第4章一元二次方程單元測(cè)試（B卷提升篇）（含解析）-2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)同步單元檢測(cè)AB卷(青島版)

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第4章 一元二次方程單元測(cè)試（B卷提升篇）（含解析） 數(shù)學(xué)問卷 時(shí)間：120分鐘 分值 ：120分 第Ⅰ卷（選擇題 共30分） 第I卷（選擇題） 一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．一元二次方程中，若a，b都是偶數(shù)，c是奇數(shù)，則方程（????） A．有整數(shù)根 B．沒有整數(shù)根 C．沒有有理數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根 2．關(guān)于一元二次方程的根的情況敘述正確的是（　?。?A．方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根 C．方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 D．方程沒有實(shí)數(shù)根 3．對(duì)于二次三項(xiàng)式（且m為常數(shù)）和，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（???） ①當(dāng)時(shí)，若，則； ②無論x取任何實(shí)數(shù)，若等式恒成立，則； ③當(dāng)時(shí)，，，則； A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè) 4．若關(guān)于x的一元?次?程(k﹣5)﹣2x＋2＝0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最?值為（??????） A．4 B．5 C．6 D．7 5．關(guān)于的方程的兩實(shí)根異號(hào)，則k滿足的條件是（????） A． B． C． D． 6．某口罩廠六月份的口罩產(chǎn)量為萬只，由于市場(chǎng)需求量減少，八月份的產(chǎn)量減少到萬只，則該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為 （??????） A． B． C． D． 7．若方程（m+2）=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（??????） A．m=2 B．m=-2 C．m=±2 D．m≠2 8．若x＝﹣1是一元二次方程x2+（a﹣1）x+2b＝0的根，則代數(shù)式3a﹣6b的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 9．不解方程，判斷方程的根的情況是（??） A．無實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．以上說法都不正確 10．若關(guān)于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為（???） A． B．1 C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。 11．為解決群眾看病難的問題，一種藥品連續(xù)兩次降價(jià)，每盒價(jià)格由原來的60元降至48.6元．若平均每次降價(jià)的百分率是x，則關(guān)于x的方程是 ． 12．已知方程的兩根分別為，，則 ． 13．已知m是關(guān)于x的方程x2﹣2x+3=0的一個(gè)根，則-2m2+4m= ． 14．有一塊斜邊長的直角三角尺角，它的銳角為，還有一根直尺，長邊的長為，短邊的長為．如圖，將直尺的短邊與直角三角尺的斜邊重合，且點(diǎn)與點(diǎn)重合，將直尺沿方向平移，如圖，圖設(shè)平移的長度為，當(dāng)直尺與直角三角尺重合部分的面積（即圖中陰影部分）第二次為時(shí)，的值為 ． ?? 15．若關(guān)于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的最小值是 ． 16．國家對(duì)藥品實(shí)施價(jià)格調(diào)整，某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)后，每盒的價(jià)格由原來的60元降至48.6元，那么平均每次降價(jià)的百分率是 ． 三、解答題：本題共8小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17．閱讀材料： 若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，則 x1+x2=﹣，x1?x2=，我們把這個(gè)命題叫做韋達(dá)定理，根據(jù)上述材料，解決下面問題： （1）一元二次方程 2x2﹣3x+1=0 的兩根為 x1，x2，則 x1+x2=(???)，x1?x2=(???) ； （2）已 知 實(shí) 數(shù) m 、n 滿足 m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0 且 m≠n，求+的值； （3）若 x1，x2總是方程 2x2+4x+m=0 的兩個(gè)根，求 x12+x22 的最小值． 18．解方程： (1) (2) 19．如果一個(gè)正方體的長增加3cm，寬減少4cm，高增加2cm，所得的長方體的體積比原正方體的體積增加251cm3，求原正方體的邊長． 20．近兩年直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音平臺(tái)上對(duì)一款成本價(jià)為60元的商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過市場(chǎng)調(diào)查，該商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件，設(shè)每件商品降價(jià)x元． (1)每件商品降價(jià)x元時(shí)，日銷售量為______件； (2)求x為何值時(shí)，日銷售能盈利1200元，同時(shí)又能盡快銷售完該商品； (3)麗麗的線下實(shí)體商店也銷售同款商品，標(biāo)價(jià)100元．為了提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)線下銷售，麗麗決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過（2）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？ 21．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式： (1)； (2)； (3)． 22．解方程： ①；??????? ②． 23．兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，若滿足，則稱點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)．現(xiàn)設(shè)的長為1． (1)求的長； (2)若令，，記，，，，求的值． 24．解方程：(1)(x﹣2)2＝5；(2)x2﹣2x﹣2＝0；(3)(x﹣3)(x+2)＝6． 參考答案： 1．B 【分析】利用已知條件假設(shè)出一根，代入方程，根據(jù)所得結(jié)果的奇偶性，可以排除A，再利用特殊值法可求出B，C不正確，從而確定答案. 【詳解】解：假設(shè)有整數(shù)根，不妨設(shè)它的根是2k或2k+1（k為整數(shù)），分別代入原方程得， 或， 中，等號(hào)左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)， 中，等號(hào)左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)， 方程兩邊的奇偶性不同的矛盾結(jié)果， 所以排除A； 若a，b，c分別取4，8，3， 則方程為， 解得：x=或， 則排除C，D． 故選：B． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根整數(shù)根的有關(guān)知識(shí)，以及整數(shù)的奇偶性，難度不大，題目比較典型． 2．D 【分析】先找到，再判斷，根據(jù)根的判別式即可求出答案． 【詳解】解：， ∵， ∴， 故一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解根的判別式，根據(jù)判別式得到根的情況． 3．D 【分析】①將代入代數(shù)式，計(jì)算即可；②根據(jù)，得，進(jìn)而即可求解；③根據(jù)，令，則，一元二次方程即可求解． 【詳解】解：①將代入，得， ∵ ∴， ∴或， 故①不正確； ②∵， ∴ ∴ ∴， 故②不正確 ③當(dāng)時(shí)，， ∴ 令，則， ∴， 解得：或， 即或，故③不正確； 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上運(yùn)算法則以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵． 4．A 【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍，再結(jié)合k為整數(shù)即可找出最大的k值． 【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根， ∴， 解得：k≤且k≠5． ∵k為整數(shù)， ∴k的最大值為4． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ≥0，找出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵． 5．D 【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根的判別式，設(shè)方程的兩根為，，根據(jù)題意得，，根據(jù)二次根式有意義的條件得進(jìn)行計(jì)算即可得；解題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的條件，根的判別式． 【詳解】解：設(shè)方程的兩根為，， ∵方程的兩實(shí)根異號(hào)， ∴， 解得，， ∵方程的兩實(shí)根， ∴， ， 解得，， ∵ ∴， 綜上，， 故選：D． 6．A 【分析】設(shè)該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，根據(jù)該廠六月份及八月份的口罩產(chǎn)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論． 【詳解】解：設(shè)該廠七八月份的口罩產(chǎn)量月平均減少率為x， 根據(jù)題意得，， 解得，（不合題意，舍去）． 故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵． 7．A 【詳解】根據(jù)一元二次方程的定義，得： 解得：m=2.故選A. 8．D 【分析】先將代入方程得到，再將其整體代入3a﹣6b計(jì)算即可得解； 【詳解】解：將代入方程得：， 即：， ∴； 故選擇：D 【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解及代數(shù)式求值，利用整體的思想代入計(jì)算是解題的關(guān)鍵． 9．C 【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=60＞0，由此即可得出結(jié)論． 【詳解】解：∵在方程中，△=（-6）2-4×3×（-2）=60＞0， ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 故選： C 【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握“當(dāng)△＞0時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵． 10．A 【分析】整理成一般式后，根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得△=0，得到關(guān)于a的方程，解方程即可得． 【詳解】解：x(x+1)+ax=0， ∴x2+(a+1)x=0， 由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0， 解得：a1=a2=-1， 故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根． 11．60（1﹣x）2=48.6． 【詳解】試題分析：本題可先列出第一次降價(jià)后藥品每盒價(jià)格的代數(shù)式，再根據(jù)第一次的價(jià)格列出第二次降價(jià)的售價(jià)的代數(shù)式，然后令它等于48.6即可列出方程． 解：第一次降價(jià)后每盒價(jià)格為60（1﹣x）， 則第二次降價(jià)后每盒價(jià)格為60（1﹣x）（1﹣x）=60（1﹣x）2=48.6， 即60（1﹣x）2=48.6． 故答案為60（1﹣x）2=48.6． 考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程． 12． 【分析】將化為，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入求值即可得到答案． 【詳解】解：方程的兩根分別為，， ， ， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和與兩根之積是解決問題的關(guān)鍵． 13．6 【詳解】∵m是關(guān)于x的方程x2﹣2x+3=0的一個(gè)根， ∴m2-2m+3=0， ∴m2-2m=-3， ∴-2m2+4m=-2(m2-2m)=-2×（-3）=6. 14． 【分析】結(jié)合題意和三角形的內(nèi)角和公式求得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式求得不同狀態(tài)下陰影部分的面積，分別計(jì)算，進(jìn)行求解即可． 【詳解】解：∵是直角三角形，且銳角為， 則另一個(gè)銳角為， 即，， ∵直尺的短邊與直角三角尺的斜邊重合， 即當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，， 則， 即是等腰直角三角形， 同理，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，是等腰直角三角形， 當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，， 則， 即是等腰直角三角形， 同理，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，是等腰直角三角形， ①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，陰影部分的面積； ∵，故該情況舍去； ②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，陰影部分的面積， ∵， 則，， 故陰影部分的面積； 且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，陰影部分面積的值最大； ③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，∵，， ∴， 則此時(shí)， 即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，陰影部分的面積； ∵，故該情況舍去； ④當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，陰影部分的面積， ∵，，， 故， ∴， 則， ， 故 故陰影部分的面積； 若陰影部分的面積為，即， 整理得：， 解得：，， 故當(dāng)平移的長度為和時(shí)，陰影部分的面積為； 根據(jù)等腰直角三角形的對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，陰影部分的面積均小于； 綜上，平移的長度為和時(shí)，陰影部分的面積為， ∵， 故陰影部分的面積第二次為時(shí)，的值為． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，公式法解一元二次方程，特殊角的三角函數(shù)值等，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意分類討論，利用割補(bǔ)法求解陰影部分的面積． 15． 【分析】由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出結(jié)論． 【詳解】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0， ∴（m﹣2）2＝， ∵（m﹣2）2≥0， ∴≥0， 解得：， ∴c的最小值是． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵． 16．10% 【分析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，某種藥品經(jīng)過兩次降價(jià)后，每盒的價(jià)格由原來的60元降至48.6元，可列方程：60（1-x）2=48.6，由此求解即可. 【詳解】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x， 根據(jù)題意得：60（1-x）2=48.6， 解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合題意，舍去）． 答：平均每次降價(jià)的百分率是10%． 故答案為：10%． 【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵． 17．（1）32，；（2）﹣1；（3）x12+x22的最小值為 2． 【分析】（1）直接利用韋達(dá)定理求解； （2）利用已知條件可把 m、n 看作方程 x2﹣x﹣1=0 的兩根，利用根與系數(shù)的 關(guān)系得到 m+n=1，mn=﹣1，而，然后利用整體代入的方法計(jì)算； （3）先利用判別式的意義求出 m≤2，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到 x1+x2=-2， x1?x2=，由于x12+x22=（x1+x2）2﹣2 x1?x2，從而可根據(jù) m 的范圍確定x12+x22的最小值． 【詳解】（1）x1+x2=32，x1?x2=； （2）∵實(shí)數(shù)m、n滿足m2-m-1=0，n2-n-1=0 且m≠n， ∴m、n可看作方程x2-x-1=0的兩根， ∴m+n=1，mn=-1， ∴+=-1； （3）∵△=42﹣4×2×m≥0， ∴m≤2， 根據(jù)題意得x1+x2=-2，x1?x2=， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4-m， ∵m≤2， ∴4-m≥2， ∴x12+x22的最小值為 2． 【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及判別式的意義． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用求根公式解方程； （2）方程的左邊提取公因式進(jìn)行因式分解，然后解方程． 【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得， ∵方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)， ∴， 解得； （2）解：由原方程，得 ， ∴或， 解得． 【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法和公式法，熟練掌握解題方法是解題的關(guān)鍵． 19．25cm. 【分析】設(shè)原正方體的邊長為xcm，則現(xiàn)在長方體的長為（x+3）cm，寬為（x－4）cm，高為（x+2）cm，利用長方體的體積計(jì)算長方體體積為：(x+3)(x－4)(x+2)，正方體體積為x3，則依據(jù)題意列出方程：(x+3)(x－4)(x+2)－x3=251. 【詳解】設(shè)原正方體的邊長為xcm，則現(xiàn)在長方體的長為（x+3）cm，寬為（x－4）cm，高為（x+2）cm， ????根據(jù)題意列方程得： ????（x+3）（x－4）（x+2）－x3=251， ????整理得x2－14x－275=0， ????∴x1=25，x2=－11（不符合題意，舍去）． 【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，以矩形的周長公式和面積公式為基礎(chǔ)解決實(shí)際問題. 20．(1) (2)x為20 (3)8折 【分析】（1）按照“如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過市場(chǎng)調(diào)查，該商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件”直接列式即可； （2）根據(jù)（1）設(shè)的未知數(shù)，根據(jù)題意列一元二次方程求解即可； （3）設(shè)該商品需要打a折銷售，根據(jù)（2）可得售價(jià)不得超過（100-20）元，據(jù)此不等式求解即可． 【詳解】（1）解：∵如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過市場(chǎng)調(diào)查，該商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件 每件商品降價(jià)x元時(shí)，日銷售量為，即件． 故答案為． （2）解：由題意得：即 解得， 因?yàn)楸M快銷售完該商品，所以 答：當(dāng)x為20時(shí)，日銷售能盈利1200元，同時(shí)又能盡快銷售完該商品． （3）解：設(shè)該商品需要打a折銷售 由題意得：，解得 答：該商品至少需打8折銷售． 【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程和不等式是解答本題的關(guān)鍵． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）令，得，解出，，即可分解因式； （2）令，其中y看作常數(shù)，解出，，即可分解因式； （3）令，得，解出，，即可分解因式． 【詳解】（1）令，則有方程為， 解得：，， ∴= ∴； （2）令， 解得：，， ∴=； （3）令，則有方程為， 解得：，，??? ∴= ∴=． 【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，運(yùn)用分解因式中整體思想，換元靈活變化應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 22．①，；②， 【分析】①利用求根公式法解方程； ②先變形得到x（2x-5）-2（2x-5）=0，然后利用因式分解法解方程． 【詳解】解：①， ， 所以，； ②， ， 或， 所以，． 【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程． 23．(1) (2)5050 【分析】（1）根據(jù)可得方程，解方程即可求解； （2）由，，可得，通分化簡(jiǎn)可得：，，依據(jù)規(guī)律可得：，即問題得解． 【詳解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整理有， ∴解得：，（負(fù)值不符合題意，舍去） 即的長為：； （2）∵，， ∴， ∴， ， 同理可得：， ∴， 即答案為：5050． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，分式的化簡(jiǎn)求值以及黃金分割的概念等知識(shí)，掌握分式的化簡(jiǎn)求值是解答本題的關(guān)鍵． 24．（1），；（2），；（3）， 【分析】（1）直接開平方解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用乘法公式去括號(hào)，整理后利用因式分解法解方程即可. 【詳解】（1） x-2= x1=，， （2） x== x1=，， （3） x2-x-6=6 x2-x-12=0 (x-4)(x+3)=0 x1=4，x2=-3. 【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，直接開平方、公式法、因式分解法都是常用方法，熟練掌握并靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}關(guān)鍵.