1．了解立方根的概念，會用根號表示數(shù)的立方根．
2．了解開方與乘方互為逆運算，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根．
考點精講
考點1：求一個數(shù)的立方根
典例：（2023春·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，求的立方根．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了算術(shù)平方根及完全平方式的非負(fù)性，有理數(shù)的乘方，立方根的概念，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握非負(fù)性與相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）下列說法不正確的是（ ）
A．25的平方根是B．是81的一個平方根
C．4的算術(shù)平方根是D．的立方根是
2．(2023秋·重慶萬州·八年級重慶市萬州新田中學(xué)?？计谥校┮阎鷶?shù)式與是同類項，那么的值為（ ）
A．B．1C．D．0
3．（2023春·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）的立方根為（ ）
A．B．
C．2D．4
4．（2023秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學(xué)校校考期末）下列說法不正確的是（ ）
A．的平方根是B．是的一個平方根
C．的算術(shù)平方根是0.4D．的立方根是
6．（2023秋·四川內(nèi)江·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中運算正確的是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）的立方根是（ ）
A．B．C．D．沒有意義
8．(2023春·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一個正方體的體積擴大為原來的n倍，它的棱長變?yōu)樵瓉淼模? ）
A．倍B．倍C．3n倍D．n3倍
9．(2023秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）下列計算，錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023秋·山東棗莊·八年級滕州市西崗鎮(zhèn)西崗中學(xué)校考期末）下列說法中，正確的個數(shù)是（ ）
的立方根是；
的算術(shù)平方根是；
的立方根是；
的平方根是．
A．B．C．D．
11．(2023秋·四川廣元·七年級?？计谥校┤?，則_____．
12．(2023秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）己知a是絕對值最小的數(shù)，則______．
13．(2023秋·甘肅天水·八年級校考階段練習(xí)）的立方根是__________．
14．(2023春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）的立方根是______．
考點2：平方根和立方根的綜合應(yīng)用
典例：(2023秋·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）已知的立方根是4，的算術(shù)平方根是5，c是9的算術(shù)平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求的平方根．
方法或規(guī)律點撥
本題考查平方根，算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握平方根：一個數(shù)的平方是，叫做的平方根；算術(shù)平方根：一個非負(fù)數(shù)的平方是，叫做的算術(shù)平方根；立方根：一個數(shù)的立方是，叫做的立方根，是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2023春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的立方根為，則的算術(shù)平方根是( )
A．B．C．D．
2．(2023秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期中）已知的算術(shù)平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，則和分別是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023秋·吉林長春·八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）若是的算術(shù)平方根，是的立方根，則的值為__________．
4．(2023秋·山東威?！て吣昙壭？茧A段練習(xí)）如果a是100的算術(shù)平方根，b是125的立方根，的平方根是_____．
5．(2023秋·湖南永州·八年級校考期中）已知的算術(shù)平方根是6，的立方根是5，則的平方根為___________．
6．(2023秋·吉林長春·八年級長春市第二實驗中學(xué)?？计谀┮阎钠椒礁?，的立方根是，求的平方根
7．(2023秋·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期中）一個正數(shù)的算術(shù)平方根為，它的平方根為，求這個正數(shù)的立方根．
8．(2023秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）已知的立方根是，的算術(shù)平方根是，求的值．
9．(2023秋·山東棗莊·八年級校考階段練習(xí)）己知的平方根為，的立方根為2，求的算術(shù)平方根．
10．(2023秋·廣東佛山·八年級大瀝中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．
(1)求，，的值；
(2)求多項式：．
11．(2023秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知4是的算術(shù)平方根，的立方根為．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
12．(2023秋·江蘇無錫·八年級無錫市天一實驗學(xué)校校考期中）（1）已知的算術(shù)平方根是2，的立方根是2，求a、b的值；
（2）已知一個正數(shù)x的平方根分別是和，求x的值．
13．(2023·全國·七年級專題練習(xí)）本學(xué)期第六章《實數(shù)》中學(xué)習(xí)了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容：
【類比探索】（1）探索定義：填寫下表
類比平方根和立方根，給四次方根下定義：______．
（2）探究性質(zhì)：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④______（填“有”或 “沒有”）四次方根．
類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：______；
【拓展應(yīng)用】（1）______；（2）______；（3）比較大小：______．
考點3：利用立方根的性質(zhì)解方程
典例：(2023春·貴州遵義·七年級?？茧A段練習(xí)）解方程：
(1)
(2)
方法或規(guī)律點撥
本題考查利用平方根和立方根的定義解方程，掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2023秋·山西運城·八年級?？茧A段練習(xí)）求未知數(shù)x的值： ．
2．(2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
3．(2023秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）求值
(1)
(2)
4．(2023·全國·七年級專題練習(xí)）解方程：
(1)
(2)
5．(2023秋·遼寧阜新·八年級?？茧A段練習(xí)）求下列各式中的x．
(1)
(2)
6．（2023秋·遼寧阜新·八年級校考階段練習(xí)）解方程：
(1)；
(2)．
7．（2023秋·陜西西安·八年級西安益新中學(xué)校考階段練習(xí)）解方程：
(1)
(2)
(3)
8．(2023春·福建莆田·七年級?？计谥校┙庀铝蟹匠?br>(1)．
(2)．
9．(2023春·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學(xué)校考階段練習(xí)）解方程：
(1)
(2)
考點4：立方根的實際應(yīng)用
典例：某地氣象資料表明，當(dāng)?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間t（h）可以用公式來估計，其中d（km）是雷雨區(qū)域的直徑．
（1）如果雷雨區(qū)域的直徑為6km，那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間？（結(jié)果精確到0.1h）
（2）如果一場雷雨持續(xù)了1h，那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是多少？（結(jié)果精確到0.01km）
方法或規(guī)律點撥
本題主要考查了算術(shù)平方根，立方根的應(yīng)用，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2023秋·吉林長春·八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）一個正方體的體積是，則它的棱長為（ ）
A．B．C．D．
2．(2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級校考期中）一個正方體的體積是 ，則它的表面積是（ ）
A．96 B．64 C．32D．16
3．(2023春·安徽六安·七年級統(tǒng)考期中）如果一個正方體的體積變?yōu)樵瓉淼?4倍，那么它的棱長增加為原來的多少倍?（ ）
A．3B．4C．6D．8
4．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）隨著張吉懷高鐵在2021年建成通車，昔日飽受交通制約的湘西州，也迎來了便捷的現(xiàn)代化快速交通．在湘西州花垣縣，還有一個現(xiàn)代化的交通大工程——湘西機場正在建設(shè)．建設(shè)機場多余的土方呈圓錐形，土方的底面直徑為100米，高度為50米．現(xiàn)在用卡車將土方運送到15公里外的垃圾池進(jìn)行填平，已知垃圾池是規(guī)則的立方體，并且土方剛好填滿垃圾池．請問垃圾池的底面邊長大約是多少米（π取3）（ ）
A．50B．60C．70D．40
5．(2023秋·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）正方體的體積是正方體的體積的倍，那么正方體的棱長是正方體的棱長的 _____倍．
6．(2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）底面積為，高為19cm的圓柱形容器內(nèi)有若干水，水位高度為，現(xiàn)將一個邊長為6cm的立方體鐵塊水平放入容器底部，立方體完全沉沒入水中（如圖甲）．再將一個邊長為acm的立方體鐵塊水平放在第一個立方體上面，若第二個立方體只有一半沒入水中（如圖乙）．此時水位高度為，若，則___________cm．
7．(2023春·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有兩個大小不等的正方體茶葉罐，大正方體茶葉罐的體積為，小正方體茶葉罐的體積為，將其疊放在一起放在地面上（如圖），則這兩個茶葉罐的最高點到地面的距離是________．
8．(2023秋·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）“魔方”（如圖）是一種立方體形狀的益智元具，它由三層完全相同的小立方塊組成，如果“魔方”的體積為cm3，那么組成它的每個小立方塊的棱長為多少？
9．(2023秋·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在一個長、寬、高分別為8，4，2的長方體容器中裝滿水，將容器中的水全部倒入一個正方體容器中，恰好倒?jié)M（兩容器的厚度忽略不計），求此正方體容器的棱長．
10．(2023秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）李叔叔將8個正方體魔方，放入到一個容積為的正方體紙箱中，恰好填滿．求這個魔方的棱長．
11．(2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期中）王老師為班級圖書角購買了四本同一型號的字典，這種字典的長與寬相等．班長將這4本字典放入一個容積為512的正方體禮盒里，恰好填滿．求這一本字典的厚度．
12．(2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出：39．你知道他是怎么快速準(zhǔn)確地計算出來的嗎？請研究解決下列問題：
(1)已知，且x為整數(shù)．
∵，
∴x一定是一個兩位數(shù)；
∵10648的個位數(shù)字是8，
∴x的個位數(shù)字一定是______；
劃去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位數(shù)字一定是______；
∴______．
(2)，且y為整數(shù)，按照以上思考方法，請你求出y的值．
13．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）小明在學(xué)完立方根后研究了如下問題：如何求出的立方根？他進(jìn)行了如下步驟：
①首先進(jìn)行了估算：因為，，所以是兩位數(shù)；
②其次觀察了立方數(shù)：；猜想的個位數(shù)字是7；
③接著將往前移動3位小數(shù)點后約為50，因為，，所以的十位數(shù)字應(yīng)為3，于是猜想，驗證得：的立方根是；
④最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)”得到，同時發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立．
請你根據(jù)小明的方法和結(jié)論，完成下列問題：
(1)= ；
(2)若，則 ；
(3)已知，且與互為相反數(shù)，求的值．
能力提升
一、單選題（每題3分）
1．(2023秋·浙江麗水·七年級統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023春·云南昆明·七年級?？计谥校┫铝杏嬎阒姓_的是（ ）．
A．B．C．D．
3．(2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）下列說法不正確的是（ ）
A．225的平方根是B．的立方根是
C．0的算術(shù)平方根是0D．125的立方根是
4．(2023秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）小明利用計算器得到下表中的數(shù)據(jù)：
那么在（ ）A．9～9.5之間B．9.5～10之間C．90～95之間D．95～100之間
5．(2023秋·浙江寧波·七年級浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)校考期中）一個長、寬，高分別為50、8、20的長方體鐵塊鍛造成一個立方體鐵塊，則鍛造成的立方體鐵塊的棱長是（ ）
A．20B．200C．40D．
6．(2023秋·遼寧沈陽·九年級校考階段練習(xí)）類比平方根和立方根，我們定義n次方根為：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整數(shù)．例如：因為，所以±3叫81的四次方根，記作：，因為，所以叫的五次方根，記作：，下列說法不正確的是（ ）
A．負(fù)數(shù)a沒有偶數(shù)次方根B．任何實數(shù)a都有奇數(shù)次方根
C． D．
二、填空題（每題3分）
7．(2023秋·福建泉州·八年級校考期末）已知與互為相反數(shù)，則________．
8．(2023秋·江蘇·八年級期中）如果，則__．
9．（2023春·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）若，，那么________．
10．(2023秋·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期中）定義新運算：對任意實數(shù)a、b，都有，例如，，那么=________．
11．(2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）依據(jù)圖中呈現(xiàn)的運算關(guān)系，
可知：=___________；=___________．
12．(2023春·廣東江門·七年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校校考階段練習(xí)）已知a，b為兩個相連的整數(shù)，滿足，則的立方根為_________．
三、解答題（13題5分，14題6分，15題7分）
13．（2023春·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）求下列各式中的x的值：
(1)；
(2)
14．(2023秋·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考期中）計算
(1)
(2)
15．(2023秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）已知的算術(shù)平方根是1，的平方根是，是的立方根，求的平方根．
平方根
立方根
定義
一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性質(zhì)
一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)：0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．
正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．
1
16
81
x
8
8.5
9
9.5
10
64
72.25
81
90.25
100
512
614.125
729
857.375
1000
專題6.2 立方根
目標(biāo)導(dǎo)航
1．了解立方根的概念，會用根號表示數(shù)的立方根．
2．了解開方與乘方互為逆運算，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根．
考點精講
考點1：求一個數(shù)的立方根
典例：（2023春·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，求的立方根．
【答案】
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和完全平方的非負(fù)性求出，，帶入求值即可得到答案．
【詳解】解：，
，，
，，
，
的立方根為 ．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了算術(shù)平方根及完全平方式的非負(fù)性，有理數(shù)的乘方，立方根的概念，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握非負(fù)性與相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）下列說法不正確的是（ ）
A．25的平方根是B．是81的一個平方根
C．4的算術(shù)平方根是D．的立方根是
【答案】C
【分析】根據(jù)平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義進(jìn)行判斷便可．
【詳解】解：A.25的平方根是，說法正確，選項不符合題意；
B．是81的一個平方根，說法正確，選項不符合題意；
C.4的算術(shù)平方根是2，不是，說法錯誤，選項符合題意；
D．的立方根是，說法正確，選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義，關(guān)鍵是熟記和正確理解這些概念．
2．(2023秋·重慶萬州·八年級重慶市萬州新田中學(xué)?？计谥校┮阎鷶?shù)式與是同類項，那么的值為（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】A
【分析】根據(jù)代數(shù)式與是同類項，求出m，n的值，再計算即可求解．
【詳解】∵代數(shù)式與是同類項，
∴，
∴，
∴
故選A．
【點睛】本題考查同類項和立方根的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)同類項和立方根的定義進(jìn)行求解．
3．（2023春·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）的立方根為（ ）
A．B．
C．2D．4
【答案】A
【分析】如果一個數(shù)的立方等于，那么是的立方根，根據(jù)此定義求解即可．
【詳解】∵的立方等于，
∴的立方根等于，
故選：A．
【點睛】本題考查了立方根的定義，求一個數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的立方，由開立方和立方是互逆運算，用立方的方法求這個數(shù)的立方根，注意一個數(shù)的立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號相同，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、平方根和立方根的定義求解即可．
【詳解】解：A、，此選項錯誤，不符合題意；
B、，此選項正確，符合題意；
C、，此選項錯誤，不符合題意；
D、，此選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根和立方根的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2023秋·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學(xué)校?？计谀┫铝姓f法不正確的是（ ）
A．的平方根是B．是的一個平方根
C．的算術(shù)平方根是0.4D．的立方根是
【答案】D
【分析】根據(jù)平方根的意義、算術(shù)平方根的意義、立方根的意義，判斷即可；
【詳解】解：A．的平方根是，選項正確，不符合題意；
B．是的一個平方根，選項正確，不符合題意；
C．的算術(shù)平方根是，選項正確，不符合題意；
D．的立方根是，選項錯誤，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查的是平方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握平方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋·四川內(nèi)江·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中運算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根及立方根定義計算即可解答．
【詳解】解：A. ，故本選項錯誤；
B. ，故本選項正確；
C. ，故本選項錯誤；
D. ，故本選項錯誤．
故選：B．
【點睛】本題考查了立方根，算術(shù)平方根及立方根定義，掌握平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵．
7．(2023秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）的立方根是（ ）
A．B．C．D．沒有意義
【答案】C
【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可．
【詳解】解：∵，
∴的立方根是，
故選：C．
【點睛】本題考查立方根，會利用立方根的定義求一個數(shù)的立方根是解答的關(guān)鍵．
8．(2023春·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一個正方體的體積擴大為原來的n倍，它的棱長變?yōu)樵瓉淼模? ）
A．倍B．倍C．3n倍D．n3倍
【答案】A
【分析】設(shè)正方體的原體積為1，則此時原棱長為1，再由擴大后的體積求出擴大后的棱長，然后比較即可．
【詳解】設(shè)正方體的原體積為1，
根據(jù)正方體體積公式可知此時原棱長為1，
體積擴大為原來的n倍后，體積為n，
此時棱長為，
棱長變?yōu)樵瓉淼模?br>故選A．
【點睛】本題考查了正方體的體積公式和求一個數(shù)的立方根，解此類題時可先對一個未知量進(jìn)行假設(shè)，從而簡化過程．
9．(2023秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）下列計算，錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接利用立方根以及算術(shù)平方根的定義計算得出答案．
【詳解】解：A．，原計算錯誤，故該選項符合題意；
B．，正確，故該選項不合題意；
C．，正確，故該選項不合題意；
D．，正確，故該選項不合題意；
故選：A．
【點睛】此題主要考查了立方根以及算術(shù)平方根的定義，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．(2023秋·山東棗莊·八年級滕州市西崗鎮(zhèn)西崗中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中，正確的個數(shù)是（ ）
的立方根是；
的算術(shù)平方根是；
的立方根是；
的平方根是．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義逐個進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：的立方根是，因此正確；
的算術(shù)平方根是，因此不正確；
的立方根是，因此正確；
沒有平方根，因此不正確；
因此正確的結(jié)論有：，共個，
故選：B．
【點睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根、立方根，掌握平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義是正確解答的前提．
11．(2023秋·四川廣元·七年級校考期中）若，則_____．
【答案】或5##5或
【分析】根據(jù)平方根和立方根的定義即可求出a，b的值，進(jìn)一步計算即可．
【詳解】解：因為，
所以，，
所以或．
故答案為：或5．
【點睛】此題主要考查了平方根和立方根，能夠根據(jù)平方根和立方根的定義正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．
12．(2023秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）己知a是絕對值最小的數(shù)，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)絕對值的意義得到，再由0的立方根是0求解即可．
【詳解】解：∵絕對值最小的數(shù)是0，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查絕對值的意義、立方根，正確得出a值是解答的關(guān)鍵．
13．(2023秋·甘肅天水·八年級校考階段練習(xí)）的立方根是__________．
【答案】2
【分析】利用開方運算，進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：，
∴的立方根是：；
故答案為：．
【點睛】本題考查求一個數(shù)的立方根．熟練掌握開方運算，是解題的關(guān)鍵．注意先化簡，再計算．
14．(2023春·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）的立方根是______．
【答案】2
【分析】先求出，再根據(jù)立方根的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：，的立方根為，
故答案為：
【點睛】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
考點2：平方根和立方根的綜合應(yīng)用
典例：(2023秋·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測）已知的立方根是4，的算術(shù)平方根是5，c是9的算術(shù)平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)立方根的概念和算術(shù)平方根的概念進(jìn)行求解即可；
（2）先代值計算，再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵，∴，∴；
∵，∴，∵，∴；
∵，∴；
（2）把：代入得：
，
∵，
∴的平方根是：．
方法或規(guī)律點撥
本題考查平方根，算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握平方根：一個數(shù)的平方是，叫做的平方根；算術(shù)平方根：一個非負(fù)數(shù)的平方是，叫做的算術(shù)平方根；立方根：一個數(shù)的立方是，叫做的立方根，是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2023春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的立方根為，則的算術(shù)平方根是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)立方根的定義求出的值，再代入求出的值，最后由算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：的立方根為，
，
解得，
，
的算術(shù)平方根為，
故選：C．
【點睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根、立方根，理解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義是正確解答的前提．
2．(2023秋·浙江金華·七年級統(tǒng)考期中）已知的算術(shù)平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，則和分別是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，可得到的值，由此可得到與和與的關(guān)系
【詳解】解：∵的算術(shù)平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，
∴，

∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，得出與和與的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．(2023秋·吉林長春·八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤羰堑乃阈g(shù)平方根，是的立方根，則的值為__________．
【答案】##
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的運算求得；根據(jù)立方根運算求得，進(jìn)而得出結(jié)果．
【詳解】解：是即4的算術(shù)平方根，
，
是的立方根，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查平方根與立方根運算，讀懂題意，準(zhǔn)確表示出與值是解決問題的關(guān)鍵．
4．(2023秋·山東威?！て吣昙壭？茧A段練習(xí)）如果a是100的算術(shù)平方根，b是125的立方根，的平方根是_____．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，求得、，再根據(jù)算術(shù)平方根和平方根求解即可．
【詳解】解：∵a是100的算術(shù)平方根，b為125的立方根，
∴，，
∴，
∴，
∴的平方根為．
故答案為：．
【點睛】此題考查了平方根、算術(shù)平方根以及立方根的求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根、算術(shù)平方根以及立方根的運算．
5．(2023秋·湖南永州·八年級校考期中）已知的算術(shù)平方根是6，的立方根是5，則的平方根為___________．
【答案】
【分析】根據(jù)的算術(shù)平方根是6，的立方根是5，可得方程組，①+②再化簡得到的值，然后求平方根即可得到答案．
【詳解】解：∵的算術(shù)平方根是6，的立方根是5
∴
∴①+②：
∴=16
∴的平方根為
故答案為：．
【點睛】本題考查了平方根和立方根的定義，平方根和立方根是解題關(guān)鍵．易錯點：正數(shù)有兩個平方根，不能只寫一個平方根．
6．(2023秋·吉林長春·八年級長春市第二實驗中學(xué)?？计谀┮阎钠椒礁牵牧⒎礁?，求的平方根
【答案】
【分析】根據(jù)已知得出，，求出，，求出的值，最后求出的平方根即可．
【詳解】解：的平方根是，的立方根是，
，，
，，
，
即的平方根是 ．
【點睛】本題考查了平方根，立方根的應(yīng)用，掌握平方根與立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
7．(2023秋·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期中）一個正數(shù)的算術(shù)平方根為，它的平方根為，求這個正數(shù)的立方根．
【答案】這個正數(shù)的立方根為或1．
【分析】分情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，求出m的值，即可求出這個正數(shù)及其立方根．
【詳解】解：根據(jù)題意，得
是與兩數(shù)中的一個．
①當(dāng)時，解得，則，
所以這個正數(shù)為4，它的立方根為；
②當(dāng)，解得，則，
所以這個正數(shù)為1，它的立方根為1．
綜上可知，這個正數(shù)的立方根為或1．
【點睛】本題考查算術(shù)平方根，平方根，立方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根，平方根，立方根．
8．(2023秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）已知的立方根是，的算術(shù)平方根是，求的值．
【答案】4
【分析】根據(jù)立方根與算術(shù)平方根的定義求出，的值即可．
【詳解】解：的立方根是，的算術(shù)平方根是，
，，
，，
．
【點睛】本題考查的是立方根與算術(shù)平方根，熟知立方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
9．(2023秋·山東棗莊·八年級校考階段練習(xí)）己知的平方根為，的立方根為2，求的算術(shù)平方根．
【答案】3
【分析】先根據(jù)平方根和立方根的定義列出二元一次方程組，然后求得a、b的值，最后代入求的算術(shù)平方根即可．
【詳解】解：由題意得：
解得
則，，
即的算術(shù)平方根為3．
【點睛】本題考查了平方根、立方根的定義，靈活運用平方根、立方根的定義是解答本題的關(guān)鍵．
10．(2023秋·廣東佛山·八年級大瀝中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．
(1)求，，的值；
(2)求多項式：．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根的性質(zhì)，列式子，求解即可；
（2）將，，的值代入求解即可．
【詳解】（1）解：由2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根可得
，，
解得，，；
（2）解：將，，代入，可得
．
【點睛】此題考查了平方根、立方根的性質(zhì)以及有理數(shù)的有關(guān)運算，解題的關(guān)鍵是理解平方根、立方根的性質(zhì)，正確求得，，的值．
11．(2023秋·江蘇蘇州·八年級校考階段練習(xí)）已知4是的算術(shù)平方根，的立方根為．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義，得到，，求出和的值即可；
（2）把和的值代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值，根據(jù)平方根的定義即可解答．
【詳解】（1）解：∵4是的算術(shù)平方根，
∴，
∴，
∵的立方根為，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
64的平方根為，
∴的平方根為．
【點睛】此題主要考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根，解題關(guān)鍵是熟記平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義．
12．(2023秋·江蘇無錫·八年級無錫市天一實驗學(xué)校?？计谥校?）已知的算術(shù)平方根是2，的立方根是2，求a、b的值；
（2）已知一個正數(shù)x的平方根分別是和，求x的值．
【答案】（1）；（2）x的值為9．
【分析】（1）利用算術(shù)平方根和立方根的概念即可求得a和b的值；
（2）根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根且它們互為相反數(shù)，列方程求解得到a的值，即可確定正數(shù)x的值．
【詳解】解：（1）由題意可得：
，
解得：；
（2）由題意可得：
，
解得：，
∴x的值為9．
【點睛】本題考查算術(shù)平方根和立方根，理解算術(shù)平方根，平方根，立方根的概念列出相應(yīng)的方程是解題關(guān)鍵．
13．(2023·全國·七年級專題練習(xí)）本學(xué)期第六章《實數(shù)》中學(xué)習(xí)了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容：
【類比探索】（1）探索定義：填寫下表
類比平方根和立方根，給四次方根下定義：______．
（2）探究性質(zhì)：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④______（填“有”或 “沒有”）四次方根．
類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：______；
【拓展應(yīng)用】（1）______；（2）______；（3）比較大小：______．
【答案】【類比探索】（1）依次為：，，；一般地，如果一個數(shù)x的四次方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的四次方根；（2）①；②；③0；④沒有；一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒有四次方根；【拓展應(yīng)用】（1）；（2）；（3）?．
【分析】類比探索：（1）類比平方根和立方根給出四次方根的定義，并進(jìn)行計算填表；
（2）根據(jù)四次方根的定義進(jìn)行計算填空，歸納出四次方根的性質(zhì)即可；
拓展應(yīng)用：根據(jù)定義求一個數(shù)的四次方根，通過將數(shù)進(jìn)行四次方以后進(jìn)行比較大小即可．
【詳解】類比探索
（1），，；表格中數(shù)據(jù)依次為：，，；
類比平方根和立方根的定義可得：一般地，如果一個數(shù)x的四次方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的四次方根；
（2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④沒有四次方根；
類比平方根和立方根的性質(zhì)可得：一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒有四次方根；
拓展應(yīng)用
（1）；（2）；
（3）∵，∴?．
【點睛】本題考查類比探究類問題．類比平方根和立方根得出四次方根的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點3：利用立方根的性質(zhì)解方程
典例：(2023春·貴州遵義·七年級校考階段練習(xí)）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）先左右兩邊同時乘以3，再根據(jù)立方根的定義開立方得到，從而得解；
（2）先將移項合并數(shù)字得，再根據(jù)平方根的定義開方得到，從而得解．
（1）解：兩邊同時乘以3得：，
根據(jù)立方根的定義開立方得：，
解得：．
（2）移項，合并數(shù)字得：，
根據(jù)平方根的定義開方得：，
解得： 或．
方法或規(guī)律點撥
本題考查利用平方根和立方根的定義解方程，掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2023秋·山西運城·八年級?？茧A段練習(xí)）求未知數(shù)x的值： ．
【答案】
【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可．
【詳解】 ，
，
．
【點睛】本題考查立方根的定義，熟悉掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
2．(2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根據(jù)平方根的定義即可得到答案；
（2）根據(jù)立方根的定義即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，
；
（2）解：
，
．
【點睛】本題主要考查了平方根、立方根，熟練掌握平方根的定義、立方根的定義是解題關(guān)鍵．
3．(2023秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）求值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)立方根的定義即可進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)平方根的定義即可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
，
．
（2）解：∵，，
∴或，
解得：．
【點睛】本題主要考查了根據(jù)平方根和立方根的定義解方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根和立方根的定義，注意一個正數(shù)有兩個立方根．
4．(2023·全國·七年級專題練習(xí)）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）方程兩邊直接開平方，得到兩個一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）將方程變形為，然后利用立方根的定義即可求解．
【詳解】（1）解：
開平方得，，
即或，
解得或；
（2）解：
移項得，，
方程兩邊同除以3，得，
∴，
解得．
【點睛】本題考查了利用平方根和立方根解方程，理解掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
5．(2023秋·遼寧阜新·八年級校考階段練習(xí)）求下列各式中的x．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先將方程變形，再根據(jù)平方根的定義去掉括號，得到兩個一元一次方程，求解即可；
（2）先將方程變形，再開立方求解即可．
【詳解】（1）解：
∴或
解得：，；
（2）
解得：.
【點睛】本題考查了利用平方根和立方根的概念解方程，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋·遼寧阜新·八年級?？茧A段練習(xí)）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，可得：，據(jù)此求出的值是多少即可；
（2）根據(jù)立方根的含義和求法，據(jù)此求出的值是多少即可．
（1）
解：，
，
或，
解得：或．
（2）
解：，
，
解得：．
【點睛】本題主要考查了平方根和立方根的應(yīng)用，熟練掌握平方根和立方根的定義，是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋·陜西西安·八年級西安益新中學(xué)校考階段練習(xí)）解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)變形后直接利用平方根的性質(zhì)求解；
(2)移項變性后，利用平方根的性質(zhì)求解；
(3)移項變形后，利用立方根的性質(zhì)求解．
（1）
解：∵，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【點睛】本題考查了平方根和立方根，理解掌握平方根和立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．(2023春·福建莆田·七年級?？计谥校┙庀铝蟹匠?br>(1)．
(2)．
【答案】(1)x1＝﹣2，x2＝4
(2)x＝﹣1.8
【分析】（1）先系數(shù)化為1，再運用平方根的定義求解即可；
（2）移項，系數(shù)化為1，再運用立方根的定義求解即可．
（1）
，
系數(shù)化為1得（x﹣1）2＝9，
開平方得x﹣1＝±3，
解得x1＝﹣2，x2＝4．
（2）
，
∴，
開立方得，
解得x＝﹣1.8．
【點睛】本題主要考查了立方根和平方根，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
9．(2023春·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將方程化為，再利用平方根的定義即可求解；
（2）將方程變形為，然后利用立方根的定義即可求解．
【詳解】（1）解：，
方程兩邊同除以2，得，
解得；
（2）解：
方程兩邊同除以3，得，
∴，
解得．
【點睛】本題考查了平方根和立方根的定義，理解掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
考點4：立方根的實際應(yīng)用
典例：某地氣象資料表明，當(dāng)?shù)乩子瓿掷m(xù)的時間t（h）可以用公式來估計，其中d（km）是雷雨區(qū)域的直徑．
（1）如果雷雨區(qū)域的直徑為6km，那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間？（結(jié)果精確到0.1h）
（2）如果一場雷雨持續(xù)了1h，那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是多少？（結(jié)果精確到0.01km）
【答案】（1）0.5h；（2）9.65km
【分析】（1）根據(jù)，其中d=6km是雷雨區(qū)域的直徑，開算術(shù)平方，可得答案；
（2）根據(jù)，其中t=6h，是雷雨持續(xù)時間，開立方，可得答案；
【詳解】（1）．這場雷雨大約能持續(xù)0.5h．
（2）
方法或規(guī)律點撥
本題主要考查了算術(shù)平方根，立方根的應(yīng)用，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2023秋·吉林長春·八年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）一個正方體的體積是，則它的棱長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體體積的計算方法，利用立方根進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：∵，
∴若一個正方體的體積是，則它的棱長是，
故選B．
【點睛】本題考查了立方根，理解立方根的意義是正確解答的關(guān)鍵．
2．(2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┮粋€正方體的體積是 ，則它的表面積是（ ）
A．96 B．64 C．32D．16
【答案】A
【分析】設(shè)正方體的棱長為，根據(jù)題意可得，進(jìn)而求得的值，根據(jù)表面積等于，即可求解．
【詳解】解：設(shè)正方體的棱長為，根據(jù)題意可得，
，
表面積等于，
故選A．
【點睛】本題考查了立方根的應(yīng)用，求得正方體的棱長是解題的關(guān)鍵．
3．(2023春·安徽六安·七年級統(tǒng)考期中）如果一個正方體的體積變?yōu)樵瓉淼?4倍，那么它的棱長增加為原來的多少倍?（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體的體積計算公式和立方根的定義即可求解．
【詳解】解：設(shè)正方體原來的棱長為，則原來的體積為，
增大后的正方體的體積為，則增大后的正方體的棱長為，
所以正方體的棱長增加為原來的4倍．
故選B．
【點睛】此題主要考查了立方體的體積公式，解題關(guān)鍵是利用立方根的定義，準(zhǔn)確地求出新立方體的邊長，從而求出邊長之間的關(guān)系．
4．(2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）隨著張吉懷高鐵在2021年建成通車，昔日飽受交通制約的湘西州，也迎來了便捷的現(xiàn)代化快速交通．在湘西州花垣縣，還有一個現(xiàn)代化的交通大工程——湘西機場正在建設(shè)．建設(shè)機場多余的土方呈圓錐形，土方的底面直徑為100米，高度為50米．現(xiàn)在用卡車將土方運送到15公里外的垃圾池進(jìn)行填平，已知垃圾池是規(guī)則的立方體，并且土方剛好填滿垃圾池．請問垃圾池的底面邊長大約是多少米（π取3）（ ）
A．50B．60C．70D．40
【答案】A
【分析】根據(jù)題意得：垃圾池的體積等于圓錐形土方的體積，求出圓錐形土方的體積，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：垃圾池的體積等于圓錐形土方的體積，
，
∴垃圾池的底面邊長大約是米．
故選：A
【點睛】本題主要考查了立方根的應(yīng)用，明確題意，理解垃圾池的體積等于圓錐形土方的體積是解題的關(guān)鍵．
5．(2023秋·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）正方體的體積是正方體的體積的倍，那么正方體的棱長是正方體的棱長的 _____倍．
【答案】
【分析】設(shè)正方體的棱長是，正方體的棱長是，根據(jù)題意得出根據(jù)立方根的定義得出，即可求解．
【詳解】解：設(shè)正方體的棱長是，正方體的棱長是，
依題意得：
∴
即正方體的棱長是正方體的棱長的倍.
故答案為：
【點睛】本題考查了立方根的應(yīng)用，掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
6．(2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）底面積為，高為19cm的圓柱形容器內(nèi)有若干水，水位高度為，現(xiàn)將一個邊長為6cm的立方體鐵塊水平放入容器底部，立方體完全沉沒入水中（如圖甲）．再將一個邊長為acm的立方體鐵塊水平放在第一個立方體上面，若第二個立方體只有一半沒入水中（如圖乙）．此時水位高度為，若，則___________cm．
【答案】4
【分析】根據(jù)是兩個立方體放入水中后水位上升的高度，利用水位上升的高度等于浸沒在水中部分的立方體的體積÷圓柱體的底面積，列式進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：由題意得：
，
解得：；
故答案為：4．
【點睛】本題考查立方根的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是明確水位上升的高度等于水位上升的高度等于浸沒在水中部分的立方體的體積÷圓柱體的底面積．
7．(2023春·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有兩個大小不等的正方體茶葉罐，大正方體茶葉罐的體積為，小正方體茶葉罐的體積為，將其疊放在一起放在地面上（如圖），則這兩個茶葉罐的最高點到地面的距離是________．
【答案】15
【分析】直接利用立方根得出大正方體和小正方體的棱長進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵大正方體的體積為1000cm3，小正方體的體積為125cm3，
∴大立方體的棱長為10cm，小立方體的棱長為5cm，
∴這個物體的最高點A到地面的距離是：10+5=15（cm）．
故答案為：15．
【點睛】此題主要考查了立方根，正確得出各條棱長是解題的關(guān)鍵．
8．(2023秋·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）“魔方”（如圖）是一種立方體形狀的益智元具，它由三層完全相同的小立方塊組成，如果“魔方”的體積為cm3，那么組成它的每個小立方塊的棱長為多少？
【答案】每個小立方塊的棱長為2cm
【分析】設(shè)每個小立方塊的棱長為xcm，則大立方體的棱長為cm，正方體體積公式建立方程并求解即可．
【詳解】解：設(shè)每個小立方塊的棱長為xcm，則大立方體的棱長為cm，
∵“魔方”的體積為cm3，
∴，
，
，
，
答：每個小立方塊的棱長為2cm．
【點睛】本題考查了正方體體積公式、立方根的計算；掌握立方根正確求解方程是解題的關(guān)鍵．
9．(2023秋·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）在一個長、寬、高分別為8，4，2的長方體容器中裝滿水，將容器中的水全部倒入一個正方體容器中，恰好倒?jié)M（兩容器的厚度忽略不計），求此正方體容器的棱長．
【答案】4cm
【分析】根據(jù)長方體的體積計算可得結(jié)論；根據(jù)正方體的體積等于棱長的立方進(jìn)行開立方計算可得結(jié)論．
【詳解】解：由于裝滿水的長方體容器中的水，全部倒入正方體容器中，恰好倒?jié)M，
所以它們的體積相等，
而長方體容器的體積，
所以正方體容器的體積為64，
所以此正方體容器的棱長為．
【點睛】本題主要考查了立方根的概念的運用以及應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握立方根的應(yīng)用．
10．(2023秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）李叔叔將8個正方體魔方，放入到一個容積為的正方體紙箱中，恰好填滿．求這個魔方的棱長．
【答案】
【分析】先算出1個魔方的體積，然后根據(jù)體積公式算出魔方的棱長即可．
【詳解】解：1個魔方的體積為：．
則這個魔方的棱長為．
答：這個魔方的棱長為．
【點睛】本題主要考查了立方根的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方體的體積公式，準(zhǔn)確進(jìn)行計算．
11．(2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期中）王老師為班級圖書角購買了四本同一型號的字典，這種字典的長與寬相等．班長將這4本字典放入一個容積為512的正方體禮盒里，恰好填滿．求這一本字典的厚度．
【答案】一本字典的厚度為2．
【分析】先利用立方根的定義求得正方體禮盒的邊長，據(jù)此即可求得一本字典的厚度．
【詳解】解：∵正方體禮盒的容積為512，
∴正方體禮盒的邊長為=8()，
∴一本字典的厚度為8÷4=2()，
答：一本字典的厚度為2．
【點睛】本題考查了立方根的應(yīng)用，注意：一個正數(shù)有一個正的立方根．
12．(2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出：39．你知道他是怎么快速準(zhǔn)確地計算出來的嗎？請研究解決下列問題：
(1)已知，且x為整數(shù)．
∵，
∴x一定是一個兩位數(shù)；
∵10648的個位數(shù)字是8，
∴x的個位數(shù)字一定是______；
劃去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位數(shù)字一定是______；
∴______．
(2)，且y為整數(shù)，按照以上思考方法，請你求出y的值．
【答案】(1)2#，2#，22#
(2)
【分析】（1）根據(jù)立方根的定義和題意即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）中的方法計算書寫即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵，且x為整數(shù)．
∵，
∴x一定是一個兩位數(shù)；
∵10648的個位數(shù)字是8，
∴x的個位數(shù)字一定是2；
劃去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位數(shù)字一定是2；
∴22．
故答案為：2，2，22．
（2）∵，
∴y一定是兩位數(shù)；
∵614125的個位數(shù)字是5，
∴y的個位數(shù)字一定是5；
劃去614125后面的三位125得614，
∵，
∴y的十位數(shù)字一定是8；
∴．
【點睛】本題考查立方根，靈活運用立方根的計算是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）小明在學(xué)完立方根后研究了如下問題：如何求出的立方根？他進(jìn)行了如下步驟：
①首先進(jìn)行了估算：因為，，所以是兩位數(shù)；
②其次觀察了立方數(shù)：；猜想的個位數(shù)字是7；
③接著將往前移動3位小數(shù)點后約為50，因為，，所以的十位數(shù)字應(yīng)為3，于是猜想，驗證得：的立方根是；
④最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)”得到，同時發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立．
請你根據(jù)小明的方法和結(jié)論，完成下列問題：
(1)= ；
(2)若，則 ；
(3)已知，且與互為相反數(shù)，求的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)，；，；，
【分析】（1）根據(jù)題目中給定的方法進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)，進(jìn)行計算即可；
（3）根據(jù)立方根的性質(zhì)，立方根是本身的數(shù)為，進(jìn)行分類討論，再根據(jù)兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)，進(jìn)行計算即可．
【詳解】（1）解：因為，，所以是兩位數(shù)，
因為；猜想的個位數(shù)字是9，
接著將往前移動3位小數(shù)點后約為117，因為，所以的十位數(shù)字應(yīng)為4，于是猜想，驗證得：的立方根是；
最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)”得到；
（2）解：∵，
∴和 互為相反數(shù)，
∴，
∴；
故答案為：3．
（3）解：，即，
∴或1或
解得：或3或1
∵與互為相反數(shù)，即，
∴，即，
∴時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
【點睛】本題考查求一個負(fù)數(shù)的立方根，以及互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)．熟練掌握題目中給定的立方根的計算方法是解題的關(guān)鍵．
能力提升
一、單選題（每題3分）
1．(2023秋·浙江麗水·七年級統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方以及平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義逐項進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：A、，選項錯誤，不符合題意；
B、，選項正確，符合題意；
C、，選項錯誤，不符合題意；
D、，選項錯誤，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查乘方和開方運算．熟練掌握相關(guān)運算法則，是解題的關(guān)鍵．
2．(2023春·云南昆明·七年級?？计谥校┫铝杏嬎阒姓_的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依據(jù)算術(shù)平方根以及立方根的定義，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：A、，原計算錯誤，故該選項不符合題意；
B、，原計算錯誤，故該選項不符合題意；
C、沒有意義，故該選項不符合題意；
D、，正確，故該選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了算術(shù)平方根以及立方根的定義，熟練掌握算術(shù)平方根以及立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
3．(2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）下列說法不正確的是（ ）
A．225的平方根是B．的立方根是
C．0的算術(shù)平方根是0D．125的立方根是
【答案】D
【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義逐項進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：225的平方根是，故A選項正確，不合題意；
的立方根是，故B選項正確，不合題意；
0的算術(shù)平方根是0，故C選項正確，不合題意；
125的立方根是，故D選項錯誤，符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根、立方根的計算，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義．
4．(2023秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）小明利用計算器得到下表中的數(shù)據(jù)：
那么在（ ）A．9～9.5之間B．9.5～10之間C．90～95之間D．95～100之間
【答案】B
【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可知，即，由此可得的取值范圍．
【詳解】解：∵，，且，
∴，
故在9.5～10之間，
故選：B．
【點睛】本題考查立方根，平方根，能夠正確理解立方根的定義是正確解答的前提．
5．(2023秋·浙江寧波·七年級浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)?？计谥校┮粋€長、寬，高分別為50、8、20的長方體鐵塊鍛造成一個立方體鐵塊，則鍛造成的立方體鐵塊的棱長是（ ）
A．20B．200C．40D．
【答案】A
【分析】先求出體積，再求立方根即可．
【詳解】解：∵鐵塊體積是
∴鍛造成的立方體鐵塊的棱長為：，
故選：A．
【點睛】本題考查立方根的應(yīng)用，會求立方根是解題的關(guān)鍵．
6．(2023秋·遼寧沈陽·九年級校考階段練習(xí)）類比平方根和立方根，我們定義n次方根為：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整數(shù)．例如：因為，所以±3叫81的四次方根，記作：，因為，所以叫的五次方根，記作：，下列說法不正確的是（ ）
A．負(fù)數(shù)a沒有偶數(shù)次方根B．任何實數(shù)a都有奇數(shù)次方根
C． D．
【答案】D
【分析】利用n次方根的定義逐項判斷即可解答．
【詳解】解：∵任何實數(shù)的偶數(shù)次都是非負(fù)數(shù)，
∴負(fù)數(shù)a沒有偶數(shù)次方根，
∴A選項的結(jié)論不符合題意；
∵任何實數(shù)a都有奇數(shù)次方根，
∴B選項的結(jié)論不符合題意；
∵，
∴，
∴C選項的結(jié)論不符合題意；
∵，
∴，
∴D選項的結(jié)論符合題意，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了方根的意義，理解并熟練應(yīng)用n次方根的定義是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分）
7．(2023秋·福建泉州·八年級?？计谀┮阎c互為相反數(shù)，則________．
【答案】6
【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出x的值，進(jìn)而代入計算得出答案．
【詳解】解：由題意可知：，
解得：．
故答案為：6．
【點睛】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，正確得出x的值是解題關(guān)鍵．
8．(2023秋·江蘇·八年級期中）如果，則__．
【答案】
【分析】先通過求出的值，再將的值代入中即可求解．
【詳解】解：，
，
故本題答案為：．
【點睛】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根和立方根，正確掌握算術(shù)平方根和立方根的概念是解題的關(guān)鍵．
9．（2023春·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）若，，那么________．
【答案】
【分析】根據(jù)立方根的小數(shù)點的移位法則：被開方數(shù)的小數(shù)點每移動3位，立方根的小數(shù)點移動1位，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由立方根的小數(shù)點的移位法則：被開方數(shù)每移動3位，立方根移動1位，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查立方根的小數(shù)點的移動法則．熟練掌握被開方數(shù)的小數(shù)點每移動3位，立方根的小數(shù)點移動1位，是解題的關(guān)鍵．
10．(2023秋·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期中）定義新運算：對任意實數(shù)a、b，都有，例如，，那么=________．
【答案】
【分析】根據(jù)題目所給的定義新運算，先求出的值，再求出的值，最后求出的立方根即可．
【詳解】解：，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了新定義運算，立方根的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到算式，然后由立方根的運算法則進(jìn)行求解即可．
11．(2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）依據(jù)圖中呈現(xiàn)的運算關(guān)系，
可知：=___________；=___________．
【答案】
【分析】利用立方根和平方根的定義及性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：依據(jù)圖中呈現(xiàn)的運算關(guān)系，可知2020的立方根是m，a的立方根是，
∴，
∴；
又∵n的平方根是45和b，
∴．
故答案為：，．
【點睛】本題考查了立方根和平方根的定義及性質(zhì)，熟練掌握定義及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．(2023春·廣東江門·七年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知a，b為兩個相連的整數(shù)，滿足，則的立方根為_________．
【答案】3
【分析】根據(jù)夾逼法求出a，b，算出，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵a，b為兩個相連的整數(shù)，
∴，，
∴，
故答案為3．
【點睛】本題考查二次根數(shù)的估算及立方根的定義，解題的關(guān)鍵是用夾逼法求出a，b．
三、解答題（13題5分，14題6分，15題7分）
13．（2023春·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）求下列各式中的x的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）移項后直接開平方即可求出x的值；
（2）移項后直接開立方即可求出x的值．
【詳解】（1）解：
解得：，；
（2）解：
解得：．
【點睛】本題考查了利用直接開平方和開立方的方法求方程的解，注意開平方有兩個根，且互為相反數(shù)．
14．(2023秋·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考期中）計算
(1)
(2)
【答案】(1)1；
(2)12．
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的性質(zhì)化簡，再求和即可；
（2）先計算乘方，利用乘法分配律簡便計算即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點睛】本題考查了實數(shù)和有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．進(jìn)行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．
15．(2023秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）已知的算術(shù)平方根是1，的平方根是，是的立方根，求的平方根．
【答案】的平方根是
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、平方根、立方根的定義求出的值，進(jìn)而即可求出答案．
【詳解】解：的算術(shù)平方根是1，
，
，
的平方根是，
，
，
是的立方根，
，
，
的平方根是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根、立方根的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其基本知識，屬于中考?？碱}型．平方根
立方根
定義
一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性質(zhì)
一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)：0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．
正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．
1
16
81
x
8
8.5
9
9.5
10
64
72.25
81
90.25
100
512
614.125
729
857.375
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