新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第8章 §8.5 第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)（含解析）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．橢圓的定義
(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．
(2)焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.
(3)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|；半焦距：焦距的一半．
2．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
微思考
1．在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a0)與eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
題組二教材改編
2．已知F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，若點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則P點(diǎn)的軌跡方程是
____________．
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
解析因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中a＝5，c＝3，b＝eq \r(a2－c2)＝4，故點(diǎn)P的軌跡方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
3．若橢圓eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m＝________.
答案 4或8
解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq \f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為________．
答案 eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
解析如圖，設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由橢圓的定義可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又△ABF2的周長為16，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，
即4a＝16，a＝4，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
則c＝2eq \r(2)，b＝eq \r(a2－c2)＝2eq \r(2)，
故橢圓C的方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
5．已知點(diǎn)P是橢圓eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．
由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，
所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，
得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
題組三易錯(cuò)自糾
6．若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示橢圓，則m滿足的條件是____________________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>\f(1,2)))且m≠1))
解析由方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示橢圓，
知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,2m－1>0，,m≠2m－1，))解得m>eq \f(1,2)且m≠1.
7．已知橢圓eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1(m>0)的離心率e＝eq \f(\r(10),5)，則m的值為________．
答案 3或eq \f(25,3)
解析若a2＝5，b2＝m，則c＝eq \r(5－m)，
由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),5)，即eq \f(\r(5－m),\r(5))＝eq \f(\r(10),5)，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，
則c＝eq \r(m－5).
由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),5)，即eq \f(\r(m－5),\r(m))＝eq \f(\r(10),5)，
解得m＝eq \f(25,3).
綜上，m＝3或eq \f(25,3).
8．已知點(diǎn)A(－2,0)，B(0,1)在橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，則橢圓C的方程為________；若直線y＝eq \f(1,2)x交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝________.
答案 eq \f(x2,4)＋y2＝1 eq \r(10)
解析由題意可知，橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，
由點(diǎn)A(－2,0)，B(0,1)且焦點(diǎn)在x軸上，得a＝2，b＝1，
∴橢圓C的方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1；
設(shè)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))(x1>0)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝\f(1,2)x，))
解得x1＝eq \r(2)，y1＝eq \f(\r(2),2)，x2＝－eq \r(2)，y2＝－eq \f(\r(2),2)，
則|MN|＝eq \r(?\r(2)＋\r(2)?2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))2)＝eq \r(10).
第1課時(shí) 橢圓及其性質(zhì)
題型一橢圓的定義及應(yīng)用
例1 (1)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是( )
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．圓
答案 A
解析連接QA(圖略)．
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi)，所以|OA|2)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析由題意知，c＝eq \r(a2－4).又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2eq \r(a2－4)，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cs 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝eq \f(16,3)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)|F1P|·|PF2|sin 60°＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3),3).
若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．
解 ∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝4.
思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等．
(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)設(shè)P是橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|·|PF2|＝12，則∠F1PF2的大小為________．
答案 60°
解析由橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，
可得2a＝8，設(shè)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝m，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝n，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝2a＝8，,mn＝12，,4c2＝28＝m2＋n2－2mncs∠F1PF2，))
化簡(jiǎn)可得cs∠F1PF2＝eq \f(1,2)，∴∠F1PF2＝60°.
(2)已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最大值為________，最小值為________．
答案 6＋eq \r(2) 6－eq \r(2)
解析橢圓方程化為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，
設(shè)F1是橢圓的右焦點(diǎn)，則F1(2,0)，
∴|AF1|＝eq \r(2)，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立)，
∴|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq \r(2)，最小值為6－eq \r(2).
題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2 (1)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于eq \f(1,2)，則C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
答案 D
解析由題意可知橢圓焦點(diǎn)在x軸上，
所以設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由題意可知c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
可得a＝2，又a2＝b2＋c2，可得b2＝3，
所以橢圓方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)過點(diǎn)(eq \r(3)，－eq \r(5))，且與橢圓eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
答案 eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1
解析方法一 (待定系數(shù)法)設(shè)所求橢圓方程為eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(k|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)應(yīng)用
①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1與eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0)有相同的離心率．
②與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)(多選)已知橢圓的長軸長為10，其焦點(diǎn)到中心的距離為4，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為( )
A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,84)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,84)＋eq \f(y2,100)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1
答案 BD
解析因?yàn)闄E圓的長軸長為10，其焦點(diǎn)到中心的距離為4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝10，,c＝4，))解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1.
(2)(2020·泉州模擬)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－eq \r(5)，0)，F(xiàn)2(eq \r(5)，0)，M是橢圓上一點(diǎn)，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，則該橢圓的方程是( )
A.eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，
因?yàn)镸F1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(5)，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因?yàn)閏＝eq \r(5)，所以b＝eq \r(a2－c2)＝2.
所以橢圓的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
題型三橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
命題點(diǎn)1 離心率
例3 (1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為eq \f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
答案 D
解析如圖，作PB⊥x軸于點(diǎn)B.
由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝eq \r(3)，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝eq \f(|PB|,|AB|)＝eq \f(\r(3),a＋2)＝eq \f(\r(3),6)，
解得a＝4，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,4).
(2)過橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 A
解析由題設(shè)知，直線l：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±eq \f(b2,a)，即圓的半徑r＝eq \f(b2,a).又圓與直線l有公共點(diǎn)，所以eq \f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq \f(b2,a)，化簡(jiǎn)得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(5),5).又0

相關(guān)學(xué)案

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第8章 §8.5 第2課時(shí)　直線與橢圓（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第8章 §8.5 第2課時(shí)　直線與橢圓（含解析），共14頁。學(xué)案主要包含了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長及中點(diǎn)弦問題，直線與橢圓的綜合問題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第5課時(shí)橢圓及其性質(zhì)學(xué)案：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第5課時(shí)橢圓及其性質(zhì)學(xué)案，共27頁。

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案9.5《第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)》(含詳解)：

這是一份(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案9.5《第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)》(含詳解)，共16頁。學(xué)案主要包含了知識(shí)梳理，教材衍化等內(nèi)容，歡迎下載使用。

相關(guān)學(xué)案更多

2023屆高考一輪復(fù)習(xí)講義（理科）第九章　平面解析幾何第5講　第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)學(xué)案

2023屆高考一輪復(fù)習(xí)講義（理科）第九章　平面解析幾何第5講　第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)學(xué)案

2023屆高考一輪復(fù)習(xí)講義（文科）第九章　平面解析幾何第5講　第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)學(xué)案

2023屆高考一輪復(fù)習(xí)講義（文科）第九章　平面解析幾何第5講　第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)學(xué)案

新教材2022版高考人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：8.5　第1課時(shí)　橢圓及幾何性質(zhì)

新教材2022版高考人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：8.5　第1課時(shí)　橢圓及幾何性質(zhì)

2022版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第8章第5節(jié) 第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì) Word版含答案學(xué)案

2022版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第8章第5節(jié) 第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì) Word版含答案學(xué)案

資料下載及使用幫助

版權(quán)申訴

1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載

版權(quán)申訴

若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。

入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作，工作室入駐。

高考專區(qū)

精品推薦
所屬專輯53份

重難點(diǎn) 易錯(cuò) 考點(diǎn)專練專項(xiàng)練習(xí) 總復(fù)習(xí)

查看更多精品資料

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（含解析）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（含解析）

共53份 2024-08-24更新

查看當(dāng)前專輯所有資源

歡迎來到教習(xí)網(wǎng)

900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴

qrcode

二維碼已過期

刷新

微信掃碼，一鍵下載

請(qǐng)輸入手機(jī)號(hào)

忘記密碼

免費(fèi)注冊(cè)

微信掃碼注冊(cè)

qrcode

二維碼已過期

刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)

手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」

手機(jī)號(hào)注冊(cè)

微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

0

資料籃
在線客服

官方
微信

添加在線客服

獲取1對(duì)1服務(wù)
官方微信

官方
微信

關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

打開微信就能找資料
賽課定制

賽課
定制

添加在線客服

獲取1對(duì)1定制服務(wù)
職稱咨詢

職稱
咨詢

添加在線客服

獲取1V1專業(yè)指導(dǎo)服務(wù)
免費(fèi)福利

返回
頂部

<blockquote id="iqyjf"><samp id="iqyjf"></samp></blockquote>