目標(biāo)導(dǎo)航
知識精講
知識點(diǎn)01 鄰補(bǔ)角與對頂角
1．鄰補(bǔ)角：
如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．
注意：
(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°．
(2)鄰補(bǔ)角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角．
(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．
(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊；另一邊互為反向延長線.
2. 對頂角及性質(zhì)：
（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒有公共邊(相對)的兩個(gè)角，互為對頂角．
（2）性質(zhì)：對頂角相等．
注意：
(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對頂角．
(2)對頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.
3. 鄰補(bǔ)角與對頂角的關(guān)系
注意：兩直線相交，一個(gè)角的對頂角有1個(gè)，但一個(gè)角與它相等的角有無數(shù)個(gè)，鄰補(bǔ)角最多有2個(gè)，而補(bǔ)角則可以有無數(shù)個(gè)；即對頂角和鄰補(bǔ)角，不僅包含數(shù)量關(guān)系，而且包含位置關(guān)系。
知識點(diǎn)02 垂線
1．垂線的定義：
兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．
注意：
(1)記法：直線a與b垂直，記作：；
直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O.
(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：
CD⊥AB．
2．垂線的畫法：
過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是：
①使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合；
②沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)；
③沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．
注意：
(1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．
(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．
3．垂線的性質(zhì)：
（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．
（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡稱：垂線段最短．
注意：
（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．
（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題．
4．點(diǎn)到直線的距離：
定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．
注意：
點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，不能說垂線段是距離；
（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長度．
能力拓展
考法01 概念辨析
【典例1】判斷正誤：
（1）如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角（ ）
（2）如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角（ ）
（3）有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角（ ）
（4）如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ)（ ）
（5）有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角（ ）
【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×
【分析】
根據(jù)對頂角與鄰補(bǔ)角的定義與性質(zhì)分析判斷即可求解．
【詳解】
（1）如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角，錯(cuò)誤；
（2）如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角不一定是對頂角，錯(cuò)誤；
（3）有一條公共邊的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角，錯(cuò)誤；
（4）如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ)，正確；
（5）有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角，錯(cuò)誤；
故答案為：（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了對頂角的與鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，如果一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長線，且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)角是對頂角，兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，叫做鄰補(bǔ)角．
【即學(xué)即練】下列說法中正確的有_________________．
①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角．
②如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角．③有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角．
④如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互為補(bǔ)角．
⑤有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角．
【答案】④
【分析】
根據(jù)對頂角，鄰補(bǔ)角的定義以及性質(zhì)對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】
解：①相等的兩個(gè)角是對頂角，邊應(yīng)為互為反向延長線，故錯(cuò)誤；
②有公共頂點(diǎn)，沒有公共邊的兩個(gè)角是對頂角，邊應(yīng)為互為反向延長線，故錯(cuò)誤；
③有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，另一邊應(yīng)為互為反向延長線，故錯(cuò)誤．
④如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互為補(bǔ)角，正確；
⑤有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，另一邊應(yīng)為互為反向延長線，故錯(cuò)誤．
故答案為：④．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了鄰補(bǔ)角，對頂角的定義以及對頂角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【典例2】點(diǎn)到直線的距離是指（ ）
A．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段B．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線，
C．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長D．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長
【答案】C
【分析】
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義解答本題．
【詳解】
解：垂線段是一個(gè)圖形，距離是指垂線段的長度，故A錯(cuò)誤；
垂線是直線，沒有長度，不能表示距離，故B錯(cuò)誤；
符合點(diǎn)到直線的距離的定義，故C正確；
垂線是直線，沒有長度，不能表示距離，故C錯(cuò)誤．
故選C．
【即學(xué)即練】有下列說法：
①兩條直線相交成四個(gè)角，如果兩個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直；
②兩條直線相交成四個(gè)角，如果三個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直；
③在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與已知直線垂直；
④直線外一點(diǎn)到這條的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離．
其中正確的說法有（ ）
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】B
【解析】試題解析：①兩條直線相交成四個(gè)角，如果有一對對頂角相等且均不為90°，那么這兩條直線不垂直，故①錯(cuò)誤；
②兩條直線相交成四個(gè)角，則這四個(gè)角中有2對對頂角．如果三個(gè)角相等，則這四個(gè)角相等，都是直角，所以這兩條直線垂直．故②正確；
③在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直．故③錯(cuò)誤；
④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的說法是1個(gè)．
故選B．
考法02 鄰補(bǔ)角與對頂角的應(yīng)用
【典例3】如圖所示，直線和相交于點(diǎn)是一條射線．
（1）寫出的鄰補(bǔ)角：__________________；
（2）寫出的鄰補(bǔ)角：__________________；
（3）寫出的鄰補(bǔ)角：__________________；
（4）寫出的對頂角：___________________．
【答案】
【分析】
鄰補(bǔ)角指的是有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個(gè)角；對頂角定義：有公共頂點(diǎn)且兩條邊都互為反向延長線的兩個(gè)角稱為對頂角，據(jù)此解答即可．
【詳解】
解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得，
（1）的鄰補(bǔ)角：；
（2）的鄰補(bǔ)角：；
（3）的鄰補(bǔ)角：；
（4）根據(jù)對頂角的定義得，的對頂角：，
故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）．
【點(diǎn)睛】
本題考查鄰補(bǔ)角的定義、對頂角的定義等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【典例4】如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量的角是____度，你的根據(jù)是____________．
【答案】40 對頂角相等
【分析】
由題意知，一個(gè)破損的扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角，根據(jù)對頂角的性質(zhì)解答即可．
【詳解】
解：由題意得，扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角，
圖中的量角器顯示的度數(shù)是40°，
∴扇形零件的圓心角40°；
故答案為：40；對頂角相等．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了對頂角的性質(zhì)，題目比較簡單．掌握對頂角的性質(zhì)：對頂角相等是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】如圖，A、B、C為直線l上的點(diǎn)，D為直線l外一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為______．
【答案】60°度
【分析】
由鄰補(bǔ)角的定義，結(jié)合，可得答案.
【詳解】
解：

故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是鄰補(bǔ)角的定義，掌握“互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的和為”是解本題的關(guān)鍵.
【即學(xué)即練】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＋∠BOC＝240°，則∠BOC的度數(shù)為__________°．
【答案】120
【分析】
由題意根據(jù)對頂角相等得出∠BOC=∠AOD進(jìn)而結(jié)合∠AOD＋∠BOC＝240°即可求出∠BOC的度數(shù)．
【詳解】
解：∵∠AOD＋∠BOC＝240°，∠BOC=∠AOD，
∴∠BOC=120°．
故答案為：120．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是對頂角的性質(zhì)，熟練掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】如圖，過直線AB上一點(diǎn)O作射線OC、OD ，并且OD是∠ AOC的平分線，∠BOC=29°18′， 則∠BOD的度數(shù)為___________．
【答案】
【分析】
先求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的運(yùn)算可得的度數(shù)，然后根據(jù)角的和差即可得．
【詳解】
解：，
，
是的平分線，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了鄰補(bǔ)角、與角平分線有關(guān)的計(jì)算，熟記角的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
考法03 垂線的應(yīng)用
【典例5】過點(diǎn)B畫線段AC所在直線的垂線段，其中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)垂線段的定義判斷即可.
【詳解】
根據(jù)垂線段的定義可知，過點(diǎn)B畫線段AC所在直線的垂線段，可得：
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂線段的定義，過直線外一點(diǎn)做直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到直線的垂線段.
【典例6】如圖，計(jì)劃把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足為B，然后沿AB開渠，則能使所開的渠最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是（ ）
A．垂線段最短B．兩點(diǎn)之間，線段最短
C．兩點(diǎn)確定一條直線D．兩點(diǎn)之間，直線最短
【答案】A
【分析】
過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，這一點(diǎn)與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短．
【詳解】
根據(jù)垂線段定理，連接直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，
∴沿AB開渠，能使所開的渠道最短，
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂線段最短，能熟記垂線段最短的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】如圖所示，點(diǎn)P到直線l的距離是（ ）
A．線段PA的長度B．線段PB的長度C．線段PC的長度D．線段PD的長度
【答案】B
【詳解】
由點(diǎn)到直線的距離定義，即垂線段的長度可得結(jié)果，點(diǎn)P到直線l的距離是線段PB 的長度，
故選B.
【即學(xué)即練】點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，、、為直線上的三點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到直線的距離（ ）
A．小于B．等于C．不大于D．等于
【答案】C
【分析】
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長度以及垂線段最短即可得答案．
【詳解】
解：點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)直線l上的三點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，則點(diǎn)P到直線l的距離為不大于2cm，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長度，利用垂線段最短是解題關(guān)鍵．
【典例7】如圖，下列說法不正確的是（ ）
A．點(diǎn)B到AC的垂線段是線段ABB．點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC
C．線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段D．線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段
【答案】C
【分析】
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圖示對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可作出判斷．
【詳解】
A、點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB，正確；
B、點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC，正確；
C. 點(diǎn)A到BC的垂線段是線段AD，故錯(cuò)誤；
D. 點(diǎn)B到AD的垂線段是線段BD，正確；
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了點(diǎn)到直線距離的概念，解題的關(guān)鍵是明確點(diǎn)到直線的距離的定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離
【即學(xué)即練】如圖，，，表示點(diǎn)到直線距離的是線段（ ）的長度
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)從直線外一點(diǎn)到這直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離解答．
【詳解】
解：∵ED⊥AB，
∴點(diǎn)D到直線AB距離的是線段DE的長度．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
考法04 綜合應(yīng)用
【典例8】如圖，已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，則∠BOD的大小為 _____．
【答案】18°度
【分析】
根據(jù)直角的定義可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，然后根據(jù)∠AOC＝∠AOF﹣∠COF求出∠AOC，再根據(jù)對頂角相等解答．
【詳解】
解：∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵∠COF＝36°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣36°＝54°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝54°，
∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝54°﹣36°＝18°，
∴∠BOD＝∠AOC＝18°．
故答案為：18°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】如圖，已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝27°，則∠BOD的大小為_____．
【答案】36°
【分析】
根據(jù)直角的定義可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，然后根據(jù)∠AOC＝∠AOF?∠COF求出∠AOC，再根據(jù)對頂角相等解答．
【詳解】
解：∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∵∠COF＝27°，
∴∠EOF＝∠COE?∠COF＝90°?27°＝63°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝63°，
∴∠AOC＝∠AOF?∠COF＝63°?27°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故答案為：36°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【典例9】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度數(shù)．
解：∵OE⊥AB（已知）
∴∠BOE（ ）
即∠1+∠2
又∵∠2=2∠1（已知）
∴∠1=______度
∴∠2=______度（等式性質(zhì)）
∵∠2與∠AOC是對頂角（已知）
∴∠2=∠AOC（ ）
∵∠2=_______度（已證）
∴∠AOC=_________度（ ）
【答案】見解析
【分析】
根據(jù)垂直的定義以及∠1和∠2的關(guān)系得到各自的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等得到結(jié)果．
【詳解】
解：∵OE⊥AB（已知）
∴∠BOE（垂直的定義）
即∠1+∠2
又∵∠2=2∠1（已知）
∴∠1=30度
∴∠2=60度（等式性質(zhì)）
∵∠2與∠AOC是對頂角（已知）
∴∠2=∠AOC（對頂角相等）
∵∠2=60度（已證）
∴∠AOC=60度（等式性質(zhì)）
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂直的定義，對頂角相等，解題的關(guān)鍵是得到∠2的度數(shù)．
【即學(xué)即練】給下面命題的說理過程填寫依據(jù)．
已知：如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O，OF平分∠BOD，對∠EOF＝∠BOC說明理由．
理由：因?yàn)椤螦OC＝∠BOD( )，
∠BOF＝∠BOD( )，
所以∠BOF＝∠AOC( )．
因?yàn)椤螦OC＝180°－∠BOC( )，
所以∠BOF＝90°－∠BOC．
因?yàn)镋O⊥CD( )，
所以∠COE＝90°( )
因?yàn)椤螧OE＋∠COE＝∠BOC( )，
所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.
所以∠BOE＝∠BOC－90°( )
因?yàn)椤螮OF＝∠BOE＋∠BOF( )
所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°∠BOC)（ ）
所以∠EOF＝∠BOC．
【答案】對頂角相等，角平分線的定義，等量代換，平角的定義，已知，垂直的定義，兩角和的定義，等量代換，兩角和的定義，等量代換．
【解析】
【分析】
根據(jù)對頂角的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOD，由角平分線的定義得到∠BOF=∠BOD，等量代換得到∠BOF=∠AOC，由垂直的定義得到∠COE=90°，等量代換得到∠BOE=∠BOC-90°，于是得到結(jié)論．
【詳解】
解：因?yàn)椤螦OC＝∠BOD(對頂角相等)，∠BOF＝∠BOD(平分線的定義)，
所以∠BOF＝∠AOC(等量代換)．
因?yàn)椤螦OC＝180°－∠BOC(平角的定義)，所以∠BOF＝90°－∠BOC.
因?yàn)镋O⊥CD(已知)，所以∠COE＝90°(垂直的定義)
因?yàn)椤螧OE＋∠COE＝∠BOC(兩角和的定義)，
所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.
所以∠BOE＝∠BOC－90°(等量代換)
因?yàn)椤螮OF＝∠BOE＋∠BOF(兩角和的定義)
所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°∠BOC)(等量代換)
所以∠EOF＝∠BOC.
故答案為對頂角相等，角平分線的定義，等量代換，平角的定義，已知，垂直的定義，兩角和的定義，等量代換，兩角和的定義，等量代換．
【點(diǎn)睛】
本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角、垂線以及角平分線的定義，弄清各個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【典例10】如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度數(shù)；
(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數(shù)．
【答案】（1）35°；（2）36°.
【分析】
（1）根據(jù)角平分線定義得到∠AOC=∠EOC=×70°=35°，然后根據(jù)對頂角相等得到∠BOD=∠AOC=35°；
（2）先設(shè)∠EOC=2x，∠EOD=3x，根據(jù)平角的定義得2x+3x=180°，解得x=36°，則∠EOC=2x=72°，然后與（1）的計(jì)算方法一樣．
【詳解】
解：（1）∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）設(shè)∠EOC=2x，∠EOD=3x，根據(jù)題意得2x+3x=180°，解得x=36°，
∴∠EOC=2x=72°，
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°．
考點(diǎn)：角的計(jì)算．
【即學(xué)即練】如圖：已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE=90°
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度數(shù)；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度數(shù)．
【答案】（1）54°；（2）120°
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)平角的定義求解即可；
（2）根據(jù)平角的定義可求∠BOD，根據(jù)對頂角的定義可求∠AOC，根據(jù)角的和差關(guān)系可求∠AOE的度數(shù)．
試題解析：解：（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，∴∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE=54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC=1：5，∴∠BOD=180°×=30°，∴∠AOC=30°，∴∠AOE=30°+90°=120°．
【即學(xué)即練】如圖，已知直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OE把∠AOC分成兩部分．
（1）寫出圖中∠AOC的對頂角 ，∠COE的補(bǔ)角是 ；
（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度數(shù)．
【答案】（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°
【分析】
（1）分析圖形，根據(jù)對頂角和補(bǔ)角的定義可以求出答案；
（2）先設(shè)∠COE＝x求得∠COE和∠AOE的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求得∠AOD的度數(shù)，然后將∠AOE與∠AOD的度數(shù)相加即可．
【詳解】
解：（1）由圖形可知，∠AOC的對頂角是∠BOD，∠COE的補(bǔ)角是∠DOE；
（2）設(shè)∠COE＝x，則∠AOE＝2x，
∵∠AOC＝60°，
∴x+2x＝60，
解得x＝20，
即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．
【點(diǎn)睛】
本題考查角的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確找出圖中的角的等量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．圖中的∠1、∠2可以是對頂角的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)對頂角的定義，具有公共頂點(diǎn)且角的兩邊互為反向延長線對各圖形分析判斷后進(jìn)行解答．
【詳解】
解：A、∠1與∠2不是對頂角，
B、∠1與∠2不是對頂角，
C、∠1與∠2是對頂角，
D、∠1與∠2不是對頂角，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了對頂角的定義，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．
2．下列說法正確的有( )．
①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對頂角；④若兩個(gè)角不是對頂角，則這兩個(gè)角不相等．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【詳解】
解：②對頂角要符合兩直線相交構(gòu)成的沒有公共邊的兩個(gè)相對的角是對頂角，但相等的角不一定是對頂角；
④例如30°與30°的角不一定是對頂角，但這兩個(gè)角一定相等，故②④錯(cuò)誤；
正確的有①③兩個(gè)．
故選B．
3．如圖，在線段、、、中，長度最小的是（ ）
A．線段B．線段C．線段D．線段
【答案】B
【分析】
由垂線段最短可解．
【詳解】
由直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，可知答案為B．
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，這屬于基本的性質(zhì)定理，屬于簡單題．
4．如圖，經(jīng)過直線l外一點(diǎn)A作l的垂線，能畫出（ ）
A．4條B．3條C．2條D．1條
【答案】D
【分析】
平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線，據(jù)此可得．
【詳解】
經(jīng)過直線l外一點(diǎn)畫l的垂線，能畫出1條垂線，
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查垂線，解題的關(guān)鍵是掌握在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．
5．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠1＋∠2＝100°，則∠BOC等于（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【答案】A
【詳解】
試題分析：兩直線相交，對頂角相等，即∠AOC=∠BOD，已知∠AOC+∠BOD=100°，可求∠AOC；又∠AOC與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，即∠AOC+∠BOC=180°，將∠AOC的度數(shù)代入，可求∠BOC．
解：∵∠AOC與∠BOD是對頂角，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOC=50°．
∵∠AOC與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°．
故選A．
【點(diǎn)評】本題考查對頂角的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的定義，是一個(gè)需要熟記的內(nèi)容．
6．如圖，三條直線相交于點(diǎn)O．若CO⊥AB，∠1=56°，則∠2等于( )
A．30°B．34°C．45°D．56°
【答案】B
【詳解】
試題分析：根據(jù)垂線的定義求出∠3，然后利用對頂角相等解答．
解：∵CO⊥AB，∠1=56°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，
∴∠2=∠3=34°．
故選B．
考點(diǎn)：垂線．
7．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠DOB．若∠COB=35°，則∠AOD等于( ).
A．35°B．70°
C．110°D．145°
【答案】C
【詳解】
∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，
∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,
∴∠AOD=180°-70°=110°.
故選C.
8．如圖所示，已知直線AB、CD相較于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，則∠BOD的度數(shù)是（ ）
A．20B．25°C．30°D．70°
【答案】D
【分析】
由角平分線的定義可求出∠COB的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠BOD的度數(shù)即可.
【詳解】
∵OE平分∠COB，若∠EOB=55°，
∴∠COB=2∠EOB=110°，
∵∠BOD與∠COB是鄰補(bǔ)角，
∴∠BOD=180°-∠COB=70°，
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的定義及鄰補(bǔ)角的概念，掌握角平分線的定義和鄰補(bǔ)角之和為180°是解題的關(guān)鍵．
題組B 能力提升練
1．如圖，與是對頂角，，，則______．
【答案】145°
【分析】
根據(jù)對頂角相等列出關(guān)系式求解即可．
【詳解】
解：∵與是對頂角，
∴=，
∵，，
∴ ，
∴，
故答案為：145°．
【點(diǎn)睛】
本題考查對頂角，掌握對頂角相等是解答的關(guān)鍵．
2．兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有兩個(gè)角分別是(2x－10)°和(110－x)°，則x＝_____．
【答案】40或80
【詳解】
當(dāng)這兩個(gè)角是對頂角時(shí)，(2x-10) =(110-x)，
解之得
x=40;
當(dāng)這兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角時(shí)，(2x-10) +(110-x) =180，
解之得
x=80;
∴x的值是40或80.
點(diǎn)睛：本題考查了兩條直線相交所成的四個(gè)角之間的關(guān)系及分類討論的數(shù)學(xué)思想，兩條直線相交所成的四個(gè)角或者是對頂角的關(guān)系，或者是鄰補(bǔ)角的關(guān)系，明確這兩種關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.
3．如圖，直線AD與BE相交于點(diǎn)O，∠COD=90°，∠COE=70°，則∠AOB= _______．

【答案】20°
【詳解】
【分析】由題意可知∠DOE=90°-∠COE，∠AOB與∠DOE是對頂角相等，由此即可得解．
【詳解】∵已知∠COD=90°，∠COE=70°，
∴∠DOE=90°-70°=20°，
又∵∠AOB與∠DOE是對頂角，
∴∠AOB=∠DOE=20°，
故答案為20°.
【點(diǎn)睛】本題考查了余角、對頂角的定義和性質(zhì)，熟練掌握兩角互余與對頂角的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4．如圖，直線相交于點(diǎn)O，，且，則______．
【答案】53°
【分析】
根據(jù)∠2=180°－∠COE－∠1，可得出答案．
【詳解】
解：由題意得∠2=180°－∠COE－∠1=180°－90°－37°=53°．
故答案為：53°．
【點(diǎn)睛】
本題考查平角、直角的定義和幾何圖形中角的計(jì)算，能識別∠AOB是平角且它等于∠1、∠2和∠COE三個(gè)角之和是解題關(guān)鍵．
5．如圖，計(jì)劃在河邊建一水廠，可過C點(diǎn)作CD⊥AB于D點(diǎn)．在D點(diǎn)建水廠，可使水廠到村莊C的路程最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是________．
【答案】垂線段最短
【分析】
根據(jù)垂線段最短解釋即可.
【詳解】
由作法可知，CD是點(diǎn)C到AB的垂線段，所以這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是：垂線段最短.
故答案為垂線段最短.
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用，熟記垂線段最短是解答此題的關(guān)鍵.
6．如圖，直線AB，AB相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC.若∠EOA∶∠EOD＝1∶3，則∠BOD＝______°.
【答案】36
【分析】
根據(jù)對頂角和角平分線定義、已知得出∠EOA：∠EOD：∠BOD=1：3：1，根據(jù)∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°求出即可．
【詳解】
解：∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠AOE，
∴∠DOB=∠AOC=∠AOE，
∵∠EOA：∠EOD=1：3，
∴∠EOA：∠EOD：∠BOD=1：3：1，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，
∴∠BOD=×180°=36°，
故答案為36．
【點(diǎn)睛】
本題考查了對頂角、角平分線定義等知識點(diǎn)，能根據(jù)已知求∠EOA：∠EOD：∠BOD=1：3：1是解此題的關(guān)鍵．
7．如圖，已知直線和相交于點(diǎn)，是直角，平分，，則的大小為__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)直角的定義可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，然后根據(jù)∠AOC=∠AOF-∠COF求出∠AOC，再根據(jù)對頂角相等解答．
【詳解】
∵∠COE是直角，
∴∠COE=90°，
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-24°=66°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠FOE=66°，
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=66°-24°=42°，
∴∠BOD=∠AOC=42°．
故答案為42°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，兩直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，
（1）求∠COE；（2）若OF⊥OE，求∠COF．
【答案】（1）145°；（2）125°．
【詳解】
試題分析：（1）首先依據(jù)∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°可求得∠AOC、∠AOD的度數(shù)，然后可求得∠BOD的度數(shù)，依據(jù)角平分線的定義可求得∠DOE的度數(shù)，最后可求得∠COE的度數(shù)；
（2）先求得∠FOD的度數(shù)，然后依據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．
試題解析：解：（1）∵∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，∴∠BOD=70°．∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，∴∠COE=180°﹣35°=145°．
（2）∵∠DOE=35°，OF⊥OE，∴∠FOD=55°，∴∠FOC=180°﹣55°=125°．
點(diǎn)睛：本題主要考查的是角平分線的定義、對頂角、鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE
（1）判斷OF與OD的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數(shù)．
【答案】（1）OF⊥OD，證明詳見解析；（2）∠EOF＝60°．
【分析】
（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝∠AOE、∠EOD＝∠EOB，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得出∠AOE+∠EOB＝180°，進(jìn)而可得出∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可證出OF⊥OD；
（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對頂角相等，可求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度數(shù)以及∠EOF＝∠AOE，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)結(jié)合∠EOF＝∠AOE，可求出∠EOF的度數(shù)．
【詳解】
（1）OF⊥OD．
證明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠FOE＝∠AOE，∠EOD＝∠EOB．
∵∠AOE+∠EOB＝180°，
∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝（∠AOE+∠EOB）＝90°．
∴OF⊥OD．
（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD：∠AOD＝1：5．
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝∠AOE．
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝60°．
【點(diǎn)睛】
此題考查對頂角，鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)結(jié)合角平分線的定義找出∠FOD=90°；（2）通過比例關(guān)系結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出∠BOD的度數(shù)．
3．如圖，與交于點(diǎn)，，，若，求的度數(shù)．
解：，
，
，
又，
， ，
，
，
．
【答案】，，，，，，，，
【分析】
據(jù)垂直定義，結(jié)合及圖形依次作答．
【詳解】
，
，
，
又，
，，
，
，
．
故答案為：，，，，，，，，．
【點(diǎn)睛】
考查垂直定義、角的和差等知識點(diǎn)，熟悉相關(guān)定義并能結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算是關(guān)鍵．
4．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度數(shù)；
（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度數(shù)；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，請直接寫出∠AOC和∠BOF的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）
【答案】（1）∠BOF=33°；（2）∠AOC=72°；(3) ∠AOC=2x=（）°﹣α°，∠BOF=（）°+α°．
【詳解】
試題分析：
（1）由∠AOC=76°易得∠BOD=76°，結(jié)合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，結(jié)合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度數(shù)；
（2）設(shè)∠BOE=x，由OE平分∠BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，結(jié)合∠BOF=36°，OF平均∠EOF可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度數(shù)；
（3）設(shè)∠BOE=x，則由已知條件易得∠AOC=2x，∠BOF=90°-x，這樣結(jié)合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.
試題解析：
（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=×76°=38°．
∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠COE=×142°=71°，
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，
∴設(shè)∠BOE=x，則∠DOE=x，
故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，
則∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，
解得：x=36°，
故∠AOC=72°．
（3）設(shè)∠BOE=x，
∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，
∴∠DOE=x，∠COA=2x，
∴∠BOC=180°-2x，
∴∠COE=180°-x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=90°-x，
∴∠BOF=90°﹣x，
∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，
∴|2x﹣（90°﹣x）|=α°，
解得：x=（）°+α°或x=（）°﹣α°，
當(dāng)x=（）°+α°時(shí)，
∠AOC=2x=（）°+α°，
∠BOF=90°﹣x=（）°﹣α°；
當(dāng)x=（）°﹣α°時(shí)，
∠AOC=2x=（）°﹣α°，
∠BOF=90°﹣x=（）°+α°．
5．已知點(diǎn)A，B，O在一條直線上，以點(diǎn)O為端點(diǎn)在直線AB的同一側(cè)作射線，，使．
（1）如圖①，若平分，求的度數(shù)；
（2）如圖②，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動到某個(gè)位置時(shí)，使得所在射線把分成兩個(gè)角．
①若，求的度數(shù)；
②若（n為正整數(shù)），直接用含n的代數(shù)式表示．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）依據(jù)角平分線的定義可求得，再依據(jù)角的和差依次可求得和，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論；
（2）①根據(jù)角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根據(jù)比例關(guān)系可得，最后依據(jù)角的和差和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論；
②根據(jù)角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根據(jù)比例關(guān)系可得，最后依據(jù)角的和差和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵，
∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，
∴∠EOC=∠BOD，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，
∴∠EOC=∠BOD，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查鄰補(bǔ)角的計(jì)算，角的和差，角平分線的有關(guān)計(jì)算．能正確識圖，利用角的和差求得相應(yīng)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．課程標(biāo)準(zhǔn)
1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對頂角概念，掌握對頂角的性質(zhì)；
2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；
3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會度量點(diǎn)到直線的距離；
4.能依據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡單的計(jì)算.
角的名稱
特 征
性 質(zhì)
相 同 點(diǎn)
不 同 點(diǎn)
對頂角
①兩條直線相交形成的角；
②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；
③沒有公共邊.
對頂角相等.
①都是兩條直線相交而成的角；
②都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；
③都是成對出現(xiàn)的.
①有無公共邊；
②兩直線相交時(shí)，對頂角只有2對；鄰補(bǔ)角有4對.
鄰補(bǔ)角
①兩條直線相交而成；
②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；
③有一條公共邊.
鄰補(bǔ)角互補(bǔ).

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