【思考】小學(xué)學(xué)過的加法涉及正數(shù)與正數(shù)相加、正數(shù)與0相加及0與0相加，引入負數(shù)后，在有理數(shù)范圍內(nèi)，加法有哪幾種情況？
一個物體沿著一條直線作左右方向運動，我們規(guī)定向左為負，向右為正.例如，將向右運動5m記作5m，向左運動5m記作-5m.【探究1】如果物體沿著這條直線先向右運動5m，再向右運動3m，那么兩次運動的最后結(jié)果是什么？可以用怎樣的算式表示？
兩次運動后結(jié)果為向右運動了8m，記做：+8m
（+5）＋（+3）＝+8 ①
【探究1】如果物體沿著這條直線先向右運動5m，再向右運動3m，那么兩次運動的最后結(jié)果是什么？可以用怎樣的算式表示？
將物體運動的起點放在原點，這個算式可用數(shù)軸表示為：
（+5）＋（+3）＝ +8 ①
【探究2】如果物體先向左運動5m，再向左運動3m，那么兩次運動的最后結(jié)果是什么？可以用怎樣的算式表示？
兩次運動后結(jié)果為向左運動了8m，記做：-8m
（-5）＋（-3）＝ -8 ②
符號相同的兩個數(shù)相加，和的符號不變，絕對值相加.
【探究3】如果物體先向左運動3m，再向右運動5m，那么兩次運動的最后結(jié)果怎樣？如何用算式表示？
兩次運動后結(jié)果為向右運動了2m，記做：+2m
（+5）+（-3）＝+2 ③
【探究3】如果物體先向左運動3m，再向右運動5m,那么兩次運動的最后結(jié)果怎樣？如何用算式表示？
【探究4】如果物體先向右運動3m，再向左運動5m，那么兩次運動的最后結(jié)果怎樣？如何用算式表示？
兩次運動后結(jié)果為向左運動了2m，記做：-2m
（-5）+（+3）＝ -2 ④
【探究4】如果物體先向右運動3m，再向左運動5m,那么兩次運動的最后結(jié)果怎樣？如何用算式表示？
絕對值不相等、符號相反的兩個數(shù)相加，和的符號與絕對值較大的加數(shù)的符號相同，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.
【探究5】如果物體先向右運動5m，再向左運動5m,那么兩次運動的最后結(jié)果如何？
兩次運動后結(jié)果為仍在起點處，記做：0m
（+5）+（-5）＝0 ⑤
互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加，結(jié)果為0.
【探究6】如果物體第1s向右（或左）運動5m，第2s原地不動，2s后物體從起點向右（或左）運動了5m.如何用算式表示呢？
（+5）+0 ＝ +5
（或）（-5）+ 0 ＝ -5
一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．
【思考】按照有理數(shù)加法法則進行正數(shù)及0的加法運算，它和小學(xué)學(xué)過的正數(shù)及0的加法運算一致嗎？
一致. 一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù).
1.同號兩數(shù)相加，和取相同的符號，并把絕對值相加.
2.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.
3.一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).
兩個有理數(shù)相加，和是一個有理數(shù)
解：(1) (-3) + (-9) = - (3+9) = -12;(2) (-8) + 0 = -8;(3) 12 + (-8) = +(12 - 8) = 4;(4) (-4.7) + 3.9 = - (4.7-3.9) = -0.8;(5)
在運算過程中，“先定和的符號，再算和的絕對值”，是一種有效的方法.
（1）(-3) + (-9)； （2）(-8) + 0； （3）12 + (-8)； （4）(-4.7) + 3.9；（5）
有理數(shù)加法的運算步驟：
一、要辨別加數(shù)的類型(同號、異號)； 二、要確定和的符號；三、要計算絕對值的和（或差）.
【思考】任何一個數(shù)加上一個正數(shù)，和與原來的數(shù)有怎樣的大小關(guān)系？加上一個負數(shù)呢？請你先借助數(shù)軸直觀地得出結(jié)論，再利用有理數(shù)的加法法則進行說明.
記 a 為任何一個數(shù)，b 為一個正數(shù)，則 a+b____c.由數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)可得， c___a，即a+b___a.
任何一個數(shù)加上一個正數(shù)，和大于原來的數(shù).
記 a 為任何一個數(shù)，d 為一個負數(shù)，則 a +d ____ e.由數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)可得， a ___ e，即a ___a+d
任何一個數(shù)加上一個負數(shù)，和小于原來的數(shù).
我們以前學(xué)過加法交換律、結(jié)合律，對于有理數(shù)的加法它們還成立嗎？
【探究7】 計算：30 + (-20) ，(-20) + 30；
30 + (-20) = 10，(-20) + 30 = 10；
【發(fā)現(xiàn)】兩個算式的結(jié)果相同.
兩個算式的第二個算式是由第一個算式交換兩個加數(shù)的位置得到的.
加法交換律： a+b=b+a.
有理數(shù)的加法中，兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變．
[8+ (-5)]+(-4) ，8+[(-5) +(-4)].
解：[8+ (-5)] + (-4) = -1， 8+[(-5) + (-4)] = -1
加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)
【結(jié)論】在有理數(shù)的加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變．
計算： （1）8 + (-6) + (-8) ； （2）16 + (-25) + 24 + (-35).
【分析】 （1）中，把互為相反數(shù)的一對數(shù)結(jié)合起來相加；（2）中，把正數(shù)和負數(shù)分別相加，從而使計算簡化，這樣做既利用了加法交換律，又利用了加法結(jié)合律.
解（1）8 + (-6) + (-8)=[8+(-8)] + (-6)=0 + (-6)= -6；
（2）16+(-25)+24+(-35)= (16+24)+[(-25)+(-35)]= 40+(-60)= -20.
10袋小麥稱后記錄(單位：kg) 如圖所示.10 袋小麥一共多少千克？如果每袋小麥以50 kg為質(zhì)量標準，10 袋小麥總計超過多少千克或不足多少千克？
解法1：先計算10袋小麥一共多少千克：
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5.
再計算總計超過多少千克：
502.5－50×10 ＝ 2.5.
解法2：把每袋小麥超過50 kg的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負數(shù).10袋小麥對應(yīng)的數(shù)分別為+0.5，+0.5，+0.8，－0.5，+0.6，+0.7，－0.8，－0.6，+0.9，+0.4.
0.5 + 0.5 + 0.8 +（-0.5）+ 0.6 + 0.7 +（-0.8）+（-0.6）+ 0.9 + 0.4= [0.5 + (-0.5)] + [0.8 + (-0.8)] + [0.6 + (-0.6)] + (0.5+0.7+0.9+0.4)= ×10+2.5=502.5.答：10袋小麥一共502.5 kg，總計超過2.5 kg.
解法2把互為相反數(shù)的一對數(shù)結(jié)合起來相加，可以使計算簡化.這種解法利用了加法交換律和加法結(jié)合律.
比較兩種解法，解法2中使用了哪些運算律？

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2.1 有理數(shù)的加法與減法

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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