2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.6-雙曲線【導(dǎo)學(xué)案】-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的______等于非零常數(shù)(____|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的____，兩焦點間的距離叫做雙曲線的____．
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)
3．等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為________，離心率為e＝__．
[常用結(jié)論]
1．雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的幾個常用結(jié)論
(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b．
(2)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為2b2a，異支的弦中最短的為實軸，其長為2a．
(4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個不同的點，其中A，B關(guān)于原點對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為b2a2．
(5)P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ為∠F1PF2.
(6)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點，則|PF1|＋|PF2|≥2c.
2．巧設(shè)雙曲線方程
(1)與雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的方程可表示為x2a2?y2b2＝t(t≠0)．
(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設(shè)為mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．( )
(2)方程x2m?y2n＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．( )
(3)雙曲線x2m2?y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是x2m2?y2n2＝0，即xm±yn＝0．( )
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于2．( )
二、教材經(jīng)典衍生
1．(人教A版選擇性必修第一冊P127習(xí)題3.2T1改編)已知雙曲線x2－y216＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于________．
2．(人教A版選擇性必修第一冊P124例3改編)雙曲線x224?y225＝－1的實軸長為________，離心率為________，漸近線方程為________．
3．(人教A版選擇性必修第一冊P120例1改編)已知平面內(nèi)兩定點A(－5，0)，B(5，0)，動點M滿足|MA|－|MB|＝6，則點M的軌跡方程是________．
4．(人教A版選擇性必修第一冊P121練習(xí)T3改編)若方程x22+m+y2m+1＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是________．
考點一雙曲線的定義及其應(yīng)用
[典例1] (1)在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(－3，0)，B(3，0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為( )
A．x24?y25＝1(x>2)
B．x29?y25＝1(x>3)
C．x29+y25＝1(00)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點A，與右支交于點B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，則S△AF1F2S△ABF2＝( )
A．1 B．12
C．13 D．23
[聽課記錄]

1．求雙曲線漸近線方程的方法
求雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2?x2b2＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令x2a2?y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2?x2b2＝0，得y＝±abx.
2．求雙曲線的離心率或其范圍的方法
(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2?a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．
[跟進訓(xùn)練]
3．(1)(多選)(2024·山東濰坊模擬)已知雙曲線M：x2a2?y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距為4，兩條漸近線的夾角為60°，則下列說法正確的是( )
A．M的離心率為233
B．M的標準方程為x2－y23＝1
C．M的漸近線方程為y＝±33x
D．直線x＋y－2＝0經(jīng)過M的一個焦點
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則該雙曲線的漸近線方程為________．
(3)已知點F是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________．
考點四直線與雙曲線的位置關(guān)系
[典例6] (1)(2023·全國乙卷)設(shè)A，B為雙曲線x2－y29＝1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐標系xOy中，已知點F1(－17，0)，F(xiàn)2(17，0)，點M滿足|MF1|－|MF2|＝2，記M的軌跡為C.
①求C的方程；
②設(shè)點T在直線x＝12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和．
[聽課記錄]

解決直線與雙曲線的位置關(guān)系有關(guān)的問題時，有時利用數(shù)形結(jié)合思想，有時利用方程思想．根據(jù)直線的斜率k與漸近線的斜率或某切線的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系會比較快捷．
[跟進訓(xùn)練]
4．(1)已知雙曲線x216?y29＝1的左焦點為F1，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則直線l斜率的取值范圍為( )
A．?43，43
B．?∞，?34∪34，+∞
C．?34，34
D．?∞，?43∪43，+∞
(2)過雙曲線x2－y23＝1的右焦點作直線l交雙曲線于A，B兩點，則滿足|AB|＝6的直線l有( )
A．4條 B．3條
C．2條 D．1條
(3)(多選)已知雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c，過右焦點F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，則下列說法正確的是( )
A．弦AB的最小值為2b2a
B．若AB＝m，則△F1AB的周長為2m＋4a
C．若AB的中點為M，O為坐標原點且AB的斜率為k，則kOM·k＝b2a2
D．若直線AB的斜率為3，則雙曲線的離心率e∈[2，＋∞)
參考答案與解析
[考試要求] 1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.2．掌握其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3．了解雙曲線的簡單應(yīng)用．
1．雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)
3．等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝2．
[常用結(jié)論]
1．雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的幾個常用結(jié)論
(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b．
(2)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為2b2a，異支的弦中最短的為實軸，其長為2a．
(4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個不同的點，其中A，B關(guān)于原點對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為b2a2．
(5)P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ為∠F1PF2.
(6)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點，則|PF1|＋|PF2|≥2c.
2．巧設(shè)雙曲線方程
(1)與雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的方程可表示為x2a2?y2b2＝t(t≠0)．
(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設(shè)為mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．( )
(2)方程x2m?y2n＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．( )
(3)雙曲線x2m2?y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是x2m2?y2n2＝0，即xm±yn＝0．( )
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于2．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材經(jīng)典衍生
1．(人教A版選擇性必修第一冊P127習(xí)題3.2T1改編)已知雙曲線x2－y216＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于________．
6 [設(shè)雙曲線的焦點為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又雙曲線上的點到它的焦點的距離的最小值為c－a＝17－1＞2，故|PF2|＝6．]
2．(人教A版選擇性必修第一冊P124例3改編)雙曲線x224?y225＝－1的實軸長為________，離心率為________，漸近線方程為________．
10 75 y＝±5612x [雙曲線y225?x224＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，
∴實軸長為2a＝10，離心率e＝ca＝75，
漸近線方程為y＝±5612x.]
3．(人教A版選擇性必修第一冊P120例1改編)已知平面內(nèi)兩定點A(－5，0)，B(5，0)，動點M滿足|MA|－|MB|＝6，則點M的軌跡方程是________．
x29?y216＝1(x≥3) [由雙曲線的定義知，點M的軌跡是雙曲線的右支．又由題意可知焦點在x軸上，且c＝5，a＝3，所以b＝c2?a2＝4，故點M的軌跡方程為x29?y216＝1(x≥3)．]
4．(人教A版選擇性必修第一冊P121練習(xí)T3改編)若方程x22+m+y2m+1＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是________．
(－2，－1) [因為方程x22+m+y2m+1＝1表示雙曲線，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1．]
考點一雙曲線的定義及其應(yīng)用
[典例1] (1)在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(－3，0)，B(3，0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為( )
A．x24?y25＝1(x>2)
B．x29?y25＝1(x>3)
C．x29+y25＝1(00)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點A，與右支交于點B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，則S△AF1F2S△ABF2＝( )
A．1 B．12
C．13 D．23
(1)A (2)B [(1)因為F1?3，0，F(xiàn)23，0，x022?y02＝1，所以MF1·MF2＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x02+y02－3＜0，即3y02－1＜0，解得－33＜y0＜33.故選A.
(2)如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，
所以|AF2|＝4a，
因為∠F1AF2＝2π3，
所以S△AF1F2＝12|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2
＝12×2a×4a×32＝23a2.
由雙曲線定義可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以△BAF2為等邊三角形，邊長為4a，
所以S△ABF2＝34|AB|2＝34×(4a)2＝43a2，
所以S△AF1F2S△ABF2＝23a243a2＝12.
故選B.]
1．求雙曲線漸近線方程的方法
求雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2?x2b2＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令x2a2?y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2?x2b2＝0，得y＝±abx.
2．求雙曲線的離心率或其范圍的方法
(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2?a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．
[跟進訓(xùn)練]
3．(1)(多選)(2024·山東濰坊模擬)已知雙曲線M：x2a2?y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距為4，兩條漸近線的夾角為60°，則下列說法正確的是( )
A．M的離心率為233
B．M的標準方程為x2－y23＝1
C．M的漸近線方程為y＝±33x
D．直線x＋y－2＝0經(jīng)過M的一個焦點
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則該雙曲線的漸近線方程為________．
(3)已知點F是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________．
(1)ACD (2)y＝±3x (3)(1，2) [(1)因為雙曲線M：x2a2?y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距為4，所以有a2＋b2＝c2＝4，①，
雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則過一、三象限的漸近線的斜率為3或33，即ba＝3或ba＝33，②
聯(lián)立①②可得：a2＝1，b2＝3，c2＝4或a2＝3，b2＝1，c2＝4.
因為a＞b，所以a2＝3，b2＝1，c2＝4，
故雙曲線M的方程為x23－y2＝1.
M的離心率為43＝233，A正確；
雙曲線M的標準方程為x23－y2＝1，B錯誤；
M的漸近線方程為y＝±33x，C正確；
直線x＋y－2＝0經(jīng)過M的一個焦點(2，0)，D正確．故選ACD.
(2)因為雙曲線的方程是x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)，
所以雙曲線的漸近線方程為y＝±bax，
因為離心率為e＝ca＝2，可得c＝2a，所以c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝3a，由此可得雙曲線的漸近線方程為y＝±3x.
(3)若△ABE是銳角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝b2a，|FE|＝a＋c，則b2a＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，則e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，則1＜e＜2．]
【教師備選資源】
1．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且cs ∠BAC＝－35，AB⊥BD，則雙曲線E的離心率為( )
A．52 B．173
C．102 D．5
B [依題意，直線CA，DB都過點F1，
如圖，有AB⊥BF1，cs ∠BAF1＝35.
設(shè)|BF2|＝m，則|BF1|＝2a＋m，顯然有tan ∠BAF1＝43，|AB|＝34|BF1|＝34(2a＋m)，|AF2|＝32a－14m，因此|AF1|＝2a＋|AF2|＝72a－14m.
在Rt△ABF1中，|AB|2＋|BF1|2＝|AF1|2，
即916(2a＋m)2＋(2a＋m)2＝72a?14m2，
解得m＝23a，即|BF1|＝83a，|BF2|＝23a.
令雙曲線半焦距為c，
在Rt△BF1F2中，|BF2|2＋|BF1|2＝|F1F2|2，
即23 a2＋83 a2＝(2c)2，解得ca＝173，
所以雙曲線E的離心率為173.故選B.]
2．(2024·天津西青區(qū)模擬)設(shè)P是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)與圓x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若tan ∠PF2F1＝3，則雙曲線的離心率為( )
A．10 B．102
C．3 D．2
B [如圖，連接PF1，PF2，由題意可得PF1⊥PF2，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由雙曲線的定義可得m－n＝2a，
且m2＋n2＝4c2，tan ∠PF2F1＝mn＝3，
則m＝3a，n＝a，9a2＋a2＝4c2，
即有c2＝52a2，e＝ca＝102.
故選B.]
3．(2024·廣東汕頭金山中學(xué)模擬)如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為70米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑為25米，塔底部塔口半徑為202米，則該雙曲線的離心率為________．
5 [如圖，以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為x軸，垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)雙曲線的方程為x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由題意知|OA|＝a＝20，
設(shè)C(25，m)(m＞0)，B(202，－70＋m)，
所以252202?m2b2=1，2022202?m?702b2=1，解得b=40，m=30，
所以c2＝a2＋b2＝400＋1 600＝2 000，
所以e＝ca＝2 00020＝5.]
考點四直線與雙曲線的位置關(guān)系
[典例6] (1)(2023·全國乙卷)設(shè)A，B為雙曲線x2－y29＝1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐標系xOy中，已知點F1(－17，0)，F(xiàn)2(17，0)，點M滿足|MF1|－|MF2|＝2，記M的軌跡為C.
①求C的方程；
②設(shè)點T在直線x＝12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和．
(1)D [結(jié)合選項可知，直線AB的斜率存在且不為零．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x0，y0)，由點A，B在雙曲線上，得x12?y129=1，x22?y229=1，兩式作差，得x12?x22＝y(tǒng)12?y229，即(x1－x2)(x1＋x2)＝y(tǒng)1?y2y1+y29，y1?y2y1+y2x1?x2x1+x2＝9，即y1?y2x1?x2·y1+y22x1+x22＝kAB·y0x0＝9，因此kAB＝9·x0y0.
由雙曲線方程可得漸近線方程為y＝±3x，如圖．對于A選項，因為kAB＝9×11＝9>3，所以直線AB與雙曲線無交點，不符合題意；對于B選項，因為kAB＝9×?12＝－920)，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±bax，
結(jié)合漸近線的特點，只需01，所以11)上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 2，求△PAQ的面積．
[解] (1)因為點A(2，1)在雙曲線C：x2a2?y2a2?1＝1(a＞1)上，所以4a2?1a2?1＝1，解得a2＝2，即雙曲線C的方程為x22－y2＝1，由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立y=kx+m，x22?y2=1，得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0?m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－4mk2k2?1，x1x2＝2m2+22k2?1，所以由kAP＋kAQ＝0可得，y2?1x2?2+y1?1x1?2＝0，即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，所以2k×2m2+22k2?1＋(m－1－2k)×?4mk2k2?1－4(m－1)＝0，化簡得8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，所以k＝－1或m＝1－2k，
當(dāng)m＝1－2k時，直線l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，
過點A(2，1)，與題意不符，舍去，故k＝－1.
(2)不妨設(shè)直線AP，AQ的傾斜角為α，β(α＜β)，因為kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π，因為tan ∠PAQ＝2 2，所以tan (β－α)＝2 2，即tan 2α＝－2 2，即2tan2α－tanα－2＝0，解得tan α＝2，于是，直線AP：y＝2(x－2)＋1，直線AQ：y＝－2(x－2)＋1，聯(lián)立y=2x?2+1，x22?y2=1，得32x2＋2 2(1－2 2)x＋10－4 2＝0，因為方程有一個根為2，所以xP＝10?4 23，yP＝4 2?53，同理可得，xQ＝10+4 23，yQ＝?4 2?53.
所以PQ：x＋y－53＝0，|PQ|＝163，
點A到直線PQ的距離d＝2+1?532＝2 23，
故△PAQ 的面積為12×163×2 23＝16 29標準方程
x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2?x2b2＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
焦點
________________________________
________________________________
焦距
__________________
范圍
________或______，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性
對稱軸：______；對稱中心：____
頂點
________________________________
________________________________
軸
實軸：線段________，長：____；虛軸：線段________，長：____，實半軸長：__，虛半軸長：__
離心率
e＝ca∈____________
漸近線
y＝±bax
y＝±abx
a，b，c的關(guān)系
c2＝__________ (c>a>0，c>b>0)
標準方程
x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2?x2b2＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
焦點
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范圍
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實半軸長：a，虛半軸長：b
離心率
e＝ca∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±bax
y＝±abx
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

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