2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-利用空間向量研究夾角問題【含解析】

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-利用空間向量研究夾角問題【含解析】，共17頁。
1.(5分)已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cs=32,則l與α所成的角為( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
2.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中點,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為( )
A.-1010B.-120C.120D.1010
3.(5分)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一個法向量為m=(-1,0,1),則平面α與平面ABC夾角的正弦值為( )
A.336B.36C.34D.134
4.(5分)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是邊長為1的正方形,AP=2,則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為( )
A.255B.25C.23D.33
5.(5分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,體對角線B1D與平面A1BC1交于E點,則A1E與平面AA1D1D所成角的余弦值為( )
A.13B.33C.23D.53
6.(5分)(多選題)如圖,E,F是直三棱柱ABC-A1B1C1棱AC上的兩個不同的動點,AC=BC=CC1,AC⊥BC,則( )
A.BC1⊥平面B1EF
B.若EF為定長,則三棱錐A1-B1EF的體積為定值
C.直線BB1與平面B1EF所成角為π3
D.平面A1ABB1⊥平面B1EF
7.(5分)若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°,則直線l與平面α所成的角為 .
8.(5分)正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD所成角的正弦值是 .
9.(5分)正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直,則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為 .
10.(10分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC,D是BC的中點.
(1)求證:BC⊥平面A1AD;
(2)若∠BAC=90°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的體積是83,求異面直線A1D和AB1所成的角的余弦值.
11.(10分)如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上的點.
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求平面CPB與平面APB所成夾角的余弦值.
【能力提升練】
12.(5分)(多選題)如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別是棱BC,CC1的中點,則( )
A.A1D⊥AF
B.D1C與平面AEF所成角的正弦值為26
C.二面角A-EF-C的余弦值為13
D.平面AEF截正方體所得的截面周長為25+32
13.(5分)手工課可以提高學(xué)生的動手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力,使學(xué)生在德、智、體、美、勞等方面得到全面發(fā)展,某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一個直三棱柱和一個長方體的組合圖形,其直觀圖如圖所示,A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分別是棱AB,C1E,BB1,A1F的中點,則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是 .
14.(10分)(2023·全國甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,
∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距離為1.
(1)求證:AC=A1C;
(2)若直線AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.
2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-利用空間向量研究夾角問題【解析版】(時間:45分鐘 分值:85分)
【基礎(chǔ)落實練】
1.(5分)已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cs=32,則l與α所成的角為( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
【解析】選B.由于cs=32,所以=30°,所以直線l與α所成的角為60°.
2.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中點,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為( )
A.-1010B.-120C.120D.1010
【解析】選D.建立如圖空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
設(shè)DA=1,則A(1,0,0),
C(0,1,0),E(0,12,1),
則AC=(-1,1,0),DE=(0,12,1),
設(shè)異面直線DE與AC所成的角為θ,
則cs θ=|cs|=1010.
3.(5分)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一個法向量為m=(-1,0,1),則平面α與平面ABC夾角的正弦值為( )
A.336B.36C.34D.134
【解析】選A.設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=x-y=0n·BC=-2x+z=0,令x=1,得n=(1,1,2),
令平面α與平面ABC的夾角為θ,
則cs θ=|cs|=|m·n||m||n|=12×6=36,
sin θ=1-cs2θ=336,所以平面α與平面ABC夾角的正弦值為336.
4.(5分)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是邊長為1的正方形,AP=2,則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為( )
A.255B.25C.23D.33
【解析】選B.以AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
則B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),
所以PD=(0,1,-2),DC=(1,0,0),PB=(1,0,-2),
設(shè)平面PCD的一個法向量為n=(x,y,z),
則PD·n=y-2z=0DC·n=x=0,
令z=1,得n=(0,2,1),
設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ,
則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為
sin θ=|cs|=|PB·n||PB||n|=|-2|5×5=25.
5.(5分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,體對角線B1D與平面A1BC1交于E點,則A1E與平面AA1D1D所成角的余弦值為( )
A.13B.33C.23D.53
【解析】選D.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,
A1B=(0,1,-2),A1C1=(-1,1,0),
設(shè)平面A1BC1的法向量為m=(x,y,z),
則A1B·m=y-2z=0A1C1·m=-x+y=0,
令z=1,則y=2,x=2,所以m=(2,2,1),
DB1=(1,1,2),因為點E在B1D上,
設(shè)DE=λDB1=(λ,λ,2λ),所以E(λ,λ,2λ),所以A1E=(λ-1,λ,2λ-2),
因為A1E?平面A1BC1,所以A1E·m=0,即(λ-1,λ,2λ-2)·(2,2,1)=0,
所以2(λ-1)+2λ+(2λ-2)=0,解得λ=23,所以A1E=-13,23,-23,
易得平面AA1D1D的一個法向量為n=(0,1,0),
設(shè)A1E與平面AA1D1D所成角為α,
所以sin α=A1E·n|A1E||n|=-13,23,-23·(0,1,0)-132+232+-232×1=23,
所以cs α=1-sin2α=1-232=53.
6.(5分)(多選題)如圖,E,F是直三棱柱ABC-A1B1C1棱AC上的兩個不同的動點,AC=BC=CC1,AC⊥BC,則( )
A.BC1⊥平面B1EF
B.若EF為定長,則三棱錐A1-B1EF的體積為定值
C.直線BB1與平面B1EF所成角為π3
D.平面A1ABB1⊥平面B1EF
【解析】選AB.由題可知,平面B1EF即平面B1AC.
以C為坐標(biāo)原點,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AC=1,由題可知:A(1,0,0),C(0,0,0),B1(0,1,1),B(0,1,0),C1(0,0,1),
設(shè)AB中點為D,則D12,12,0,
由題可知CD⊥平面A1ABB1,
即CD=12,12,0為平面A1ABB1的一個法向量,
又CA=(1,0,0),CB1=(0,1,1),
設(shè)平面B1AC的法向量為n=(x,y,z),
則n·CA=x=0n·CB1=y+z=0,
取y=1,則n=(0,1,-1).
對于A,由于BC1=(0,-1,1),則BC1∥n,
故BC1⊥平面B1EF,A正確;
對于B,若EF為定長,由于B1到直線EF的距離即為B1到直線AC的距離,也為定值,于是△B1EF的面積為定值,又A1到平面B1EF的距離即為A1到平面B1AC的距離,為定值,則三棱錐A1-B1EF的體積為定值,故B正確;
對于C,由于BB1=(0,0,1),所以直線BB1與平面B1EF所成角的正弦值為|BB1·n||BB1||n|=11×2=22,故直線BB1與平面B1EF所成角為π4,故C錯誤;
對于D,CD·n=12≠0,故平面A1ABB1與平面B1EF不垂直,D錯誤.
7.(5分)若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°,則直線l與平面α所成的角為 .
【解析】設(shè)直線l與平面α所成的角為θ,
則sin θ=|cs 120°|=12.
又因為0°≤θ≤90°,所以θ=30°.
答案:30°
8.(5分)正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD所成角的正弦值是 .
【解析】如圖,以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,
則A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),
易證AC1是平面A1BD的一個法向量.
AC1=(-1,1,1),BC1=(-1,0,1).
cs=1+13×2=63.
所以直線BC1與平面A1BD所成角的正弦值為63.
答案:63
9.(5分)正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直,則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為 .
【解析】取BC的中點O,連接AO,DO,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BC=1,
則A0,0,32,B0,-12,0,C0,12,0,D(32,0,0),
所以BA=0,12,32,BD=32,12,0,
CD=32,-12,0.
設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),
則n·BA=0n·BD=0,所以12y+32z=032x+12y=0,
取x=1,
則y=-3,z=1,所以n=(1,-3,1),
所以|cs|=32+325×1=155,
因此直線CD與平面ABD所成角的正弦值為155.
答案:155
10.(10分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC,D是BC的中點.
(1)求證:BC⊥平面A1AD;
(2)若∠BAC=90°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的體積是83,求異面直線A1D和AB1所成的角的余弦值.
【解析】(1)因為AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC,
又AB=AC,D是BC的中點,所以BC⊥AD,
因為AA1∩AD=A,所以BC⊥平面A1AD.
【解析】(2)因為∠BAC=90°,AB=AC,BC=4,
所以AB=AC=22,S△ABC=12AB·AC=12×22×22=4,
因為三棱柱ABC-A1B1C1的體積是83,
所以S△ABC·AA1=4AA1=83,解得AA1=23,
以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(2,2,0),A(0,0,0),B1(22,0,23),
A1(0,0,23),
A1D=(2,2,-23),AB1=(22,0,23),
設(shè)異面直線A1D,AB1所成角為θ,
則cs θ=|AB1·A1D||AB1|·|A1D|=816·20=55.
11.(10分)如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上的點.
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求平面CPB與平面APB所成夾角的余弦值.
【解析】(1)由AB是圓的直徑,得AC⊥BC.
由PA垂直于圓所在的平面,
得PA⊥平面ABC.
由BC?平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC.
又因為BC?平面PBC,
根據(jù)面面垂直判定定理,得平面PAC⊥平面PBC.
(2)過點C作CM∥AP,由(1)知CM⊥平面ABC.
如圖所示,
以點C為坐標(biāo)原點,分別以直線CB,CA,CM為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,所以BC=3.
又PA=1,所以A(0,1,0),B(3,0,0),P(0,1,1),
故CB=(3,0,0),CP=(0,1,1),AB=(3,-1,0),AP=(0,0,1).
設(shè)平面CPB的法向量為n1=(x1,y1,z1),
則n1·CB=0n1·CP=0,所以3x1=0y1+z1=0,
不妨令y1=1,則z1=-1,故n1=(0,1,-1).
設(shè)平面APB的法向量為n2=(x2,y2,z2),由n2·AB=0n2·AP=0,同理可得n2=(1,3,0).
于是|cs|=|n1·n2||n1||n2|=302+12+(-1)2×12+(3)2+02=64,
所以平面CPB與平面APB所成夾角的余弦值為64.
【能力提升練】
12.(5分)(多選題)如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別是棱BC,CC1的中點,則( )
A.A1D⊥AF
B.D1C與平面AEF所成角的正弦值為26
C.二面角A-EF-C的余弦值為13
D.平面AEF截正方體所得的截面周長為25+32
【解析】選BD.由題意知A1D⊥AC1,所以A1D⊥AF錯誤,故A錯誤;
以點D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則D1(0,0,2),E(1,2,0),F(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),
則CD1=(0,-2,2),AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),
設(shè)平面AEF的法向量n=(x,y,z),
則n·AE=-x+2y=0n·AF=-2x+2y+z=0,
令x=2,則n=(2,1,2),
設(shè)D1C與平面AEF所成角為θ,
則sin θ=|cs|=|CD1·n||CD1|·|n|=28·9=26,故B正確;
易得平面CEF的一個法向量為m=(0,1,0),
cs=m·n|m|·|n|=11×9=13,
所以二面角A-EF-C的余弦值為-13,故C錯誤;
因為E,F分別是棱BC,CC1的中點,所以EF∥BC1,
因為AD1∥BC1,即EF∥AD1,
所以平面AEF截正方體所得截面為四邊形EFD1A,
因為正方體的棱長為2,所以AD1=22,EF=2,AE=D1F=4+1=5,
所以平面AEF截正方體的截面周長為25+32,
故D正確.
13.(5分)手工課可以提高學(xué)生的動手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力,使學(xué)生在德、智、體、美、勞等方面得到全面發(fā)展,某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一個直三棱柱和一個長方體的組合圖形,其直觀圖如圖所示,A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分別是棱AB,C1E,BB1,A1F的中點,則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是 .
【解析】如圖,以D為坐標(biāo)原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
因為A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,
所以P(2,2,0),Q(0,3,5),M(2,4,2),N(2,1,5),
所以PQ=(-2,1,5),MN=(0,-3,3),
所以cs=PQ·MN|PQ|·|MN|=1230×32=21515,
因為異面直線PQ與MN所成角為銳角,所以異面直線PQ與MN所成角的余弦值是21515.
答案:21515
14.(10分)(2023·全國甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,
∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距離為1.
(1)求證:AC=A1C;
(2)若直線AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.
【解析】(1)如圖,
因為A1C⊥底面ABC,BC?平面ABC,
所以A1C⊥BC,又BC⊥AC,A1C,AC?平面ACC1A1,A1C∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
又BC?平面BCC1B1,
所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
過A1作A1O⊥CC1交CC1于O,
又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,A1O?平面ACC1A1,
所以A1O⊥平面BCC1B1.
因為A1到平面BCC1B1的距離為1,所以A1O=1.
在Rt△A1CC1中,A1C⊥A1C1,CC1=AA1=2,
設(shè)CO=x,則C1O=2-x.
因為△A1OC,△A1OC1,△A1CC1為直角三角形,且CC1=2,
CO2+A1O2=A1C2,A1O2+OC12=C1A12,A1C2+A1C12=C1C2,
所以1+x2+1+(2-x)2=4,解得x=1,
所以AC=A1C=A1C1=2.即AC=A1C.
(2)連接A1B,AB1,AC1.
因為AC=A1C,BC⊥A1C,BC⊥AC,BC=BC,
所以Rt△ACB≌Rt△A1CB(SAS),所以BA=BA1.
過B作BD⊥AA1交AA1于D,
則D為AA1中點,
由直線AA1與BB1距離為2,所以BD=2.
因為A1D=1,BD=2,所以A1B=AB=5,
在Rt△ABC中,BC=AB2-AC2=3.
延長AC,使AC=CM,連接C1M,
由CM∥A1C1,CM=A1C1知四邊形A1CMC1為平行四邊形,
所以C1M∥A1C,所以C1M⊥平面ABC,
又AM?平面ABC,所以C1M⊥AM,
則在Rt△AC1M中,AM=2AC,C1M=A1C,所以AC1=(2AC)2+A1C2,
在Rt△AB1C1中,AC1=(2AC)2+A1C2,B1C1=BC=3,
所以AB1=(22)2+(2)2+(3)2=13.
又A到平面BCC1B1的距離為1,
所以AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為113=1313.