【基礎(chǔ)落實(shí)練】
1.(5分)已知平面α的一個(gè)法向量為n=-1,-2,2,點(diǎn)A0,1,0為α內(nèi)一點(diǎn),則點(diǎn)P1,0,1到平面α的距離為( )
A.4B.3C.2D.1
【解析】選D.因?yàn)锳P=1,-1,1,n=-1,-2,2,所以AP·n=-1+2+2=3,n=1+4+4=3,
則點(diǎn)P到平面α的距離d=AP·nn=1.
2.(5分)如圖是一棱長為1的正方體,則異面直線A1B與B1D1之間的距離為( )
A.3B.33C.12D.22
【解析】選B.分別以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
則D1B1=(1,1,0),A1B=(0,1,-1),
設(shè)n=(x,y,z)與D1B1和A1B都垂直,
則D1B1·n=0A1B·n=0,即x+y=0y-z=0,
取n=(1,-1,-1),
又因?yàn)镈1A1=(1,0,0),
所以異面直線D1B1和A1B間的距離為
d=|D1A1·n|n=13=33.
3.(5分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O為正方形ADD1A1的中心,若P為平面OD1B內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則P到直線A1B1的距離的最小值為( )
A.22 B.12 C.64 D.33
【解析】選A.如圖,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則有B(1,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),因?yàn)镺為正方形ADD1A1的中心,得O(12,0,12),
A1B1=(0,1,0),OB=(12,1,-12),D1B=(1,1,-1),
設(shè)平面OBD1的法向量為n=(x,y,z),
利用OB·n=0D1B·n=0,則12x+y-12z=0x+y-z=0,
取x=1,解得n=(1,0,1),有A1B1·n=0,且A1B1?平面OD1B,則直線A1B1∥平面OD1B,
設(shè)直線A1B1到平面OD1B的距離為d,取直線上一點(diǎn)B1,與平面OD1B上一點(diǎn)B,則BB1=(0,0,1),
利用空間中點(diǎn)面距離公式有d=BB1·nn=22.
4.(5分)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)P是線段AA1的中點(diǎn),點(diǎn)Q是線段DB1上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)),則PQ的最小值為( )
A.12 B. 22 C. 32 D. 1
【解析】選B.分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,0,12,
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為λ,λ,λ0≤λ≤1,
則PQ=(λ-1)2+λ2+λ-122
=3λ2-3λ+54=3λ-122+12≥22,
當(dāng)且僅當(dāng)λ=12時(shí),不等式取等號(hào),
即PQ的最小值為22.
5.(5分)如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),Q為A1B1上任意一點(diǎn),E,F為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF的長為定值,則點(diǎn)Q到平面PEF的距離( )
A.等于55a
B.和EF的長度有關(guān)
C.等于23a
D.和點(diǎn)Q的位置有關(guān)
【解析】選A.取B1C1的中點(diǎn)G,連接PG,CG,DP,則PG∥CD,
所以點(diǎn)Q到平面PEF的距離即點(diǎn)Q到平面PGCD的距離,與EF的長度無關(guān),B錯(cuò).
又A1B1∥平面PGCD,
所以點(diǎn)A1到平面PGCD的距離即點(diǎn)Q到平面PGCD的距離,即點(diǎn)Q到平面PEF的距離,與點(diǎn)Q的位置無關(guān),D錯(cuò).
如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P(a2,0,a),所以DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),DP=a2,0,a,
設(shè)n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,則由n·DP=0,n·DC=0,得a2x+az=0,ay=0,
令z=1,則x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一個(gè)法向量.
設(shè)點(diǎn)Q到平面PEF的距離為d,則d=DA1·nn=-2a+a5=5a5,A對(duì),C錯(cuò).
6.(5分)(多選題)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是棱AB上一動(dòng)點(diǎn),則P到平面A1C1D的距離可能是( )
A.33B.3C.423D.22
【解析】選BC.如圖,以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),以D1A1,D1C1,D1D的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,0,0),B(2,2,2),P(2,λ,2)(0≤λ≤2),D(0,0,2),C1(0,2,0),
故A1C1=(-2,2,0),A1D=(-2,0,2),
設(shè)平面A1C1D的法向量n=(x,y,z),
由n·A1C1=-2x+2y=0n·A1D=-2x+2z=0,
取x=1,則n=(1,1,1)為平面A1C1D的一個(gè)法向量,A1P=(0,λ,2),
所以P到平面A1C1D的距離d=A1P·nn=λ+23.
因?yàn)?≤λ≤2,所以d∈233,433,而222-4332=83>0,即BC選項(xiàng)的數(shù)值才符合.
7.(5分)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C與平面A1C1D的距離d是( )
A.36B.33C.233D.32
【解析】選B.如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,連接BD1,BD,BD交AC于點(diǎn)E,則B(1,1,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),E(12,12,0).
因?yàn)镈D1⊥AC,AC⊥BD,BD∩DD1=D,
所以AC⊥平面D1DB,所以BD1⊥AC.
同理可證BD1⊥AB1.因?yàn)锳C∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,即BD1是平面AB1C的一個(gè)法向量.
因?yàn)槠矫鍭B1C∥平面A1C1D,所以點(diǎn)D到平面AB1C的距離即為兩平面之間的距離.因?yàn)镈E=12,12,0,BD1=(-1,-1,1),
所以d=|DE·BD1||BD1|=12×(-1)+12×(-1)+0×11+1+1=33.
8.(5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AB=2,CC1=22,E為B1C1的中點(diǎn),F為C1D1的中點(diǎn),則直線BD與EF之間的距離為________.
【解析】以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,22),F(0,1,22),
所以DF=(0,1,22),EF=(-1,-1,0),DB=(2,2,0).
因?yàn)镋F=-12DB,所以EF∥DB,所以直線BD與EF之間的距離d即為點(diǎn)D到直線EF的距離d.
設(shè)=θ,
則cs θ=DF·EF|DF||EF|=-26,
所以sin θ=346,
所以所求距離為d=|DF|sin θ=3×346=342.
答案:342
9.(10分)如圖,△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=23,求點(diǎn)A到平面MBC的距離.
【解析】如圖,取CD的中點(diǎn)O,連接OB,OM,因?yàn)椤鰾CD與△MCD均為正三角形,所以O(shè)B⊥CD,OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,平面MCD∩平面BCD=CD,OM?平面MCD,所以MO⊥平面BCD.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OC,BO,OM分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
因?yàn)椤鰾CD與△MCD都是邊長為2的正三角形,所以O(shè)B=OM=3,
則O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,3),
B(0,-3,0),A(0,-3,23),
所以BC=(1,3,0),BM=(0,3,3).
設(shè)平面MBC的法向量為n=(x,y,z),
由n⊥BCn⊥BM,得n·BC=0n·BM=0,
即x+3y=03y+3z=0,
取x=3,可得平面MBC的一個(gè)法向量為n=(3,-1,1).
又BA=(0,0,23),
所以所求距離為d=|BA·n||n|=2155.
【能力提升練】
10.(5分)(多選題)如圖所示,三棱錐S-ABC中,△ABC為等邊三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,AB=2.點(diǎn)D在線段SC上,且SD=13SC,點(diǎn)E為線段SB的中點(diǎn),以線段BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB所在直線分別為x,y軸,過點(diǎn)O作SA的平行線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則下列說法正確的是( )
A.直線CE的一個(gè)方向向量為12,32,32
B.點(diǎn)D到直線CE的距離為8721
C.平面ACE的一個(gè)法向量為3,3,-2
D.點(diǎn)D到平面ACE的距離為1
【解析】選ABD.依題意,S(3,0,3),A(3,0,0),B(0,1,0),C0,-1,0,E(32,12,32),
因?yàn)镾D=13SC,則D(233,-13,2),
則CE=(32,32,32),
因?yàn)镃E=3(12,32,32),故A正確;
CD=(233,23,2),AC=(-3,-1,0),AE=(-32,12,32),故點(diǎn)D到直線CE的距離d=CD2-CD·CECE2=8721 ,故B正確;
設(shè)n=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則AC·n=0AE·n=0,即-3x-y=0-32x+12y+32z=0,
令y=3,則n=(-3,3,-2)為平面ACE的一個(gè)法向量,故C錯(cuò)誤;
而CD=(233,23,2),故點(diǎn)D到平面ACE的距離d1=CD·nn=1,故D正確.
11.(5分)如圖,P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,則點(diǎn)P到BD的距離為________.
【解析】如圖,分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),所以PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0).
設(shè)=φ,
所以cs φ=BD·PB|BD||PB|=-91050,
所以sin φ=131050,
所以點(diǎn)P到BD的距離d=|PB|·sin φ=135.
答案:135
12.(5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4, M, N, E, F分別為A1D1, A1B1, C1D1, B1C1的中點(diǎn),則平面AMN與平面EFBD之間的距離為______.
【解析】以D為原點(diǎn),DA, DC, DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(4, 0, 0), M(2, 0, 4), D(0, 0, 0), B(4, 4, 0), E(0, 2, 4), F(2, 4, 4), N(4, 2, 4),從而EF=(2, 2, 0), MN=(2, 2, 0),
AM=(-2, 0, 4), BF=(-2, 0, 4),
所以EF=MN,AM=BF,
所以EF∥MN, AM∥BF,
所以平面AMN∥平面EFBD.
設(shè)n=(x, y, z)是平面EFBD的一個(gè)法向量,
從而n·EF=2x+2y=0n·BF=-2x+4z=0,
解得x=2zy=-2z,
取z=1,得n=(2, -2, 1).
因?yàn)锳B=(0, 4, 0),
所以點(diǎn)A到平面EFBD的距離為|n·AB||n|=83,即平面AMN與平面EFBD之間的距離為83.
答案:83
13.(10分)如圖,邊長為2的等邊△ABC所在平面與菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M為線段AC的中點(diǎn).
(1)求證:平面BMC1⊥平面A1BC1;
【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1為菱形,所以A1C⊥AC1.
又因?yàn)锳1C=3AC1,所以∠ACC1=60°,
即△ACC1為等邊三角形.
因?yàn)锳C1=CC1,M為線段AC的中點(diǎn),
所以AC⊥C1M.
因?yàn)锳B=BC,M為線段AC的中點(diǎn),
所以AC⊥BM.
又因?yàn)镃1M∩BM=M,所以AC⊥平面BMC1.
又因?yàn)锳C∥A1C1,所以A1C1⊥平面BMC1.
又A1C1?平面A1BC1,所以平面BMC1⊥平面A1BC1.
13.(10分)如圖,邊長為2的等邊△ABC所在平面與菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M為線段AC的中點(diǎn).
(2)求點(diǎn)C到平面A1BC1的距離.
【解析】(2)因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC,交線是AC,且C1M⊥AC,
所以C1M⊥平面ABC.
以M為原點(diǎn),MB,MC,MC1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
C(0,1,0),B(3,0,0),C1(0,0,3),A1(0,-2,3),
則A1C1=(0,2,0),BC1=(-3,0,3),CC1=(0,-1,3),
設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z),
則n·A1C1=2y=0n·BC1=-3x+3z=0,
令x=1,則n=(1,0,1),
所以點(diǎn)C到平面A1BC1的距離d=|CC1·n||n|=32=62.
14.(10分)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1, M, N分別是BB1, B1C1的中點(diǎn).
(1) 求直線MN到平面ACD1的距離;
【解析】(1) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則知點(diǎn)A(1, 0, 0), D1(0, 0, 1), C(0, 1, 0), M(1,1,12), N(12,1,1),
所以AD1=(-1, 0, 1), MN=(-12,0,12),
所以MN=12AD1.
因?yàn)橹本€MN與AD1不重合,所以MN∥AD1.
又因?yàn)镸N?平面ACD1,AD1?平面ACD1,
所以MN∥平面ACD1.故直線MN到平面ACD1的距離等于點(diǎn)M到平面ACD1的距離.AC=(-1, 1, 0), AD1=(-1, 0, 1).
設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為m=(x, y, z),
所以m·AD1=0m·AC=0,即-x+z=0-x+y=0,
令x=1,得y=z=1,所以m=(1, 1, 1).
因?yàn)锳M=0,1,12,
所以|AM|=1+14=52.而|m|=3,
所以點(diǎn)M到平面ACD1的距離為|m·AM||m|=1+123=32,即直線MN到平面ACD1的距離為32.
14.(10分)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1, M, N分別是BB1, B1C1的中點(diǎn).
(2) 若G是A1B1的中點(diǎn),求平面MNG與平面ACD1的距離.
【解析】(2)連接A1C1,因?yàn)镚, N分別為A1B1,B1C1的中點(diǎn),所以GN∥A1C1.又因?yàn)锳1C1∥AC,所以GN∥AC.
因?yàn)镚N?平面ACD1,AC?平面ACD1,
所以GN∥平面ACD1.
同理可得MN∥平面ACD1.
因?yàn)镸N∩GN=N, MN, GN?平面MNG,
所以平面MNG∥平面ACD1,
所以平面MNG與平面ACD1的距離即為直線MN到平面ACD1的距離,由(1)知兩平面間的距離為32.
【加練備選】
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長均為4,N是CC1的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)N到直線AB的距離;
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),
因?yàn)镹是CC1的中點(diǎn),所以N(0,4,2).
(1)AN=(0,4,2),AB=(23,2,0),
則|AN|=25,|AB|=4.
設(shè)點(diǎn)N到直線AB的距離為d1,
則d1=|AN|2-(AN·AB|AB|) 2=20-4=4.
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長均為4,N是CC1的中點(diǎn).
(2)求點(diǎn)C1到平面ABN的距離.
【解析】(2)設(shè)平面ABN的法向量為n=(x,y,z),
則由n⊥AB,n⊥AN,得
n·AB=23x+2y=0n·AN=4y+2z=0,
令z=2,則y=-1,x=33,
即n=33,-1,2.
易知C1N=(0,0,-2),
設(shè)點(diǎn)C1到平面ABN的距離為d2,
則d2=|C1N·n||n|=|-4|433=3.
【素養(yǎng)創(chuàng)新練】
15.(5分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為3,點(diǎn)H在棱AA1上,且HA1=1,在側(cè)面BCC1B1內(nèi)作邊長為1的正方形EFGC1,P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P到平面CDD1C1的距離等于線段PF的長,則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),|HP|2的最小值是( )
A.21B.22C.23D.13
【解析】選D.根據(jù)題意,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,作HM⊥BB1交BB1于M,連接PM,則HM⊥PM,作PN⊥CC1交CC1于N,則PN即為點(diǎn)P到平面CDD1C1的距離.設(shè)Px,3,z,
則F1,3,2,M3,3,2,
N0,3,z,0≤x≤3,0≤z≤3
因?yàn)辄c(diǎn)P到平面CDD1C1的距離等于線段PF的長,所以PN=PF.
由兩點(diǎn)間距離公式可得x=x-12+z-22,
化簡得2x-1=z-22,則2x-1≥0,解不等式可得x≥12
綜上可得12≤x≤3
則在Rt△HMP中,HP2=HM2+MP2=32+x-32+z-22=32+x-32+2x-1=x-22+1312≤x≤3,
所以HP2≥13(當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)).

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