目標導(dǎo)航
知識精講
知識點01 有理數(shù)與無理數(shù)
有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).
注意：
（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.
（2）常見的無理數(shù)有三種形式：
①含類.
②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….
③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.
知識點02 實數(shù)
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).
1.實數(shù)的分類
按定義分：
實數(shù)
按與0的大小關(guān)系分：
實數(shù)
2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).
數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).
知識點03 實數(shù)大小的比較
對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.
正實數(shù)大于0，負實數(shù)小于0，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.
知識點04 實數(shù)的運算
有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).
當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.
能力拓展
考法01 實數(shù)概念
【典例1】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次增加1）
…
有理數(shù)集合
…
無理數(shù)集合
【答案】
有理數(shù)有：， ，，，0，
無理數(shù)有：，，， ，，， 0.3737737773……
【點睛】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).
常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.3737737773……③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如，， ，，.
【即學即練】判斷正誤，在后面的括號里對的用 “√”，錯的記“×”表示，并說明理由.
(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).( )
(2)無理數(shù)都是無限小數(shù).( )
(3)無限小數(shù)都是無理數(shù).( )
(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù).( )
(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù).( )
(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù).( )
(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).( )
(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).( )
【答案】
(1)(×)無理數(shù)不只是開方開不盡的數(shù)，還有，1.020 020 002…這類的數(shù)也是無理數(shù).
(2)(√)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù).
(3)(×)無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).
(4)(×)0是有理數(shù).
(5)(×)如，雖然不帶根號，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù).
(6)(×)如，雖然帶根號，但＝9，這是有理數(shù).
(7)(×)有理數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù).
(8)(√)有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)表示，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以 實數(shù)可以用有限小數(shù)和無限小數(shù)表示.
考法02 實數(shù)大小的比較
【典例2】比較與的大小．
【分析】根據(jù)，，則來比較兩個實數(shù)的大?。?br>【答案】
解：因為，．
所以＜
【點睛】實數(shù)的比較有多種方法，除了上述方法外，還有作差法、作商法、同分子法、倒數(shù)法等.
【即學即練】若兩個連續(xù)整數(shù)x、y滿足x＜+1＜y，則x+y的值是 ．
【答案】7．
解：∵，
∴，
∵x＜+1＜y，
∴x=3，y=4，
∴x+y=3+4=7．
考法03 實數(shù)的運算
【典例3】求的值．
【答案】
解：（1）當≥0時，，，
所以．
（2）當＜0時，，，
所以．
即值為0或2．
【點睛】本題是涉及平方根（算術(shù)平方根）和立方根的綜合運算，但還應(yīng)注意本題需要分類討論．要注意對的討論，而開立方不需要討論符號．
【即學即練】若的兩個平方根是方程的一組解．
（1）求的值；
（2）求的算術(shù)平方根．
【答案】
解：（1）∵ 的平方根是的一組解，則設(shè)的平方根為，，
則根據(jù)題意得：解得
∴ 為．
（2）∵ ．
∴ 的算術(shù)平方根為4．
考法04 實數(shù)的綜合運用
【典例4】已知，且，求的值．
【答案】
解：∵ ，且，．
∴ ，即，．
解得 ＝3，＝5，得＝64．
∴ ．
【點睛】本題考查非負性與立方、立方根的綜合運用，由，可求、，又，所以＝64，則可求．
【即學即練】已知，求的值．
【答案】
解：知條件得，
由②得，，∵ ，∴ ，則．
把代入①得，＝1．
∴ ．
【典例5】如圖，半徑為1個單位的圓片上有一點Q與數(shù)軸上的原點重合（提示：圓的周長C=2πr）
（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點Q到達數(shù)軸上點A的位置，點A表示的數(shù)是 ；
（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：
+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第幾次滾動后，Q點距離原點最近？第幾次滾動后，Q點距離原點最遠？
②當圓片結(jié)束運動時，Q點運動的路程共有多少？此時點Q所表示的數(shù)是多少？
【分析】
（1）利用圓的半徑以及滾動周數(shù)即可得出滾動距離；
（2）①利用滾動的方向以及滾動的周數(shù)即可得出Q點移動距離變化；
②利用絕對值得性質(zhì)以及有理數(shù)的加減運算得出移動距離和Q表示的數(shù)即可．
【答案】
解：（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點Q到達數(shù)軸上點A的位置，點A表示的數(shù)是﹣2π；
故答案為：﹣2π；
（2）①第4次滾動后Q點離原點最近，第3次滾動后，Q點離原點最遠；
②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，
Q點運動的路程共有：17×2π×1=34π；
（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，
1×2π=2π，此時點Q所表示的數(shù)是2π．
【點睛】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及絕對值得性質(zhì)和圓的周長公式應(yīng)用，利用數(shù)軸得出對應(yīng)數(shù)是解題關(guān)鍵．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．的相反數(shù)是【 】
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
相反數(shù)的定義是：如果兩個數(shù)只有符號不同，我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)還是0．因此的相反數(shù)是．故選C．
考點：相反數(shù)．
2．估計的值在( )
A．2和3之間B．3和4之間
C．4和5之間D．5和6之間
【答案】C
【解析】
【分析】
由可知，再估計的范圍即可.
【詳解】
解：，.
故選：C.
【點睛】
本題考查了實數(shù)的估算，熟練的確定一個無理數(shù)介于哪兩個整數(shù)之間是解題的關(guān)鍵.
3．下列實數(shù)中的無理數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
分析: 分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項.
詳解: =1.1， =-2， 是有理數(shù)，
是無理數(shù)，
故選C.
點睛：此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式.
4．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，把﹣a，﹣b，0按照從小到大的順序排列，正確的是（ ）
A．﹣a＜0＜﹣bB．0＜﹣a＜﹣bC．﹣b＜0＜﹣aD．0＜﹣b＜﹣a
【答案】C
【解析】
【詳解】
試題分析：根據(jù)數(shù)軸得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即可得出答案．
∵從數(shù)軸可知：a＜0＜b， ∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0， ∴﹣b＜0＜﹣a，
考點：(1)、實數(shù)大小比較；(2)、實數(shù)與數(shù)軸
5．如圖，在數(shù)軸上表示的點可能是（ ）
A．點PB．點QC．點MD．點N
【答案】B
【解析】
【分析】
利用無理數(shù)的估算得到3＜＜4，然后對各點進行判斷即可．
【詳解】
解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
而3＜OQ＜4，
∴表示的點可能是點Q．
故選：B．
【點睛】
本題考查了實數(shù)與數(shù)軸：實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系．任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．數(shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．
6．有下列四個論斷：①﹣是有理數(shù)；② 是分數(shù)；③2.131131113…是無理數(shù)；④π是無理數(shù)，其中正確的是（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)無理數(shù)的概念即可判定選擇項．
【詳解】
解：①﹣是有理數(shù)，正確；
②是無理數(shù)，故錯誤；
③2.131131113…是無理數(shù)，正確；
④π是無理數(shù)，正確；
正確的有3個．
故選B．
【點睛】
本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
7．化簡的結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先比較與3的大小，然后由絕對值的意義，化簡即可得到答案．
【詳解】
解：∵

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