第2章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)　 一、選擇題(每題3分，共24分) 1．已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P到圓心O的距離為6，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是(　　) A．點(diǎn)P在⊙O外 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)P在⊙O上 D．無(wú)法確定 2．【母題：教材P54圖2－26】如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上 ，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數(shù)為(　　) A．27° B．108° C．116° D．128° 3．如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點(diǎn)，且OM＝3，則⊙O的半徑等于(　　) A．8 B．2 C．10 D．5 4．【2023·鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬】如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的外心，∠A＝40°，連接BO，CO，則∠BOC的度數(shù)是(　　) A．60° B．70° C．80° D．90° 5．蘇州是著名水鄉(xiāng)，河流遍布整個(gè)城市．某河流上建有一座美麗的石拱橋(如圖)．已知橋拱半徑OC為5 m，水面寬AB為4eq \r(6) m，則石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為(　　) A．4eq \r(6) m B．7 m C．(5＋eq \r(6))m D．6 m 6．已知圓內(nèi)接正三角形的面積為eq \r(3)，則該圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是(　　) A．2 B．1 C.eq \r(3) D.eq \r(2) 7．【數(shù)學(xué)文化】歐幾里得被稱為“幾何之父”，其著作《幾何原本》的第二卷中記載了方程x2＋4nx－9m2＝0根的圖形解法：如圖，在⊙O中，CD為直徑，⊙O的切線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)B，切點(diǎn)為A，連接AO，AC，使AB＝3m，CD＝4n，則該方程的一個(gè)正根是(　　) A．BD的長(zhǎng)度 B．BO的長(zhǎng)度 C．BC的長(zhǎng)度 D．AC的長(zhǎng)度 8．【2022·武漢】如圖，在四邊形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9 cm，AB＝20 cm，BC＝24 cm.現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是(　　) A.eq \f(110,13) cm　　　　　B．8 cm　　　　　 C．6eq \r(2) cm　　　　　D．10 cm 二、填空題(每題3分，共30分) 9．【2022·連云港】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)．連接BC，與⊙O交于點(diǎn)D，連接OD.若∠AOD＝82°，則∠C＝________°. 10．【母題：教材P49習(xí)題T7】如圖，在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，OE＝8，OF＝6，則圓的直徑長(zhǎng)為_(kāi)_______． 11．【母題：教材P85練習(xí)T1】掛鐘的分針長(zhǎng)10 cm，經(jīng)過(guò)15分鐘，它的針尖經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_________cm. 12．【2022·永州】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠ADC＝30°，則∠BOC＝________度． 13．【2023·泰州高港區(qū)校級(jí)模擬】一個(gè)圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______． 14．如圖，EB，EC是⊙O的兩條切線，B，C是切點(diǎn)，A，D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么∠A＝________． 15．【母題：教材P78圖2－55】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，P為eq \o(DE,\s\up8(︵))上的一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合)，則∠CPD的度數(shù)為_(kāi)_______． 16．【2022·金華】如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點(diǎn)A，長(zhǎng)邊與⊙O相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C.已知AC＝6 cm，CB＝8 cm，則⊙O的半徑為_(kāi)_______ cm. 17．【母題：教材P68練習(xí)T3】為了落實(shí)“雙減”政策，朝陽(yáng)區(qū)一些學(xué)校在課后服務(wù)時(shí)段開(kāi)設(shè)了與冬奧會(huì)項(xiàng)目冰壺有關(guān)的選修課．如圖，在冰壺比賽場(chǎng)地的一端畫有一些同心圓作為營(yíng)壘，其中有兩個(gè)圓的半徑分別約為60 cm和180 cm，小明擲出一球恰好沿著小圓的切線滑行出界，則該球在大圓內(nèi)滑行的路徑MN的長(zhǎng)度約為_(kāi)_______cm. 18．【2022·梧州】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正四邊形，分別以點(diǎn)A，O為圓心，取大于eq \f(1,2)OA的定長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn).若OA＝1，則eq \o(BE,\s\up8(︵))，AE，AB所圍成的陰影部分的面積為_(kāi)___________． 三、解答題(19題8分，20，21題每題10分，22，23題每題12分，24題14分，共66分) 19．如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，連接BC，若∠P＝30°，求∠B的度數(shù)． 20．【2023·揚(yáng)州?？寄M】下面是小飛設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程． 已知：如圖①，P為⊙O外一點(diǎn)． 求作：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線． 作法：如圖②所示． ①連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)A； ②以點(diǎn)A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于B，C兩點(diǎn)； ③作直線PB，PC. 則直線PB，PC就是所求作的切線．　 根據(jù)小飛設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程： (1)使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)； (2)完成下面的證明(說(shuō)明：括號(hào)里填寫推理的依據(jù))． 證明：連接OB，OC. ∵PO為⊙A的直徑， ∴∠PBO＝∠PCO＝________(____________________)． ∴PB⊥OB，PC⊥OC. 又∵OB，OC為⊙O的半徑， ∴PB，PC為⊙O的切線(______________________________)． 21．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC＝BD，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E. (1)求證：AB＝AC； (2)若⊙O的半徑為4，∠BAC＝60°，求DE的長(zhǎng)． 22．【母題：教材P93復(fù)習(xí)題T17】如圖，P為正比例函數(shù)y＝eq \f(3,2)x圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)． (1)求⊙P與直線x＝2相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)請(qǐng)直接寫出⊙P與直線x＝2相交、相離時(shí)x的取值范圍． 23．【2022·廣元】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接DE. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑． 24．【2022·天津】已知AB為⊙O的直徑，AB＝6，C為⊙O上一點(diǎn)，連接CA，CB. (1)如圖①，若C為eq \o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，求∠CAB的大小和AC的長(zhǎng)； (2)如圖②，若AC＝2，OD為⊙O的半徑，且OD⊥CB，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，求FD的長(zhǎng)． 答案 一、1.A　【解析】由題易知OP＝6＞5，∴點(diǎn)P在⊙O外．故選A. 2．B　【解析】由圓周角定理可知∠BOC＝2∠BAC＝108°.故選B. 3．D　【解析】連接OA，易知OM⊥AB，在Rt△OAM中，利用勾股定理即可求解． 4．C　【解析】∵點(diǎn)O為△ABC的外心，∠A＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°，故選C. 5．D　【解析】 如圖，連接OA， 根據(jù)題意得CD⊥AB，OA＝OC＝5 m，AB＝4eq \r(6) m， ∴AD＝BD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×4eq \r(6)＝2eq \r(6)(m)， ∴OD＝eq \r(OA2－AD2)＝eq \r(52－(2\r(6))2)＝1 (m)， ∴CD＝OC＋OD＝5＋1＝6 (m)． 6．B　【解析】因?yàn)閳A內(nèi)接正三角形的面積為eq \r(3)，所以圓的半徑為eq \f(2\r(3),3)，所以該圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距為1. 7．A　【解析】∵CD＝4n，∴OD＝OA＝2n. ∵⊙O的切線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)B，切點(diǎn)為A， ∴AB⊥OA，∴AO2＋AB2＝OB2. ∵x2＋4nx－9m2＝0， ∴x2＋4nx＝9m2，即x2＋4nx＝AB2， ∴x2＋4nx＝OB2－AO2， ∴x(x＋4n)＝(OB＋AO)(OB－AO)， ∴x(x＋4n)＝(BD＋DO＋AO)(BD＋DO－AO)， ∴x(x＋4n)＝(BD＋4n)·BD， ∴x＝BD(負(fù)根舍去)． 8．B　【解析】如圖，當(dāng)AB，BC，CD分別切⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，G時(shí)，⊙O的面積最大． 連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H. 易知OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD. ∵AD∥BC，∠BAD＝90°， ∴∠ABC＝90°. ∵∠DHB＝90°， ∴四邊形ABHD是矩形． ∴AB＝DH＝20 cm，AD＝BH＝9 cm. ∵BC＝24 cm，∴CH＝BC－BH＝24－9＝15(cm)， ∴CD＝eq \r(DH2＋CH2)＝eq \r(202＋152)＝25(cm)． 設(shè)OE＝OF＝OG＝r cm，則有eq \f(1,2)×(9＋24)×20＝eq \f(1,2)×20×r＋eq \f(1,2)×24×r＋eq \f(1,2)×25×r＋eq \f(1,2)×9×(20－r)，解得r＝8. 即此圓的半徑是8 cm. 二、9.49　【解析】根據(jù)AC是⊙O的切線，可得∠BAC＝90°，再根據(jù)∠AOD＝82°，可得∠ABD的度數(shù)，即可得到∠C的度數(shù)． 10．10　【解析】 連接EF，∵圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且∠EOF＝90°，∴EF為圓的直徑．在Rt△EOF中，EF＝eq \r(OE2＋OF2)＝10. 11．5π　【解析】首先要理解針尖經(jīng)過(guò)的路徑的形狀，即為一段弧，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可． 12．120　【解析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOC＝2∠ADC＝60°，由平角的定義可得∠BOC＝120°. 13．36π　【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，則2×3π＝eq \f(90°,360°)×2Rπ，解得R＝12，所以S側(cè)＝eq \f(90°,360°)×π×R2＝36π. 14．99°　【解析】先根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得EB＝EC，則∠ECB＝∠EBC＝67°，再根據(jù)平角的定義可得∠BCD＝81°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算∠A的度數(shù)． 15．30°　【解析】連接OC，OD，求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可求解． 16.eq \f(25,3)　【解析】連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，利用矩形的判定與性質(zhì)可得BD＝AC＝6 cm，AD＝BC＝8 cm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列方程求解即可． 17．240eq \r(2)　【解析】設(shè)小圓的切線MN與小圓相切于點(diǎn)D，連接OD，OM，則OD⊥MN，∴MD＝DN. 在Rt△DOM中，OM＝180 cm，OD＝60 cm， ∴MD＝eq \r(OM2－OD2)＝eq \r(1802－602)＝120eq \r(2)(cm)， ∴MN＝2MD＝240eq \r(2) cm. 18.eq \f(1,12)π＋eq \f(1,4)eq \r(3)－eq \f(1,2)　【解析】連接OE，OB.由題意易知△AOE為等邊三角形，推出S陰影＝S扇形OAB－(S扇形OAE－S△AOE)－S△AOB＝S扇形OAB－S扇形OAE＋S△AOE－S△AOB，即可求出答案． 三、19.【解】∵PA切⊙O于A，AB是⊙O的直徑， ∴∠OAP＝90°. 又∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°. ∴∠B＝eq \f(1,2)∠AOP＝30°. 20．【解】(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示． (2)90°；直徑所對(duì)的圓周角是直角；過(guò)半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 21．(1)【證明】如圖，連接AD. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°. 即AD⊥BC. 又∵DC＝BD， ∴AB＝AC. (2)【解】由(1)知AB＝AC. ∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等邊三角形． ∴∠ABD＝60°. 又∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°. 又∵AC＝AB＝2×4＝8， ∴BD＝CD＝4.∴AD＝4eq \r(3). 又∵DE⊥AC，∴eq \f(1,2)DC·AD＝eq \f(1,2)AC·DE. ∴DE＝eq \f(DC·AD,AC)＝eq \f(4×4\r(3),8)＝2eq \r(3). 22．【解】(1)過(guò)點(diǎn)P作直線x＝2的垂線，垂足為點(diǎn)A. 當(dāng)點(diǎn)P在直線x＝2右側(cè)時(shí)，AP＝x－2＝3，解得x＝5， 則y＝eq \f(3,2)x＝eq \f(3,2)×5＝eq \f(15,2)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(15,2)))； 當(dāng)點(diǎn)P在直線x＝2左側(cè)時(shí)，PA＝2－x＝3，解得x＝－1，則y＝eq \f(3,2)x＝eq \f(3,2)×(－1)＝－eq \f(3,2)， ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))). 綜上可知，當(dāng)⊙P與直線x＝2相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(15,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))). (2)當(dāng)－1

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