目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 立方根的定義
如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.
注意：
一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù). 開立方和立方互為逆運(yùn)算.
知識(shí)點(diǎn)02 立方根的特征
立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.
注意：
任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號(hào)與這個(gè)非零數(shù)的符號(hào)相同. 兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).
知識(shí)點(diǎn)03 立方根的性質(zhì)
（1）
（2）
（3）
注意：
第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.
知識(shí)點(diǎn)04 立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律
被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如，，，，.
能力拓展
考法01 立方根的概念
【典例1】下列語句正確的是（ ）
A．如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)一定是0
B．一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)
C．負(fù)數(shù)沒有立方根
D．一個(gè)不為零的數(shù)的立方根和這個(gè)數(shù)同號(hào)，0的立方根是0
【答案】D；
【分析】根據(jù)立方根的定義判斷即可.
【詳解】A．如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)一定是0或1或-1，故錯(cuò)誤；
B．一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，錯(cuò)誤，還有0；
C．負(fù)數(shù)有立方根，故錯(cuò)誤；
D．正確.
【點(diǎn)睛】本題考查了立方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記立方根的定義.
【即學(xué)即練】下列結(jié)論正確的是（ ）
A．64的立方根是±4B．是的立方根
C．立方根等于本身的數(shù)只有0和1D．
【答案】D.
考法02 立方根的計(jì)算
【典例2】求下列各式的值：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【答案】
解：（1） （2） （3）

（4）

（5）

【點(diǎn)睛】立方根的計(jì)算，注意符號(hào)和運(yùn)算順序，帶分?jǐn)?shù)要轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)再開立方.
【即學(xué)即練】計(jì)算：（1）______；（2）______；
（3）______．（4）______.
【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.
考法03 利用立方根解方程
【典例3】（x﹣2）3=﹣125．
【分析】利用立方根的定義開立方解答即可．
【答案與解析】
解：（x﹣2）3=﹣125，
可得：x﹣2=﹣5，
解得：x=﹣3．
【點(diǎn)睛】此題考查立方根問題，關(guān)鍵是先將x﹣2看成一個(gè)整體．
【即學(xué)即練】求出下列各式中的：
（1）若＝0.343，則＝______；（2）若－3＝213，則＝______；
（3）若＋125＝0，則＝______；（4）若＝8，則＝______．
【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．
考法04 立方根實(shí)際應(yīng)用
【典例4】在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，小明用一根細(xì)線將一個(gè)正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱體燒杯中，并用一量筒量得鐵塊排出的水的體積為64，小明又將鐵塊從水中提起，量得燒杯中的水位下降了．請問燒杯內(nèi)部的底面半徑和鐵塊的棱長各是多少？
【分析】鐵塊排出的64水的體積，是鐵塊的體積，也是高為燒杯的體積.
【答案與解析】
解：鐵塊排出的64的水的體積，是鐵塊的體積．
設(shè)鐵塊的棱長為，可列方程解得
設(shè)燒杯內(nèi)部的底面半徑為，可列方程,解得6.
答：燒杯內(nèi)部的底面半徑為6，鐵塊的棱長 4 .
【點(diǎn)睛】應(yīng)該熟悉體積公式，依題意建立相等關(guān)系（方程），解方程時(shí)，常常用到求平方根、立方根，要結(jié)合實(shí)際意義進(jìn)行取舍.本題體現(xiàn)與物理學(xué)科的綜合.
【即學(xué)即練】將棱長分別為和的兩個(gè)正方體鋁塊熔化，制成一個(gè)大正方體鋁塊，這個(gè)大正方體的棱長為____________.(不計(jì)損耗)
【答案】 .
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．64的立方根是（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【答案】A
【解析】
【詳解】
試題分析：∵43=64，∴64的立方根是4，
故選A
考點(diǎn)：立方根．
2．下列各式中,正確的是( )
A．=±4B．±=4C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)算術(shù)平方根與平方根、立方根的定義逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】
A、，此項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，此項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，此項(xiàng)正確；
D、，此項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了算術(shù)平方根與平方根、立方根，熟記各定義是解題關(guān)鍵．
3．下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（ ）
A．與B．與C．與D．與
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)判斷即可；
【詳解】
A中，不是互為相反數(shù)；
B中，不是相反數(shù)；
C中兩數(shù)互為倒數(shù)；
D中兩數(shù)互為相反數(shù)；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相反數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．
4．下列說法正確的是( )
A．如果一個(gè)數(shù)的立方根等于這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)一定是零
B．一個(gè)數(shù)的立方根和這個(gè)數(shù)同號(hào)，零的立方根是零
C．一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)
D．負(fù)數(shù)沒有立方根
【答案】B
【解析】
【詳解】
A. 如果一個(gè)數(shù)的立方根等于這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)一定是零或 ；
C. 一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，還有0；D. 負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根
故選B.
5．若，則x和y的關(guān)系是( )．
A．x＝y(tǒng)＝0B．x和y互為相反數(shù)
C．x和y相等D．不能確定
【答案】B
【解析】
【詳解】
分析：先移項(xiàng)，再兩邊立方，即可得出x=-y，得出選項(xiàng)即可．
詳解：
∵,
∴,
∴x=-y，
即x、y互為相反數(shù)，
故選B．
點(diǎn)睛：考查了立方根，相反數(shù)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出x=-y．
6．下列說法中正確的是（ ）．
A．0.09的平方根是0.3B．
C．0的立方根是0D．1的立方根是
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)平方根，算術(shù)平方根和立方根的定義分別判斷即可.
【詳解】
解：A、0.09的平方根是±0.3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、0的立方根是0，故選項(xiàng)正確；
D、1的立方根是1，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平方根，算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
7．立方根等于它本身的有( )
A．0,1B．-1,0,1C．0,D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)立方根性質(zhì)可知，立方根等于它本身的實(shí)數(shù)0、1或-1．
【詳解】
解：∵立方根等于它本身的實(shí)數(shù)0、1或-1．
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查立方根：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)x就稱為a的立方根，例如：x3=a，x就是a的立方根；任意一個(gè)數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．
8．若a2＝16，＝2，則a+b的值為（ ）
A．12B．4C．12或﹣4D．12或4
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)平方根和立方根的意義求出a、b即可．
【詳解】
解：∵a2＝16，
∴a＝±4，
∵＝2，
∴b＝8，
∴a+b＝4+8或﹣4+8，
即a+b＝12或4．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平方根和立方根以及有理數(shù)加法，解題關(guān)鍵是明確平方根和立方根的意義，準(zhǔn)確求出a、b的值，注意：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)．
9．有一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、平方根、立方根都等于它本身，這個(gè)數(shù)是( )
A．－1B．1C．0D．±1
【答案】C
【解析】
【分析】
由相反數(shù)等于它本身的數(shù)是0，平方根等于它本身的數(shù)是0，立方根等于它本身的數(shù)是0，±1，即可求得答案．
【詳解】
因?yàn)橄喾磾?shù)等于它本身的數(shù)是0，平方根等于它本身的數(shù)是0，立方根等于它本身的數(shù)是0，±1，
所以相反數(shù)、平方根、立方根都等于它本身的數(shù)是0.
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查立方根，平方根，相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握立方根，平方根，相反數(shù)性質(zhì).
10．已知，，，則的值是（ ）
A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)被開方數(shù)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)3位，立方根的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)1位解答．
【詳解】
解： =1.147×10=11.47．
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了立方根的應(yīng)用，要注意被開方數(shù)與立方根的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)變化規(guī)律．
題組B 能力提升練
11．的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【詳解】
【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行求解即可得.
【詳解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案為﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的定義，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵.
12．已知(x﹣1)3=64，則x的值為__．
【答案】5
【解析】
【詳解】
由（x﹣1）3=64，
得：x﹣1=4,
解得：x=5.
故答案為5.
13．已知一個(gè)數(shù)的平方根是3a+1和a+11，求這個(gè)數(shù)的立方根是______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，可知3a+1+a+11=0，a=-3，從而得出答案．
【詳解】
由已知得，3a+1+a+11=0，解得a=-3，
所以3a+1=-8，a+11=8，
所以，這個(gè)數(shù)是64，
它的立方根是4．
故答案是：4.
【點(diǎn)睛】
考查了平方根和立方根的概念．注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．立方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的立方根式正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根式0．
14．如果一個(gè)數(shù)的平方根和它的立方根相等，則這個(gè)數(shù)是______.
【答案】0
【解析】
【詳解】
試題解析：平方根和它的立方根相等的數(shù)是0．
15．若＝0.694，＝1.442，則＝_____
【答案】6.94
【解析】
【分析】
根據(jù)立方根的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
∵0.694，∴=10×=10×0.694=6.94．
故答案為6.94．
【點(diǎn)睛】
本題考查了立方根，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握立方根的性質(zhì)．
16．已知2x+1的平方根是±5，則5x+4的立方根是__________.
【答案】4
【解析】
【詳解】
試題解析：根據(jù)題意得：
即2x+1=25，
解得：x=12.
則5x+4=5×12+4=64，
64的立方根是4.
故答案為：4.
17．實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡后為___________．
【答案】8
【解析】
【分析】
先根據(jù)數(shù)軸的定義可得，從而可得，再計(jì)算算術(shù)平方根和立方根即可得．
【詳解】
由數(shù)軸的定義得：，
則，
所以，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】
本題考查了數(shù)軸、算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根是解題關(guān)鍵．
題組C 培優(yōu)拔尖練
18．計(jì)算下列各題：
（1）＋－
（2）.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）先化簡根式，再加減即可；（2）先化簡根式，再加減即可；
試題解析：
（1）原式＝；
（2）原式＝－3－0－+0.5+
＝
19．求x的值：125－8x3＝0.
【答案】x＝.
【解析】
【分析】
先將原始變形為x3＝，再利用立方根的定義計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】
解：125－8x3＝0.
－8x3＝－125，
x3＝，
x＝.
故答案為x＝.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用立方根解方程，解答此題的關(guān)鍵是掌握有關(guān)立方根的概念的知識(shí)，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3=a，那么就稱這個(gè)數(shù)x為a的立方根(或三次方根表示為.
20．已知5a﹣1的算術(shù)平方根是3，3a+b﹣1的立方根為2.
（1）求a與b的值；（2）求2a+4b的平方根．
【答案】（1）a=2，b=3（2）±4
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)算術(shù)平方根與立方根定義得出5a﹣1=32，3a+b﹣1=23，解之求得a、b的值；
（2）由a、b的值求得2a+4b的值，繼而可得其平方根．
【詳解】
（1）由題意，得5a﹣1=32，3a+b﹣1=23，
解得a=2，b=3．
（2）∵2a+4b=2×2+4×3=16，
∴2a+4b的平方根=±4．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平方根，立方根，算術(shù)平方根的定義，列式求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．
21．已知M是m+3的算術(shù)平方根，N是n﹣2的立方根．求（n﹣m）2008．
【答案】1
【解析】
【分析】
由于算術(shù)平方根的根指數(shù)為2，立方根的根指數(shù)為3，由此可以列出關(guān)于m、n的方程組，解方程組求出m和n，進(jìn)而代入所求代數(shù)式求解即可．
【詳解】
∵M(jìn)是m+3的算術(shù)平方根，N是n﹣2的立方根，∴2m+n﹣3=2，2m﹣n=3，∴m=2，n=1，∴（n﹣m）2008=1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了算術(shù)平方根、立方根的定義．解決本題的關(guān)鍵是利用根的指數(shù)知識(shí)得到未知字母的值．
22．先判斷下列等式是否成立：
（1） （ ） （2） （ ）
（3） （ ） （4） （ ）
……….
經(jīng)判斷：
（1）請你寫出用含的等式表示上述各式規(guī)律的一般公式.
（2）證明你的結(jié)論.
【答案】四個(gè)結(jié)論均成立，（1） ；（2）見解析.
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）根據(jù)立方根的意義，化簡判斷，然后根據(jù)特點(diǎn)列出規(guī)律的式子即可；
（2）利用立方根的意義，化簡變形，得到證明過程.
試題解析：經(jīng)判斷四個(gè)結(jié)論均成立.
（1） .
（2）.
課程標(biāo)準(zhǔn)
1. 了解立方根的含義；
2. 會(huì)表示、計(jì)算一個(gè)數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器求立方根.

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