1．全稱量詞和存在量詞
(1)全稱量詞：“所有”、“任意”、“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，用符號“?”表示．
(2)存在量詞：“有一個”、“有些”、“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，用符號“?”表示．
2．全稱命題、特稱命題及含一個量詞的命題的否定
微思考
1．怎樣判斷一個特稱命題是真命題？
提示 要判定特稱命題“?x0∈M，P(x0)”，只需在集合M找到一個x0，使P(x0)成立即可．
2．命題p和綈p可否同時為真，思考一下此結(jié)論在解題中的作用？
提示 命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真假．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)至少有一個三角形的內(nèi)角和為π是全稱命題．( × )
(2)“全等三角形的面積相等”是特稱命題．( × )
(3)寫特稱命題的否定時，存在量詞變?yōu)槿Q量詞．( √ )
題組二 教材改編
2．命題“?x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．
答案 ?x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0＋1≤0
3．命題“?x0∈N，xeq \\al(2,0)≤0”的否定是________．
答案 ?x∈N，x2>0
4．命題“對于函數(shù)f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函數(shù)”為________命題．(填“真”或“假”)
答案 真
解析 當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2(x≠0)為偶函數(shù)．
題組三 易錯自糾
5．(多選)下列命題的否定中，是全稱命題且為真命題的有( )
A．?x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋eq \f(1,4)0，所以AC均為特稱命題且為假命題，故選AC.
6．若命題“?t0∈R，teq \\al(2,0)－2t0－aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x成立，故①是假命題；
對于②，當(dāng)x＝eq \f(1,2)時，有 SKIPIF 1 < 0 成立，故②是真命題；
對于③，當(dāng)00
C．?x0∈R，lg x00
D．?x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，可得綈p為“?x∈R，ex－x－1>0”，故選C.
2．(2020·山東模擬)設(shè)命題p：所有正方形都是平行四邊形，則綈p為( )
A．所有正方形都不是平行四邊形
B．有的平行四邊形不是正方形
C．有的正方形不是平行四邊形
D．不是正方形的四邊形不是平行四邊形
答案 C
解析 “所有”改為“存在”(或“有的”)，“都是”改為“不都是”(或“不是”)，即綈p為有的正方形不是平行四邊形．
3．命題：“?x0∈R，sin x0＋cs x0>2”的否定是________________．
答案 ?x∈R，sin x＋cs x≤2
4．若命題p的否定是“對所有正數(shù)x，eq \r(x)>x＋1”，則命題p是____________________．
答案 ?x0∈(0，＋∞)，eq \r(x0)≤x0＋1
思維升華 對全稱命題、特稱命題進行否定的方法
(1)找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞；
(2)對原命題的結(jié)論進行否定．
題型三 根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍
例2 (1)已知命題p：?x∈R，x2－a≥0；命題q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題p，q都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為__________．
答案 (－∞，－2]
解析 由命題p為真，得a≤0，由命題q為真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－m，若對?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
解析 當(dāng)x∈[0,3]時，f(x)min＝f(0)＝0，當(dāng)x∈[1,2]時，
g(x)min＝g(2)＝eq \f(1,4)－m，由題意得f(x)min≥g(x)min，
即0≥eq \f(1,4)－m，所以m≥eq \f(1,4).
本例中，若將“?x2∈[1,2]”改為“?x2∈[1,2]”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍是________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 當(dāng)x∈[1,2]時，g(x)max＝g(1)＝eq \f(1,2)－m，
由題意得f(x)min≥g(x)max，
即0≥eq \f(1,2)－m，
∴m≥eq \f(1,2).
思維升華 (1)已知命題的真假，可根據(jù)每個命題的真假利用集合的運算求解參數(shù)的取值范圍．
(2)對于含量詞的命題中求參數(shù)的取值范圍的問題，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域(或最值)解決．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)由命題“?x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2x0＋m≤0”是假命題，求得實數(shù)m的取值范圍是(a，＋∞)，則實數(shù)a＝________.
答案 1
解析 由題意得命題“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命題，
所以Δ＝4－4m1，
故實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)，
從而實數(shù)a的值為1.
(2)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1,2]，?x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 由于函數(shù)g(x)在定義域[－1,2]內(nèi)是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此問題等價于函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)f(x)值域的子集．函數(shù)f(x)的值域是[－1,3]，因為a>0，所以函數(shù)g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，則有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq \f(1,2).故a的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
課時精練
1．下列命題中是假命題的是( )
A．?x0∈R，lg2x0＝0 B．?x0∈R，cs x0＝1
C．?x∈R，x2>0 D．?x∈R,2x>0
答案 C
解析 因為lg21＝0，cs 0＝1，所以選項A，B均為真命題，02＝0，選項C為假命題，2x>0，選項D為真命題，故選C.
2．(2021·長沙期末)命題p：“?x∈N*，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤eq \f(1,2)”的否定為( )
A．?x∈N*，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \f(1,2)
B．?x?N*，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \f(1,2)
C．?x0?N*， SKIPIF 1 < 0
D．?x0∈N*， SKIPIF 1 < 0
答案 D
解析 命題p的否定是把“?”改成“?”，再把“eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤eq \f(1,2)”改為“ SKIPIF 1 < 0 ”即可，故選D.
3．下列命題是真命題的是( )
A．所有的素數(shù)都是奇數(shù)
B．?x∈R，x2＋1≥0
C．對于每一個無理數(shù)x，x2是有理數(shù)
D．?x∈Z，eq \f(1,x)?Z
答案 B
解析 對于A,2是素數(shù)，但2不是奇數(shù)，A假；對于B，?x∈R，總有x2≥0，則x2＋1≥0恒成立，B真；對于C，eq \r(π)是無理數(shù)，(eq \r(π))2＝π還是無理數(shù)，C假；對于D,1∈Z，但eq \f(1,1)＝1∈Z，D假，故選B.
4．若命題p：?x∈R,2x2－1>0，則該命題的否定是( )
A．?x0∈R,2xeq \\al(2,0)－10”的否定為假命題，可知原命題必為真命題，即不等式x2－5x＋eq \f(15,2)a>0對任意實數(shù)x恒成立．
設(shè)f(x)＝x2－5x＋eq \f(15,2)a，則其圖象恒在x軸的上方．
故Δ＝25－4×eq \f(15,2)aeq \f(5,6)，
即實數(shù)a的取值范圍為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)，＋∞)).
10．已知命題“?x∈R，sin x－a≥0”是真命題，則a的取值范圍是________．
答案 (－∞，－1]
解析 由題意，對?x∈R，a≤sin x成立．由于對?x∈R，－1≤sin x≤1，所以a≤－1.
11．若命題“?x∈R，kx2－kx－1

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