專題13 反比例函數(shù)及其應(yīng)用（41題）（教師卷+學(xué)生版）- 2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．（2024·安徽·中考真題）已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則k的值為（）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意得出，代入反比例函數(shù)求解即可
【詳解】解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
∴，
∴，
∴，
故選：A
2．（2024·重慶·中考真題）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了求反比例函數(shù)值．熟練掌握求反比例函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別將各選項(xiàng)的點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)代入，求縱坐標(biāo)，然后判斷作答即可．
【詳解】解：解：當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)，故A不符合要求；
當(dāng)時(shí)，，圖象一定經(jīng)過(guò)，故B符合要求；
當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)，故C不符合要求；
當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)，故D不符合要求；
故選：B．
3．（2024·天津·中考真題）若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)即可判斷．
【詳解】解：，
反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，在每一象限隨的增大而減小，
點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，，
．
∵，在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴.
故選：B．
4．（2024·廣西·中考真題）已知點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則有（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖象上，則滿足關(guān)系式，橫縱坐標(biāo)的積等于2，結(jié)合即可得出答案．
【詳解】解：點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，
，，
，
，，
．
故選：A．
5．（2024·浙江·中考真題）反比例函數(shù)的圖象上有，兩點(diǎn)．下列正確的選項(xiàng)是（）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由于反比例函數(shù)，可知函數(shù)位于一、三象限，分情況討論，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷出與的大?。?br>【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)，可知函數(shù)圖象位于一、三象限，且在每個(gè)象限中，y都是隨著x的增大而減小，
反比例函數(shù)的圖象上有，兩點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，；
故選：A．
6．（2024·河北·中考真題）節(jié)能環(huán)保已成為人們的共識(shí)．淇淇家計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A．若，則B．若，則
C．若x減小，則y也減小D．若x減小一半，則y增大一倍
【答案】C
【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，先確定反比例函數(shù)的解析式，再逐一分析判斷即可．
【詳解】解：∵淇淇家計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)500度電，平均每天用電x度，能使用y天．
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，故A不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，故B不符合題意；
∵，，
∴當(dāng)x減小，則y增大，故C符合題意；
若x減小一半，則y增大一倍，表述正確，故D不符合題意；
故選：C．
7．（2024·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】本題考查了根的判別式及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象．首先根據(jù)一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根確定k的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)確定其圖象的位置．
【詳解】解：∵方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，則函數(shù)的圖象過(guò)二，四象限，
而函數(shù)的圖象過(guò)一，三象限，
∴函數(shù)與函數(shù)的圖象不會(huì)相交，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，
故選：A．
8．（2024·重慶·中考真題）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（）
A．B．3C． D．6
【答案】C
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例解析式，把代入求解即可．
【詳解】解：把代入，得
．
故選C．
9．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)D，與邊交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
過(guò)點(diǎn)E作，則，設(shè)，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值．
【詳解】過(guò)點(diǎn)E作，則，
∴，
∴
設(shè)，
∵
∴，
∴
∴
即，解得：
故選D
10．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，雙曲線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為D，交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，則的面積是（）
A．4.5B．3.5C．3D．2.5
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F，設(shè)，證明，有，根據(jù)E為的中點(diǎn)，可得，，進(jìn)而有，，可得，，則有，問(wèn)題隨之得解．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F，
設(shè)，，
∵軸，，
∴軸，，
∴，
∴，
∵E為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
11．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式計(jì)算當(dāng)時(shí)y的值，可得圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；由于的值不可能為0，即，因此圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，由此即可得解．
本題主要考查了函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，掌握求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
∴與y軸的交點(diǎn)為；
由于是分式，且當(dāng)時(shí)，，即，
∴與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
∴函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)，
故選：B．
12．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點(diǎn)，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)、解直角三角形、平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．
如圖：過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)D，先根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)計(jì)算出、k值，再根據(jù)平移、平行線的性質(zhì)證明，進(jìn)而根據(jù)求出，最后代入反比例函數(shù)解析式取得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而確定,，再運(yùn)用勾股定理求得，進(jìn)而求得即可解答．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)D，則軸，
∵，
∴，，
∴．
∵在反比例函數(shù)的圖象上，
∴．
∴將直線向上平移若干個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，
將代入，得，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴,，
∴，
∴,
∴
故選：B．
13．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形中，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B及的中點(diǎn)M，軸，與y軸交于點(diǎn)N．則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
作輔助線如圖，利用函數(shù)表達(dá)式設(shè)出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，是中點(diǎn)，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用平行線分線段成比例定理即可求得結(jié)果．
【詳解】解：作過(guò)作的垂線垂足為，與軸交于點(diǎn)，如圖，
在等腰三角形ABC中，，是中點(diǎn)，
設(shè)，，
由中點(diǎn)為，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中點(diǎn)為M，
∴，即，
由在反比例函數(shù)上得，
∴，
解得：，
由題可知，，
∴．
故選：B．
二、填空題
14．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則的值是 .
【答案】0
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，已知自變量求函數(shù)值，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
將點(diǎn)和代入，求得和，再相加即可．
【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，
∴有，
∴，
故答案為：0．
15．（2024·云南·中考真題）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將點(diǎn)代入求值，即可解題．
【詳解】解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
故答案為：．
16．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)，．則滿足的的取值范圍．
【答案】或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象解答即可求解，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，
∴滿足的的取值范圍為或，
故答案為：或．
17．（2024·湖南·中考真題）在一定條件下，樂(lè)器中弦振動(dòng)的頻率f與弦長(zhǎng)l成反比例關(guān)系，即（k為常數(shù)．），若某樂(lè)器的弦長(zhǎng)l為0.9米，振動(dòng)頻率f為200赫茲，則k的值為．
【答案】180
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，把，代入求解即可．
【詳解】解：把，代入，得，
解得，
故答案為：180．
18．（2024·陜西·中考真題）已知點(diǎn)和點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，若，則 0．
【答案】/小于
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，先求出，，再根據(jù)，得出，最后求出即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
19．（2024·湖北武漢·中考真題）某反比例函數(shù)具有下列性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的k的值是．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當(dāng)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當(dāng)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．直接根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出符合條件的的值即可．
【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴
故答案為：1（答案不唯一）．
20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平行四邊形的頂點(diǎn)，在軸上，若點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的值為．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)的縱坐標(biāo)相同以及點(diǎn)在反比例函數(shù)上得到的坐標(biāo)，進(jìn)而用代數(shù)式表達(dá)的長(zhǎng)度，然后根據(jù)列出一元一次方程求解即可．
【詳解】是平行四邊形
縱坐標(biāo)相同
的縱坐標(biāo)是
在反比例函數(shù)圖象上
將代入函數(shù)中，得到
的縱坐標(biāo)為
即：
解得：
故答案為：．
21．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若反比例函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最大值是，則．
【答案】/
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正確得出與的關(guān)系是解題關(guān)鍵．直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)分別得出與，再代入進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而減小，最大值為，
時(shí)，，
，當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而減大，函數(shù)的最大值為，
．
故答案為：．
22．（2024·四川遂寧·中考真題）反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則點(diǎn)在第象限．
【答案】四/
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)所在的象限，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，
∴
∴
∴點(diǎn)在第四象限，
故答案為：四．
23．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，軸于點(diǎn)C，，將沿翻折，若點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在該反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵．
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．根據(jù)，，設(shè)，則，由對(duì)稱可知，，即可得，，解得，根據(jù)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在該反比例函數(shù)的圖像上，即可列方程求解；
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
∵，軸，
設(shè)，則，
由對(duì)稱可知，，
∴，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在該反比例函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，
∴，
故答案為：．
24．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，且．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)交線段于點(diǎn)，則四邊形的面積是．
【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的幾何意義，作軸于，作軸于，則，由點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，得，，，然后證明得，求出，則，故有點(diǎn)坐標(biāo)為，求出反比例函數(shù)解析式，再求出，最后根據(jù)即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】如圖，作軸于，作軸于，則，
∵點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得，，
∴反比例函數(shù)解析式為，
∵軸，
∴點(diǎn)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，且在反比例函數(shù)圖象上，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
25．（2024·四川廣元·中考真題）已知與的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)B恰好落在上點(diǎn)C處，則B點(diǎn)坐標(biāo)為．

【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合，折疊性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先得出以及，根據(jù)解直角三角形得，根據(jù)折疊性質(zhì)，，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行列式，即．
【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作軸，過(guò)點(diǎn)C作軸，

∵與的圖象交于點(diǎn)，
∴把代入，得出，
∴，
把代入，
解得，
∴，
設(shè)，
在，
∴，
∵點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，將沿翻折，
∴，，
∴，
則，
解得（負(fù)值已舍去），
∴，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
26．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，且點(diǎn)A落在反比例函數(shù)上，點(diǎn)B落在反比例函數(shù)上，則．

【答案】8
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)；過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，然后根據(jù)特殊三角函數(shù)值結(jié)合勾股定理求得，，再求得點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，如圖，

∵，
∴，
∴設(shè)，則，
∴點(diǎn)，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，
∴，
∴（負(fù)值已舍），則點(diǎn)，
∴，，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∴點(diǎn)，
∵點(diǎn)B落在反比例函數(shù)上，
∴，
故答案為：8．
27．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為），交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論：
①；
②的面積等于四邊形的面積；
③的最小值是；
④．
其中正確的結(jié)論有．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】①②④
【分析】由，可得，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點(diǎn)為，利用的幾何意義可得的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，證明四邊形為矩形，可得當(dāng)最小，則最小，設(shè)，可得的最小值為，故③不符合題意；如圖，設(shè)平移距離為，可得，證明，可得，再進(jìn)一步可得答案．
【詳解】解：∵，，四邊形是矩形；
∴，
∴，故①符合題意；
如圖，連接，，，與的交點(diǎn)為，
∵，
∴，
∴，
∴的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；
如圖，連接，
∵軸，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴當(dāng)最小，則最小，
設(shè)，
∴，
∴，
∴的最小值為，故③不符合題意；
如圖，設(shè)平移距離為，
∴，
∵反比例函數(shù)為，四邊形為矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合題意；
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
28．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．
（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是（填序號(hào)）；
①；②；③．
（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為．
【答案】 ③ 或
【分析】本題主要考查了新定義——“近軸點(diǎn)”．正確理解新定義，熟練掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）①中，取，不存在“近軸點(diǎn)”；
②，由對(duì)稱性，取，不存在“近軸點(diǎn)”；
③，取時(shí)，，得到是的“近軸點(diǎn)”；
（2）圖象恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，得到；當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，得到．
【詳解】（1）①中，
時(shí)，，
不存在“近軸點(diǎn)”；
②，
由對(duì)稱性，當(dāng)時(shí)，，
不存在“近軸點(diǎn)”；
③，
時(shí)，，
∴是的“近軸點(diǎn)”；
∴上面三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是③
故答案為：③；
（2）中，
時(shí)，，
∴圖象恒過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，
∴，
∴；
當(dāng)直線過(guò)時(shí)，，
∴，
∴；
∴m的取值范圍為或．
故答案為：或．

三、解答題
29．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一次函數(shù)的圖象，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作x軸的平行線分別交與的圖象于C，D兩點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)連接，求的面積．
【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為；反比例函數(shù)的解析式為；
(2)
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合：
（1）先根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先分別求出C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可．
【詳解】（1）解：∵將函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一次函數(shù)的圖象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
把代入中得：，解得，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
（2）解：∵軸，，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)都為2，
在中，當(dāng)時(shí)，，即；
在中，當(dāng)時(shí)，，即；
∴，
∵，
∴．
30．（2024·青海·中考真題）如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，．
(1)求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)及一次函數(shù)的解析式；
(2)根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出不等式的解集．
【答案】(1)，，
(2)或
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：
（1）分別把點(diǎn)，點(diǎn)代入，可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，即可求解；
（2）直接觀察圖象，即可求解．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入中，得：，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
把點(diǎn)代入中，得：，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
把，代入中得：，
∴，
∴一次函數(shù)的解析式為，
（2）解：根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象，得：
當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)的圖象的上方，
∴的解集為或．
31．（2024·吉林·中考真題）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．
(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式（不要求寫(xiě)出自變量R的取值范圍）．
(2)當(dāng)電阻R為時(shí)，求此時(shí)的電流I．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：
（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)（1）所求求出當(dāng)時(shí)I的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為，
把代入中得：，
解得，
∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為；
（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴此時(shí)的電流I為．
32．（2024·山東·中考真題）列表法、表達(dá)式法、圖像法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．下表是函數(shù)與部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
(1)求、的值，并補(bǔ)全表格；
(2)結(jié)合表格，當(dāng)?shù)膱D像在的圖像上方時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
【答案】(1)，補(bǔ)全表格見(jiàn)解析
(2)的取值范圍為或；
【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，利用圖像法寫(xiě)自變量的取值范圍；
（1）根據(jù)表格信息建立方程組求解的值，再求解的值，再補(bǔ)全表格即可；
（2）由表格信息可得兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合函數(shù)圖像可得答案.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，
∵當(dāng)時(shí)，，即，
∴反比例函數(shù)為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
補(bǔ)全表格如下：
（2）由表格信息可得：兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
∴當(dāng)?shù)膱D像在的圖像上方時(shí)，的取值范圍為或；
33．（2024·湖北·中考真題）一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交反比例函數(shù)于點(diǎn)．
(1)求；
(2)點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，若，直接寫(xiě)出的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想．
（1）利用一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，列式計(jì)算求得，，得到點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）利用三角形面積公式求得，得到，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
解得，
∴點(diǎn)，
∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴；
（2）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∴，，
由題意得，
∴，
∴，
∴的橫坐標(biāo)的取值范圍為．
34．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)把直線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度與的圖象交于點(diǎn)，連接，求的面積．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的平移等知識(shí)，熟練掌握函數(shù)的平移法則是關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；
（2）先得到平移后直線解析式，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行線間的距離可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：點(diǎn)在正比例函數(shù)圖象上，
，解得，
，
在反比例函數(shù)圖象上，
，
反比例函數(shù)解析式為．
（2）解：把直線向上平移3個(gè)單位得到解析式為，
令，則，
∴記直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，
聯(lián)立方程組，
解得，（舍去），
，
由題意得：，
∴同底等高，
．
35．（2024·貴州·中考真題）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較a，b，c的大小，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)必能滿足解析式．
（1）把點(diǎn)代入可得k的值，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)表達(dá)式可得函數(shù)圖象位于第一、三象限，再根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)即可比較大?。?br>【詳解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：∵，
∴函數(shù)圖象位于第一、三象限，
∵點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，，
∴，
∴．
36．（2024·河南·中考真題）如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，對(duì)角線，相交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．
(2)請(qǐng)先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象．
(3)將矩形向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為_(kāi)_______．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析，畫(huà)反比例函數(shù)圖象，平移的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分別求出，，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象即可；
（3）求出平移后點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相減即可求解．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，
∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，，
畫(huà)圖如下：
（3）解：∵向左平移后，E在反比例函數(shù)的圖象上，
∴平移后點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴平移距離為．
故答案為：．
37．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，已知點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)．
(1)求、的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)連接，求點(diǎn)到線段的距離．
【答案】(1)，，
(2)點(diǎn)到線段的距離為
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)、在反比例函數(shù)圖象上，代入即可求得、的值；根據(jù)一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，代入求得，，即可得到表達(dá)式；
（2）連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，可推出軸，、、的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)，計(jì)算得的長(zhǎng)度，即為點(diǎn)到線段的距離．
【詳解】（1）點(diǎn)、在反比例函數(shù)圖象上
，
又一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，
解得：
一次函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，
，
軸，
點(diǎn)，，
點(diǎn)，，
在中，
又
即
∴，即點(diǎn)C到線段的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)值，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，勾股定理，與三角形高有關(guān)的計(jì)算，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
38．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)在軸上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)或
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題，勾股定理，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)已知條件列方程求得，得到反比例函數(shù)的表達(dá)式為，求得，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交y軸于P，則此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，得到直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）將直線向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后得直線的解析式為，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，
，
，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，
此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，
點(diǎn)，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，
直線的解析式為，
，，
，
，
解得或．
39．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)求，的值；
(2)將直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，與雙曲線在第二象限的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出a，然后利用待定系數(shù)法即可求得k的值；
（2）根據(jù)直線向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，可得直線解析式為，根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，
∴，解得，
將代入，
；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F，
，
，，
，
，
，，
∵直線向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
雙曲線過(guò)點(diǎn)C，
，
解得或（舍去），
．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確表示點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
40．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，．

(1)求與的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
(3)求的面積．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵；
（1）根據(jù)題意可得，即有，問(wèn)題隨之得解；
（2）表示反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上方時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，據(jù)此數(shù)形結(jié)合作答即可；
（3）若與y軸相交于點(diǎn)C，可得，則，根據(jù)，問(wèn)題即可得解．
【詳解】（1）由題知，
∴，
∴，，
∴，
把，代入得，
∴，
∴；
（2）由圖象可知自變量x的取值范圍為或
（3）若與y軸相交于點(diǎn)C，
當(dāng)時(shí)，，
∴，即：，
∴．

41．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)，滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)．
(1)已知點(diǎn)，在，，中，是點(diǎn)等和點(diǎn)的有_____；
(2)若點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，求的值；
(3)已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)和；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根據(jù)等和點(diǎn)的定義判斷即可求解；
（）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)等和點(diǎn)的定義得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解；
（）由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，如圖，由時(shí)的取值范圍是或，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即得，得到反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)等和點(diǎn)的定義得，代入得，解方程得，，據(jù)此即可求解；
本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)新定義運(yùn)算，一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，理解等和點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由，得，，
∴點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)；
由，得，，，
∵，
∴不是點(diǎn)的等和點(diǎn)；
由，得，，
∴是點(diǎn)的等和點(diǎn)；
故答案為：和；
（2）解：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在直線上，
∴，
∴；
（3）解：由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，如圖，由時(shí)的取值范圍是或，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為，
設(shè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴，
∵點(diǎn)在直線上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
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