【基礎落實練】
1.(5分)(多選題)若m,n,l為空間三條不同的直線,α,β,γ為空間三個不同的平面,則下列為真命題的是( )
A.若m⊥l,n∥l,則m⊥n
B.若m⊥β,m∥α,則α⊥β
C.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β
D.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥β
【解析】選AB.C中,α與β可能平行或相交;
D中,α與β可能平行或相交.
2.(5分)已知α,β是兩個不同的平面,l,m,n是三條不同的直線,下列條件中,可以得到l⊥α的是( )
A.l⊥m,l⊥n,m?α,n?α
B.l⊥m,m∥α
C.α⊥β,l∥β
D.l∥m,m⊥α
【解析】選D.對于A,l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,則l與α相交、平行或l?α,故A錯誤;
對于B,l⊥m,m∥α,則l與α相交、平行或l?α,故B錯誤;
對于C,α⊥β,l∥β,則l與α相交、平行或l?α,故C錯誤;
對于D,l∥m,m⊥α,則l⊥α,故D正確.
3.(5分)《九章算術》中將底面是矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬,將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的陽馬P-ABCD中,側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,點E,F分別為線段PB,PC的中點.下列說法正確的是( )
A.四面體E-BCD和四面體F-BCD都是鱉臑
B.四面體E-BCD和四面體F-BCD都不是鱉臑
C.四面體E-BCD是鱉臑,四面體F-BCD不是鱉臑
D.四面體E-BCD不是鱉臑,四面體F-BCD是鱉臑
【解析】選D.不妨設PD=CD=BC=2,則DE=BE=3,BD=22,
所以cs∠BED=DE2+BE2-BD22DE·BE=-13|PN|;
(3)過P,A,C三點的正方體的截面一定不是等腰梯形;
(4)平面PAN⊥平面BDD1B1.
【解析】由A,N,C三點共線,M為AP的中點,可得直線CA,PM為相交直線,所以CM,PN為相交直線,故(1)錯誤;
設正方體的棱長為2,則AC=22,AP=5,AM=52,AN=2,CM2=AM2+AC2-2AM·AC·cs∠PAC=54+8-210cs∠PAC=374-210cs∠PAC,PN2=AN2+AP2-2AN·AP·cs∠PAC=2+5-210cs∠PAC=7-210cs∠PAC,CM2-PN2=374-7=94>0,即|CM|>|PN|,故(2)正確;
在C1D1上取一點K,連接KP,KC,A1C1,使得PK∥A1C1,
由A1C1∥AC,可得PK∥AC,
則截面PKCA為過P,A,C的正方體的截面,由正方體的性質(zhì)可得AP=CK,
則過P,A,C三點的正方體的截面是等腰梯形,故(3)錯誤;
由正方形的性質(zhì)可得AC⊥BD,
B1B⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,可得B1B⊥AC,BD∩B1B=B,
所以AC⊥平面BDD1B1,
又AC?平面PAN,所以平面PAN⊥平面BDD1B1,故(4)正確.
答案:(2)(4)
8.(10分)如圖所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分別是BF,CE上的點,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如圖1),將四邊形ADEF沿AD折起,連接BE,BF,CE(如圖2).
(1)判斷四邊形BCEF是否是平面四邊形,并寫出判斷理由;
【解析】(1)結論:四邊形BCEF不可能是平面四邊形.理由如下:若B,C,E,F共面,則由BC∥AD,BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,
又BC∥AD,則AD∥EF,矛盾.
所以四邊形BCEF不可能是平面四邊形.
8.(10分)如圖所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分別是BF,CE上的點,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如圖1),將四邊形ADEF沿AD折起,連接BE,BF,CE(如圖2).
(2)當EF⊥CF時,求證:平面ADEF⊥平面ABCD.
【解析】(2)在平面ADEF中,易得EF⊥FD,
又因為EF⊥CF,FD∩CF=F,
所以EF⊥平面CDF,又CD?平面DCF,
所以EF⊥CD,
又因為CD⊥AD,而AD,EF延長后相交,
所以CD⊥平面ADEF,
又因為CD?平面ABCD,
所以平面ADEF⊥平面ABCD.
【能力提升練】
9.(5分)如圖,在四面體ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在平面ABC內(nèi)的射影H必在( )
A.直線AB上B.直線BC上
C.直線AC上D.△ABC內(nèi)部
【解析】選A.由AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,則AC⊥平面ABD,而AC?平面ABC,則平面ABC⊥平面ABD,因此D在平面ABC內(nèi)的射影H必在平面ABC與平面ABD的交線AB上.
【加練備選】
如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直線AB上B.直線BC上
C.直線AC上D.△ABC內(nèi)部
【解析】選A.由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,得AC⊥平面ABC1.
因為AC?平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.
10.(5分)(多選題)如圖,在以下四個正方體中,直線AB與平面CDE垂直的是( )
【解析】選BD.對于A,顯然AB與CE不垂直,則直線AB與平面CDE不垂直;對于B,因為AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,所以AB⊥平面CDE;對于C,顯然AB與CE不垂直,所以直線AB與平面CDE不垂直;對于D,因為ED⊥平面ABC,則ED⊥AB,同理CE⊥AB,因為ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.
11.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分別是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中點,請寫出一個與A1O垂直的正方體的截面:________.
【解析】如圖,連接AC,BD,BG,DG,A1G,OG,A1C1,
易知BD⊥AC,BD⊥AA1,又AC∩AA1=A,故BD⊥平面ACC1A1,因為A1O?平面ACC1A1,故BD⊥A1O,設正方體的棱長為2,
則A1O=AA12+AO2=4+2=6,OG=OC2+CG2=2+1=3,A1G=A1C12+C1G2
=8+1=3,故A1G2=A1O2+OG2,
故A1O⊥OG,OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.
答案:平面GBD(答案不唯一)
12.(5分)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是棱CC1上的一個動點,平面BED1交棱AA1于點F.給出下列四個結論:
①存在點E,使得A1C1 ∥平面BED1F;
②存在點E,使得B1D ⊥平面BED1F;
③對于任意的點E,平面A1C1D⊥平面BED1F;
④對于任意的點E,四棱錐B1-BED1F的體積均不變.其中,所有正確結論的序號是________.
【解析】①當E為棱CC1的中點時,
F也為棱AA1的中點,此時A1C1∥EF;
滿足A1C1∥平面BED1F成立,所以①正確.
②因為BD1?平面BED1F,所以若存在點E,使得B1D⊥平面BED1F,則B1D⊥BD1,則矩形BDD1B1是正方形或菱形,
在正方體中,BD=2BB1.則矩形BDD1B1不可能是正方形或菱形,
所以不可能存在點E,使得B1D⊥平面BED1F,所以②錯誤.
③連接D1B,則D1B⊥平面A1C1D,而D1B?平面BED1F,所以平面A1C1D⊥平面BED1F成立,所以③正確.
④四棱錐B1-BED1F的體積等于VD1-BB1E+VD1-B1BF,
設正方體的棱長為1,因為無論E,F在何點,△BB1E的面積為12×1×1=12為定值,三棱錐D1-BB1E的高D1C1=1,保持不變.
△BB1F的面積為12×1×1=12為定值,
三棱錐D1-BB1F的高為D1A1=1,保持不變.
所以三棱錐D1-BB1E和三棱錐D1-BB1F的體積均為定值,即四棱錐B1-BED1F的體積等于VD1-BB1E+VD1-B1BF為定值,所以④正確.
答案:①③④
13.(10分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=∠AA1C=90°,平面AA1C1C⊥平面ABC.
(1)求證:AA1⊥A1B;
【解析】(1)因為平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BC⊥AC,
所以BC⊥平面AA1C1C.
又AA1?平面AA1C1C,
所以BC⊥AA1.
因為∠AA1C=90°,所以AA1⊥A1C.
又因為BC∩A1C=C,
所以AA1⊥平面A1BC.又A1B?平面A1BC,所以AA1⊥A1B.
13.(10分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=∠AA1C=90°,平面AA1C1C⊥平面ABC.
(2)若AA1=2,BC=3,∠A1AC=60°,求點C到平面A1ABB1的距離.
【解析】(2)由(1)可知A1A⊥平面A1BC,A1A?平面A1ABB1,
所以平面A1BC⊥平面A1ABB1,且交線為A1B,
所以點C到平面A1ABB1的距離等于△CA1B的A1B邊上的高,設其為h.
在Rt△AA1C中,A1A=2,∠A1AC=60°,則A1C=23.
由(1)得BC⊥A1C,
所以在Rt△A1CB中,BC=3,A1B=21,
h=BC·A1CA1B=677.
故點C到平面A1ABB1的距離為677.
14.(10分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形,側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G為AD的中點.
(1)求證:BG⊥平面PAD;
【解析】(1)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G為AD的中點,所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG?平面ABCD,所以BG⊥平面PAD.
14.(10分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形,側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G為AD的中點.
(2)求證:AD⊥PB;
【解析】(2)如圖,連接PG,因為△PAD為正三角形,G為線段AD的中點,
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD,又PG∩BG=G,所以AD⊥平面PGB.
因為PB?平面PGB,所以AD⊥PB.
14.(10分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形,側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G為AD的中點.
(3)若E為BC邊的中點,能否在棱PC上找到一點F,使平面DEF⊥平面ABCD?并證明你的結論.
【解析】(3)能,當F為線段PC的中點時,平面DEF⊥平面ABCD.證明如下:
取線段PC的中點F,連接DE,EF,DF.
在△PBC中,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE.
而FE?平面DEF,DE?平面DEF,EF∩DE=E,PB?平面PGB,GB?平面PGB,PB∩GB=B,
所以平面DEF∥平面PGB.
因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG?平面PAD,PG⊥AD,
所以PG⊥平面ABCD.
又PG?平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.
【素養(yǎng)創(chuàng)新練】
15.(5分)正方形ABCD的邊長為2,E,F分別是AB和CD的中點,將正方形沿EF折成直二面角如圖所示,M為矩形AEFD內(nèi)的一點,MO⊥EF于點O,如果∠MBE=∠MBC,tan∠MBO=12,那么線段MO的長為__________.
【解析】設MO=x,x>0,由于平面AEFD⊥平面BEFC,且交線為EF,MO⊥EF,所以MO⊥平面BEFC,則MO⊥OB,
所以tan∠MBO=MOOB=xOB=12,則OB=2x,
則OE=4x2-1,OF=2-4x2-1,BM=5x,EM=5x2-1,BE2+EM2=BM2,BE⊥EM.
OC2=(2-4x2-1)2+12,
MC2=2-4x2-12+12+x2,
由于∠MBE=∠MBC,所以cs∠MBE
=cs∠MBC,即15x
=5x2+22-[(2-4x2-1) 2+12+x2]2×5x×2,
解得x=22,即MO=22.
答案:22

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