2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練46 空間向量的運算及其坐標(biāo)表示（Word版附解析）

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【基礎(chǔ)落實練】
1.(5分)在空間四邊形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC的值為( )
A.-1B.0C.1D.2
【解析】選B.在空間四邊形ABCD中,
AB·CD+AC·DB+AD·BC
=AB·CD+(AB+BC)·(AB-AD)+AD·BC
=AB·CD+AB·AB+AB·BC-AB·AD
=AB·(BC+CD)+AB·(AB-AD)
=AB·BD+AB·DB=0.
2.(5分)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,則λ=( )
A.9B.-9C.-3D.3
【解析】選B.由題意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),
所以2x-y=7x+2y=6-3x+3y=λ,解得λ=-9.
3.(5分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AD=1,則BD1·AD等于( )
A.1B.2C.3D.63
【解析】選A.由長方體的性質(zhì)可知AD⊥AB,AD⊥BB1,AD∥BC,AD=BC=1,
BD1=BA+BC+BB1,
所以BD1·AD=(BA+BC+BB1)·AD
=BA·AD+BC·AD+BB1·AD
=0+BC2+0=1.
4.(5分)如圖,在空間四邊形ABCD中,若向量AB=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),點E,F分別為線段BC,AD的中點,則EF的坐標(biāo)為( )
A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)
【解析】選B.取AC的中點M,連接ME,MF(圖略),
ME=12AB=-32,52,1,
MF=12CD=-72,-12,-2,
而EF=MF-ME=(-2,-3,-3).
5.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )
A.32B.155
C.105D.33
【解析】選C.由題知,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,
因為BC?平面ABC,AB?平面ABC,所以BB1⊥BC,CC1⊥AB,
因為AB1=BB1-BA,BC1=BC+CC1,
所以AB1·BC1=BB1·BC+BB1·CC1-BA·BC-BA·CC1=0+1-2×1×(-12)-0=2.
因為AB1=5,BC1=2,
所以cs=AB1·BC1AB1BC1=25×2=105,所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為105.
6.(5分)如圖,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,則AC·AD=________.
【解析】由題干圖可得:
AC·AD=(AB+BC)·AD
=AB·AD+BC·AD
=0+3BD·AD
=3(BA+AD)·AD=3·|AD|2=3.
答案:3
7.(5分)(2023·西安模擬)空間四邊形ABCD中,AC與BD是四邊形的兩條對角線,M,N分別為線段AB,CD上的兩點,且滿足AM=23AB,DN=34DC,若點G在線段MN上,且滿足MG=3GN,若向量AG滿足AG=xAB+yAC+zAD,則x+y+z=______.
【解析】空間四邊形ABCD中,AC與BD是四邊形的兩條對角線,M,N分別為線段AB,CD上的兩點,且滿足AM=23AB,DN=34DC,若點G在線段MN上,且滿足MG=3GN,如圖所示:
由于MG=3GN,
得AG-AM=3(AN-AG),
整理得4AG=3AN+AM=3AD+3DN+AM
=3AD+94DC+23AB
=3AD+94AC-94AD+23AB
=34AD+94AC+23AB,
所以AG=316AD+916AC+16AB,
故x=16,y=916,z=316,
所以x+y+z=1112.
答案:1112
8.(5分)如圖所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC=________.
【解析】因為PC=PA+AB+BC,
所以|PC|2=|PA|2+|AB|2+|BC|2+2AB·BC
=36+36+36+2×36cs 60°=144.
所以|PC|=12.
答案:12
9.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M為PC的中點.
(1)求證:PB⊥DM;
【解析】(1)結(jié)合題圖知,PB=AB-AP,
DM=12(DP+DC)=12(AP-AD+AB-12AD)=12AP+12AB-34AD,則PB·DM=(AB-AP)·(12AP+12AB-34AD)
=12|AB|2-12|AP|2=0,故PB⊥DM.
9.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M為PC的中點.
(2)求AC與PD所成角的余弦值.
【解析】(2)設(shè)PA=AD=AB=2BC=2,
由于PD=AD-AP,AC=AB+12AD,
因此|PD|2=|AD-AP|2=AD2-2AD·AP+AP2=8,
故|PD|=22,|AC|2=|AB+12AD|2
=|AB|2+2AB·12AD+14|AD|2=5,
故|AC|=5,
PD·AC=(AD-AP)·AB+12AD=2,
故cs=222×5=1010.
所以AC與PD所成角的余弦值為1010.
【能力提升練】
10.(5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,且滿足DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD1,則|DE|的最小值是( )
A.13B.23C.33D.23
【解析】選C.因為DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD1,
由空間向量的共面定理可知,點E,A,C,D1四點共面,即點E在平面ACD1上,
所以|DE|的最小值即為點D到平面ACD1的距離d,由正方體的棱長為1,可得△ACD1是邊長為2的等邊三角形,
則S△ACD1=12×(2)2×sin π3=32,
S△ACD=12×1×1=12,
由等體積法得VD-ACD1=VD1-ACD,
所以13×32×d=13×12×1,
解得d=33,所以|DE|的最小值為33.
11.(5分)已知長方體ABCD-A1B1C1D1,下列向量的數(shù)量積一定為0的是( )
A.AD1·B1CB.BD1·AC
C.AB·AD1D.BD1·BC
【解析】選C.當(dāng)側(cè)面BCC1B1是正方形時,得AD1·B1C=0,所以排除A;
當(dāng)?shù)酌鍭BCD是正方形時,得AC垂直于體對角線BD1,所以排除B;
顯然AB⊥側(cè)面ADD1A1,C正確;
由題圖可得BD1與BC所成的角小于90°,所以排除D.
12.(5分)已知點O為空間直角坐標(biāo)系的原點,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且點Q在直線OP上運動,當(dāng)QA·QB取得最小值時,OQ的坐標(biāo)是____________.
【解析】因為OP=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,
設(shè)OQ=λOP=(λ,λ,2λ),
又因為OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),
所以QA=OA-OQ=(1-λ,2-λ,3-2λ),
QB=OB-OQ=(2-λ,1-λ,2-2λ),
則QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-43)2-23,
當(dāng)λ=43時,QA·QB取得最小值,
此時OQ的坐標(biāo)為43,43,83.
答案:43,43,83
13.(5分)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,BB1的中點,則cs∠EAF=______,EF=______.
【解析】如圖,以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
因為正方體的棱長為1,則E(0,12,1),
F(1,0,12),所以AE=0,12,1,AF=(1,0,12),EF=(1,-12,-12),
cs=AE·AF|AE||AF|=1252×52=25,
所以cs∠EAF=25,
EF=|EF|=12+-122+-122=62.
答案:25 62
14.(10分)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.
(1)求BN的模;
【解析】(1)如圖,以點C作為坐標(biāo)原點O,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
由題意得B(0,1,0),N(1,0,1),
所以|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3.
14.(10分)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.
(2)求cs的值;
【解析】(2)由題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
所以BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),
BA1·CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5,
所以cs=BA1·CB1|BA1||CB1|=3010.
14.(10分)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.
(3)求證:A1B⊥C1M.
【解析】(3)由題意得C1(0,0,2),M12,12,2,
A1B=(-1,1,-2),C1M=12,12,0,
所以A1B·C1M=-12+12+0=0,
所以A1B⊥C1M,即A1B⊥C1M.
15.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),點A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;
【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
故|2a+b|=02+(-5)2+52=52.
15.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),點A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(2)在直線AB上是否存在一點E,使得OE⊥b?(O為原點)
【解析】(2)令A(yù)E=tAB(t∈R),
所以O(shè)E=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若OE⊥b,則OE·b=0,
所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,
解得t=95.
因此存在點E,使得OE⊥b,
此時E點的坐標(biāo)為-65,-145,25.
【素養(yǎng)創(chuàng)新練】
16.(5分)(多選題)在三棱錐P-ABC中,以下說法正確的有( )
A.若2AD=AB+AP,則BP=3BD
B.若PA·AC=0,PA·AB=0,則PA·BC=0
C.若PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,M,N分別為PA,BC的中點,則MN=2
D.若T為△ABC的重心,則2PT+AT=PB+PC
【解析】選BD.由2AD=AB+AP,
得2OD-OA=OB-OA+OP-OA,整理可得,2OD=OB+OP,
所以O(shè)D-OB=OP-OD,
即BD=DP,所以BP=2BD,故A錯誤;
因為PA·AC=0,PA·AB=0,
且BC=AC-AB,
所以PA·BC=PA·(AC-AB)
=PA·AC-PA·AB=0,故B正確;
因為PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,由勾股定理逆定理可得,
∠APB=∠APC=∠BPC=90°,
因為M,N分別為PA,BC的中點,
所以MN=PN-PM=12PB+PC-PA,
所以MN2=14PB+PC-PA2
=14(PB2+PC2+PA2+2PB·PC-
2PB·PA-2PA·PC)=14×(4+4+4+0-0-0)=3,所以MN=3,故C錯誤;
若T為△ABC的重心,設(shè)BC中點為N,
則PT=PA+AT=PA+23AN
=PA+23PN-PA
=PA+23(12PB+12PC-PA)
=13(PA+PB+PC),
所以3PT=PA+PB+PC,
所以3PT=PT+TA+PB+PC,
所以2PT-TA=PB+PC,
即2PT+AT=PB+PC,故D正確.