)，則P(0，b)，由eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0得點E為△OMN的重心，可得|OE|＝eq \f(2,3)|OP|，即a＝eq \f(2,3)b，eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(9,4)，
所以a＝2，b＝3，e＝eq \f(\r(13),2).
雙曲線C的漸近線方程為3x±2y＝0，|eq \(OE,\s\up6(→))|＝2，M的坐標為(2,3)，S△OMN＝6，
故選ABD.
14.(2020·臨川一中模擬)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右頂點，F(xiàn)是右焦點，B是虛軸的上頂點．若在線段BF上(不含端點)存在不同的兩點Pi(i＝1,2)，使得eq \(PiA1,\s\up6(—→))·eq \(PiA2,\s\up6(—→))＝0，則雙曲線離心率的取值范圍是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(5)＋1,2)))
解析 設(shè)c為半焦距，則F(c,0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2為直徑的圓的方程為⊙O：x2＋y2＝a2，
因為eq \(PiA1,\s\up6(—→))·eq \(PiA2,\s\up6(—→))＝0，i＝1,2，
所以⊙O與線段BF有兩個交點(不含端點)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(bc,\r(b2＋c2))a，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c4－3a2c2＋a42a2，))
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e4－3e2＋12，))解得eq \r(2)e2
B．當a>b時，e1>e2；當a0，
所以當a>b時，00，b>0)
圖形
性質(zhì)
焦點
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范圍
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實半軸長：a，虛半軸長：b
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

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