(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點復(fù)習(xí)8.5《雙曲線》學(xué)案 (含詳解)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?第五節(jié)　雙曲線
核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向
1.結(jié)合雙曲線的定義，求軌跡方程及焦點三角形，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)，考查求相關(guān)量的計算，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．

[理清主干知識]
1．雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)當(dāng)2a|F1F2|時，P點不存在．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
圖形

性質(zhì)
范圍
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)
實虛軸
線段A1A2是雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；
線段B1B2是雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；
a是雙曲線的實半軸長，b是雙曲線的虛半軸長
a，b，c
的關(guān)系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3．常用結(jié)論
(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
(2)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)等軸雙曲線
①定義：中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．
②性質(zhì)：a＝b；e＝；漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．
(4)共軛雙曲線
①定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．
②性質(zhì)：它們有共同的漸近線；它們的四個焦點共圓；它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.

[澄清盲點誤點]
一、關(guān)鍵點練明
1．(雙曲線的定義)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且|PF1|＝5，則|PF2|＝(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．3
C．7 D．3或7
解析：選D　∵||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF2|＝7或3.
2．(雙曲線的實軸)雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：選C　雙曲線2x2－y2＝8的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，故實軸長為4.
3．(雙曲線的漸近線)若雙曲線C：－y2＝1(m>0)的一條漸近線方程為3x＋2y＝0，則實數(shù)m＝(　　)
A. B．
C. D．
答案：A
4．(雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程)以橢圓＋＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為__________．
解析：設(shè)所求的雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，
由橢圓＋＝1，得焦點為(±1,0)，頂點為(±2,0)．
所以雙曲線的頂點為(±1,0)，焦點為(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1.
答案：x2－＝1
5．(雙曲線的離心率)若雙曲線－＝1(a＞0)的離心率為，則a＝________.
解析：設(shè)焦距為2c，則＝，即c2＝a2.由c2＝a2＋4得a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.
答案：4
二、易錯點練清
1．(忽視雙曲線定義的條件)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點的軌跡是________________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝62，故|PF2|＝6.
答案：6
3．(忽視焦點的位置)以坐標(biāo)原點為對稱中心，兩坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為________．
解析：若雙曲線的焦點在x軸上，
設(shè)雙曲線的方程為－＝1，
則漸近線的方程為y＝±x，
由題意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，
則e＝＝2；若雙曲線的焦點在y軸上，
設(shè)雙曲線的方程為－＝1，
則漸近線的方程為y＝±x，
由題意可得＝tan＝，a＝b，
可得c＝a，則e＝.綜上可得e＝2或e＝.
答案：2或

考點一　雙曲線的定義及其應(yīng)用
考法(一)　利用定義求軌跡方程
[例1]　已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2外切，則動圓圓心M的軌跡方程為____________________．
[解析]　如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因為|MA|＝|MB|，
所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝20)的左焦點為(－3,0)，且C的離心率為，則C的方程為(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：選C　由題意，可得c＝3，又由e＝＝，∴a＝2，
又b2＝32－22＝5，故C的方程為－＝1，故選C.
2．(2020·天津高考)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點和點(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為(　　)
A.－＝1 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
解析：選D　法一：由題知y2＝4x的焦點坐標(biāo)為(1,0)，則過焦點和點(0，b)的直線方程為x＋＝1，而－＝1的漸近線方程為＋＝0和－＝0，由l與一條漸近線平行，與另一條漸近線垂直，得a＝1，b＝1，故選D.
法二：由題知雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，則a＝b，即漸近線方程為x±y＝0，排除B、C.又知y2＝4x的焦點坐標(biāo)為(1,0)，l過點(1,0)，(0，b)，所以＝－1，b＝1，故選D.
考點三　雙曲線的幾何性質(zhì)
考法(一)　求雙曲線的漸近線方程
[例1]　(1)(2021·湖南長沙模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為雙曲線上一點，若cos∠F1MF2＝，|MF1|＝2|MF2|，則此雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
(2)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
[解析]　(1)由題意，得|MF1|－|MF2|＝2a，
又|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，
∴cos∠F1MF2＝＝，
化簡得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，
又a>0，b>0，∴＝，
∴此雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故選A.
(2)法一：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x.設(shè)兩條漸近線的夾角為2α，則有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故選B.
法二：因為雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過點F的直線與直線y＝x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則 ∠MFO＝60°，又直線MN過點F(2,0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)，
由得
所以M，所以|OM|＝＝，
所以|MN|＝|OM|＝3，故選B.
[答案]　(1)A　(2)B
[方法技巧]
涉及雙曲線漸近線的幾個常用結(jié)論
(1)求雙曲線－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x.
(2)已知漸近線方程為y＝±x，可設(shè)雙曲線方程為－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
[提醒]　兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸、y軸對稱．　

考法(二)　求雙曲線的離心率
[例2]　(1)若雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0)的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝1無交點，則C的離心率的取值范圍為(　　)
A. B．
C. D．
(2)(2019·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________．
[解析]　(1)∵雙曲線漸近線為bx±ay＝0與圓(x－3)2＋y2＝1無交點，
∴圓心到漸近線的距離大于半徑，即＞1，
∴8b2＞a2，∴8(c2－a2)＞a2，即8c2>9a2，
∴e＝＞.故選C.
(2)法一：由＝，得A為F1B的中點．
又∵O為F1F2的中點，
∴OA∥BF2.
又·＝0，∴∠F1BF2＝90°.
∴|OF2|＝|OB|，
∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2為等邊三角形．
如圖所示，不妨設(shè)B為.
∵點B在直線y＝－x上，∴＝，
∴離心率e＝＝＝2.

法二：∵·＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O為F1F2的中點，∴|OF2|＝|OB|＝c.如圖，作BH⊥x軸于H，由l1為雙曲線的漸近線，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F(xiàn)2(c,0)．
又∵＝，∴A為F1B的中點．
∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，∴離心率e＝＝2.
[答案]　(1)C　(2)2
[方法技巧]
1．求雙曲線的離心率或其范圍的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范圍．
(3)因為離心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應(yīng)c的值，進而求出離心率，能有效簡化計算．
(4)通過特殊位置求出離心率．
2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：當(dāng)k>0時，k＝＝＝＝；當(dāng)k0)．由題意可知a＝8，圖中的A點坐標(biāo)為(10,10)．將a＝8，(10,10)代入雙曲線方程，可得b＝，所以＝，所以e＝＝.
答案：

一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度
1．雙曲線－y2＝1的實軸長為(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．2
C．2 D．2
解析：選D　由題知a2＝2，∴a＝，故實軸長為2a＝2，故選D.
2．雙曲線－＝1的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：選C　雙曲線－＝1的漸近線方程為－＝0，整理得y2＝2x2，
解得y＝±x，故選C.
3．已知雙曲線－＝1(b>0)的漸近線方程為x±y＝0，則b＝(　　)
A．2 B．
C. D．12
解析：選A　因為雙曲線－＝1(b>0)的漸近線方程為y＝±x，又漸近線方程為y＝±x，所以＝，b＝2，故選A.
4．設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，一條漸近線為y＝x，則雙曲線C的方程為(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：選A　因為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，所以2b＝4，b＝2，
因為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝x，所以＝?a＝2b＝4，
所以雙曲線M的方程為－＝1，故選A.
5．若a＞1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：選C　由題意得雙曲線的離心率e＝，
即e2＝＝1＋.
∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
6．(2020·北京高考)已知雙曲線C：－＝1，則C的右焦點的坐標(biāo)為________；C的焦點到其漸近線的距離是________．
解析：雙曲線C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，則C的右焦點的坐標(biāo)為(3,0)．C的漸近線方程為y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，則C的焦點到其漸近線的距離d＝＝.
答案：(3,0)　

二、綜合練——練思維敏銳度
1．若實數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線－＝1與曲線－＝1的(　　)
A．離心率相等 B．虛半軸長相等
C．實半軸長相等 D．焦距相等
解析：選D　由00)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B, C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為(　　)
A．± B．±
C．±1 D．±
解析：選C　由題設(shè)易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b.∵漸近線方程為y＝±x，即y＝±x，∴漸近線的斜率為±1.
3．已知雙曲線－＝1的右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點A(0，)，則 △APF周長的最小值為(　　)
A．4(1＋) B．4＋
C．2(＋) D．＋3
解析：選A　設(shè)雙曲線的左焦點為F′，易得點F(，0)，△APF的周長l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周長最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點共線時取到最小值，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故選A.
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，從雙曲線C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為(　　)
A.－＝1 B．－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：選D　因為雙曲線C的右焦點F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又雙曲線C的離心率為，所以＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以雙曲線C的方程為x2－＝1，故選D.
5．(2020·全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝a與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：選B　由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±x.因為D，E分別為直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線的交點，所以不妨設(shè)D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值為8，故選B.
6．已知雙曲線C：－＝1的一條漸近線l的傾斜角為，且C的一個焦點到l的距離為，則雙曲線C的方程為(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：選D　由－＝0可得y＝±x，即漸近線的方程為y＝±x，又一條漸近線l的傾斜角為，
所以＝tan＝.
因為雙曲線C的一個焦點(c,0)到l的距離為，
所以＝b＝，
所以a＝1，
所以雙曲線的方程為x2－＝1.
7．(2021·黃山一診)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的焦點，A為雙曲線上一點，若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：選C　因為雙曲線的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以cos∠AF2F1＝＝＝，故選C.
8．(多選)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則下列說法正確的是(　　)
A．|F2P|＝b
B．雙曲線的離心率為
C．雙曲線的漸近線方程為y＝±x
D．點P在直線x＝a上
解析：選ABD　由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即bx－ay＝0，
設(shè)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(a>0，b>0，c>0)，
因為過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，
所以|F2P|＝＝＝b，故A正確；
因為|OP|＝＝＝a，所以|PF1|＝|OP|＝a，cos∠F1OP＝cos(180°－∠F2OP)＝－cos∠F2OP＝－＝－，
在三角形OPF1中，根據(jù)余弦定理可知cos∠F1OP＝＝＝－，解得3a2＝c2，即離心率e＝或e＝－(舍去)，故B正確；
因為e＝＝，解得＝，所以漸近線的方程為y＝±x，故C錯誤；
因為點P在直線y＝x上，可設(shè)P(x，x)(x>0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝＝x＝a，解得x＝a，故D正確．
9．已知雙曲線C：－＝1，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為P，Q，若△POQ為直角三角形，則|PQ|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：選C　對于雙曲線C：－＝1，右焦點為F(4,0)，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，由過點F的直線交兩漸近線于P，Q，不妨設(shè)點P在第一象限，點Q在第四象限，∠OPQ＝90°，如圖所示，
則在Rt△POQ中，∠POQ＝60°.
又∠POF＝30°，|OF|＝4，∴|OP|＝2，
∴|PQ|＝|OP|＝6.故選C.
10．已知曲線＋＝1，當(dāng)曲線表示焦點在y軸上的橢圓時k的取值范圍是________；當(dāng)曲線表示雙曲線時k的取值范圍是________．
解析：當(dāng)曲線表示焦點在y軸上的橢圓時，k2－k＞2，
所以k＜－1或k＞2；
當(dāng)曲線表示雙曲線時，k2－k＜0，所以0＜k＜1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)　(0,1)
11．若點P是以A(－3,0)，B(3,0)為焦點，實軸長為2的雙曲線與圓x2＋y2＝9的一個交點，則|PA|＋|PB|＝________.
解析：不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則|PA|＞|PB|.
因為點P是雙曲線與圓的交點，
所以由雙曲線的定義知，|PA|－|PB|＝2，①
又|PA|2＋|PB|2＝36，②
聯(lián)立①②化簡得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2.
答案：2
12．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若S△AOB＝2，則雙曲線的離心率e＝________.
解析：由題意，知拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－1，雙曲線的漸近線方程是y＝±x.當(dāng)x＝－1時，y＝±，即A，B或A，B.所以S△AOB＝×2××1＝2，即＝2，所以e＝＝.
答案：
13．已知雙曲線C：x2－＝1，過左焦點F1的直線l與雙曲線C的左支以及漸近線y＝2x交于A，B兩點，若F1A―→＝AB―→，求直線l的斜率．
解：由題意知，雙曲線C的左焦點F1(－3，0)，故設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋3)，與y＝2x聯(lián)立，得B，
由F1A―→＝AB―→，得A為F1B的中點，
由中點坐標(biāo)公式得A.
∵點A在雙曲線上，∴2－＝1.
即23k2－56k＋40＝0，解得k＝或k＝2(舍去)．
14．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(c,0)．
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率．
解：(1)因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以雙曲線的方程為－＝1.
(2)設(shè)點A的坐標(biāo)為(x0，y0)，
所以直線AO的斜率滿足·(－)＝－1，
所以x0＝y(tǒng)0，①
依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，
將①代入圓的方程得3y＋y＝c2，
即y0＝c，
所以x0＝c，所以點A的坐標(biāo)為，
代入雙曲線方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因為a2＋b2＝c2，所以將b2＝c2－a2代入②式，
整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
所以34－82＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因為e>1，所以e＝，所以雙曲線的離心率為.

三、自選練——練高考區(qū)分度
1．過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C.若＝，則雙曲線的離心率是(　　)
A. B．
C. D．
解析：選C　直線l：y＝－x＋a與漸近線l1：bx－ay＝0交于B，l與漸近線l2：bx＋ay＝0交于C，A(a,0)，
所以＝，＝，
因為＝，所以b＝2a，所以c2－a2＝4a2，所以e2＝＝5，所以e＝，故選C.
2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為離心率e＝的雙曲線C：－＝1的左、右焦點，A1，A2分別為雙曲線C的左、右頂點，以F1，F(xiàn)2為直徑的圓交雙曲線的漸近線l于M，N兩點，若四邊形MA2NA1的面積為4，則b＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：選A　由e＝＝，得＝2，故漸近線方程為y＝2x, 以F1，F(xiàn)2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝c2，聯(lián)立得y＝±，由雙曲線與圓的對稱性知四邊形MA2NA1為平行四邊形，不妨設(shè)yM＝，則四邊形MA2NA1的面積S＝2a×＝4，得ac＝，又＝，得a＝1，c＝，b＝2，故選A.
3．(多選)已知動點P在雙曲線C：x2－＝1上，雙曲線C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．C的離心率為2
B．C的漸近線方程為y＝±x
C．動點P到兩條漸近線的距離之積為定值
D．當(dāng)動點P在雙曲線C的左支上時，的最大值為
解析：選AC　對于雙曲線C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2,
所以雙曲線C的離心率為e＝＝2，漸近線方程為y＝±x，A選項正確，B選項錯誤；
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x－＝1，雙曲線C的兩條漸近線方程分別為x－y＝0和x＋y＝0，
則點P到兩條漸近線的距離之積為·＝＝，C選項正確；
當(dāng)動點P在雙曲線C的左支上時，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，
所以＝＝＝≤＝，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝2時，等號成立，所以的最大值為，D選項錯誤．故選A、C.

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