必 備 知 識(shí)1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性(1)奇函數(shù)關(guān)于________對稱，偶函數(shù)關(guān)于________對稱．(2)若f(x－2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為________；若f(x－2)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為________．2．若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)________對稱．3．兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于________對稱；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于________對稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于________對稱．
夯 實(shí) 基 礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(　　)(2)函數(shù)y＝f(x－1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱．(　　)(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．(　　)(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．(　　)
3．(教材改編)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(－1)＝________．
解析：函數(shù)圖象關(guān)于x＝2對稱，則f(x)＝f(4－x)對任意的x恒成立，令x＝3可得f(3)＝f(1)＝5，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得f(－1)＝f(1)＝5.
4．(易錯(cuò))已知函數(shù)y＝f(x＋1)為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)＋1的圖象(　　)A．關(guān)于點(diǎn)(1，1)對稱B．關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱C．關(guān)于點(diǎn)(－1，1)對稱D．關(guān)于點(diǎn)(－1，－1)對稱
解析：函數(shù)y＝f(x＋1)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于(0，0)對稱，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于(1，0)對稱，所以函數(shù)y＝f(x)＋1的圖象關(guān)于(1，1)對稱．故選A.
5．定義在R上的非常數(shù)函數(shù)f(x)滿足：f′(x)>0，且f(2－x)＋f(x)＝0.請寫出符合條件的一個(gè)函數(shù)的解析式f(x)＝_______________．
解析：因?yàn)閒′(x)>0得出f(x)為增函數(shù)，由f(2－x)＋f(x)＝0，則函數(shù)對稱中心為(1，0)，所以y＝x－1滿足要求．
1.能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論．2．會(huì)利用對稱公式解決問題．
問題思考·夯實(shí)技能【問題1】　已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對稱．反之，已知函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于什么對稱？
提示：關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱．
【問題2】　已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于直線x＝ －1對稱．反之，已知函數(shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于什么對稱？
提示：關(guān)于直線x＝1對稱．
(2)[2024·安徽蕪湖模擬]已知函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，且y＝f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則(　　)A．f(1)>f(0) B．f(2)>f(0)C．f(－2)f(0)
解析：y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，則y＝f(x)關(guān)于x＝1對稱，又因?yàn)閥＝f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則y＝f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，所以f(1)f(0)，根據(jù)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝1對稱，可知，f(2)＝f(0)，則f(－2)>f(2)，只有D正確．
鞏固訓(xùn)練1(1)定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，且f(x＋2)＝f(2－x)對任意x∈R恒成立，則(　　)A．f(－1)f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
解析：因?yàn)閒(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，所以f(－1)

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