1．（3分）4的倒數(shù)是（ ）
A．B．﹣4C．2D．±2
2．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x＜3D．x≥3
3．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣2C．D．x＝2
4．（3分）一組數(shù)據(jù)：31，32，35，37，35，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．34，34B．35，35C．34，35D．35，34
5．（3分）下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．平行四邊形D．正五邊形
6．（3分）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側面積為（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
7．（3分）《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經(jīng)過多少天相遇？設經(jīng)過x天相遇，則下列方程正確的是（ ）
A．B．C．9x+7x＝1D．9x﹣7x＝1
8．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′．當AB′落在AC上時，∠BAC′的度數(shù)為（ ）
A．65°B．70°C．80°D．85°
9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中點，則sin∠EBC的值為（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知y是x的函數(shù)，若存在實數(shù)m，n（m＜n），當m≤x≤n時，y的取值范圍是tm≤y≤tn（t＞0）．我們將m≤x≤n稱為這個函數(shù)的“t級關聯(lián)范圍”．例如：函數(shù)y＝2x，存在m＝1，n＝2，當1≤x≤2時，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函數(shù)y＝2x的“2級關聯(lián)范圍”．下列結論：
①1≤x≤3是函數(shù)y＝﹣x+4的“1級關聯(lián)范圍”；
②0≤x≤2不是函數(shù)y＝x2的“2級關聯(lián)范圍”；
③函數(shù)總存在“3級關聯(lián)范圍”；
④函數(shù)y＝﹣x2+2x+1不存在“4級關聯(lián)范圍”．
其中正確的為（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9＝ ．
12．（3分）在科技創(chuàng)新的強力驅(qū)動下，中國高鐵事業(yè)飛速發(fā)展，高鐵技術已經(jīng)領跑世界．截至2023年底，我國高鐵營業(yè)里程達到45000km．數(shù)據(jù)45000用科學記數(shù)法表示為 ．
13．（3分）正十二邊形的內(nèi)角和等于 度．
14．（3分）命題“若a＞b，則a﹣3＜b﹣3”是 命題．（填“真”或“假”）
15．（3分）某個函數(shù)的圖象關于原點對稱，且當x＞0時，y隨x的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達式： ．
16．（3分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，則△DEF的周長為 ．
17．（3分）在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板ABC擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊AC，BC分別落在x軸負半軸、y軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移a個單位長度，再向下平移a個單位長度后，小明發(fā)現(xiàn)A，B兩點恰好都落在函數(shù)的圖象上，則a的值為 ．
18．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直線CM∥AB，E是BC上的動點（端點除外），射線AE交CM于點D．在射線AE上取一點P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射線AC于點Q．設AQ＝x，PQ＝y(tǒng)．當x＝y(tǒng)時，CD＝ ；在點E運動的過程中，y關于x的函數(shù)表達式為 ．
三、解答題（本大題共10小題，共96分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等）
19．（8分）計算：
（1）；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
20．（8分）（1）解方程：（x﹣2）2﹣4＝0；
（2）解不等式組：．
21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，連接AE，DE．求證：
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠EAD＝∠EDA．
22．（9分）一只不透明的袋子中裝有1個白球、1個紅球和1個綠球，這些球除顏色外都相同．
（1）將球攪勻，從中任意摸出1個球，摸到白球的概率是 ；
（2）將球攪勻，從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求2次摸到的球顏色不同的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）
23．（12分）“五谷者，萬民之命，國之重寶．”夯實糧食安全根基，需要強化農(nóng)業(yè)科技支撐．農(nóng)業(yè)科研人員小李在試驗田里種植了新品種大麥，為考察麥穗長度的分布情況，開展了一次調(diào)查研究．
【確定調(diào)查方式】
（1）小李計劃從試驗田里抽取100個麥穗，將抽取的這100個麥穗的長度作為樣本，下面的抽樣調(diào)查方式合理的是 ；（只填序號）
①抽取長勢最好的100個麥穗的長度作為樣本
②抽取長勢最差的100個麥穗的長度作為樣本
③隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本
【整理分析數(shù)據(jù)】
（2）小李采用合理的調(diào)查方式獲得該試驗田100個麥穗的長度（精確到0.1cm），并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：
試驗田100個麥穗長度頻率分布表
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
①頻率分布表中的m＝ ；
②請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（畫圖后請標注相應數(shù)據(jù)）
【作出合理估計】
（3）請你估計長度不小于5.4cm的麥穗在該試驗田里所占比例為多少．
24．（9分）如圖，在△ABC中，AB＞AC．
（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線，在角平分線上確定點D，使得DB＝DC；（不寫作法，保留痕跡）
（2）在（1）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，則AD的長是多少？（請直接寫出AD的值）
25．（10分）某校積極開展勞動教育，兩次購買A，B兩種型號的勞動用品，購買記錄如下表：
（1）求A，B兩種型號勞動用品的單價；
（2）若該校計劃再次購買A，B兩種型號的勞動用品共40件，其中A型勞動用品購買數(shù)量不少于10件且不多于25件．該校購買這40件勞動用品至少需要多少元？（備注：A，B兩種型號勞動用品的單價保持不變）
26．（9分）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，＝，AB，CD的延長線相交于點E，且DE＝AD．
（1）求證：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度數(shù)．
27．（10分）【操作觀察】
如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13．
折疊四邊形紙片ABCD，使得點C的對應點C′始終落在AD上，點B的對應點為B′，折痕與AB，CD分別交于點M，N．
【解決問題】
（1）當點C′與點A重合時，求B′M的長；
（2）設直線B′C′與直線AB相交于點F，當∠AFC′＝∠ADC時，求AC′的長．
28．（13分）已知二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象經(jīng)過點和點B（2，1）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）若點C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較y1和y2的大小，并說明理由；
（3）點P，Q在直線AB上，點M在該二次函數(shù)圖象上．問：在y軸上是否存在點N，使得以P，Q，M，N為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．
2024年江蘇省無錫市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的。）
1．（3分）4的倒數(shù)是（ ）
A．B．﹣4C．2D．±2
【分析】根據(jù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)求解即可．
【解答】解：4的倒數(shù)是，
故選：A．
【點評】本題考查倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的相關的知識點是解題的關鍵．
2．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x＜3D．x≥3
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由題意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故選：D．
【點評】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．
3．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣2C．D．x＝2
【分析】先去分母，將分式方程化為整式方程，再進行計算，最后驗根即可．
【解答】解：，
x+1＝2x，
x＝1，
檢驗，當x＝1時，x（x+1）≠0，
∴x＝1是原分式方程的解，
故選：A．
【點評】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
4．（3分）一組數(shù)據(jù)：31，32，35，37，35，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．34，34B．35，35C．34，35D．35，34
【分析】根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：，
這組數(shù)據(jù)從小大到大排序為：31，32，35，35，37，
∵一共有5個數(shù)據(jù)，
∴中位數(shù)為第3位數(shù)，即35，
故選：C．
【點評】本題主要考查了平均數(shù)與中位數(shù)的定義，熟練掌握平均數(shù)與中位數(shù)的求解方法是解答本題的關鍵．
5．（3分）下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．平行四邊形D．正五邊形
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，由此即可判斷．
【解答】解：選項A、B、D中的圖形均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
選項C中的圖形能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；
故選：C．
【點評】本題考查中心對稱圖形，關鍵是掌握中心對稱圖形的定義．
6．（3分）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側面積為（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
【分析】根據(jù)圓錐的側面積公式即可求解．
【解答】解：S側＝πrl＝π×3×4＝12π，
故選：B．
【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是掌握圓錐的側面積公式．
7．（3分）《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經(jīng)過多少天相遇？設經(jīng)過x天相遇，則下列方程正確的是（ ）
A．B．C．9x+7x＝1D．9x﹣7x＝1
【分析】根據(jù)題意可得野鴨的速度為，大雁的速度為，設經(jīng)過x天相遇，則相遇時野鴨的路程+大雁的路程＝總路程，據(jù)此即可列出方程．
【解答】解：設經(jīng)過x天相遇，
可列方程為：，
故選：A．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，理解題意建立等量關系是關鍵．
8．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′．當AB′落在AC上時，∠BAC′的度數(shù)為（ ）
A．65°B．70°C．80°D．85°
【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得出∠B′AC′＝∠BAC＝35°，最后根據(jù)角的和差關系即可得出答案．
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠B′AC′＝∠BAC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣65°＝35°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝35°，
∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝70°，
故選：B．
【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B′AC′＝∠BAC是解題的關鍵．
9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中點，則sin∠EBC的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】延長BC，過點E作BC延長線的垂線，垂足為點H，設BC＝CD＝x，易得∠ABC＝∠DCH＝60°，則，進而得出，再得出，最后根據(jù)sin∠EBC＝，即可解答．
【解答】解：延長BC，過點E作BC延長線的垂線，垂足為點H，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCH＝60°，
設BC＝CD＝x，
∵E是CD的中點，
∴，
∵EH⊥BH，
∴，
∴，
∴BE＝＝x，
∴sin∠EBC＝＝＝，
故選：C．
【點評】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助線，構造直角三角形求解．
10．（3分）已知y是x的函數(shù)，若存在實數(shù)m，n（m＜n），當m≤x≤n時，y的取值范圍是tm≤y≤tn（t＞0）．我們將m≤x≤n稱為這個函數(shù)的“t級關聯(lián)范圍”．例如：函數(shù)y＝2x，存在m＝1，n＝2，當1≤x≤2時，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函數(shù)y＝2x的“2級關聯(lián)范圍”．下列結論：
①1≤x≤3是函數(shù)y＝﹣x+4的“1級關聯(lián)范圍”；
②0≤x≤2不是函數(shù)y＝x2的“2級關聯(lián)范圍”；
③函數(shù)總存在“3級關聯(lián)范圍”；
④函數(shù)y＝﹣x2+2x+1不存在“4級關聯(lián)范圍”．
其中正確的為（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】推出y＝﹣x+4在1≤x≤3時，1≤y≤3，即t＝1，即可判斷①；推出y＝x2在0≤x≤2時，0≤y≤4，即t＝2，即可判斷②；③設當0＜m≤x≤n，則，
當函數(shù)存在“3級關聯(lián)范圍”時，整理得，即可判斷③；設m≤x≤n＜1，則﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1，當函數(shù)y＝﹣x2+2x+1存在“4級關聯(lián)范圍”時，，求出m和n的值，即可判斷④．
【解答】解：①當x＝1時，y＝﹣x+4＝3，當x＝3時，y＝﹣x+4＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴y＝﹣x+4在1≤x≤3時，1≤y≤3，即t＝1，
∴1≤x≤3是函數(shù)y＝﹣x+4的“1級關聯(lián)范圍”；故①正確，符合題意；
②當x＝0時，y＝x2＝0，當x＝2時，y＝x2＝4，
∵y＝x2對稱軸為y軸，a＝1＞0，
∴當x≥0時，y隨x的增大而增大，
∴y＝x2在0≤x≤2時，0≤y≤4，即t＝2，
∴0≤x≤2是函數(shù)y＝x2的“2級關聯(lián)范圍”，故②不正確，不符合題意；
③∵k＞0，
∴該反比例函數(shù)圖象位于第一象限，且在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?br>設當0＜m≤x≤n，則，
當函數(shù)存在“3級關聯(lián)范圍”時，
整理得：，
∵k＞0，0＜m≤x≤n，
∴總存在，
∴函數(shù)總存在“3級關聯(lián)范圍”；故③正確，符合題意；
④函數(shù)y＝﹣x2+2x+1的對稱軸為，
∵a＝﹣1＜0，
∴當x＜1時，y隨x的增大而增大，
設m≤x≤n＜1，則﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1，
當函數(shù)y＝﹣x2+2x+1存在“4級關聯(lián)范圍”時，，
解得：，
∴是函數(shù)y＝﹣x2+2x+1的“4級關聯(lián)范圍”，
∴函數(shù)y＝﹣x2+2x+1存在“4級關聯(lián)范圍”，故④不正確，不符合題意；
綜上：正確的有①③，
故選：A．
【點評】本題考查了新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)是關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】本題中兩個平方項的符號相反，直接運用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案為：（x+3）（x﹣3）．
【點評】主要考查平方差公式分解因式，熟記能用平方差公式分解因式的多項式的特征，即“兩項、異號、平方形式”是避免錯用平方差公式的有效方法．
12．（3分）在科技創(chuàng)新的強力驅(qū)動下，中國高鐵事業(yè)飛速發(fā)展，高鐵技術已經(jīng)領跑世界．截至2023年底，我國高鐵營業(yè)里程達到45000km．數(shù)據(jù)45000用科學記數(shù)法表示為 4.5×104 ．
【分析】科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)的方法：將原數(shù)化為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時小數(shù)點移動的位數(shù)．
【解答】解：數(shù)據(jù)45000用科學記數(shù)法表示為4.5×104．
故答案為：4.5×104．
【點評】本題主要考查了用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，解題的關鍵是掌握用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)的方法：將原數(shù)化為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時小數(shù)點移動的位數(shù)．
13．（3分）正十二邊形的內(nèi)角和等于 1800 度．
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°進行計算即可．
【解答】解：（12﹣2）×180°＝1800°，
∴正十二邊形的內(nèi)角和等于1800°．
故答案為：1800．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟悉相關性質(zhì)是解題的關鍵．
14．（3分）命題“若a＞b，則a﹣3＜b﹣3”是 假 命題．（填“真”或“假”）
【分析】根據(jù)a＞b，可得出a﹣3＞b﹣3，進而可判斷出若a＞b，則a﹣3＜b﹣3是假命題．
【解答】解：∵a＞b
∴a﹣3＞b﹣3，
∴若a＞b，則a﹣3＜b﹣3是假命題，
故答案為：假．
【點評】本題主要考查了真假命題的判斷以及不等式的性質(zhì)，關鍵是不等式性質(zhì)的應用．
15．（3分）某個函數(shù)的圖象關于原點對稱，且當x＞0時，y隨x的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達式： （答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)結合已知條件解題即可．
【解答】解：根據(jù)題意有：，
故答案為：（答案不唯一）．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，（1）反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象是雙曲線；（2）當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小；（3）當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
16．（3分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，則△DEF的周長為 9 ．
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出，即可解答．
【解答】解：∵AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，
∴，
∴△DEF的周長＝DE+EF+DF＝4+2+3＝9，
故答案為：9．
【點評】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
17．（3分）在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板ABC擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊AC，BC分別落在x軸負半軸、y軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移a個單位長度，再向下平移a個單位長度后，小明發(fā)現(xiàn)A，B兩點恰好都落在函數(shù)的圖象上，則a的值為 2或3 ．
【分析】先得出點A和點B的坐標，再得出平移后點A和點B對應點的坐標，根據(jù)平移后兩點恰好都落在函數(shù)的圖象上，列出方程求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB＝5，
∴A（﹣5，0），B（0，5），
設平移后點A、B的對應點分別為A′、B′，
∴A′（﹣5+a，﹣a），B′（a，5﹣a），
∵A′、B′兩點恰好都落在函數(shù)的圖象上，
∴把B′（a，5﹣a）代入得：a（5﹣a）＝6，
解得：a＝2或a＝3．
故答案為：2或3．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)，平移，解一元二次方程，在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．）
18．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直線CM∥AB，E是BC上的動點（端點除外），射線AE交CM于點D．在射線AE上取一點P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射線AC于點Q．設AQ＝x，PQ＝y(tǒng)．當x＝y(tǒng)時，CD＝ 2 ；在點E運動的過程中，y關于x的函數(shù)表達式為 ．
【分析】易得CD∥PQ，則△APQ∽△ADC，得出，代入數(shù)據(jù)即可求出CD＝2；根據(jù)△APQ∽△ADC，得出，設DE＝t，則AP＝2t，通過證明△CDE∽△BAE，得出，則，進而得出，結合△APQ∽△ADC，可得，代入各個數(shù)據(jù)，即可得出 y關于x的函數(shù)表達式．
【解答】解：∵CM∥AB，PQ∥AB，
∴CD∥PQ，
∴△APQ∽△ADC，
∴，即，
∵x＝y(tǒng)，
∴CD＝2；
∵△APQ∽△ADC，
∴，即，
整理得：，
設DE＝t，
∵AP＝2ED，
∴AP＝2t，
∵CM∥AB，
∴△CDE∽△BAE，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵△APQ∽△ADC，
∴，即，
整理得：，
故答案為：2，．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例．
三、解答題（本大題共10小題，共96分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等）
19．（8分）計算：
（1）；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
【分析】（1）先將絕對值，算術平方根，負整數(shù)冪化簡，再進行計算即可；
（2）先根據(jù)去括號法則和完全平方公式將括號展開，再合并同類項即可．
【解答】解：（1）
＝4﹣4+2
＝2；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2
＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2
＝2a2+b2．
【點評】本題考查了完全平方式，實數(shù)的運算，單項式乘多項式，熟練掌握相關運算順序和運算法則是解題的關鍵．
20．（8分）（1）解方程：（x﹣2）2﹣4＝0；
（2）解不等式組：．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接開平方法進行計算，即可解答；
（2）先分別求解兩個不等式，再根據(jù)口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”即可寫出不等式組的解集．
【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣4＝0，
（x﹣2）2＝4，
x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，
解得：x1＝4，x2＝0，
（2），
由①可得：x≤3，
由②可得：x＞﹣1，
∴原不等式組的解集為：﹣1＜x≤3．
【點評】本題考查了解一元一次不等式組，解一元二次方程﹣直接開平方法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，連接AE，DE．求證：
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠EAD＝∠EDA．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，再根據(jù)中點的定義得出BE＝CE，即可根據(jù)SAS求證△ABE≌△DCE；
（2）根據(jù)全等的性質(zhì)得出AE＝DE，根據(jù)等邊對等角即可求證．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵E是BC的中點，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
（2）證明：∵△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．
22．（9分）一只不透明的袋子中裝有1個白球、1個紅球和1個綠球，這些球除顏色外都相同．
（1）將球攪勻，從中任意摸出1個球，摸到白球的概率是 ；
（2）將球攪勻，從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求2次摸到的球顏色不同的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）
【分析】（1）由題意知，共有3種等可能的結果，其中摸到白球的結果有1種，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式可得答案．
【解答】解：（1）由題意知，共有3種等可能的結果，其中摸到白球的結果有1種，
∴摸到白球的概率為．
故答案為：．
（2）列表如下：
由表格可知，共有9種等可能的結果，其中2次摸到的球顏色不同的結果有6種，
∴2次摸到的球顏色不同的概率為．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法、概率公式是解答本題的關鍵．
23．（12分）“五谷者，萬民之命，國之重寶．”夯實糧食安全根基，需要強化農(nóng)業(yè)科技支撐．農(nóng)業(yè)科研人員小李在試驗田里種植了新品種大麥，為考察麥穗長度的分布情況，開展了一次調(diào)查研究．
【確定調(diào)查方式】
（1）小李計劃從試驗田里抽取100個麥穗，將抽取的這100個麥穗的長度作為樣本，下面的抽樣調(diào)查方式合理的是 ③ ；（只填序號）
①抽取長勢最好的100個麥穗的長度作為樣本
②抽取長勢最差的100個麥穗的長度作為樣本
③隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本
【整理分析數(shù)據(jù)】
（2）小李采用合理的調(diào)查方式獲得該試驗田100個麥穗的長度（精確到0.1cm），并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：
試驗田100個麥穗長度頻率分布表
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
①頻率分布表中的m＝ 0.12 ；
②請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（畫圖后請標注相應數(shù)據(jù)）
【作出合理估計】
（3）請你估計長度不小于5.4cm的麥穗在該試驗田里所占比例為多少．
【分析】（1）根據(jù)抽樣調(diào)查的特點回答即可．
（2）①用1減去其他頻率即可求出m的值．②先求出麥穗長度頻率分布在6.1≤x＜6.8之間的頻數(shù)，然后即可補全頻數(shù)分布直方圖
（3）把長度不小于5.4cm的麥穗的頻率相加即可求解．
【解答】解：（1）∵抽樣調(diào)查方式樣本的選取需要的是廣泛性和可靠性，
∴抽樣調(diào)查方式合理的是隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本，
故答案為：③
（2）①頻率分布表中的m＝1﹣（0.04+0.45+0.3+0.09）＝0.12，
故答案為：0.12，
②麥穗長度頻率分布在6.1≤x＜6.8之間的頻數(shù)有：100×0.3＝30，
頻數(shù)分布直方圖補全如下：
（3）0.45+0.3+0.09＝0.84，
故長度不小于5.4cm的麥穗在該試驗田里所占比例為84%．
【點評】本題主要考查了抽樣調(diào)查的合理性，補全頻數(shù)分布直方圖的相關知識，掌握抽樣調(diào)查以及讀懂頻數(shù)分布直方圖是解題的關鍵．
24．（9分）如圖，在△ABC中，AB＞AC．
（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線，在角平分線上確定點D，使得DB＝DC；（不寫作法，保留痕跡）
（2）在（1）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，則AD的長是多少？（請直接寫出AD的值）
【分析】（1）作∠BAC的角平分線和線段BC的垂直平分線相交于點D，即為所求．
（2）過點D作DE⊥AB交AB與點E，過點D作DF⊥AC交AC與點F，先利用角平分線的性質(zhì)定理證明四邊形AEDF為正方形，設AE＝AF＝ED＝DF＝x，則BE＝7﹣x，F(xiàn)C＝5﹣x，以DB＝DC為等量關系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出AD．
【解答】解：（1）如圖：AD即為所求．
（2）過點D作DE⊥AB交AB與點E，過點D作DF⊥AC交AC與點F，
則∠AED＝∠AFD＝90°，
又∵∠BAC＝90°
∴四邊形AEDF為矩形，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴DE＝DF，
∴四邊形AEDF為正方形，
∴AE＝AF＝ED＝DF，
設AE＝AF＝ED＝DF＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣x，F(xiàn)C＝AC﹣AF＝5﹣x，
在Rt△BED中，BD2＝ED2+BE2＝x2+（7﹣x）2，
在Rt△CFD中，CD2＝DF2+FC2＝x2+（5﹣x）2，
∵DB＝DC，
∴DB2＝DC2，
∴x2+（7﹣x）2＝x2+（5﹣x）2，
解得：x＝6，
∴．
【點評】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質(zhì)定理，正方形的判定以及勾股定理的應用，作出圖形以及輔助線是解題的關鍵．
25．（10分）某校積極開展勞動教育，兩次購買A，B兩種型號的勞動用品，購買記錄如下表：
（1）求A，B兩種型號勞動用品的單價；
（2）若該校計劃再次購買A，B兩種型號的勞動用品共40件，其中A型勞動用品購買數(shù)量不少于10件且不多于25件．該校購買這40件勞動用品至少需要多少元？（備注：A，B兩種型號勞動用品的單價保持不變）
【分析】（1）設A種型號勞動用品單價為x元，B種型號勞動用品單價為y元，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，列出方程組求解即可；
（2）設夠買A種型號勞動用品a件，則夠買B種型號勞動用品（40﹣a）件，根據(jù)題意得出10≤a≤25，設購買這40件勞動用品需要W元，列出W關于a的表達式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．
【解答】解：（1）設A種型號勞動用品單價為x元，B種型號勞動用品單價為y元，
，
解得：，
答：A種型號勞動用品單價為20元，B種型號勞動用品單價為30元．
（2）設夠買A種型號勞動用品a件，則夠買B種型號勞動用品（40﹣a）件，
根據(jù)題意可得：10≤a≤25，
設購買這40件勞動用品需要W元，
W＝20a+30（40﹣a）＝﹣10a+1200，
∵﹣10＜0，
∴W隨a的增大而減小，
∴當a＝25時，W取最小值，W＝﹣10×25+1200＝950，
∴該校購買這40件勞動用品至少需要950元．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)題意找到關系式．
26．（9分）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，＝，AB，CD的延長線相交于點E，且DE＝AD．
（1）求證：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度數(shù)．
【分析】（1）由等弧所對的圓周角相等可得出∠CAD＝∠DAB，再由等邊對等角得出∠DAB＝∠E，等量代換可得出∠CAD＝∠E，又∠C＝∠C，即可得出△CAD∽△CEA．
（2）連接BD，由直徑所對的圓周角等于90°得出∠ADB＝90°，設∠CAD＝∠DAB＝α，即∠CAE＝2α，由相似三角形的性質(zhì)可得出∠ADC＝∠CAE＝2α，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出2α+2α+90°＝180°，即可得出α的值，進一步即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵DE＝AD，
∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠C＝∠C
∴△CAD∽△CEA，
（2）連接BD，如圖：
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
設∠CAD＝∠DAB＝α，
∴∠CAE＝2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α，
∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，
即2α+2α+90°＝180°，
解得：α＝22.5°
∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°
【點評】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關鍵．
27．（10分）【操作觀察】
如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13．
折疊四邊形紙片ABCD，使得點C的對應點C′始終落在AD上，點B的對應點為B′，折痕與AB，CD分別交于點M，N．
【解決問題】
（1）當點C′與點A重合時，求B′M的長；
（2）設直線B′C′與直線AB相交于點F，當∠AFC′＝∠ADC時，求AC′的長．
【分析】（1）過點C作CH⊥AD，則CH＝AB＝12，AH＝BC＝8，再求出HD，根據(jù)勾股定理求出CD，當點C′與點A重合時，由折疊的性質(zhì)可得出MN垂直平分AC，N與D重合，則有AM＝MC，設B′M＝MB＝x，則AM＝MC＝12﹣x，再利用勾股定理即可得出．
（2）分兩種情況，當點F在AB上時和當點F在BA的延長線上時，設AF＝5x，AC′＝12x，則C′F＝13x，利用∠AFC′＝∠ADC＝∠B′FM三個角的正切值相等表示出個線段的長度，最后利用線段的和差關系求解即可．
【解答】解：（1）如圖1，過點C作CH⊥AD，
則CH＝AB＝12，AH＝BC＝8，
∴HD＝AD﹣AC′＝13﹣8＝5，
∴，
，
當點C′與點A重合時，由折疊的性質(zhì)可得出MN垂直平分AC，N與D重合，
則有AM＝MC，
設B′M＝MB＝x，則AM＝MC＝12﹣x，
∵∠ABC＝90°
∴在Rt△MBC中x2+82＝（12﹣x）2，
解得：，
故；
（2）如圖2，當點F在AB上時，如圖2：
由（1）可知，
∵∠AFC′＝∠ADC，
∴，
設AF＝5x，AC′＝12x，則C′F＝13x，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出：B′C′＝BC＝8，B′F＝8﹣13x．
∵∠B′FM＝∠AFC′，
∴，
∵∠ABC＝90°
∴在Rt△BFM中，，，
則，
解得：，
；
如圖3，當點F在BA的延長線上時，
同上，
在Rt△AFC′中，
設AF＝5x，AC′＝12x，F(xiàn)C′＝13x，F(xiàn)B′＝13x﹣8，
在Rt△MFB′中，
，，
則，
解得，
則，
綜上：AC′的值為：或．
【點評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切的相關應用，結合題意畫出圖形是解題的關鍵．
28．（13分）已知二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象經(jīng)過點和點B（2，1）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）若點C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較y1和y2的大小，并說明理由；
（3）點P，Q在直線AB上，點M在該二次函數(shù)圖象上．問：在y軸上是否存在點N，使得以P，Q，M，N為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將點A和點B的坐標代入y＝ax2+x+c，求出a和c的值，即可得出這個二次函數(shù)的表達式；
（2）根據(jù)題意得出，，再用作差法得出，進行分類討論即可；
（3）求出直線AB的函數(shù)解析式為，然后進行分類討論：當PQ為正方形的邊時；當PQ為正方對角線時，結合正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，即可解答．
【解答】解：（1）把，B（2，1）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得：，
∴這個二次函數(shù)的表達式為；
（2）∵C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在該二次函數(shù)的圖象上，
∴，，
∴，
當時，即時，y1＞y2；
當時，即時，y1＝y(tǒng)2；
當時，即時，y1＜y2；
（3）設直線AB的函數(shù)解析式為y＝kx+e，
把，B（2，1）代入得：，
解得：，
∴直線AB的函數(shù)解析式為，
當PQ為正方形的邊時，
①∵B（2，1），
∴，
過點M作y軸的垂線，垂足為點G，過點P作MG的垂線，垂足為點H，如圖1，
∵PQ∥MN，MG∥x軸，
∴∠BOC＝∠NMG，
∴，則MG＝2NG，
設NG＝t，則MG＝2t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），
∴點N的縱坐標為﹣2t2﹣2t+1+t＝﹣2t2﹣t+1，
即N（0，﹣2t2﹣t+1），
∵以P，Q，M，N為頂點的四邊形是正方形，
∴∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴∠PMH+∠NMG＝90°，
∵∠PMH+∠MPH＝90°，
∴∠NMG＝∠MPH，
∵∠NMG＝∠MPH，∠H＝∠MGN，PM＝MN，
∴△PHM≌△MGN，
∴PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t，
∴P（﹣3t，﹣2t2+1），
把P（﹣3t，﹣2t2+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如圖2：構造Rt△MQG，Rt△NMH，
和①同理可得：△MQG≌△NMH，，
設NH＝GM＝2t，則QG＝MH＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），Q（t，﹣2t2+4t+1），
把Q（t，﹣2t2+4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，﹣5）；
③如圖3：構造Rt△GMN，Rt△HPM，
和①同理可得：△GMN≌△HPM，，
設GN＝HM＝2t，則GM＝HP＝t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣t+1），P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1），
把P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如圖4：構造Rt△GMN，Rt△HNP，
和①同理可得：△GMN≌△HNP，，
設GM＝HN＝2t，則GN＝HP＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），P（t，﹣2t2﹣t+1），
把P（t，﹣2t2﹣t+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
當PQ為正方形對角線時，
⑤如圖5：構造矩形HGJI，過點P作PK⊥IJ于點K，
∴PK∥x軸，
∴∠QPK＝∠BOC，
∴，
設QK＝x，則PK＝2x，
和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，
∴HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI，
∴四邊形HGJI為正方形，
∴PK＝IJ＝2x，
∴，則，
∴，
設PG＝HN＝t，則PH＝GM＝3t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+6t+1），P（﹣t，﹣2t2+3t+1），
把P（﹣t，﹣2t2+3t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，5）；
⑥如圖6：構造Rt△PMH，Rt△NPG，
同理可得：，
設PG＝HM＝t，則PH＝GN＝3t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣6t+1），P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1），
把P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
綜上：或或N（0，﹣5）或N（0，5）或或．
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相關性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構造全等三角形解答．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/8/6 13:01:44；用戶：陳莉；郵箱：badywgy52@xyh.cm；學號：39221433長度x/cm
頻率
4.0≤x＜4.7
0.04
4.7≤x＜5.4
m
5.4≤x＜6.1
0.45
6.1≤x＜6.8
0.30
6.8≤x＜7.5
0.09
合計
1
A型勞動用品（件）
B型勞動用品（件）
合計金額（元）
第一次
20
25
1150
第二次
10
20
800
白
紅
綠
白
（白，白）
（白，紅）
（白，綠）
紅
（紅，白）
（紅，紅）
（紅，綠）
綠
（綠，白）
（綠，紅）
（綠，綠）
長度x/cm
頻率
4.0≤x＜4.7
0.04
4.7≤x＜5.4
m
5.4≤x＜6.1
0.45
6.1≤x＜6.8
0.30
6.8≤x＜7.5
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