考點(diǎn)規(guī)范練37　空間直線(xiàn)、平面的垂直1.如圖,在四面體D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是 (　　)A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE答案  C解析  因?yàn)?/span>AB=CB,且E是AC的中點(diǎn),所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因?yàn)?/span>AC在平面ABC內(nèi),所以平面ABC⊥平面BDE.又因?yàn)?/span>AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故選C.2.(2021山東肥城三模)如圖,AB為圓錐底面直徑,C是底面圓O上異于A,B的動(dòng)點(diǎn).已知OA=,圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為π的扇形,則當(dāng)PB與BC所成角為時(shí),PB與AC所成角為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C. D.答案  C解析  設(shè)圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為l,則l·π=2π,解得l=2.∵PB=PC,且PB與BC所成的角∠PBC=,∴BC=2.又OA=,∴在Rt△ABC中,AC=2.如圖,作BD∥AC與圓O交于點(diǎn)D,連接AD,則四邊形ACBD為平行四邊形,BD=AC=2,連接PD,則∠PBD為PB與AC所成角.在△PBD中,PD=PB=2,BD=2,可得PD⊥PB,∴∠PBD=.3.已知l,m,n是三條不同的直線(xiàn),α,β是不同的平面,則α⊥β的一個(gè)充分條件是(　　)A.l?α,m?β,且l⊥mB.l?α,m?β,n?β,且l⊥m,l⊥nC.m?α,n?β,m∥n,且l⊥mD.l?α,l∥m,且m⊥β答案  D解析  ∵m⊥β,l∥m,∴l⊥β.又l?α,∴α⊥β,故選D.4.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則點(diǎn)C1在底面ABC上的射影H必在 (　　)A.直線(xiàn)AB上 B.直線(xiàn)BC上C.直線(xiàn)AC上 D.△ABC內(nèi)部答案  A解析  連接AC1,由BC1⊥AC,BA⊥AC,得AC⊥平面ABC1,所以平面ABC⊥平面ABC1,所以C1在底面ABC上的射影H在直線(xiàn)AB上.5.如圖,直線(xiàn)PA垂直于☉O所在的平面,△ABC內(nèi)接于☉O,且AB為☉O的直徑,點(diǎn)M為線(xiàn)段PB的中點(diǎn).給出下列結(jié)論:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線(xiàn)段BC的長(zhǎng).其中正確的是(　　)A.①② B.①②③C.① D.②③答案  B解析  對(duì)于①,∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB為☉O的直徑,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,∴BC⊥PC;對(duì)于②,∵點(diǎn)M為線(xiàn)段PB的中點(diǎn),AB為☉O的直徑,∴OM∥PA.∵PA?平面PAC,OM?平面PAC,∴OM∥平面PAC;對(duì)于③,由①知BC⊥平面PAC,∴線(xiàn)段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離.故①②③都正確.6.設(shè)α,β是空間兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α及β外的兩條不同直線(xiàn).從“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:　　　　　　　.(用序號(hào)表示) 答案  ①③④?②(或②③④?①)解析  逐一判斷.若①②③成立,則m與α的位置關(guān)系不確定,故①②③?④錯(cuò)誤;同理①②④?③也錯(cuò)誤;①③④?②與②③④?①均正確.7.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分別為線(xiàn)段CD,AB上的點(diǎn),且,現(xiàn)將△ADE沿AE翻折成四棱錐P-ABCE,且二面角P-AE-B的大小為.(1)證明:AE⊥PF;(2)求直線(xiàn)PB與平面PAE所成角的正弦值.(1)證明連接DF交AE于點(diǎn)M,連接EF,如圖.∵在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,,∴四邊形ADEF為邊長(zhǎng)為2的正方形.∴AE⊥DF,且DM=MF=.在四棱錐P-ABCE中,AE⊥PM,AE⊥MF,PM∩MF=M,∴AE⊥平面PMF.又PF?平面PMF,∴AE⊥PF.(2)解設(shè)點(diǎn)F到平面PAE的距離為d1,點(diǎn)B到平面PAE的距離為d,由(1)知∠PMF是二面角P-AE-B的平面角,∴∠PMF=.∵AE⊥平面PMF,AE?平面PAE,∴平面PMF⊥平面PAE.過(guò)點(diǎn)F作FH⊥PM于點(diǎn)H,∵平面PMF∩平面PAE=PM,∴FH⊥平面PAE.由(1)知在△PMF中,PM=MF=,∴∠FPM=,PF=,∴d1=FH=PF=.∵,∴d=d1=.在Rt△APM中,可得PA=2,在△PAF中,有PF2=PA2+FA2-2PA·FA·cos∠PAF,在△PAB中,有PB2=PA2+AB2-2PA·AB·cos∠PAF,解得PB=.∴sin θ=,∴直線(xiàn)PB與平面PAE所成角的正弦值為.

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