?第2講　充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞


一、知識(shí)梳理
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且qp
p是q的必要不充分條件
pq且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的既不充分也不必要條件
pq且qp
[注意]　不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時(shí)，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，則q”為真命題．
2．全稱命題和特稱命題
(1)全稱量詞和存在量詞
量詞名稱
常見量詞
符號(hào)表示
全稱量詞
所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等
?
存在量詞
存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有些、某些等
?
(2)全稱命題和特稱命題
　　名稱
形式　　
全稱命題
特稱命題
結(jié)構(gòu)
對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立
存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立
簡(jiǎn)記
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
否定
?x0∈M，﹁p(x0)
?x∈M，﹁p(x)
常用結(jié)論
1．從集合的角度理解充分條件與必要條件
若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關(guān)于充分條件，必要條件又可以敘述為：
(1)若A?B，則p是q的充分條件；
(2)若A?B，則p是q的必要條件；
(3)若A＝B，則p是q的充要條件；
(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；
(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；
(6)若AB且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．
2．全稱命題與特稱命題的否定
(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對(duì)量詞進(jìn)行改寫．
(2)否定結(jié)論：對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．
二、教材衍化
1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B．若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0顯然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2.故選B．
2．命題“?x0∈R，log2x0＋2”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)(2020·佛山模擬)已知p：x＝2，q：x－2＝，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】　(1)若>，則－＝>0.當(dāng)00，b，但00”是“>”的充分不必要條件，故選A．
(2)當(dāng)x－2＝時(shí)，兩邊平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.當(dāng)x＝1時(shí)，－1＝，不成立，故舍去，則x＝2，所以p是q的充要條件，故選C．
【答案】　(1)A　(2)C

充分條件、必要條件的2種判斷方法
(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷．
(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．
[提醒]　判斷充要條件需注意3點(diǎn)
(1)要分清條件與結(jié)論分別是什么．
(2)要從充分性、必要性兩個(gè)方面進(jìn)行判斷．
(3)直接判斷比較困難時(shí)，可舉出反例說(shuō)明．

1．(2019·高考天津卷)設(shè)x∈R，則“x2－5xb”的既不充分也不必要條件．故選CD．
8．(多選)(2021·預(yù)測(cè))下列命題說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R，2x>x2
C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個(gè)大于1
解析：選ABC．根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得ex>0，故A錯(cuò)誤；x＝2時(shí)，2x>x2不成立，故B錯(cuò)誤；當(dāng)a＝b＝0時(shí)，沒(méi)有意義，故C錯(cuò)誤； 因?yàn)椤皒＋y>2，則x，y中至少有一個(gè)大于1”的逆否命題為“x，y都小于等于1，則x＋y≤2”，是真命題，所以原命題為真命題，故選ABC．
9．若命題p的否定是“?x∈(0，＋∞)，>x＋1”，則命題p可寫為____________________．
解析：因?yàn)閜是﹁p的否定，所以只需將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，再對(duì)結(jié)論否定即可．
答案：?x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
10．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________條件．
解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，則A＝B＋kπ，k∈Z.因?yàn)?

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