目標(biāo)導(dǎo)航
列一元一次方程解應(yīng)用題的基本步驟：審清題意、設(shè)未知數(shù)（元）、列出方程、解方程、寫出答案。關(guān)鍵在于抓住問題中的有關(guān)數(shù)量的相等關(guān)系，列出方程。
解決問題的策略：利用表格和示意圖幫助分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系
考點精講
考點1：行程問題
典例：（2022·河南南陽·七年級期末）【問題呈現(xiàn)】
某中學(xué)的學(xué)生以4千米/時的速度步行去某地參加社會公益活動，出發(fā)30分鐘后，學(xué)校派一名通信員騎自行車以12千米/時的速度去追趕隊伍，請問通信員用多少分鐘可以追上隊伍．
【自主思考】
(1)根據(jù)題意，請畫出示意圖：
(2)相等關(guān)系為（請?zhí)羁眨篲___________．
【建模解答】
（請你完整解答本題）
【答案】(1)見解析(2)學(xué)生步行30分鐘所走的路程+通信員出發(fā)后隊伍行走的路程=通信員追趕隊伍所走的路程；通信員用15分鐘可以追上隊伍．
【分析】（1）根據(jù)題意，即可畫出示意圖；
（2）根據(jù)通訊員所走的路程=學(xué)生所走的總路程，列出一元一次方程，解方程即可求解．
（1）解：根據(jù)題意，畫出示意圖如圖：
（2）解：相等關(guān)系為：學(xué)生步行30分鐘所走的路程+通信員出發(fā)后隊伍行走的路程=通信員追趕隊伍所走的路程；故答案為：學(xué)生步行30分鐘所走的路程+通信員出發(fā)后隊伍行走的路程=通信員追趕隊伍所走的路程；設(shè)通訊員用x小時可以追上學(xué)生隊伍，
根據(jù)題意可得：，
解得：x=，×60=15(分鐘) ，
答：通信員用15分鐘可以追上隊伍．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，畫出草圖，找出題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，要會根據(jù)路程=速度×?xí)r間這一公式找出正確的等量關(guān)系，難點在第二問，注意分段求解時間．
鞏固練習(xí)
1．（2022·河北·涿州市雙語學(xué)校七年級期末）已知下列兩個應(yīng)用題：
①現(xiàn)有60個零件的加工任務(wù)，甲單獨每小時可以加工4個零件，乙單獨每小時可以加工6個零件．現(xiàn)甲乙兩人合作，問兩人開始工作幾小時后還有20個零件沒有加工？
②甲乙兩人從相距20km的兩地同時出發(fā)，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，問經(jīng)過幾小時后兩人相距60km？
其中可以用方程4x+6x+20＝60表述題目中數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題是（ ）
A．①B．②C．①②D．①②都不對
【答案】C
【分析】①設(shè)兩人開始工作x小時后還有20個零件沒有加工，根據(jù)甲生產(chǎn)的零件數(shù)＋乙生產(chǎn)的零件數(shù)＋未加工的零件數(shù)＝計劃加工零件的總數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元一次方程；②設(shè)經(jīng)過x小時后相距60km，根據(jù)甲的路程＋乙的路程＋原來兩人間隔的距離＝兩地間的距離，即可得出關(guān)于x的一元一次方程．
【詳解】解：①設(shè)兩人開始工作x小時后還有20個零件沒有加工，
依題意，得：4x＋6x＋20＝60，
∴①可以用方程4x＋6x＋20＝60來表述；
②設(shè)經(jīng)過x小時后兩人相距60km，
依題意，得：4x＋6x+20＝60，
∴②可以用方程4x＋6x＋20＝60來表述；
綜上分析可知，①②可以用方程4x+6x+20＝60表述題目中數(shù)量關(guān)系，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·福建泉州·七年級期末）輪船在河流中來往航行于A、兩碼頭之間，順流航行全程需小時，逆流航行全程需小時，已知水流速度為每小時，求、兩碼頭間的距離．若設(shè)A、兩碼頭間距離為，則所列方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)順流速度減去水流速度等于逆流速度加上水流速度列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)A、B兩碼頭間距離為，
由題意得：，
故選：B．
【點睛】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系．
3．（2022·江蘇·七年級單元測試）一個自行車隊進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時所有隊員都以40km/h的速度前進(jìn)，突然，6號隊員以50km/h的速度獨自行進(jìn)，行進(jìn)15km后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以50km/h的速度往回騎，直到與其他隊員會合．設(shè)6號隊員從離隊開始到與隊員重新會合經(jīng)過了xh，則x為（ ）
A．1.5B．0.75C．D．
【答案】C
【分析】整個運動過程可看成二者相對運動了15×2（km），根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：依題意得：50x＋40x＝15×2，即50x＋40x＝30，
解得：x，
故選：C．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇·七年級專題練習(xí)）小明早上8點從家騎車去圖書館，計劃在上午11點30分到達(dá)圖書館．出發(fā)半小時后，小明發(fā)現(xiàn)若原速騎行，將遲到10分鐘，于是他加速繼續(xù)騎行，平均每小時多騎行1千米，恰好準(zhǔn)時到達(dá)，則小明原來的速度是（ ）
A．12千米/小時B．17千米/小時C．18千米/小時D．20千米/小時
【答案】C
【分析】設(shè)原來的速度是x千米/小時，則提高速度后為x+1千米/小時，根據(jù)出發(fā)半小時后，發(fā)現(xiàn)按原速行駛要遲到10分鐘，將速度每小時增加1千米，恰好準(zhǔn)時到達(dá)，分別表示路程建立方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)小明原來的速度是x千米/小時，則提高速度后為x+1千米/小時，由題意得
（3.5+）x=x+（x+1）×（3.50.5），
解得：x=18．
答：小明原來的速度是18千米/小時．
故選：C
【點睛】此題考查一元一次方程的實際運用，利用行程問題中的速度、時間、路程之間的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2022·黑龍江·大慶市第四十四中學(xué)校期末）甲乙兩車分別從A、B兩城同時相對開出，經(jīng)過4小時，甲車行了全程的80%，乙車超過中點13千米，已知甲車比乙車每小時多行3千米，A、B兩城相距多少千米？
【答案】千米
【分析】設(shè)A、B兩城相距x千米，根據(jù)“經(jīng)過4小時，甲車行了全程的80%，乙車超過中點13千米，甲車比乙車每小時多行3千米”，列出一元一次方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)A、B兩城相距x千米
x=
答：兩城相距千米．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·甘肅·甘州中學(xué)七年級期末）A，B兩地相距448km，一列慢車從A地出發(fā)，速度為60km/h，一列快車從B地出發(fā)，速度為80km/h，兩車相向而行，慢車先行28min，快車開出多長時間后兩車相遇？
【答案】快車出發(fā)后3小時兩車相遇
【分析】利用兩車行駛的距離和，進(jìn)而求出即可．
【詳解】設(shè)快車出發(fā)后x小時兩車相遇，根據(jù)題意可得：
×60+（60+80）x＝448，
解得：x＝3，
答：快車出發(fā)后3小時兩車相遇．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
7．（2022·湖南·雙峰縣教育科學(xué)研究室七年級開學(xué)考試）星期六小王去球館打球，去時發(fā)現(xiàn)家中的鐘沒電了，于是換上電池，把鐘暫時調(diào)整到8時整．到球館時球館的鐘剛好是8時整．打球到11時整時他以原速度回家發(fā)現(xiàn)家中的鐘剛好是12時整．小王根據(jù)這些時間關(guān)系再次調(diào)整了時間．如果小王在路上的速度是60米/分鐘，請問從家到球館的路程是多少？小王到家的準(zhǔn)確時間是幾點？
【答案】從家到球館的路程是1800米；小王到家的準(zhǔn)確時間11時30分．
【分析】根據(jù)家中的時間可以得知總時間為4小時，它等于球館的鐘表時間，即打球的時間加上路上總共用時．
【詳解】解：設(shè)家到球館的路程為x米．
小王在路上的速度是60米/分鐘即為3600米/時
解得：．
（時）
小王到家的準(zhǔn)確時間：11時+0.5時=11時30分
【點睛】本題考查了時間、路程速度與時間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系．
8．（2022·黑龍江牡丹江·七年級期末）A，B兩地相距300千米，甲車從A地駛向B地，行駛80千米后，乙車從B地出發(fā)駛向A地，乙車行駛5小時到達(dá)A地，并原地休息．甲、乙兩車勻速行駛，甲車速度是乙車速度的倍．
(1)甲車的行駛速度是________千米/ 時，乙車的行駛速度是________千米/ 時；
(2)求乙車出發(fā)后幾小時兩車相遇；（列方程解答此問）
(3)若甲車到達(dá)B地休息一段時間后按原路原速返回，且比乙車晚2小時到達(dá)A地．甲車從A地出發(fā)到返回A地過程中，甲車出發(fā)________小時，兩車相距40千米；甲車在B地休息________小時．
【答案】(1)80，60；(2)小時；(3)；0.5．
【分析】（1）根據(jù)速度等于路程除以時間即可求出乙車的行駛速度，從而得到甲車的行駛速度；
（2）設(shè)乙車出發(fā)后x小時兩車相遇，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（3）設(shè)甲車出發(fā)y小時后，甲乙兩車相距40千米，分兩車在相遇前相距40千米和兩車在相遇后相距40千米討論列方程求解即可得甲車出發(fā)后相距乙車40千米的時間，再求出甲車所用在途時間，即可求得甲車在B地休息的時間．
（1）解：乙車的行駛速度：（千米/小時）
甲車的行駛速度：（千米/小時），
故答案為：80，60；
（2）解：設(shè)乙車出發(fā)后x小時兩車相遇，
解得
答：乙車出發(fā)后小時兩車相遇；
（3）解：設(shè)甲車出發(fā)y小時后，甲乙兩車相距40千米，
當(dāng)兩車在相遇前相距40千米時：80y+60(y-1)=300-40，
解得y=，
當(dāng)兩車在相遇后相距40千米∶80y+60(y-1)=300+40，
解得y=，
∵乙車出發(fā)后，甲車所用在途時間：（小時），甲車所用時間為5小時，甲車比乙車晚2小時到達(dá)A地．
∴甲車在B地休息時間為：5+2-6.5=0.5（小時）
故答案為：；0.5．
【點睛】本題考查了一元一次方程解行程問題，掌握解一元一次方程的方法以及路程、速度與時間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·山東濰坊·七年級期末）甲車和乙車分別從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，分別去往B地和A地，兩車勻速行駛2小時相遇，相遇時甲車比乙車少走了20千米．相遇后，乙車按原速繼續(xù)行駛1.8小時到達(dá)A地．
(1)乙車的行駛速度是多少千米/時？
(2)相遇后，甲車先以100千米/時的速度行駛了一段路程后，又以120千米/時的速度繼續(xù)行駛，剛好能和乙車同時到達(dá)目的地，試求相遇后，甲車以100千米/時的速度行駛的路程和以120千米/時的速度行駛的路程各是多少千米？
【答案】(1)100千米/小時
(2)甲車以100千米/時的速度行駛的路程為80千米，以120千米/時的速度行駛的路程為120千米
【分析】（1）設(shè)乙車速度為x千米/時，根據(jù)題意列方程求解即可；
（2）設(shè)甲車以100千米/時的速度行駛的路程為m千米，則以120千米/時的速度行駛的路程為千米，根據(jù)“甲車先以100千米/時的速度行駛了一段路程后，又以120千米/時的速度繼續(xù)行駛，剛好能和乙車同時到達(dá)目的地，”列方程求解即可．
（1）解：設(shè)乙車速度為x千米/時，依題意得：1.8x＝2x－20，解得，答：乙車速度為100千米/小時 ．
（2）設(shè)甲車以100千米/時的速度行駛的路程為m千米，則以120千米/時的速度行駛的路程為千米，則依題意得： 解得∴（千米）答：甲車以100千米/時的速度行駛的路程為80千米，以120千米/時的速度行駛的路程為120千米．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·浙江臺州·七年級期末）無人機(jī)屬于高新技術(shù)產(chǎn)品，它在應(yīng)急救文、農(nóng)業(yè)種植、環(huán)境監(jiān)測等方面有著廣泛的應(yīng)用．為比較兩架無人機(jī)的性能，讓I號無人機(jī)從海拔10米處出發(fā)，以10米/分的速度勻速上升，Ⅱ號無人機(jī)從海拔30米處同時出發(fā)，勻速上升，經(jīng)過12分鐘，I號無人機(jī)比Ⅱ號無人機(jī)高28米．
(1)求Ⅱ號無人機(jī)的上升速度；
(2)當(dāng)這兩架無人機(jī)位于同一海拔高度時，求此時的海拔高度．
【答案】(1)Ⅱ號無人機(jī)的上升速度是6米/分
(2)此時的海拔高度是60米
【分析】（1）設(shè)Ⅱ號無人機(jī)的上升速度為x米/分，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（2）設(shè)當(dāng)y分鐘時這兩架無人機(jī)位于同一海拔高度，根據(jù)題意列出方程求解即可．
（1）解：設(shè)Ⅱ號無人機(jī)的上升速度為x米/分，根據(jù)題意，得：10+10×12-28=30+12x，解得：x=6，答：Ⅱ號無人機(jī)的上升速度是6米/分；
（2）解：設(shè)當(dāng)y分鐘時這兩架無人機(jī)位于同一海拔高度，根據(jù)題意，得：10+10y=30+6y，解得：y=5，∴10+10y=10+10×5=60（米），答：此時的海拔高度是60米．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．
11．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年級期末）“五一”勞動節(jié)，林老師駕轎車從平泉出發(fā)，上高速公路途經(jīng)長深高速和大廣高速到北京下高速（中間會經(jīng)過若干大橋和隧道），其間用了3.6小時：返回時平均速度提高了10千米/小時，比去時少用了0.4小時回到平泉．
(1)求平泉與北京兩地間的高速公路路程；
(2)經(jīng)過大橋、隧道的長度及過路費見下表：
我省交通部門規(guī)定：轎車的高速公路通行費y（元）的計算方法為：，其中a（元/千米）為高速公路里程費，x（千米）為高速公路里程（不包括大橋和隧道長），b（元）為經(jīng)過大橋、隧道的過路費．若林老師從平泉到北京所花的高速公路通行費為152元，求轎車的高速公路里程費a．
【答案】(1)平泉與北京兩地間的高速公路路程為288km(2)轎車的高速公路里程費為0.4元/千米
【分析】（1）設(shè)去時的平均速度為，則返回時的平均速度為km/h，根據(jù)路程=速度×?xí)r間，列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)題意先算出b的值，再算出大橋和隧道之外的高速公路里程，然后根據(jù)題意得出關(guān)于a的方程，解方程即可．
(1)解：設(shè)去時的平均速度為，則返回時的平均速度為km/h，根據(jù)題意得：
，
解得：，
∴平泉與北京兩地間的高速公路路程為：（km）．
(2)根據(jù)題意可得：（元），
大橋和隧道之外的高速公路里程為：（km），
∴，
解得：，
轎車的高速公路里程費為0.4元/千米．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出題目中的等量關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·廣東江門·七年級期末）隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及和城市交通的多樣化，人們出行的時間與方式有了更多的選擇，某市有出租車、滴滴快車等網(wǎng)約車，收費標(biāo)準(zhǔn)見下圖．
(1)若乘坐這兩種網(wǎng)約車的里程數(shù)都是9公里，則發(fā)現(xiàn)乘坐出租車最節(jié)省錢，求乘坐出租車費用為多少元？
(2)若從甲地到乙地，乘坐滴滴快車比出租車多用15元，求甲、乙兩地間的里程數(shù)．
【答案】(1)出租車的費用為元．(2)甲地到乙地的路程為14公里．
【分析】（1）根據(jù)出租車的收費標(biāo)準(zhǔn)計算即可；
（2）設(shè)甲地到乙地的路程為x公里，再分兩種情況討論，當(dāng)時，當(dāng)時，再確定相等關(guān)系列方程，解方程可得答案．
(1)解：（元），
答：出租車的費用為元．
(2)解：設(shè)甲地到乙地的路程為x公里，當(dāng)時，

解得： 所以不符合題意舍去，
當(dāng)時，則

解得：
答：甲地到乙地的路程為14公里．
【點睛】本題考查了有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·浙江臺州·七年級期末）小王和小李每天從地到地上班，小王坐公交車以的速度勻速行駛，小李開汽車以的速度勻速行駛．
(1)若他們同時從地出發(fā)，15分鐘后，兩人相距______；
(2)假設(shè)途中設(shè)有9個站點，，…，公交車在每個站點都?？?.5分鐘．
①若兩車同時從地出發(fā)，則汽車比公交車早10.5分鐘到達(dá)．求，兩地的距離．
②若每相鄰兩個站點間（包含起點站和終點站）的距離相等，小王4：30坐公交車從地前往地，8分鐘后小李開汽車也從地前往地，求小李追上小王的時刻．
【答案】(1)2.5
(2)①20km；②小李追上小王的時刻為4：48．
【分析】（1）先求出小王和小李在15分鐘內(nèi)的路程，然后求得兩個間的距離；
（2）①先設(shè)A、B兩地相距x千米，然后分別用含有x的式子表示兩人從A地到B地的時間，再結(jié)合“汽車比公交車早10.5分鐘到達(dá)”列出方程求解，即可得到A、B兩地間的距離；
②先由①得到每兩個站點間的距離，然后計算得到公交車在每兩個站點間的時間，進(jìn)而初步判斷8分鐘后公交車的位置，然后設(shè)時間為m分鐘，再分段進(jìn)行討論即可．
(1)解：15分鐘＝0.25小時，
∴小王的路程為40×0.25＝10（km），
小李的路程為50×0.25＝12.5（km），
∴兩人間的距離為12.5﹣10＝2.5（km），
故答案為：2.5．
(2)解：①設(shè)兩地距離為x千米，則小李的從A地到B地的時間為 小時，小王的時間為 小時，
∵汽車比公交車早10.5分鐘到達(dá)，
∴，
解得：x＝20，
∴A、B兩地相距20千米．
②由①得，A、B兩地相距20千米，
∵每兩個站點間的距離相等，
∴每兩個站點間的距離為20÷10＝2（千米），
∴小王經(jīng)過兩個站點間的時間為2÷40＝0.05小時＝3分鐘，
∵3+0.5+3+0.5＝7＜8，
∴8分鐘時，公交車在P2與P3之間，
設(shè)小李經(jīng)過m分鐘追上小王，
當(dāng)小李在P2與P3之間追上小王，即m≤2時，
，
解得：m＝28（舍）；
當(dāng)小李在P3與P4之間追上小王，即2.5＜m≤5.5時，
，
解得：m＝26（舍）；
當(dāng)小李在P4與P5之間追上小王，即6＜m≤9時，
，
解得：m＝24（舍）；
當(dāng)小李在P5與P6之間追上小王，即9.5＜m≤12.5時，
，
解得：m＝22（舍）；
當(dāng)小李在P6與P7之間追上小王，即13＜m≤16時，
，
解得：m＝20（舍）；
當(dāng)小李在P7與P8之間追上小王，即16.5＜m≤19.5時，
，
解得：m＝18；
∴經(jīng)過18分鐘，小李追上小王，
此時的時刻為4：48．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是會利用“路程＝速度×?xí)r間”進(jìn)行相關(guān)時間和路程的表示和會將時間單位進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
14．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）如圖1，A，C兩地之間有一條筆直的道路，B地位于A，C兩地之間．甲從B地出發(fā)駕車駛往C地，乙從A地出發(fā)駕車駛向C地．在行駛過程中，乙由于汽車故障，換乘客車（換乘時間忽略不計）繼續(xù)前行，并與甲同時到達(dá)C地．圖2中線段MN和折線段PON分別表示甲、乙兩人與A地的距離y（km）與甲行駛的時間x（h）的變化關(guān)系，其中MN與PQ交于點E．
(1)在圖2中表示的自變量是______，因變量是______
(2)乙比甲晚出發(fā)______h，B，C兩地相距______km；
(3)請直接寫出甲的速度為______；
(4)m＝______，n＝______；
(5)在圖2中點E表示的含義是______；
(6)請直接寫出當(dāng)x＝______h時，甲，乙相距30km．
【答案】(1)甲行駛的時間，甲、乙兩人與A地的距離(2)2，960(3)60km/h(4)16，720(5)乙出發(fā)4h后（或甲出發(fā)6h后）兩人相遇，相遇地點距A地480km(6)5.5或6.5或14
【分析】（1）由題意結(jié)合圖象即可填空；（2）由題意結(jié)合圖象即可填空；
（3）由圖象得出甲行駛6小時的路程為360km，即得出答案；
（4）由甲行駛的總路程除其速度即得出m的值；由圖象先計算出乙汽車出現(xiàn)故障前的速度，再計算n的值即可；
（5）根據(jù)題意結(jié)合圖象即可填空；
（6）分類討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時和③當(dāng)時，列出關(guān)于x的等式，解出x即得出答案．
（1）由題意結(jié)合圖象即可知圖2中表示的自變量是甲行駛的時間，因變量是甲、乙兩人與A地的距離．
故答案為：甲行駛的時間，甲、乙兩人與A地的距離；
（2）由題意結(jié)合圖象即可知乙比甲晚出發(fā)2h，B，C兩地相距km，
故答案為：2，960；
（3）(480-120)÷6=60km/h，
∴甲的速度為60km/h．
故答案為：60km/h；
（4）．
乙在行駛過程中，汽車出現(xiàn)故障前的速度km/h，
∴，
解得：．
故答案為：16，720；
（5）根據(jù)題意結(jié)合圖象可知乙出發(fā)4h后（或甲出發(fā)6h后）兩人相遇，相遇地點距A地480km．
故答案為：乙出發(fā)4h后（或甲出發(fā)6h后）兩人相遇，相遇地點距A地480km；
（6）分類討論：①當(dāng)時，
由題意可知：，
解得：；
②當(dāng)時，
由題意可知：，
解得：；
③當(dāng)時，
出現(xiàn)故障后乙的速度為km/h，
由題意可知：，
解得：．
綜上可知，當(dāng)x＝5.5或6.5或14時，甲、乙相距30km．
故答案為：5.5或6.5或14．
【點睛】本題考查從函數(shù)圖象獲取信息，一元一次方程的實際應(yīng)用．讀懂題意和圖象，從函數(shù)圖象獲取必要的信息和數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
15．（2022·福建泉州·七年級階段練習(xí)）如圖，甲、乙兩位同學(xué)在長方形的場地ABCD上繞著四周跑步，甲沿著A－D－C－B－A方向循環(huán)跑步，同時乙沿著B－C－D－A－B方向循環(huán)跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度為2米/秒，乙速度3米/秒．
(1)設(shè)經(jīng)過的時間為t秒，則用含t的代數(shù)式表示甲的路程為 米；
(2)當(dāng)甲、乙兩人第一次相遇時，求所經(jīng)過的時間t為多少秒？
(3)若甲改為沿著A－B－C－D－A的方向循環(huán)跑步，而乙仍按原來的方向跑步，兩人的速度不變，求經(jīng)過多少秒，乙追上甲？
(4)小明在探索中發(fā)現(xiàn)一個非常有趣的結(jié)論：在（3）的條件下，甲乙繼續(xù)跑步，以后遇的地點每次相遇的地點都和第一次遇的地點一樣，請同學(xué)們試以第n次相遇為例幫小明同學(xué)進(jìn)行簡單的論證，并寫出每次相遇時點P的位置．
【答案】(1)2t；(2)經(jīng)過26秒(3)經(jīng)過130秒，乙追上甲(4)見解析，在CD上，離C點20米的地方
【分析】（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間列式即可；
（2）設(shè)經(jīng)過t秒甲、乙兩人第一次相遇，根據(jù)速度×?xí)r間=路程結(jié)合題意，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出t值，
（3）設(shè)經(jīng)過t秒乙追上甲，根據(jù)乙跑的路程-甲跑的路程=BC+CDd+DA=130,列方程求解即可；
（4）先求出（3）中乙追上甲的地點在CD上，離C點20米的地方，若乙第n次追上甲的時間為a秒，根據(jù)乙跑的路程-甲跑的路程=160(n-1)，列方程為3a-2a=160(n-1)，又因為 2a=320(n-1)，即可得證第n次乙追上甲時，甲又跑了2(n-1)圈．即可得出結(jié)論．
（1）解： 甲的路程=2t米；
故答案為：2t；
（2）解：設(shè)經(jīng)過t秒甲、乙兩人第一次相遇 ，根據(jù)題意得
3t+2t=50×2+30 ；
t=26
答：經(jīng)過26秒
（3）解：設(shè)經(jīng)過t秒乙追上甲，根據(jù)題意得
3t-2t=130
解得t=130
答：經(jīng)過130秒，乙追上甲
（4）解：130×2=260（米）
260-（50+30）×2=100（米）
100-30-50=20（米）
所以（3）中乙追上甲的地點在CD上，離C點20米的地方；
若乙第n次追上甲的時間為a秒,則
3a-2a=160(n-1)，
解得a=160(n-1)
160(n-1)×2=320(n-1)（米）
320(n-1)÷160=2(n-1)（圈）
第n次乙追上甲時，甲又跑了2(n-1)圈．
所以第n次乙追上甲的地方跟（3）一樣，在CD上，離C點20米的地方；
P點如圖
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分析題干找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
考點2：配套問題
典例：（2022·湖北·武漢市黃陂區(qū)教育局七年級期末）一套儀器由一個A部件和三個B部件構(gòu)成，用鋼材可做40個A部件或240個B部件．現(xiàn)要用鋼材制作這種儀器，設(shè)用鋼材做A部件，剩余鋼材做B部件恰好配成這種儀器若干套．
(1)共能做____________個A部件，____________個B部件（用含x的式子表示）；
(2)求x的值．
(3)用鋼材能配成這種儀器____________套（直接寫出結(jié)果）．
【答案】(1)，(2)(3)160
【分析】（1）根據(jù)總部件數(shù)量=每立方米數(shù)量×立方米數(shù)進(jìn)行表示；
（2）根據(jù)一套儀器由一個A部件和三個B部件，可得等量關(guān)系式;3×B部件總量=A部件總量，解方程即可；
（3）一套一個A，即A的個數(shù)為所做出的套數(shù).
(1)解：由題意，得
A部件的數(shù)量為：
B部件的數(shù)量為：
故答案為：，
(2)解：由題意，得
解得
答：x的值為4.
(3)解：儀器的套數(shù)為：40×4=160（套）
故答案為：160.
方法或規(guī)律點撥
【點睛】本題主要考查了配套問題，理解題意找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
1．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）某校手工社團(tuán)30名學(xué)生制作紙飛機(jī)模型，每人每小時可做20個機(jī)身或60個機(jī)翼，一個飛機(jī)模型要一個機(jī)身配兩個機(jī)翼，為了使每小時制作的成品剛好配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生做機(jī)身，多少名學(xué)生做機(jī)翼？設(shè)分配x名學(xué)生做機(jī)身，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)分配x名學(xué)生做機(jī)身，根據(jù)一個飛機(jī)模型要一個機(jī)身配兩個機(jī)翼，則飛機(jī)模型的個數(shù)乘以2等于機(jī)翼的個數(shù)，據(jù)此列出一元一次方程即可求解．
【詳解】設(shè)分配x名學(xué)生做機(jī)身，則可列方程為,
故選C．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山西呂梁·一模）我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾??？如果譯成白話文，其意思是：有100個和尚分100只饅頭，正好分完.如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，試問大、小和尚各有幾人？設(shè)大和尚有人，則小和尚有（100－）人，根據(jù)題意列得方程（ ）
A．3x+=100B．3x+（100－x）=100
C．+3（100－x）=100D．x+（100－x）=100
【答案】B
【分析】設(shè)大和尚有x人，根據(jù)大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，即可列出方程．
【詳解】解：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有（100－x）人，
由題意得：．
故選：B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·山東威海·期末）一張方桌由一個桌面、四條桌腿組成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40個或做桌腿240條，現(xiàn)有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？設(shè)用x立方米木料做桌面，由題意列方程，得__________．
【答案】
【分析】設(shè)用x立方米木料做桌面，則用立方米木料作桌腿，根據(jù)一個桌面配四個桌腿列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)用x立方米木料做桌面，則用立方米木料作桌腿，
由題意得：，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元一次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·山東菏澤·八年級期中）某單位為一中學(xué)捐贈了一批新桌椅，學(xué)校組織初一年級200名學(xué)生搬桌椅．規(guī)定一人一次搬兩把椅子，兩人一次搬一張桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅為一套）的套數(shù)為______套．
【答案】80
【分析】根據(jù)題意可設(shè)2x人搬桌子，則可搬桌子x張，有（200-2x）人搬椅子，可搬椅子2（200-2x）把，要想搬的桌椅配套數(shù)盡可能的多，可得x=2（200-2x），然后列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)搬桌子的有2x人，則搬椅子的有（200-2x）人，
由題意可得：x=2（200-2x），
解得x=80，
∴最多可搬桌椅（一桌一椅為一套）的套數(shù)為80，
故答案為：80．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．
5．（2022·江蘇·七年級單元測試）某生產(chǎn)教具的廠家準(zhǔn)備生產(chǎn)正方體教具，教具由塑料棒和金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個頂點由一個金屬球鑲嵌），安排一個車間負(fù)責(zé)生產(chǎn)這款正方體教具，該車間共有34名工人，每個工人每天可生產(chǎn)塑料棒100根或金屬球75個，如果你是車間主任，你會如何分配工人成套生產(chǎn)正方體教具？
【答案】18個工人生產(chǎn)塑料棒，16個工人生產(chǎn)金屬球
【分析】設(shè)分配x個工人生產(chǎn)塑料棒，則分配（34﹣x）個工人生產(chǎn)金屬球，由每個正方體有12條棱及8個頂點，且生產(chǎn)的塑料棒和金屬球正好配套，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出分配生產(chǎn)塑料棒的工人數(shù)，再將其代入（34﹣x）中即可求出分配生產(chǎn)金屬球的工人數(shù)．
【詳解】解：設(shè)分配x個工人生產(chǎn)塑料棒，則分配個工人生產(chǎn)金屬球，
依題意得：，
解得：x＝18，
∴34﹣x＝34﹣18＝16．
答：應(yīng)分配18個工人生產(chǎn)塑料棒，16個工人生產(chǎn)金屬球．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·新疆塔城·七年級期末）制作一張桌子要用1個桌面和4條桌腿，1立方米木材可制作20個桌面，或者制作400條桌腿，現(xiàn)在有30立方米木材，應(yīng)怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子？
【答案】用25立方米制作桌面，用5立方米制作桌腿
【分析】設(shè)用x立方米制作桌面，則立方米制作桌腿，根據(jù)桌腿數(shù)量是桌面數(shù)量的4倍，列方程為，求解即可．
【詳解】20．解：設(shè)用x立方米制作桌面，則立方米制作桌腿，根據(jù)題意，得
，
解得：，
則，
答：用25立方米制作桌面，用5立方米制作桌腿．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，找等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·河北承德·七年級期末）某工廠計劃生產(chǎn)一種新型豆?jié){機(jī)，每臺豆?jié){機(jī)需3個甲種零件和5個乙種零件，已知車間每天能生產(chǎn)甲種零件450個或乙種零件300個，現(xiàn)要在21天中使所生產(chǎn)的零件剛好配套，那么應(yīng)安排多少天生產(chǎn)甲種零件，安排多少乙天生產(chǎn)乙種零件恰好配套？
小明在解決這個問題時設(shè)應(yīng)安排天生產(chǎn)甲零件．填出表格①②③的表達(dá)式，并列方程解決這個問題．
【答案】①，②，③；安排6天生產(chǎn)甲零件，安排15天生產(chǎn)乙零件．
【分析】設(shè)應(yīng)安排天生產(chǎn)甲零件，根據(jù)題意求得安排天生產(chǎn)乙種零件，共生產(chǎn)甲種零件，生產(chǎn)乙種零件，根據(jù)每臺豆?jié){機(jī)需3個甲種零件和5個乙種零件，使得恰好配套，則甲種零件的數(shù)量乘以5等于乙種零件的數(shù)量乘以3，據(jù)此列出一元一次方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)應(yīng)安排天生產(chǎn)甲零件，根據(jù)題意求得安排天生產(chǎn)乙種零件，共生產(chǎn)甲種零件，生產(chǎn)乙種零件，
依題意得方程
解得：
答：安排6天生產(chǎn)甲零件，安排15天生產(chǎn)乙零件．
故答案為：①，②，③
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·河北唐山·七年級期末）某服裝廠要生產(chǎn)同一種型號的服裝，已知3m長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套．
(1)現(xiàn)庫存有布料300m，應(yīng)如何分配布料做上衣和做褲子才能恰好配套？可以生產(chǎn)多少套衣服？
(2)如果恰好有這種布料227m，最多可以生產(chǎn)多少套衣服？本著不浪費的原則，如果有剩余，余料可以做幾件上衣或褲子？（本問直接寫出結(jié)果）
【答案】(1)做上衣用布料180m，則做褲子用布料120m，可以生成120套衣服
(2)最多可以生產(chǎn)90套衣服，余料可以做2條褲子
【分析】（1）設(shè)做上衣的布料用x m，則做褲子的布料用（200-x）m，根據(jù)3m長的某種布料可做上衣2件或褲子3條，得出做上衣與褲子所用的布料關(guān)系，進(jìn)而得出方程求解即可；
（2）由已知先求出一套衣服用料2.5m，用227÷2.5=，再根據(jù)本著不浪費的原則可以得出結(jié)論．
(1)設(shè)做上衣用布料，則做褲子用布料，
由題意得，，
解得：，則
可以生產(chǎn)套衣服；
答：用180m布做上衣，120m布做褲子才能恰好配套，可以生產(chǎn)120套衣服；
(2)∵做一件上衣用m布，做一條褲子用1m布，
∴一套服裝用2.5m布，
∵227÷2.5=，
∴227m布可以做90套衣服余2m，
∵本著不浪費的原則，
∴余下的2m布可以做2條褲子，
答：布料227m，最多可以生產(chǎn)90套衣服，余料可以做2條褲子．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知得出做上衣與褲子所用的布料關(guān)系是解題關(guān)鍵．
9．（2022·河北承德·七年級期末）某工廠計劃生產(chǎn)一種新型豆?jié){機(jī)，每臺豆?jié){機(jī)需3個甲種零件和5個乙種零件，已知車間每天能生產(chǎn)甲種零件450個或乙種零件300個，現(xiàn)要在21天中使所生產(chǎn)的零件剛好配套，那么應(yīng)安排多少天生產(chǎn)甲種零件，安排多少乙天生產(chǎn)乙種零件恰好配套？
小明在解決這個問題時設(shè)應(yīng)安排天生產(chǎn)甲零件．填出表格①②③的表達(dá)式，并列方程解決這個問題．
【答案】①，②，③；安排6天生產(chǎn)甲零件，安排15天生產(chǎn)乙零件．
【分析】設(shè)應(yīng)安排天生產(chǎn)甲零件，根據(jù)題意求得安排天生產(chǎn)乙種零件，共生產(chǎn)甲種零件，生產(chǎn)乙種零件，根據(jù)每臺豆?jié){機(jī)需3個甲種零件和5個乙種零件，使得恰好配套，則甲種零件的數(shù)量乘以5等于乙種零件的數(shù)量乘以3，據(jù)此列出一元一次方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)應(yīng)安排天生產(chǎn)甲零件，根據(jù)題意求得安排天生產(chǎn)乙種零件，共生產(chǎn)甲種零件，生產(chǎn)乙種零件，
依題意得方程
解得：
答：安排6天生產(chǎn)甲零件，安排15天生產(chǎn)乙零件．
故答案為：①，②，③
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·福建省泉州第一中學(xué)七年級期末）用白鐵皮做罐頭盒，每張白鐵皮可制盒身25個或制盒底40個，一個盒身與兩個盒底配成一套．
(1)若用5張白鐵皮制作盒底，需要用_________張白鐵皮制作盒身，才能正好做成罐頭盒，此時可以做成_________個罐頭盒．
(2)現(xiàn)在有36張鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，可使盒身與盒底正好配套？
【答案】(1)4，100
(2)用16張制盒身，20張制盒底，可使盒身與盒底正好配套．
【分析】（1）5張制作盒底，可制作200個，根據(jù)等量關(guān)系，需要100個盒身，故需要4張白鐵皮；
（2）可設(shè)用x張制盒身，剩余制盒底，可使盒身與盒底正好配套，根據(jù)等量關(guān)系：一個盒身與兩個盒底配成一套．列出方程求解即可．
（1）解：由題意得：5張白鐵皮可制作盒底40×5=200（個）∴需要盒身（個）∴需要鐵皮為（張）．故答案為：4，100；
（2）解：設(shè)用x張制盒身，則（36-x）張制盒底，根據(jù)題意，得到方程：2×25x=40（36-x），解得：x=16，36-x=36-16=20．答：用16張制盒身，20張制盒底，可使盒身與盒底正好配套．
【點睛】考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
11．（2022·山東青島·七年級期末）七年級1班共有學(xué)生45人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少3人．某節(jié)課上，老師組織同學(xué)們做圓柱形筆筒，每名學(xué)生每節(jié)課能做筒身30個或筒底90個．
(1)七年級1班有男生、女生各多少人？
(2)原計劃女生負(fù)責(zé)做筒身，男生做筒底，要求每個筒身匹配2個筒底，那么每節(jié)課做出的筒身和筒底配套嗎？如果不配套，男生要支援女生幾人，才能使筒身和筒底配套？
【答案】(1)男生21人，女生24人(2)不配套；男生要支援女生3人
【分析】（1）根據(jù)男生人數(shù)+女生人數(shù)＝總?cè)藬?shù)，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；
（2）根據(jù)題意，可以計算出原計劃制作的筒身和筒底數(shù)，然后看一下數(shù)量是否是二倍的關(guān)系即可判斷原計劃生產(chǎn)的是否配套；然后根據(jù)判斷設(shè)男生要支援女生a人，再列方程，解答即可．
(1)解：設(shè)女生有x人，則男生有（x﹣3）人，
由題意可得：x+（x﹣3）＝45，
解得x＝24，
∴x﹣3＝21，
答：七年級1班有男生21人，女生24人．
(2)解：女生可以做筒身：24×30＝720（個），男生可以做筒底：21×90＝1890（個），
∵720×2＜1890，
∴原計劃每節(jié)課做出的筒身和筒底不配套；
設(shè)男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，根據(jù)題意得：
（24+a）×30×2＝（21﹣a）×90，
解得a＝3，
答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·河北滄州·七年級期末）某工廠有28名工人生產(chǎn)零件和零件，每人每天可生產(chǎn)零件18個或零件12個（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個零件配兩個零件.工廠將零件批發(fā)給商場時，每個零件可獲利10元，每個零件可獲利5元.
(1)若每天生產(chǎn)的零件和零件恰好配套，求該工廠每天有多少工人生產(chǎn)零件？
(2)因市場需求，該工廠每天在生產(chǎn)配套的零件外，還要多生產(chǎn)出一部分零件供商場零售.在（1）的人員分配情況下，現(xiàn)從生產(chǎn)零件的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)零件，才能使每天生產(chǎn)的零件全部批發(fā)給商場后總獲利為3120元？
【答案】(1)7名(2)5名
【分析】（1）設(shè)該工廠每天有名工人生產(chǎn)零件，則每天有名工人生產(chǎn)零件，根據(jù)每天生產(chǎn)的零件和零件恰好配套建立方程，解方程即可得；
（2）設(shè)從生產(chǎn)零件的工人中調(diào)出名工人生產(chǎn)零件，則該工廠每天有名工人生產(chǎn)零件，有名工人生產(chǎn)零件，再根據(jù)每天生產(chǎn)的零件全部批發(fā)給商場后總獲利為3120元建立方程，解方程即可得．
（1）解：設(shè)該工廠每天有名工人生產(chǎn)零件，則每天有名工人生產(chǎn)零件，由題意得：，解得，答：該工廠每天有7名工人生產(chǎn)零件．
（2）解：設(shè)從生產(chǎn)零件的工人中調(diào)出名工人生產(chǎn)零件，則該工廠每天有名工人生產(chǎn)零件，有名工人生產(chǎn)零件，由題意得：，解得，答：從生產(chǎn)零件的工人中調(diào)出5名工人生產(chǎn)零件，才能使每天生產(chǎn)的零件全部批發(fā)給商場后總獲利為3120元．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．
13．（2022·福建廈門·七年級期末）列方程解應(yīng)用題：
某工廠甲、乙兩個車間共有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個螺釘或2000個螺母．
(1)如果甲車間的人數(shù)比乙車間的人數(shù)多4人，那么兩個車間各有多少人？
(2)如果1個螺釘需配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好匹配，工廠應(yīng)安排其中多少人生產(chǎn)螺母？
【答案】(1)甲車間有13人，乙車間有9人；
(2)應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母．
【分析】（1）設(shè)甲車間有x人，乙車間有（22-x）人，根據(jù)題意列方程可得答案；
（2）設(shè)應(yīng)安排y名工人生產(chǎn)螺釘，則安排（22-y）名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)生產(chǎn)螺母的總數(shù)是生產(chǎn)螺釘總數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
(1)解：設(shè)甲車間有x人，乙車間有（22-x）人，
依題意得，x-4=22-x，
解得x=13，
22-x=9，
答：甲車間有13人，乙車間有9人；
(2)解：設(shè)應(yīng)安排y名工人生產(chǎn)螺釘，則安排（22-y）名工人生產(chǎn)螺母，
依題意得：2×1200y=2000（22-y），
解得y=10，
∴22-y=22-10=12．
答：應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
14．（2021·山東煙臺·期末）列方程解應(yīng)用題
某啤酒公司的啤酒車間先將散裝啤酒灌裝成瓶裝啤酒，再將瓶裝啤酒裝箱出車間．該車間有灌裝、裝箱生產(chǎn)線共21條，每條灌裝生產(chǎn)線每小時裝350瓶，每條裝箱生產(chǎn)線每小時裝450瓶．某日，生產(chǎn)前車間內(nèi)已有未裝箱的瓶裝啤酒5200瓶，8:00開始，車間內(nèi)的生產(chǎn)線全部投入生產(chǎn)．
(1)若當(dāng)日到10:00時，該車間內(nèi)未裝箱的瓶裝啤酒達(dá)到5500瓶.設(shè)灌裝生產(chǎn)線有x條，當(dāng)日到10:00時，灌裝生產(chǎn)線共裝多少瓶啤酒（用含x的代數(shù)式表示）？該車間內(nèi)灌裝生產(chǎn)線有多少條？
(2)若該日車間工作8小時，灌裝生產(chǎn)線設(shè)計多少條時？該日車間內(nèi)的瓶裝啤酒恰好全部裝箱？
【答案】(1)灌裝生產(chǎn)線共裝（350×2x）瓶啤酒，灌裝生產(chǎn)線有12條；
(2)灌裝生產(chǎn)線設(shè)計13條時，該日車間內(nèi)的瓶裝啤酒恰好全部裝箱．
【分析】（1）灌裝生產(chǎn)線2小時共裝（350×2x）瓶啤酒，根據(jù)題意列一元一次方程，求解即可；
（2）設(shè)灌裝生產(chǎn)線設(shè)計y條時，該日車間內(nèi)的瓶裝啤酒恰好全部裝箱，根據(jù)題意列一元一次方程，求解即可．
(1)解：當(dāng)日到10:00時，灌裝生產(chǎn)線共裝（350×2x）瓶啤酒，
根據(jù)題意，得5200+350×2x=450×2（21-x）+5500，
解這個方程，得：x=12
答：灌裝生產(chǎn)線共裝（350×2x）瓶啤酒，灌裝生產(chǎn)線有12條；
(2)解：設(shè)灌裝生產(chǎn)線設(shè)計y條時，該日車間內(nèi)的瓶裝啤酒恰好全部裝箱，
根據(jù)題意，得5200＋350×8y=450×8（21-y），
解這個方程，得：y=11．
答：灌裝生產(chǎn)線設(shè)計11條時，該日車間內(nèi)的瓶裝啤酒恰好全部裝箱．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·河南南陽·七年級期末）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個長方形側(cè)面和2個正三角形底面組成，硬紙板以如圖所示的兩種方法裁剪（裁剪后邊角料不再利用），A方法：剪6個側(cè)面；B方法：剪4個側(cè)面和5個底面，現(xiàn)有19張硬紙板，其中的x張用A方法裁剪，其余的用B方法裁剪．
(1)填空：用含x的代數(shù)式分別表示：裁剪出的側(cè)面的個數(shù)是_____________，裁剪出的底面的個數(shù)是_____________．（要求：代數(shù)式不是最簡要化為最簡形式）
(2)若裁剪出的側(cè)面和底面恰好用完，求多少張硬紙板用A方法裁剪，多少張硬紙板用B方法裁剪？能做多少個三棱柱盒子？
【答案】(1)；
(2)7張硬紙板用方法裁剪，12張硬紙板用方法裁剪，能做30個三棱柱盒子
【分析】（1）根據(jù)題意，列出代數(shù)式，即可求解；
（2）根據(jù)三棱柱盒子需要2個底面，3個側(cè)面，則側(cè)面的數(shù)量乘以2等于底面的數(shù)量乘以3，據(jù)此列出一元一次方程，解方程即可求解．
（1）其中的x張用A方法裁剪，其余的用B方法裁剪，則裁剪出的側(cè)面的個數(shù)是，裁剪出的底面的個數(shù)是，故答案為：；；
（2）根據(jù)題意，得解得，經(jīng)檢驗，符合題意當(dāng)時，，答：7張硬紙板用方法裁剪，12張硬紙板用方法裁剪，能做30個三棱柱盒子．
【點睛】本題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出代數(shù)式和方程是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·江西宜春·七年級期末）小林到某紙箱廠參加社會實踐，該廠計劃用50張白板紙制作某種型號的長方體紙箱．如圖，每張白板紙可以用A，B，兩種方法剪裁，其中A種裁法：一張白板紙裁成4個側(cè)面；B種裁法：一張白板紙裁成2個側(cè)面與4個底面．且四個側(cè)面和兩個底面恰好能做成一個紙箱．設(shè)按A種方法剪裁的有x張白板紙．
(1)按B種方法剪裁的有______張白板紙；（用含x的代數(shù)式表示）
(2)將50張白板紙裁剪完后，可以制作該種型號的長方體紙箱多少個？
【答案】(1)(2)40個
【分析】（1）直接利用50減去即可得到答案；
（2）利用四個側(cè)面和兩個底面恰好能做成一個紙箱，列一元一次方程，再解方程即可．
(1)解：按A種方法剪裁的有x張白板紙，
則按B種方法剪裁的有張白板紙，
故答案為：；
(2)解：由四個側(cè)面和兩個底面恰好能做成一個紙箱．
，
整理得： ，
解得：x＝30，
(30×4+20×2)÷4＝40，
∴最多可以制作40個紙箱.
【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系列方程是解本題的關(guān)鍵.
考點3：工程問題
典例：（2022·吉林·東北師大附中七年級期中）[教材改編]改編華師版七年級下冊數(shù)學(xué)教材第19頁的部分內(nèi)容．
問題3 課外活動時李老師來教室布置作業(yè)，有一道題只寫了“學(xué)校校辦廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人．已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天”就停住了．根據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）兩人合作需要__________天完成．
（2）李老師選了兩位同學(xué)的問題，合起來在黑板上寫出：現(xiàn)由徒弟先做1天，再兩人合作，完成后共得到報酬450元，如果按各完成工作量計算報酬，那么該如何分配？
[拓展]在問題3中，如果兩人合作完成后共得報酬450元，工作量相同部分的報酬，師徒按3：2分配，余下的工作量所得報酬分配給該部分完成者，請直接寫出師徒各得的報酬．
【答案】[教材改編]（1）2.4；（2）師傅和徒弟各分225元；[拓展]師傅所得報酬為306元，徒弟所得報酬為144元．
【分析】[教材改編]（1）用總工作量除以兩人的工作效率之和，即可求解；（2）兩人合作x天，根據(jù)題意，列出方程，即可求解；
[拓展]先分別求出兩人完成的工作量，可得兩人完成工作量相同部分，再根據(jù)工作量相同部分的報酬，師徒按3：2分配，即可求解．
【詳解】[教材改編]解：（1）兩人合作的天數(shù)為：天，
答：兩人合作需要2.4天完成；
（2）設(shè)兩人合作x天，根據(jù)題意得：
，
解得：，
∴徒弟完成的工作量為，師傅完成的工作量為，
∴兩人的工作量相同，
∴師傅和徒弟各分一半，即元，
答：師傅和徒弟各分225元；
[拓展] 解：由（1）得：兩人合作的時間為2.4天，
徒弟完成工作量的，
師傅完成工作量的，
兩人完成工作量相同部分為，
徒弟所得報酬為元，
∴師傅所得報酬為元，
答：師傅所得報酬為306元，徒弟所得報酬為144元．
方法或規(guī)律點撥
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2020·海南省直轄縣級單位·七年級期末）一項工作，甲單獨完成需要20分鐘，乙單獨完成需要16分鐘．若先由甲單獨工作4分鐘，余下的工作再由兩人合作用了分鐘，則根據(jù)題意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】將這項工作的工作量看作為“1”，先分別求出甲、乙兩人的工作效率，再建立方程即可得．
【詳解】解：將這項工作的工作量看作為“1”，則甲工作效率為，乙工作效率為，
由題意可列方程為，
故選：A．
【點睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級階段練習(xí)）已知一項工程，甲單獨完成需要5天，乙單獨完成需要10天，現(xiàn)先由甲單獨做2天，然后再安排乙與甲合作完成剩下的部分，則完成這項工程共耗時( )
A．1天B．2天C．3天D．4天
【答案】D
【分析】設(shè)完成這項工程共耗時x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根據(jù)總工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)完成這項工程共耗時x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，
根據(jù)題意得：1，
解得：x＝4．
即完成這項工程共耗時4天．
故選：D
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·吉林省第二實驗學(xué)校期中）某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天.若乙先單獨干10天，剩下的由甲單獨完成，設(shè)甲、乙一共用x天完成，則可列方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先理解題意找出題中的等量關(guān)系：甲完成的工作量乙完成的工作量總的工作量“1”，根據(jù)此列方程即可．
【詳解】解：設(shè)甲、乙共用天完成，則甲單獨干了天，本題中把總的工作量看成整體“1”，則甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的．
根據(jù)等量關(guān)系列方程得：．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系，有的題目所含的等量關(guān)系比較隱藏，要注意仔細(xì)審題，耐心尋找．
4．（2022·河南南陽·七年級期中）某廠接到一所中學(xué)的冬季校服定做任務(wù)，計劃用、兩臺大型設(shè)備進(jìn)行加工，如果單獨用型設(shè)備，需要45天做完；如果單獨用型設(shè)備，需要30天做完；為了同學(xué)們能及時領(lǐng)到冬季校服，工廠決定由兩臺設(shè)備同時趕制．
(1)填空：型設(shè)備的工作效率是_________，型設(shè)備的工作效率是_________；
(2)若兩臺設(shè)備同時加工10天后，型設(shè)備出了故障，暫時不能工作，如果由型設(shè)備單獨完成剩下的任務(wù)，則還需要多少天？
【答案】(1)，
(2)20天
【分析】（1）利用工作效率工作總量工作時間，可得出，兩臺設(shè)備的工作效率；
（2）先設(shè)還需要天完成，利用型設(shè)備完成的工作量型設(shè)備完成的工作量總工作量，即可得出關(guān)于的一元一次方程，求解即可．
（1）解：如果單獨用型設(shè)備，需要45天做完；如果單獨用型設(shè)備，需要30天做完，
型設(shè)備的工作效率是這批冬季校服數(shù)量的，型設(shè)備的工作效率是這批冬季校服數(shù)量的．
故答案為：；．
（2）解：設(shè)還需要天完成，
依題意得：，
解得：．
答：還需要20天完成．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程求解．
5．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）某市有甲、乙兩個工程隊，現(xiàn)有－小區(qū)需要進(jìn)行小區(qū)改造，甲工程隊單獨完成這項工程需要天，乙工程隊單獨完成這項工程所需的時間比甲工程隊多．
(1)求乙工程隊單獨完成這項工程需要多少天？
(2)現(xiàn)在若甲工程隊先做5天，剩余部分再由甲、乙兩工程隊合作，還需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程隊每天施工費用為元，乙工程隊每天施工費用為元，若該工程總費用政府撥款元（全部用完），則甲、乙兩個工程隊各需要施工多少天？
【答案】(1)30天(2)9天(3)甲、乙兩個工程隊各需要施工天數(shù)分別是10天和15天
【分析】（1）用甲工程隊單獨完成這項工程的天數(shù)乘以，即可求解；
（2）根據(jù)題意得：若甲工程隊先做5天，還剩余，再除以甲乙兩隊合作的工作效率，即可求解；
（3）甲工程隊需要施工x天，再把兩隊的總費用加起來等于70000，即可求解．
（1）解：天，
答：乙工程隊單獨完成需要30天；
（2）解：天，
答：還需要9天才能完成；
（3）解：設(shè)甲工程隊需要施工x天，
，
解得：，
乙工程隊需要施工=15天．
答：甲、乙兩個工程隊各需要施工天數(shù)分別是10天和15天．
【點睛】本題主要考查了分?jǐn)?shù)乘除法的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，明確題意、準(zhǔn)確得到數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2022·全國·七年級期中）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對疫苗急需問題，某制藥廠緊急批量生產(chǎn)，計劃每人每小時生產(chǎn)疫苗500劑，但受某些因素影響，某車間有10名工人不能按時到廠．為了應(yīng)對疫情，該車間其余工人加班生產(chǎn)，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成的工作量不變，這樣每天能完成預(yù)定任務(wù)．
(1)求該車間當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有多少人；
(2)生產(chǎn)4天后，未到的工人同時到崗加入生產(chǎn)，每天生產(chǎn)時間仍為10小時．若上級分配給該車間共780萬劑的生產(chǎn)任務(wù)，問該車間還需要多少天才能完成任務(wù)．
【答案】(1)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有40人(2)車間還需要28天才能完成任務(wù)
【分析】（1）設(shè)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有x人，根據(jù)完成的工作總量不變，即可得出關(guān)于x的方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)還需要生產(chǎn)y天才能完成任務(wù)，根據(jù)工作總量＝工作效率×工作時間×工作人數(shù)，即可得出關(guān)于y的方程求解．
（1）解：設(shè)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有x人，由題意可得：
500×10x＝500×8（x+10），
解得：x＝40．
故當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有40人；
（2）780萬＝7800000，
設(shè)還需要生產(chǎn)y天才能完成任務(wù)，由題意可得：
4×500×10×40+（40+10）×10×500y＝7800000，
解得：y＝28．
故該車間還需要28天才能完成任務(wù)．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系正確列方程計算是解題關(guān)鍵．
7．（2022·河南信陽·七年級期末）為推進(jìn)我國“碳達(dá)峰、碳中和”雙碳目標(biāo)的實現(xiàn)，各地大力推廣分布式光伏發(fā)電項目．某公司計劃建設(shè)一座光伏發(fā)電站，若由甲工程隊單獨施工需要3周，每周耗資8萬元，若由乙工程隊單獨施工需要6周，每周耗資3萬元．
(1)若甲、乙兩工程隊合作施工，需要幾周完成?共需耗資多少萬元?
(2)若需要最遲4周完成工程，請你設(shè)計一種方案，既保證按時完成任務(wù)，又最大限度節(jié)省資金．（時間按整周計算）
【答案】(1)甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資22萬元
(2)選擇先由甲和乙兩工程隊合作施工1周，剩下的由乙單獨施工3周最節(jié)省資金
【分析】（1）設(shè)甲、乙兩工程隊合作施工，需要x周完成，根據(jù)“甲工程隊單獨施工需要3周”、“由乙工程隊單獨施工需要6周”可列方程求解；
（2）設(shè)先由甲和乙兩工程隊合作施工y周，剩下的由乙單獨完成，根據(jù)“甲的工作量+乙的工作量=1”列出方程并解答；然后根據(jù)甲、乙兩隊的每周耗資作出方案的選擇．
（1）解：設(shè)甲、乙兩工程隊合作施工，需要x周完成．根據(jù)題意，得(+)x=1．解得x=2．所以（8+3）×2=22（萬元）．答：甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資22萬元；
（2）解：設(shè)先由甲和乙兩工程隊合作施工y周，剩下的由乙單獨完成．根據(jù)題意，得，解得y=1，所以4-1=3，所以（8+3）×1+3×3=20（萬元）．所以選擇先由甲和乙兩工程隊合作施工1周，剩下的由乙單獨施工3周最節(jié)省資金．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)工作量=工作時間×工作效率列方程求解．
8．（2022·浙江臺州·一模）新農(nóng)村建設(shè)中，某鎮(zhèn)成立了新型農(nóng)業(yè)合作社，擴(kuò)大了油菜種植面積，今年2000畝油菜喜獲豐收．該合作社計劃租賃5臺油菜收割機(jī)機(jī)械化收割，一臺收割機(jī)每天大約能收割40畝油菜．
(1)求該合作社按計劃幾天可收割完這些油菜；
(2)該合作社在完成了一半收割任務(wù)時，從氣象部門得知三天后有降雨，于是該合作社決定再租賃3臺油菜收割機(jī)加入搶收，并把每天的工作時間延長10%，請判斷該合作社能否完成搶收任務(wù)，并說明理由．
【答案】(1)該合作社按計劃10天可收割完這些油菜(2)該合作社能完成搶收任務(wù)，理由見解析
【分析】（1）設(shè)該合作社按計劃天可收割完這些油菜，再根據(jù)“工作效率工作時間=工作總量”列一元一次方程并解答即可；
（2）先求出增加3臺油菜收割機(jī)后一天的收割量，再求出三天的收割量，然后和1000畝進(jìn)行比較即可．
(1)解：設(shè)該合作社按計劃天可收割完這些油菜
解得：
答：該合作社按計劃10天可收割完這些油菜；
(2)解：原來一天的收割量：（畝），
現(xiàn)在一天的收割量：（畝），
現(xiàn)在三天可完成的收割量：（畝）畝．
答：該合作社能完成搶收任務(wù)．
【點睛】本題考查了一元一次方程應(yīng)用中的工程問題，找到等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
9．（2021·四川德陽·七年級期末）某工程隊承包德阿公路綿竹市境內(nèi)一段長為1755米的道路改造工程，由甲、乙兩個施工小隊分別從南、北兩端同時施工．已知甲隊比乙隊平均每天多施工3米，經(jīng)過5天施工后，兩個小隊共完成施工路段135米．
(1)求甲、乙兩個小隊平均每天各施工多少米？
(2)為加快進(jìn)度，通過改進(jìn)施工技術(shù)，在剩余的工程中，甲隊平均每天能比原來多施工1米，乙隊平均每天能比原來多施工2米，甲、乙同時按此施工，能夠比原來提前多少天完成道路改造任務(wù)？
【答案】(1)甲施工小隊平均每天施工15米，乙施工小隊平均每天施工12米．(2)能夠比原來提前6天完成道路改造任務(wù)．
【分析】（1）設(shè)乙施工小隊平均每天施工米，則甲施工小隊平均每天施工米．根據(jù)題意列出一元一次方程并求解即可．
（2）根據(jù)工作總量÷工作效率=工作時間求出改進(jìn)施工技術(shù)前后所用的時間，進(jìn)而即可求出改進(jìn)施工技術(shù)后少用的天數(shù)．
(1)解：設(shè)乙施工小隊平均每天施工米，則甲施工小隊平均每天施工米．
根據(jù)題意得：．
解得：．
所以．
答：甲施工小隊平均每天施工15米，乙施工小隊平均每天施工12米．
(2)解：改進(jìn)施工技術(shù)后，甲施工小隊平均每天施工米；乙施工小隊平均每天施工米．
則改進(jìn)施工技術(shù)后，剩余的工程還需：天；
按原施工進(jìn)度，剩余的工程還需：天．
所以少用的天數(shù)為：天．
答：能夠比原來提前6天完成道路改造任務(wù)．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，熟練掌握該知識點是解題關(guān)鍵．
10．（2022·湖北武漢·七年級期末）一項工程，甲隊單獨做需20天完成，乙隊單獨做需30天完成．
(1)甲乙兩隊合作幾天可以完成任務(wù)？
(2)最初甲乙兩隊合作，但中途甲因事離開幾天，若開工后15天完成了這項工程的，則甲中途離開了幾天？
【答案】(1)甲乙兩隊合作12天可以完成任務(wù)(2)甲中途離開了10天
【分析】（1）由題意可知，甲隊獨做每天完成全部的，乙隊獨做每天完成全部，根據(jù)甲乙合作的工作量為1得方程；
（2）設(shè)甲中途離開了天，根據(jù)甲的工作量乙做15天的工作量之和為得方程．
(1)解：甲乙兩隊合作天可以完成任務(wù)，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：甲乙兩隊合作12天可以完成任務(wù)；
(2)解：設(shè)甲中途離開了天，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：甲中途離開了10天．
【點睛】此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要注意合作完成與單獨完成之間的關(guān)系，再根據(jù)題里數(shù)據(jù)先求出甲乙合作時間完成總量的幾分之幾，再由已知條件即可解決問題．
11．（2021·湖北恩施·七年級階段練習(xí)）湖北荊宜高速公路是“國家高速公路網(wǎng)規(guī)劃”中的建設(shè)工程，該工程預(yù)算國撥總投資為24億元，分土建、路面、設(shè)施三個建設(shè)項目，路面投資占土建投資的，設(shè)施投資比土建投資少40%、由于物價的上漲，工程建設(shè)實際總投資隨之增長，路面投資的增長率是土建投資增長率的2.5倍，設(shè)施投資的增長率達(dá)到路面投資增長率的2倍，
(1)三個項目的預(yù)算投資分別是多少億元？
(2)由于合理施工，使公路提前半年通車，每月可通行車輛100萬輛，每輛車的平均收益為40元．這樣，可將提前半年通車收益的70%用于該工程建設(shè)的實際投資，減少了國撥投資，使預(yù)算國撥總投資減少的百分率與土建投資的增長率相同，該工程的實際總投資是多少億元？
【答案】(1)土建、路面、設(shè)施三個項目的預(yù)算投資分別是10億元，8億元，6億元(2)該工程的實際總投資是25.2億元
【分析】（1）設(shè)土建為x億元，則路面為億元，設(shè)施為（1﹣40%）x億元，根據(jù)題意，列方程求解即可；
（2）設(shè)土建投資增長率為x，則路面投資的增長率是2.5x，設(shè)施投資的增長率是2×2.5x＝5x，依據(jù)題意，找到等量關(guān)系，列出方程求解即可．
(1)解：設(shè)土建為x億元，則路面為億元，設(shè)施為（1﹣40%）x億元，
∴x++（1﹣40%）x＝24，
∴x＝10，
∴，
（1﹣40%）x＝6．
答：土建、路面、設(shè)施三個項目的預(yù)算投資分別是10億元，8億元，6億元
(2)解：設(shè)土建投資增長率為x，則路面投資的增長率是2.5x，設(shè)施投資的增長率是2×2.5x＝5x，
預(yù)算國撥總投資減少的百分率為x．
國撥總投資：24×（1﹣x），
該工程的實際各項投資之和是10×（1+x）+8×（1+2.5x）+6×（1+5x），
∵70%×40×100×6＝16800（萬元）＝1.68億元，
∴24×（1﹣x）+1.68＝10×（1+x）+8×（1+2.5x）+6×（1+5x），
解得：x＝0.02＝2%
24×（1﹣x）+1.68＝25.2（億元）
答：該工程的實際總投資是25.2億元．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，設(shè)出合適的未知數(shù)，找到等量關(guān)系，列出方程．
考點4：營銷問題
典例：（2022·河南·鄭州市第四初級中學(xué)七年級期末）丹尼斯經(jīng)銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價60元，利潤20元；乙種商品每件進(jìn)價50元，售價80元．
(1)甲種商品每件進(jìn)價為 元，每件乙種商品利潤率為 ；
(2)丹尼斯同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共50件，總進(jìn)價為2100元，求購進(jìn)甲種商品多少件？
(3)在“春節(jié)”期間，該商場對所有商品進(jìn)行如下的優(yōu)患促銷話動：
按上述優(yōu)惠條件，若小麗一次性購買乙種商品實際付款504元，求小麗購買商品的原價是多少？
【答案】(1)40，60%；
(2)購進(jìn)甲種商品40件；
(3)小麗購買商品的原價是560元或640元．
【分析】（1）根據(jù)進(jìn)價＝售價－利潤，利潤率＝利潤÷進(jìn)價，列式計算即可；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種商品x件，則購進(jìn)乙種商品（50?x）件，再由總進(jìn)價是2100元，列出方程求解即可；
（3）設(shè)小麗購買商品的原價是y元，分兩種情況討論，①小麗購買商品的原價超過450元，但不超過600元，②小麗購買商品的原價超過600元，分別列方程求解即可．
（1）
解：由題意得：甲種商品每件進(jìn)價為60－20＝40元；
乙種商品的利潤率為（80?50）÷50＝60%，
故答案為：40，60%；
（2）
設(shè)購進(jìn)甲種商品x件，則購進(jìn)乙種商品（50?x）件，
由題意得：40x＋50（50?x）＝2100，
解得：x＝40，
答：購進(jìn)甲種商品40件；
（3）
設(shè)小麗購買商品的原價是y元，
①若小麗購買商品的原價超過450元，但不超過600元，
由題意得：0.9y＝504，
解得：y＝560，
②若小麗購買商品的原價超過600元，
由題意得：600×0.82＋（y?600）×0.3＝504，
解得：y＝640，
答：小麗購買商品的原價是560元或640元．
方法或規(guī)律點撥
本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．
鞏固練習(xí)
1．（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級期末）把一批上衣按進(jìn)價提高50%后作為售價，因打6折促銷，售價相應(yīng)調(diào)整為90元，打折后每件上衣（ ）
A．賺20元B．賺10元C．虧20元D．虧10元
【答案】D
【分析】設(shè)上衣的進(jìn)價為x元，則提高后的價格為（1+50%）x元，打折后的價格為x（1+50%）×60%元，根據(jù)打折后的價格為90元建立方程求出其解即可．
【詳解】解：設(shè)上衣的進(jìn)價為x元，由題意，得
x（1+50%）×60%=90，
解得：x=100．
打折后每件上衣的利潤為：90100=10元．
故選：D．
【點睛】本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系的運用，列一元一次方程解實際問題的運用，解答時根據(jù)打折后的售價為90元建立方程求出進(jìn)價是關(guān)鍵．
2．（2022·甘肅·甘州中學(xué)七年級期末）某個體商販在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，每件都以135元出售，若按成本計算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%，則在這次買賣中，他( )
A．不賺不賠B．賠了12元C．賠了18元D．賺了18元
【答案】C
【分析】要知道賠賺，就要先算出兩件衣服的原價，要算出原價就要先設(shè)出未知數(shù)，然后根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解．
【詳解】設(shè)在這次買賣中第一件原價是x，則可列方程：（1+25%）x＝135，
解得：x＝108，比較可知，第一件賺了27元；
設(shè)第二件原價是，
第二件可列方程：（1﹣25%）＝135，
解得：＝180，
比較可知虧了45元，
兩件相比則一共虧了45﹣27＝18元．
故選：C．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明白盈利與虧本的含義，準(zhǔn)確列出計算式，計算結(jié)果，難度一般．
3．（2022·黑龍江·大慶市第四十四中學(xué)校期末）某種服裝因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按原價的七五折出售，將虧損25元，而按原售價的九折出售，將盈利20元，則該服裝的成本為（ ）
A．300 元B．280 元C．125元D．250元
【答案】D
【分析】設(shè)該服裝的售價為x元，根據(jù)按原售價的七五折出售，將虧損25元，而按原售價的九折出售，將盈利20元，列方程求出售價，繼而可求出成本．
【詳解】解：設(shè)該服裝的售價為x元，
由題意得，0.75x+25=0.9x-20，
解得：x=300，
則成本價為：300×0.75+25=250（元）．
故選：D．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列方程求解．
4．（2022·甘肅·永昌縣第六中學(xué)七年級期末）一件夾克衫先按成本價提高70%標(biāo)價，再將標(biāo)價打7折出售，結(jié)果獲利38元．設(shè)這件夾克衫的成本價是x元，那么依題意所列方程正確的是( )
A．70%（1+70%）x＝x+38B．70%（1+70%）x＝x﹣38
C．70%（1+70%x）＝x﹣38D．70%（1+70%x）＝x+38
【答案】A
【分析】設(shè)這件夾克衫的成本價是x元，根據(jù)售價＝成本＋利潤，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：設(shè)這件夾克衫的成本價是x元，
依題意，得：70%（1＋70%）x＝x＋38，
故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·黑龍江哈爾濱·七年級期末）某商店有兩個進(jìn)價不同的電水壺都賣了元，其中一個盈利，而另一個虧損了，則在這次買賣中，這家商店（ ）
A．不賠不賺B．賺了元錢C．賠了元D．賺了元
【答案】B
【分析】設(shè)盈利的進(jìn)價是元，虧本的進(jìn)價是元，根據(jù)某商店有兩個進(jìn)價不同的電水壺都賣了80元，其中一個盈利，而另一個虧損了，可列方程求解．
【詳解】解：設(shè)盈利的進(jìn)價是元，
，
解得：，
設(shè)虧本的進(jìn)價是元，
，
解得：，
∴（元），
∴這家商店賺了元錢．
故選：B．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)利潤＝售價－進(jìn)價，求出兩個商品的進(jìn)價，從而得解．
6．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）國慶期間，“新世紀(jì)百貨”搞換季打折．簡爽同學(xué)以折的優(yōu)惠價購買了一件運動服節(jié)省元，那么他購買這件衣服實際用了______ 元．
【答案】64
【分析】根據(jù)題意利用原價與打折之間的關(guān)系得出方程，進(jìn)而得出實際售價．
【詳解】解：設(shè)衣服實際用了元，
則
解得元，
故實際用了元．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·河北·涿州市雙語學(xué)校七年級期末）家樂福超市購進(jìn)了一批書包，按成本價提高50%后標(biāo)價，為了增加銷量，又以9折優(yōu)惠進(jìn)行銷售，每個售價為108元．
(1)這批書包每個的成本價是多少元？請你列方程此應(yīng)用題；
(2)若這批書包一共購進(jìn)100個，全部以108元的售價賣出，該超市共盈利多少元？
【答案】(1)這批書包每個的成本價是80元(2)該超市共盈利2800元
【分析】（1）可設(shè)書包每個的成本價為x元，則根據(jù)價格的變化得到x（1＋50%）×90%＝108，解方程即可；
（2）根據(jù)單個的利潤×總個數(shù)算出總的盈利額即可．
（1）解：設(shè)這批書包每個的成本價是x元，則標(biāo)價為（1＋50%）x，9折優(yōu)惠后售價為90%×（1＋50%）x，
由題意得：90%×（1＋50%）x＝108，
解得：x＝80，
答：這批書包每個的成本價是80元．
（2）解：該超市共盈利：
（元），
答：該超市共盈利2800元．
【點睛】本題主要考查的是一元一次方程的應(yīng)用，清楚進(jìn)價（成本）、標(biāo)價、售價的意義是基本要求，理清：售價?成本＝利潤，是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·甘肅·甘州中學(xué)七年級期末）元旦節(jié)期間，百貨商場為了促銷，每件夾克按成本價提高50%后標(biāo)價，后因季節(jié)關(guān)系按標(biāo)價的8折出售，每件仍盈利20元，這批夾克每件的成本價是多少元？
【答案】這批夾克每件的成本價是100元
【分析】設(shè)成本價為x 元，根據(jù)提價打折之后盈利為20元，列出方程式，求解即可．
【詳解】設(shè)成本價為x元，
依題意得：x（1+50%）×80%﹣x＝20，解得：x＝100，
答：這批夾克每件的成本價是100元．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系，列方程求解．
9．（2022·山東濟(jì)南·七年級期末）某水果銷售店用1000元購進(jìn)甲、乙兩種水果共140千克，這兩種水果的進(jìn)價、售價如下表所示：
(1)這兩種水果各購進(jìn)多少千克？
(2)若該水果店把這兩種水果全部按九折售完，則可獲利多少元？
【答案】(1)購進(jìn)甲種水果共65千克，購進(jìn)乙種水果共75千克(2)345.5元
【分析】（1）設(shè)購進(jìn)甲種水果共千克，則購進(jìn)乙種水果共千克，根據(jù)兩種水果的總進(jìn)價1000元，列方程并求解即可；
（2）兩種水果全部按九折售完，算出兩種水果售價和利潤，即可得出利潤．
（1）解：設(shè)購進(jìn)甲種水果共千克，則購進(jìn)乙種水果共千克，得：
，
解得，
∴購進(jìn)乙種水果：=75（千克）
答：購進(jìn)甲種水果共65千克，購進(jìn)乙種水果共75千克；
（2）獲利：（元），
答：若該水果店把這兩種水果全部按九折售完，則可獲利345.5元．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用題，找出等量關(guān)系列方程是本題的關(guān)鍵．
10．（2022·山東青島·八年級期末）某社區(qū)蔬菜超市從生產(chǎn)基地購進(jìn)一種蔬菜進(jìn)行銷售，在運輸、銷售過程中因水分流失，腐爛變質(zhì)等因素質(zhì)量損失8%，假設(shè)不計超市其他費用．
(1)如果超市在進(jìn)價的基礎(chǔ)上提高8%，那么請你通過計算說明超市是否虧本？
(2)如果超市至少要獲得25%的利潤，那么這種蔬菜的售價最低應(yīng)提高百分之幾？（結(jié)果精確到0.1%）
【答案】(1)超市虧本；(2)這種蔬菜的售價最低應(yīng)提高35.9%．
【分析】（1）設(shè)進(jìn)價為a元/千克，共購進(jìn)了b千克，利用銷售總金額=銷售單價×銷售數(shù)量及進(jìn)貨總金額=進(jìn)貨單價×進(jìn)貨數(shù)量，可用含a，b的代數(shù)式表示出銷售總金額及進(jìn)貨總金額，比較后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)這種蔬菜的售價應(yīng)提高x，利用利潤=銷售單價×銷售數(shù)量-進(jìn)貨總金額，結(jié)合超市至少要獲得25%的利潤，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
（1）設(shè)進(jìn)價為a元/千克，共購進(jìn)了b千克，
則銷售總金額為（1+8%）a?（1-8%）b=0.9936ab（元），進(jìn)貨總金額為ab元．
∵0.9936ab＜ab，
∴超市虧本；
（2）設(shè)這種蔬菜的售價應(yīng)提高x，
依題意得：（1+x）a?（1-8%）b-ab≥25%ab，
解得：x≥0.359=35.9%．
答：這種蔬菜的售價最低應(yīng)提高35.9%．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、列代數(shù)式以及近似數(shù)和有效數(shù)字，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含a，b的代數(shù)式表示出超市的銷售總金額及進(jìn)貨總金額；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
11．（2021·江蘇·東海縣駝峰中學(xué)七年級階段練習(xí)）某水果店以5元/千克的價格購進(jìn)一批橙子，很快售罄，該店又再次購進(jìn)，第二次進(jìn)貨價格比第一次每千克便宜了2元，兩次一共購進(jìn)600千克，且第二次進(jìn)貨的花費是第一次進(jìn)貨花費的1.2倍．
(1)該水果店兩次分別購進(jìn)了多少千克的橙子？
(2)售賣中，第一批橙子在其進(jìn)價的基礎(chǔ)上加價進(jìn)行定價，第二批橙子因為進(jìn)價便宜，因此以第一批橙子的定價再打八折進(jìn)行銷售．銷售時，在第一批橙子中有的橙子變質(zhì)不能出售，在第二批橙子中有的橙子變質(zhì)不能出售，該水果店售完兩批橙子能獲利2102元，求的值．
【答案】(1)第一次購進(jìn)橙子200千克，第二次購進(jìn)橙子400千克．
(2)a的值為80．
【分析】(1)設(shè)第一次購進(jìn)橙子x千克，則第二次購進(jìn)（600-x）千克，根據(jù)題意列方程求出x，則可知道第一次的數(shù)量，進(jìn)而求出第二次的數(shù)量．
(2)根據(jù)題意把第一批橙子的總售價表示出來為5(1+a%)·200(1-5%)，第二批橙子的總售價表示出來為5(1+a%)·80%·400(1-10%)，根據(jù)該水果店售完兩批橙子能獲利2102元，列方程求出a的值即可．
（1）設(shè)第一次購進(jìn)橙子x千克，則第二次購進(jìn)（600-x）千克，根據(jù)題意列方程得(5-3)(600-x)=1.2·5x解得x=200600-x=400答：第一次購進(jìn)橙子200千克，第二次購進(jìn)橙子400千克．
（2）根據(jù)題意得第一批橙子的總售價為5(1+a%)·200(1-5%)，第二批橙子的總售價為5(1+a%)·80%·400(1-10%)，則[5(1+a%)·200(1-5%)-5×200]- [5(1+a%)·80%·400(1-10%)-3×400]=2102化簡得2390（1+a%）=43021+a%=1.8a%=80%a=80a的值為80
【點睛】本題主要考查列一元一次方程解決利潤問題．要明確總利潤=第一批的利潤+第二批的利潤，每一批的利潤=每一批的總售價-每一批的總進(jìn)價，正確的列出方程是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·山東·日照市北京路中學(xué)七年級期末）某商場經(jīng)銷的甲、乙兩種商品，甲種商品每件進(jìn)價40元，加價50%作為售價；乙種商品每件進(jìn)價50元，售價80元．
(1)甲種商品每件售價為_____元，乙種商品每件的利潤為 元，利潤率為 ％．
(2)若該商場同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價為2100元，求購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？
(3)按以下優(yōu)惠條件，若小梅一次性購買乙種商品實際付款504元，則此次小梅在該商場最多購買乙種商品多少件？
【答案】(1)60， 30， 60
(2)購進(jìn)甲種商品40件，則購進(jìn)甲種商品10件
(3)此次小梅在該商場最多購買乙種商品8件
【分析】(1) 根據(jù)甲種商品每件進(jìn)價40元，加價50%作為售價，所以售價=進(jìn)價×（1+50%）乙種商品每件的利潤為售價-進(jìn)價，求出售價和利潤率；
(2)設(shè)購進(jìn)甲種商品x件，則購進(jìn)乙種商品(50-x)件，再由總進(jìn)價是2100元，列出方程求解即可； .
(3)分兩種情況討論，①打折前購物金額超過450元，但不超過600元，②打折前購物金額超過600元，分別列方程求解即可．
（1）由題意得，
甲種商品每件售價為：
40×(1 + 50%) = 60(元)，
乙種商品每件的利潤為80 - 50 = 30(元)，
乙種商品的利潤率為×100% = 60%，
故答案為： 60， 30， 60．
（2）設(shè)購進(jìn)甲種商品x件，則購進(jìn)甲種商品(50-x)件，根據(jù)題意，得
40x+ 50(50- x) = 2100，
解得x=40，
乙種商品件數(shù)為50- x= 50- 40= 10(件)
答：購進(jìn)甲種商品40件，則購進(jìn)甲種商品10件．
（3）設(shè)小梅購買乙種商品a件，則共需(80a)元，
①當(dāng)80a≤450時，不符合題意，舍去；
②當(dāng)450 < 80a≤600時，0.9×80a= 504
解得：a= 7，經(jīng)檢驗，符合題意；
③當(dāng)80a > 600時，
600×0.82+0.3(80a-600)=504，
解得： a=8，經(jīng)檢驗，符合題意；
∵8> 7，
∴此次小梅在該商場最多購買乙種商品8件．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到等量關(guān)系，利用方程思想求解．
13．（2022·陜西·西安市第三中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知：A＝3mx－x，B＝－mx－3x＋m．
(1)化簡：3A－2B；
(2)若3A－2B的值與字母m的取值無關(guān)，求x的值．
(3)請利用上述問題中的數(shù)學(xué)方法解決下面問題：某醫(yī)藥器材經(jīng)銷商計劃同時購進(jìn)一批甲、乙兩種型號的口罩，已知甲型號口罩每箱進(jìn)價為700元，乙型號口罩每箱進(jìn)價為500元．該醫(yī)藥公司根據(jù)疫情情況，決定購進(jìn)兩種型號的口罩共30箱，有多種購進(jìn)方案．現(xiàn)銷售一箱甲型號口罩，利潤率為40%，乙型號口罩的售價為每箱800元，而且為了及時控制疫情，公司決定每售出一箱乙型號口罩，返還顧客現(xiàn)金a元，甲型號口罩售價不變，要使不同方案所購進(jìn)的口罩全部售出后經(jīng)銷商最終獲利相同，求a的值．
【答案】(1)11mx+3x-2m(2)(3)20
【分析】（1）將A、B的值代入計算整式的加減即可得；
（2）根據(jù)“值與字母m的取值無關(guān)”建立方程，再解方程即可得；
（3）設(shè)經(jīng)銷商購進(jìn)甲型口罩x箱，從而可得購進(jìn)乙型口罩箱，再根據(jù)題意列出利潤的表達(dá)式，然后參照（2）的方法求解即可得．
（1）解：A＝3mx－x，B＝－mx－3x＋m
3A－2B
=3(3mx－x)-2(－mx－3x＋m)
=9mx-3x+2mx+6x-2m
=11mx+3x-2m
（2）3A－2B
=11mx+3x-2m
=m(11x-2)+3x
3A-2B的值與字母m的取值無關(guān)，
∴11x-2=0，
解得；
（3）設(shè)經(jīng)銷商購進(jìn)甲型口罩x箱，則購進(jìn)乙型口罩箱，
則經(jīng)銷商的利潤為，
，
，
要使不同方案所購進(jìn)的口罩全部售出后經(jīng)銷商最終獲利相同，
則，
解得．
【點睛】本題考查了整式乘法與加減法的應(yīng)用、以及無關(guān)型問題、一元一次方程的應(yīng)用，正確列出利潤的表達(dá)式是解題關(guān)鍵．
14．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）某商店購進(jìn)甲、乙兩種型號的節(jié)能燈共100只，購進(jìn)100只節(jié)能燈的進(jìn)貨款恰好為2600元，這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價、預(yù)售價如下表：（利潤=售價-進(jìn)價）
(1)求該商店購進(jìn)甲、乙兩種型號的節(jié)能燈各多少只？
(2)在實際銷售過程中，商店按預(yù)售價將購進(jìn)的甲型號節(jié)能燈全部售出，購進(jìn)的乙型號節(jié)能燈部分售出后，決定將乙型號節(jié)能燈打九折銷售，全部售完后，兩種節(jié)能燈共獲得利潤380元，求乙型號節(jié)能燈按預(yù)售價售出了多少只？
【答案】(1)購進(jìn)甲型號的節(jié)能燈60只，購進(jìn)乙型號的節(jié)能燈40只(2)10只
【分析】（1）設(shè)該商店購進(jìn)甲種型號的節(jié)能燈只，則可以購進(jìn)乙種型號的節(jié)能燈只，根據(jù)“購進(jìn)100只節(jié)能燈的進(jìn)貨款恰好為2600元”列方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)乙型節(jié)能燈按預(yù)售價售出的數(shù)量是只，由兩種節(jié)能燈共獲利380元列方程，解方程即可求解．
（1）解：設(shè)該商店購進(jìn)甲種型號的節(jié)能燈只，則可以購進(jìn)乙種型號的節(jié)能燈只，
由題意可得：，
解得：，
（只，
答：該商店購進(jìn)甲種型號的節(jié)能燈60只，可以購進(jìn)乙種型號的節(jié)能燈40只；
（2）解：設(shè)乙型節(jié)能燈按預(yù)售價售出的數(shù)量是只，
由題意得，
解得：，
答：乙型節(jié)能燈按預(yù)售價售出的數(shù)量是10只．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程進(jìn)行求解．
考點5：比賽積分問題
典例：（2022·安徽合肥·七年級期末）聰聰同學(xué)到某校游玩時，看到運動場的宣傳欄中的部分信息（如表）：
聰聰同學(xué)結(jié)合學(xué)習(xí)的知識設(shè)計了如下問題，請你幫忙解決：
(1)從表中可以看出，負(fù)一場積 分，勝一場積 分；
(2)某隊在比完22場的前提下，勝場總積分能等于負(fù)場總積分嗎？請說明理由．
【答案】(1)1，2；(2)不可能勝場總積分能等于負(fù)場總積分【分析】（1）仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律并計算即可；
（2）仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律并設(shè)出未知數(shù)列出一元一次方程求解即可．
(1)由題意可得，
負(fù)一場積分為：（分，
勝一場的積分為：（分，
故答案為：1，2；
(2)設(shè)勝場，負(fù)場，
由題知，
解得．
∴不可能勝場總積分能等于負(fù)場總積分．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的重點語句找到等量關(guān)系并列出方程求解．
鞏固練習(xí)
1．（2022·陜西咸陽·七年級開學(xué)考試）甲、乙兩隊開展足球?qū)官悾?guī)定每隊勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．甲隊與乙隊一共比賽了10場，甲隊保持了不敗記錄，一共得了22分，設(shè)甲隊勝了x場，則列方程為（ ）
A．x-3（10-x）=22B．3x-（10-x）=22
C．x+3（10-x）=22D．3x+（10-x）=22
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知，甲隊的勝場積分平場積分總積分，然后即可列出相應(yīng)的方程．
【詳解】解：設(shè)甲隊勝了場，則平了場，
由題意可得：，
故選：D．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出方程．
2．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心七年級期末）某電視臺組織知識競賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，每題必答．答對一題得x分，答錯一題扣2分．在此次競賽中，有一位參賽者答對14道題，答錯6道題，這位參賽者的最終得分為72分．則x＝________．
【答案】6
【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行列方程進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意得：
，
解得：；
故答案為：6
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年級期末）某足球協(xié)會舉辦一次足球賽，其記分規(guī)則及獎勵方案（每人）如下表：
當(dāng)比賽進(jìn)行到每隊各比賽12場時，A隊（11名球員）共積分22分，并且沒有輸一場．
（1）A隊勝______場；
（2）若每賽一場每名隊員均得出場費500元，則A隊的某一名隊員在這12場比賽中所得的獎金與他的出場費的和為______元．
【答案】 5 18400
【分析】（1）設(shè)A隊勝利x場，則平了（12?x）場，根據(jù)總積分為22分列出方程即可求解；
（2）根據(jù)（1）中求得勝場數(shù)和平場數(shù)計算每名隊員的獎金和出場費的總和即可解題．
【詳解】解：（1）設(shè)A隊勝利x場，則平了（12?x）場，根據(jù)題意得：
3x＋（12?x）＝22，
解得：x＝5；
∴A隊勝5場．
故答案為：5．
（2）∵每場比賽出場費500元，12場比賽出場費共500×12=6000（元），
贏了5場，獎金為1500×5＝7500（元），
平了7場，獎金為700×7＝4900（元），
∴獎金加出場費一共（元）．
故答案為：18400．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，本題中根據(jù)總場數(shù)和總積分，設(shè)A隊勝利x場，列出方程求解，是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·云南昆明·七年級期末）為了傳承中華文化，激發(fā)愛國情懷，提高文學(xué)素養(yǎng)，師達(dá)中學(xué)初一（1）班舉辦了“古詩詞”大賽，現(xiàn)有小關(guān)、小雯、小婷三位同學(xué)進(jìn)入了最后冠軍的角逐，決賽共分為六輪， 規(guī)定：每輪分別決出第 1，2，3 名（沒有并列），對應(yīng)名次的得分都分別為a ，b ，c(a ? b ? c且 a ， b ， c 均為正整數(shù)）．選手最后得分為各輪得分之和，得分最高者為冠軍．下表是三位選手在每輪比賽中的部分得分情況，根據(jù)題中所給信息，則小婷同學(xué)在這六輪中，共有____輪獲得了第三．
【答案】2
【分析】根據(jù)三位同學(xué)的最后得分情況列出關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系式，然后結(jié)合且a，b，c均為正整數(shù)確定a，b，c的值，從而確定小婷同學(xué)有幾輪獲得第三．
【詳解】解：由題意可得：，
∴．
∵a，b，c均為正整數(shù)，
若每輪比賽第一名得分a為4，則最后得分最高的為，
∴a必大于4．
又∵，
∴最小取3，
∴，
∴，，，
∴小關(guān)同學(xué)最后得分27分，他5輪第一，1輪第二；
小雯同學(xué)最后得分11分，他1輪第一，1輪第二，4輪第三，
∴小關(guān)第二輪為第二，其余均為第一，
小雯第一、三、四輪均為第三，
∴小婷第一、三、四、六輪均為第二，第二、五輪均為第三，
∴小婷有2輪獲得第三，如下圖．
故答案為：2．
【點睛】本題考查，一元一次方程的應(yīng)用，方程的解邏輯推理能力，理解題意，分析數(shù)據(jù)間的等量關(guān)系，抓住第二輪比賽情況是解題關(guān)鍵．
5．（2021·福建·政和縣第三中學(xué)七年級期中）小明和爸爸下象棋，爸爸贏一盤得1分，小明贏一盤得3分，下了8盤后，兩人得分相等，如果沒有和棋，那么他們各贏了多少盤？對于這個問題，請你設(shè)未知數(shù)，列出方程，并解方程．
【答案】小明爸爸贏了6盤，小明贏了2盤
【分析】設(shè)小明爸爸贏了盤，則小明贏了盤，根據(jù)得分規(guī)則和下了8盤后，兩人得分相等建立方程，解方程即可得．
【詳解】解：設(shè)小明爸爸贏了盤，則小明贏了盤，
由題意得：，
解得，
則，
答：小明爸爸贏了6盤，小明贏了2盤．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．
6．（2022·江西宜春·七年級階段練習(xí)）利用二元一次方程組解應(yīng)用題：為有效落實雙減工作，切實做到減負(fù)提質(zhì)，很多學(xué)校高度重視學(xué)生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數(shù)．
【答案】該隊獲勝7場
【分析】設(shè)該隊獲勝x場，則平（11?x）場，利用總得分＝3×獲勝場次數(shù)＋1×平的場次數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)該隊獲勝x場，則平（11?x）場，
依題意得：3x＋（11?x）＝25，解得：x＝7，
∴11?x＝11?7＝4，
答：該隊獲勝7場．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·山東濱州·七年級期末）某年全國男子籃球聯(lián)賽某賽區(qū)有圣奧（山西）、香港、悅達(dá)（南京軍區(qū)）、濟(jì)源（河南）、三溝（遼寧）、廣西、豐紳（黑龍江）等球隊參加，積分情況如下：
(1)觀察上面表格，請直接寫出籃球聯(lián)賽勝一場積多少分，負(fù)一場積多少分；
(2)若設(shè)負(fù)場數(shù)為m，請用含m的式子表示某一個隊的總積分；
(3)某隊的勝場總積分能等于它的負(fù)場總積分的4倍嗎？說明理由．
【答案】(1)勝一場2分，負(fù)一場1分(2)24－m(3)能，理由見解析
【分析】（1）由三勾隊可求得負(fù)一場積分為1分，再由悅達(dá)隊可求勝一場的積分為2分；
（2）根據(jù)總積分＝勝場的積分＋負(fù)場的積分即可求解；
（3）可設(shè)這個隊勝了x場，根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程求解即可．
(1)解：由三勾隊的積分為12分，負(fù)了12場，則負(fù)一場的積分為：12÷12＝1（分），
再由悅達(dá)隊積分為23分，負(fù)了1場，勝了11場，則其勝場的總積分為：23?1?22（分），則勝一場的積分為：22÷11＝2（分）；
答：勝一場積2分，負(fù)一場積1分．
(2)解：若設(shè)負(fù)場數(shù)為m，則勝場數(shù)為（12?m），負(fù)場積分為m，勝場積分為2（12?m），因此總積分為：m＋2（12?m）＝24?m．
(3)解：設(shè)這個隊勝了x場，則負(fù)了（12?x）場，如果這個隊的勝場總積分等于負(fù)場總積分的4倍，則得方程為：
2x＝4（12?x），
解得：x＝8，
12?x＝4，
∴這個隊的勝場總積分能等于負(fù)場總積分的4倍，此時，勝場數(shù)為8，負(fù)場數(shù)為4．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意找到相應(yīng)的等量關(guān)系．
8．（2022·遼寧大連·七年級期末）下表為某籃球比賽過程中部分球隊的積分榜（籃球比賽沒有平局）
(1)觀察積分榜，填空∶球隊勝一場積___，負(fù)一場積 _____分；
(2)根據(jù)比賽規(guī)則，請求出E隊進(jìn)行了的11場比賽中，勝、負(fù)各多少場？
(3)此次籃球比賽，E球隊共參加 14場比賽．試猜想E球隊在接下來的比賽中，會不會出現(xiàn)勝場總積分等于負(fù)場總積分的2倍，如果會，說出是第幾場？共勝多少場？并通過計算驗證你的猜想；如果不會，說明理由．
【答案】(1)勝一場積2分，負(fù)一場積1分(2)勝了4場，負(fù)7場
(3)E隊進(jìn)行到14場的比賽中共勝7場，就會出現(xiàn)．
【分析】（1）根據(jù)表格進(jìn)行分析即可得出結(jié)果；
（2）可設(shè)E隊進(jìn)行了11場比賽中，勝了x場，則負(fù)（11?x）場，從而可列出方程，解方程即可；
（3）對E隊進(jìn)行分析．即可得出結(jié)果．
(1)由A得：23＝11×2＋1×1，由B隊得：22＝10×2＋2×1，
則勝一場積2分，負(fù)一場積1分，
故答案為：2，1；
(2)設(shè)E隊進(jìn)行了11場比賽中，勝了x場，則負(fù)（11?x）場，依題意得：
2x＋（11?x）＝15，
解得：x＝4，
11?4＝7（場），
答：E隊進(jìn)行了的11場比賽中，勝4場，負(fù)7場；
(3)可以．
當(dāng)E隊在進(jìn)行到第14場的比賽中共勝7場，出現(xiàn)勝場總積分等于負(fù)場總積分的2倍．
勝場積分
負(fù)場積，．
所以E隊進(jìn)行到14場的比賽中共勝7場，就會出現(xiàn)．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，明確總積分等于勝場積分與負(fù)場的和是解答的關(guān)鍵．
9．（2022·遼寧大連·七年級期末）某中學(xué)三年級各班級舉行一次籃球比賽，前四名隊伍積分榜信息如下表所示：
(1)表中信息可以看出，勝一場得________分，負(fù)一場得_________分；
(2)請直接寫出_____，________；
(3)若某班級的總積分之和為10分，求該班級勝場次數(shù)．
【答案】(1)2，1(2)15，13(3)該班級勝場次數(shù)為2場
【分析】（1）由第一名即可求出勝一場的得分，由最后一名即可求出負(fù)一場的得分；
（2）由（1）所求勝一場的得分和負(fù)一場的得分即可求出m和n的值；
（3）設(shè)該班勝場次數(shù)為x場，則負(fù)場次數(shù)為(8-x)場，根據(jù)題意列出關(guān)于x的等式，解出x即可．
(1)16÷8=2（分）
(12-4×2)÷4=1（分）
∴勝一場得2分，負(fù)一場得1分．
故答案為：2，1；
(2)
．
故答案為：15，13；
(3)設(shè)該班勝場次數(shù)為x場，則負(fù)場次數(shù)為(8-x)場，
根據(jù)題意得：，
解得：．
故該班級勝場次數(shù)為2場．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用．根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．
考點6：幾何問題
典例：（2022·吉林省第二實驗學(xué)校期中）如圖，在長方形ABCD中，，，點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C→D運動，到點D停止；點P以每秒的速度運動4秒，之后以每秒2cm的速度運動，設(shè)點P運動的時間是x（秒），點P運動的路程為，的面積是．
(1)點P共運動___秒；
(2)當(dāng)時，求y的值；
(3)當(dāng)?shù)拿娣eS是長方形ABCD面積的時，直接寫出x的值．
【答案】(1)10(2)4(3)4或9
【分析】（1）根據(jù)路程，速度，時間之間的關(guān)系解決問題即可；
（2）分前4秒，后1秒的路程分別求解；
（3）當(dāng)P在AB邊和CD邊時，的面積S是長方形ABCD面積的，由此即可解答．
(1)解：點P共運動時間=（秒），
故答案為：10；
(2)當(dāng)x=5時，y=；
(3)當(dāng)點P在AB邊時，，
∴，
∴，
∴AP=2，
∴x=；
當(dāng)點P在CD邊上時，，
∴，
∴，
∴DP=2，
∴，
綜上，x的值為4或9時，的面積S是長方形ABCD面積的．
方法或規(guī)律點撥
此題考查了動點問題，正確理解動點問題中路程，時間，速度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2022·河北承德·七年級期末）如圖，在大長方形（是寬）中放入六個長、寬都相同的小長方形，尺寸如圖所示，求小長方形的寬．若設(shè)，分析思路描述正確的是（ ）
甲：我列的方程，找小長方形的長作為相等關(guān)系；
乙：我列的方程，找的是大長方形的長做相等關(guān)系．
A．甲對乙不完全對B．甲不完全對乙對
C．甲乙都正確D．甲乙都不對
【答案】A
【分析】根據(jù)小長方形的長作為相等關(guān)系，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：設(shè)，根據(jù)小長方形的長作為相等關(guān)系，得出，
根據(jù)大長方形的寬做相等關(guān)系可得，
∴甲對乙不完全對，故A正確．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇·七年級單元測試）一個長方形的周長為28cm，若把它的長減少1cm，寬增加3cm，就變成一個正方形，則這個長方形的面積是（ ）
A．48B．45C．40D．33
【答案】B
【分析】設(shè)這個長方形的長為x cm，寬為（14-x）cm．則根據(jù)題意列出方程組，解可得到長方形的長，進(jìn)而得到正方形的邊長，再計算面積即可．
【詳解】解：設(shè)這個長方形的長為x cm，寬為（-x）cm，即（14-x)cm，
依題意得：x-1=14-x+3，
解得x=9．
所以-x=14-9=5（cm），
故該長方形的面積=9×5=45（cm2）．
故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
3．（2022·四川眉山·七年級期中）如圖，將長方形分割成1個灰色長方形與148個面積相等的小正方形．若灰色長方形之長與寬的比為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】可設(shè)灰色長方形的長上擺5x個小正方形，寬上擺3x個小正方形，因為將長方形ABCD分割成1個灰色長方形與148個面積相等的小正方形，可表示出灰色長方形的長和寬，進(jìn)而求出大長方形的長和寬，從而可求解．
【詳解】設(shè)灰色長方形的長上擺5x個小正方形，寬上擺3x個小正方形，則
2（5x+3x）+4=148，
x=9，
5x=45，3x=27，
∴AD=45+2=47，
AB=27+2=29，
∴．
故選：D．
【點睛】此題考查理解題意能力，關(guān)鍵是看到灰色長方形的周長和148個小正方形的關(guān)系，以及灰色長方形的邊長和大長方形的邊長的關(guān)系．
4．（2022·廣西桂林·七年級期末）如圖，在中，cm，射線，動點E從點A出發(fā)沿射線的AG方向以每秒2cm的速度運動，點E出發(fā)1秒后，動點F從點B出發(fā)在線段BC上以每秒4cm的速度向點C運動．當(dāng)點F運動到點C時，點E隨之停止運動．連接AF，CE．設(shè)點E的運動時間為t（秒），當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積時，t的值為______（秒）
【答案】5
【分析】過點A作AH⊥BC于H，分別寫出兩個三角形面積關(guān)系式，得出AE=FC，然后列出方程求解即可．
【詳解】解：過點A作AH⊥BC于H，如圖：
AE=2t，F(xiàn)C=BC–BF=26-4（t-1），
∴，
∵△AEC的面積等于△AFC的面積，
∴，
即AE=FC，
∴2t=26-4(t-1)
解得：t=5
故答案為：5．
【點睛】題目主要考查一元一次方程的應(yīng)用及動點問題，理解題意列出方程是解題關(guān)鍵．
5．（2021·黑龍江哈爾濱·七年級期末）如圖，一個長方形征好分成A、B、C、D、E、F這6個正方形，其中最小的正方形A邊長為1，則這個長方形的面積是_____________．
【答案】143
【分析】設(shè)正方形E的邊長為x，則原長方形的長為(3x+1)，寬為(2x+3)，然后根據(jù)長方形的對邊相等列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)正方形E的邊長為x，則D正方形的邊長是x+1,C正方形的邊長是x+2,B正方形的邊長是2x-1,
∴原長方形的長為(3x+1)，寬為(2x+3)，
根據(jù)題意，得2x-1+x=x+2+x+1，
解得：x=4．
當(dāng)x=4時，3x+1=13，2x+3=11，
∴長方形的面積=13×11=143．
故答案為：143．
【點睛】此題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析題意，找到各正方形的邊長之間的關(guān)系．
6．（2022·重慶豐都·七年級期末）在邊長為的正方形中，放置兩張大小相同的正方形紙板，邊在上，點，分別在，上，若區(qū)域的周長比區(qū)域Ⅱ與區(qū)域Ⅲ的周長之和還大，則正方形紙板的邊長為______．
【答案】5
【分析】設(shè)正方形紙板的邊長為，則，，根據(jù)區(qū)域Ⅰ的周長比區(qū)域Ⅱ與區(qū)域Ⅲ的周長之和還大列方程即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)正方形紙板的邊長為，則，，
區(qū)域Ⅰ的周長比區(qū)域Ⅱ與區(qū)域Ⅲ的周長之和還大，
，
解得，
正方形紙板的邊長為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·四川巴中·七年級期末）如圖，在長方形ABCD中，，，點E是AD上一點，，點P從點B出友，以1cm/s的速度從點B—C—D—E勻速運動，設(shè)點P運動的時間為ts，當(dāng)?shù)拿娣e為6cm2時，則t＝________．
【答案】或13或
【分析】分三種情況：當(dāng)點P在BC邊上時，當(dāng)點P在CD邊上時，當(dāng)點P在DE邊上時，分別利用三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：∵長方形ABCD，
∴AD=BC=9cm，CD=AB=8cm，
∵AE=2DE，
∴AE=6cm，DE=3cm，
當(dāng)點P在BC邊上時，如圖，
S△PCE=＝(9-t)×8=6，
解得：t=；
當(dāng)點P在CD邊上時，
S△PCE==(t-9)×3=6，
解得：t=13；
當(dāng)點P在DE邊上時，
S△PCE==(9+8+3-t)×8=6，
解得：t=；
綜上，當(dāng)?shù)拿娣e為6cm2時，則點P運動的時間為s或13s或s．
故答案為：或13或
【點睛】本題考查長方形的性質(zhì)，三角形面積，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·河南·南陽市第三中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，已知周長為30cm的圓形軌道上有相距10cm的A、B兩點（備注：圓形軌道上兩點間的距離是指圓上這兩點間的較短部分展直后的線段長）．動點P從A點出發(fā)，以7cm/s的速度，在軌道上按逆時針方向運動，與此同時，動點Q從B點出發(fā)，以3cm/s的速度按同樣的方向運動，設(shè)運動時間為t（s），在P、Q第一次相遇前，當(dāng)動點P、Q在軌道上相距12cm時，則t＝_________．
【答案】0.5或2
【分析】分P、Q逆時針相距12cm和P、Q順時針相距12cm兩種情況列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)運動時間為t（s），
當(dāng)P、Q順時針相距12cm時，
由題意得，
解得；
當(dāng)P、Q逆時針相距12cm，
由題意得：，
解得，
∴在P、Q第一次相遇前，當(dāng)動點P、Q在軌道上相距12cm時，則t=0.5或t=2，
故答案為：0.5或2．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的幾何應(yīng)用，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·河南南陽·七年級期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E為CD的中點，動點P從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E運動，最終到達(dá)點E．若點P運動的時間為x秒，則當(dāng)△APE的面積為5cm2時，x的值為__________．
【答案】或5
【分析】分P在AB上、P在BC上、P在CE上三種情況，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
【詳解】解：①當(dāng)P在AB上時，
∵△APE的面積等于5cm2，
∴x?3=5，
解得：x=；
當(dāng)P在BC上時，
∵△APE的面積等于5cm2，
∴S矩形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=5，
∴3×4-（3+4-x）×2-×2×3-×4×（x-4）=5，
解得：x=5；
③當(dāng)P在CE上時，
∵△APE的面積為5cm2，
∴（4+3+2-x）×3=5，
解得：x=（不合題意舍去），
綜上所述，x的值為或5，
故答案為：或5．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·上海楊浦·期中）如圖所示，在一塊展示牌上，整齊地貼著許多資料卡片，這些卡片的大小相同，卡片之間露出了三塊正方形空白（圖中陰影部分）．已知每張卡片的短邊長度是12厘米，求圖中陰影部分的面積．
【答案】108cm2
【分析】根據(jù)圖中可知：3個短邊+3個長邊=5個長邊；小正方形的邊長=長邊-短邊．兩個等量關(guān)系可求解．
【詳解】解：如圖所示：
設(shè)長方形卡片的長為xcm，依題意得：
5x=3×12+3x
解得：x=18．
設(shè)圖中小正形的邊長為ycm，依題意得：
y=18-12=6cm，
∴圖中陰影部分的面積為：6×6×3=108cm2．
【點睛】本題考查了一元一次方程思想求解幾何應(yīng)用題，關(guān)鍵找到等量關(guān)系．
10．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校期中）某社區(qū)進(jìn)行環(huán)境改造，計劃用地面磚鋪設(shè)樓前長方形廣場的地面，長為100米，長為80米，圖案設(shè)計如圖所示：廣場的四角為四個完全相同的長方形（鄰邊長分別為米和米），陰影部分為四個長方形，陰影部分鋪設(shè)綠色地面磚，其余部分鋪設(shè)白色地面磚．
(1)若，請直接寫出四個相同的小正方形面積總和______（用只含的代數(shù)式表示）；
(2)若，經(jīng)過市場調(diào)查了解白色地面磚每平方米的費用為20元，綠色地面磚每平方米的費用為10元．
①請用含的代數(shù)式表示圖中所有空白處的面積之和；
②并求出當(dāng)時，所鋪白色地面磚需要資金多少元；
(3)在（2）的條件下，為了增加廣場的綠化，現(xiàn)將廣場四角的白色正方形地面磚的85%中的一部分改為種植綠色景觀，另一部分改為鋪設(shè)綠色地面磚，種植綠色景觀每平方米的費用為30元．若廣場四角種植綠色景觀和鋪設(shè)綠色地面磚共花費9400元，則應(yīng)該將多少平方米的白色地面磚改為種植綠色景觀．
【答案】(1)(2)①；②元(3)300平方米
【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式求解即可；
（2）①結(jié)合圖形，利用長方形的面積公式求解即可；②求出空白面積，進(jìn)而可求得白色地磚所需的資金；
（3）設(shè)應(yīng)該將x平方米的白色地面磚改為種植綠色景觀，進(jìn)而求出綠色景觀和鋪設(shè)綠色地面磚的面積，再根據(jù)廣場四角種植綠色景觀和鋪設(shè)綠色地面磚共花費9400元列方程求解即可解答．
(1)解：根據(jù)題意，四個相同的小正方形面積總和為4a2，
故答案為：4a2；
(2)解：①根據(jù)題意，當(dāng)b=10時，
圖中所有空白處的面積之；
②當(dāng)a=10時，圖中所有空白處的面積之和為5200平方米，
∴所鋪白色地面磚需要資金為5200×20=104000元；
(3)解：應(yīng)該將x平方米的白色地面磚改為種植綠色景觀，
根據(jù)題意，得：，
解得：x=300，
答：應(yīng)該將300平方米的白色地面磚改為種植綠色景觀．
【點睛】本題考查列代數(shù)式求值、一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出代數(shù)式和方程是解答的關(guān)鍵．
11．（2022·河南平頂山·七年級期末）如圖所示，有甲、乙兩個容器，甲容器盛滿水，乙容器里沒有水，現(xiàn)將甲容器中的水全部倒入乙容器，問：水會不會溢出？如果不會溢出，請你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水會溢出，請你說明理由．（容器壁厚度忽略不計，圖中數(shù)據(jù)的單位：cm）
【答案】水不會溢出，理由見解析
【分析】根據(jù)兩個圓柱體的體積進(jìn)行計算即可解答本題．
【詳解】解：水不會溢出．
設(shè)甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深，
由題意，得，
解得，
所以甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深，
因為，
所以水不會溢出．
【點睛】本題考查圓柱體的體積，有理數(shù)的運算，關(guān)鍵是分別求出兩個圓柱體的體積進(jìn)行比較，然后再根據(jù)體積相等進(jìn)行計算．
12．如圖，中，，cm，cm，cm，若動點P從點C開始沿的路徑運動，回到點C結(jié)束，且速度為每秒3cm，設(shè)運動的時間為t秒．試求：
(1)當(dāng)t為何值時，CP把的周長分成相等的兩部分？
(2)當(dāng)t為何值時，CP把的面積分成相等的兩部分？
(3)當(dāng)t為何值時，的面積為18cm2？
【答案】(1)4；(2)；(3)或．
【分析】（1）用t表示出點P的路程，讓路程等于三角形周長的一半，列方程計算即可；
（2）當(dāng)點P運動到AB中點時，CP平分三角形面積，根據(jù)路程列方程即可；
（3）當(dāng)點P在AC上時，△BCP的面積就等于，然后列和t有關(guān)的方程即可，當(dāng)點P在AB上時，過C作AB的垂線，此時△ACB和△BCP高相同，即面積之比就等于底邊之比，進(jìn)而列和t有關(guān)的方程即可．
（1）∵CP平分△ABC的周長，
∴點C在AB上，
∴AC+AP=△ABC的周長的一半，
∴，解得；
（2）∵CP平分△ABC的面積，
∴點C在AB上且為AB的中點，
∴，解得；
（3）當(dāng)點P在AC上時，,
∴，解得；
點P在AB上時，可過點C向AB作垂線，此時△ACB和△BCP高相同，
∴面積之比就等于底邊之比，即
∴解得；
綜上所述，當(dāng)或時，的面積為18cm2．
【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了三角形周長和面積的計算等知識；本題綜合性強(qiáng)，進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
13．（2022·浙江湖州·七年級期末）如圖1所示，愛心農(nóng)場的一個長、寬、高分別為12分米、8分米、20分米的長方體魚池內(nèi)裝有高度為9分米的水．某項目化學(xué)習(xí)小組需要將一長方體基座（足夠高）放置在魚池內(nèi)．若基座豎直放置在魚池底部，如圖2所示，則池內(nèi)水面上升3分米．
(1)求基座的底面積；
(2)在安裝過程中，先將基座吊起，使得基座的底部與水面齊平，如圖3所示，然后將基座以每分鐘2分米的速度下降，設(shè)下降的時間為t分鐘．求當(dāng)時，水面上升的高度；
(3)在（2）的條件下，求下降過程中，基座的底面把池中水深分成1：2的兩部分時t的值
【答案】(1)底面積為24平方分米(2)水面上升分米(3)或
【分析】（1）設(shè)底面積為S平方分米，根據(jù)等體積法列出方程求解即可；
（2）設(shè)水面上升x分米，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（3）根據(jù)題意得出水面上升高度，基座底面到池底9-2t，基座底面到水面，然后列出方程求解即可．
(1)解：設(shè)底面積為S平方分米

解得S=24
答：底面積為24平方分米
(2)設(shè)水面上升x分米

解得x=
答：水面上升分米；
(3)水面上升高度
基座底面到池底：9-2t
基座底面到水面：2t+
或
解得t=或．
【點睛】題目主要考查一元一次方程的應(yīng)用及長方體的體積計算，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵．
14．（2022·吉林· 七年級期末）如圖，在中，，，，點是的中點，動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿運動．到點停止．若設(shè)點運動的時間是秒（）．
(1)點到達(dá)點時，______秒；點到達(dá)點時．______秒．
(2)當(dāng)線段長度為時，求的值；
(3)當(dāng)點在線段上運動時，求線段的長度（用含的代數(shù)式表示）（）；
(4)當(dāng)?shù)拿娣e等于時，直接寫出的值．
【答案】(1)3；7(2)的值為或(3)或(4)的值為或或
【分析】根據(jù)題意分別寫出的值；
分點在線段上、點在線段上兩種情況，根據(jù)圖形解答；
分點在線段上、點在線段上兩種情況，根據(jù)圖形解答；
分點在線段上、點在線段上、點在線段上三種情況，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．
（1）解：，點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿運動，
點到達(dá)點的時間秒)，
，點以每秒個單位的速度沿運動，
點從點到達(dá)點的時間為：秒)，
點到達(dá)點的時間為：秒)，
故答案為：；；
（2）解：當(dāng)點在線段上時，，
則，
，
．
當(dāng)點在線段上時，，
，
，
綜上所述，的長為時，的值為或；
（3）解：當(dāng)點在線段上時，，
當(dāng)點在線段上時，；
線段的長度為或；
（4）解：當(dāng)點在線段上時，，
解得：，
當(dāng)點在線段上時，，
解得：，
當(dāng)點在線段上時，，
解得：，
綜上所述，當(dāng)?shù)拿娣e等于時，的值為或或．
【點睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，三角形的面積計算，靈活運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
考點7：和差倍分問題
典例：（2022·河南南陽·七年級階段練習(xí)）為創(chuàng)設(shè)一個潔凈、美麗的校園環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的環(huán)保意識和愛護(hù)校園的主人翁意識，2021年11月29日，鄭州某校組織開展了“彎彎腰撿垃圾，美麗校園我創(chuàng)造”的主題活動．在分發(fā)垃圾袋時發(fā)現(xiàn)，若每人發(fā)2個垃圾袋則多5個，若每人發(fā)3個垃圾袋則少4個．問：有多少個學(xué)生，準(zhǔn)備了多少個垃圾袋？
【答案】有9個學(xué)生，準(zhǔn)備了23個垃圾袋
【分析】設(shè)有x個學(xué)生，根據(jù)題意“每人發(fā)2個垃圾袋則多5個，若每人發(fā)3個垃圾袋則少4個”垃圾袋個數(shù)相等列一元一次方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)有x個學(xué)生．由題意得：，
解得：，
垃圾袋有（個）
答：有9個學(xué)生，準(zhǔn)備了23個垃圾袋．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用題，根據(jù)題意列出一元一次方程是解決本題的關(guān)鍵．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的重點語句找到等量關(guān)系并列出方程求解．
鞏固練習(xí)
1．（2022·山東東營·中考真題）植樹節(jié)當(dāng)天，七年級1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的，七年級2班植樹棵數(shù)是這批樹苗總數(shù)的，則七年級2班植樹的棵數(shù)是（ ）
A．36B．60C．100D．180
【答案】C
【分析】設(shè)這批樹苗一共有x棵，根據(jù)七年級1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的，列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)這批樹苗一共有x棵，
由題意得：，
解得，
∴七年級2班植樹的棵數(shù)是棵，
故選C．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東威?！て谀┪覈糯鷶?shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有五等諸侯，共分橘子60顆，人別加三顆，向五人各得幾何？”題目大意是：諸侯五人，共同分60個橘子，若后面的每個人總比他前一個人多分3個，問每個人各分得多少個橘子？若設(shè)中間的那個人分得x個橘子，依題意可列方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】設(shè)中間的那個人分得x個橘子，然后根據(jù)題意分別表示出其他四個人的橘子數(shù)，最后根據(jù)橘子總數(shù)為60列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)中間的那個人分得x個橘子，
由題意得，
故選C．
【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元一次方程，正確理解題意找準(zhǔn)等量關(guān)系式解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河南開封·七年級期中）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：令有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢，每人出7錢，會差3錢，問合伙人數(shù)：羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x，所列方程正確的是（ ）
A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)羊的總價錢不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】設(shè)合伙人數(shù)為人，依題意，得：．
故選：B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級期末）某校組織學(xué)生種花，三個年級共種植909盆，初二年級種植的數(shù)量比初一年級的2倍少3盆，初三年級種植的數(shù)量比初二年級多25盆．初一，初二，初三年級各種植多少盆花？
【答案】初一，初二，初三年級各種植178盆，353盆，378盆花．
【分析】設(shè)初一年級種植x盆，則初二年級種植（2x3）盆，初三年級種植（2x3+25）盆，根據(jù)“三個年級共種植909盆”列出方程并解答．
【詳解】解：設(shè)初一年級種植盆花，依題意，得
，
解得：．
則，．
答：初一，初二，初三年級各種植178盆，353盆，378盆花．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．
5．（2022·黑龍江·大慶市第四十四中學(xué)校期末）列綜合算式或方程進(jìn)行計算
(1)一個數(shù)的是15，它的是多少？
(2)一個數(shù)的75%比它的多25，這個數(shù)是多少？
【答案】(1)4(2)50
【分析】（1）設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)一個數(shù)的是15求出這個數(shù)，然后求出這個數(shù)的即可；
（2）設(shè)這個數(shù)為x，再根據(jù)一個數(shù)的75%比它的多25，列出方程求解即可．
（1）解：設(shè)這個數(shù)為x，
由題意得，
解得，
∴；
（2）解：設(shè)這個數(shù)為x，
由題意得：，
解得．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·吉林長春·七年級期末）新冠疫情肆虐春城期間，全市有大批志愿者不畏艱險加入到抗疫隊伍中來．“大白”們的出現(xiàn)，給封控小區(qū)居民帶來了信心，為他們的生活提供了保障．已知某社區(qū)在甲小區(qū)原有志愿者23名，在乙小區(qū)原有志愿者17名．現(xiàn)有來自延邊州支援該社區(qū)的志愿者20名，分別去往甲小區(qū)和乙小區(qū)支援，結(jié)果在甲小區(qū)的志愿者人數(shù)比乙小區(qū)志愿者人數(shù)的三分之二還多5名，求延邊州志愿者去往甲小區(qū)的人數(shù)．
【答案】延邊州志愿者去往甲小區(qū)的人數(shù)為4人．
【分析】設(shè)延邊州志愿者去往甲小區(qū)的人數(shù)為x名，根據(jù)“在甲小區(qū)的志愿者人數(shù)比乙小區(qū)志愿者人數(shù)的三分之二還多5名”列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)延邊州志愿者去往甲小區(qū)的人數(shù)為x名，
由題意得：，
解得：，
答：延邊州志愿者去往甲小區(qū)的人數(shù)為4名．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意，列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·福建泉州·七年級階段練習(xí)） 為了進(jìn)一步落實“雙減”政策，學(xué)校積極開展社團(tuán)活動，原國際象棋社團(tuán)有學(xué)生64人，羽毛球社團(tuán)有學(xué)生56人．在家鄉(xiāng)著名羽毛球運動員黃東萍獲得奧運冠軍后學(xué)校掀起一股羽毛球熱潮，有部分國際象棋社團(tuán)學(xué)生轉(zhuǎn)入羽毛球社團(tuán)，現(xiàn)在國際象棋社團(tuán)人數(shù)是羽毛球社團(tuán)人數(shù)的一半．問有多少名學(xué)生從國際象棋社團(tuán)轉(zhuǎn)入羽毛球社團(tuán)？
【答案】有24名學(xué)生從國際象棋社團(tuán)轉(zhuǎn)入羽毛球社團(tuán)
【分析】設(shè)有x名學(xué)生從國際象棋社團(tuán)轉(zhuǎn)入羽毛球社團(tuán)，根據(jù)“現(xiàn)在國際象棋社團(tuán)人數(shù)是羽毛球社團(tuán)人數(shù)的一半”列出一元一次方程，解方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)有x名學(xué)生從國際象棋社團(tuán)轉(zhuǎn)入羽毛球社團(tuán)，根據(jù)題意得：
2(64-x)=56+x，
解得x=24；
答：有24名學(xué)生從國際象棋社團(tuán)轉(zhuǎn)入羽毛球社團(tuán)．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確利用數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·江西吉安·七年級期末）直播帶貨已經(jīng)成為年輕人購物的新時尚．某網(wǎng)紅為回饋粉絲，在直播間為某品牌帶貨促銷：凡購買該品牌產(chǎn)品均享受13%的補(bǔ)貼（憑付款截屏到線上客服處返現(xiàn)）．某粉絲購買該品牌電視和空調(diào)各一臺共花去6000元，且該空調(diào)的單價比所買電視的單價的2倍還多600元．
(1)該粉絲可以到線上客服處返多少元現(xiàn)金？
(2)該粉絲所買的空調(diào)與電視的單價各是多少元？
【答案】(1)780元
(2)空調(diào)的單價為4200元，電視的單價為1800元
【分析】（1）根據(jù)“總費用×補(bǔ)貼百分?jǐn)?shù)”進(jìn)行計算即可；
（2）設(shè)電視的單價為x元，則空調(diào)的單價為(2x+600)元，找到等量關(guān)系列出一元一次方程解之即可．
（1）解：6000×13%=780（元）答：該粉絲可以到線上客服處返780元．
（2）設(shè)電視的單價為x元，則空調(diào)的單價為(2x+600)元，根據(jù)題意得x+(2x+600)=6000解得x=1800∴6000-1800=4200(元)答：空調(diào)的單價為4200元，電視的單價為1800元．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用及有理數(shù)乘法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到等量關(guān)系正確列出方程．
考點8：日歷問題
典例：（2022·安徽阜陽·七年級期末）下表所示是2022年元月的月歷表．下列結(jié)論：
①每一豎列上相鄰的兩個數(shù)，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；
②可以框出一豎列上相鄰的三個數(shù)，這三個數(shù)的和是24；
③可以框出一個的矩形塊的四個數(shù)，這四個數(shù)的和是82；
④任意框出一個的矩形塊的九個數(shù)，這九個數(shù)的和是中間數(shù)的9倍，其中正確的是__________（把所有正確的序號都填上）．
【答案】①②④
【分析】①觀察圖表，每一豎列上相鄰的兩個數(shù)，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；
②可以通過①中的規(guī)律設(shè)出一豎列上相鄰的三個數(shù)分別為a-7，a，a+7，相使其加等于24．若a的值為正整數(shù)，則本題正確，否則錯誤；
③仿照②題，設(shè)一個2×2的矩形塊的四個數(shù)分別是b，b+1，b+7，b+8，相使其加等于82．若b的值為正整數(shù)，則本題正確，否則錯誤；
④設(shè)一個3×3的矩形塊的9個數(shù)的中間數(shù)字是c，則另外八個數(shù)字分別是c-8，c-7，c-6，c-1，c+1，c+6，c+7，c+8，使其相加等于9c，求解即可．
【詳解】解：①每一數(shù)列上相鄰的兩個數(shù)，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；①正確；
②設(shè)這一數(shù)列上相鄰的三個數(shù)分別是a-7，a，a+7，
∴a-7+a+a+7=24，
解得a=8，
∴a-7=1，a+7=15，
∴可以框出一數(shù)列相鄰的三個數(shù)，分別是1，8，15，這三個數(shù)的和是24；②正確；
③設(shè)一個2×2的矩形塊的四個數(shù)分別是b，b+1，b+7，b+8，
∴b+b+1+b+7+b+8=82，
解得b=16.5，
∵b不是整數(shù)，
∴不可以框出一個2×2的矩形塊的四個數(shù)，這四個數(shù)的和是82；③錯誤；
④設(shè)一個3×3的矩形塊的9個數(shù)的中間數(shù)字是c，則另外八個數(shù)字分別是c-8，c-7，c-6，c-1，c+1，c+6，c+7，c+8，
∴c-8+c-7+c-6+c-1+c+c+1+c+6+c+7+c+8=9c，
得9c=9c，
∴任意框出一個3×3的矩形塊的九個數(shù)（如圖所示），這九個數(shù)的和是中間數(shù)的9倍；④正確．
∴其中正確的是①②④．
故答案為：①②④．
方法或規(guī)律點撥
本題考查一次方程的應(yīng)用，重點是通過觀察規(guī)律設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)（比如a），并用這個未知數(shù)（比如a）的式子來表示其他的未知數(shù)（比如a+7），從而能夠建立一元一次方程．
1．（2022·江蘇·七年級單元測試）如圖，在2022年2月的日歷表中用優(yōu)美的“ ”形框住五個數(shù)，框出1，3，8，10，16五個數(shù)，它們的和為38，移動“ ”的位置又框出五個數(shù)，已知這五個數(shù)的和是53，則它們中最小兩個數(shù)的和是（ ）
A．9B．10C．11D．19
【答案】B
【分析】設(shè)最小的數(shù)為x，則其余四個數(shù)分別為，求和即可求得．
【詳解】最小的數(shù)為x，則其余四個數(shù)分別為，
∵這五個數(shù)的和為53，
∴，
∴，
∴最小兩個數(shù)為：，
∴最小兩個數(shù)和為：．
故選：B．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，能利用圖形圈出5個數(shù)的關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇·七年級單元測試）在日歷中一個豎框圈出三個日期，它們的和是48，那么最大的一天是________號．
【答案】23
【分析】設(shè)中間一天的日期，根據(jù)上下日期的差為7表示出另外兩天的日期，再由它們的和為48列出方程，解之可得．
【詳解】解：設(shè)中間一天的日期為x，則另外兩天的日期為x﹣7，x＋7，
根據(jù)題意，得：x﹣7＋x＋x＋7＝48，
解得：x＝16，
∴x＋7＝16＋7＝23，
∴日期最大的一天23號，
故答案為：23．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程．
3．（2020·江蘇·蘇州市吳江區(qū)實驗初級中學(xué)七年級開學(xué)考試）如圖中，用一個長方形任意圈出四個數(shù)字，如果長方形中最上面一個數(shù)字用a表示，最下面一個數(shù)字可以表示為( )，如圈出的四個數(shù)的和是200，那么圈的是四個數(shù)中最小的數(shù)是( )．
【答案】 a＋30 35
【分析】由題意可知，長方形圈出的四個數(shù)字中上下相鄰的兩個數(shù)相差10，然后列代數(shù)式即可；設(shè)圈的四個數(shù)中最小的數(shù)是x，根據(jù)四個數(shù)的和是200列方程求解即可．
【詳解】解：由題意可知，長方形圈出的四個數(shù)字中上下相鄰的兩個數(shù)相差10，
所以如果長方形中最上面一個數(shù)字用a表示，最下面一個數(shù)字可以表示為a＋30，
設(shè)圈的四個數(shù)中最小的數(shù)是x，
由題意得：，
解得：，
即圈的四個數(shù)中最小的數(shù)是35，
故答案為：a＋30，35．
【點睛】本題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出長方形圈出的四個數(shù)字中上下相鄰的兩個數(shù)相差10是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）2022年是共青團(tuán)建團(tuán)100周年．1922年5月5日，中國社會主義青年團(tuán)第一次全國代表大會在廣州召開，標(biāo)志中國青年團(tuán)組織的正式成立．從此，青年團(tuán)作為中國共產(chǎn)黨的助手和后備軍，在黨的領(lǐng)導(dǎo)下團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)全國各族青年，積極投身到振興中華，實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的事業(yè)中．在5月日歷表上隨意用一個正方形方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的這四個數(shù)的和是64，求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）．
【答案】這個最小數(shù)是12
【分析】設(shè)這個最小數(shù)為x，則四個數(shù)分別為x，x+1，x+7，x+8，根據(jù)圈出的這四個數(shù)的和是64，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)這個最小的數(shù)是.
根據(jù)題意，得.
解，得.
答：這個最小數(shù)是12.
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·山西長治·七年級期末）2022年是共青團(tuán)建團(tuán)100周年．1922年5月5日，中國社會主義青年團(tuán)第2次全國代表大會在廣州召開，標(biāo)志中國青年團(tuán)組織的正式成立．從此，青年團(tuán)作為中國共產(chǎn)黨的助手和后備軍，在黨的領(lǐng)導(dǎo)下團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)全國各族青年，積極投身到振興中華，實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的事業(yè)中．在5月日歷表上隨意用一個正方形方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的這四個數(shù)的和是64，求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）．
【答案】12
【分析】設(shè)這個最小數(shù)為x，則四個數(shù)分別為x，x+1，x+7，x+8，根據(jù)圈出的這四個數(shù)的和是64，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)這個最小數(shù)為x，則四個數(shù)分別為x，x+1，x+7，x+8，
依題意得：x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=64，
整理解得：x=12，
答：這個最小數(shù)為12．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·河北保定·七年級期末）將連續(xù)的偶數(shù)0，2，4，6，…排成如圖所示的數(shù)陣，用十字框按如圖所示的方式任意框五個數(shù)．（十字框只能平移）
(1)若框住的5個數(shù)中，正中間的一個數(shù)為16，則這5個數(shù)的和為________；
(2)十字框內(nèi)五個數(shù)的最小和是________；
(3)設(shè)正中間的數(shù)為a，用式子表示十字框內(nèi)五個數(shù)的和；
(4)十字框能否框住這樣的5個數(shù)，它們的和等于2030？若能，求出正中間的數(shù)a；若不能，請說明理由．
【答案】(1)80(2)最小值為70(3)5a(4)不能，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)圖示進(jìn)行計算便可得結(jié)果；
（2）用a表示出其余4個數(shù)，再求和便可，根據(jù)a的最小值求出五個數(shù)的最小和；
（3）用a表示出其余4個數(shù)，再求和便可；
（4）根據(jù)（2）中的代數(shù)式，結(jié)合題意列出a的方程，根據(jù)方程有無解進(jìn)行解答便可．
（1）解：由題意得，這5個數(shù)的和為：4+14+16+18+28=80，故答案為：80；
（2）解：設(shè)正中間的數(shù)為a，則其余4個數(shù)分別為a-12，a-2，a+2，a+12，∴十字框內(nèi)5個數(shù)的和為：（a-12）+（a-2）+a+（a+2）+（a+12）=5a，由圖可知，a≥14，∴5a≥70．故答案為：70；
（3）解：由（2）知十字框內(nèi)5個數(shù)的和為5a；
（4）解：根據(jù)題意得，5a=2030，解得，a=406，∴406是第204個偶數(shù)，204÷6=34，所以2030在數(shù)陣的第34行第6列，∴十字框不能框出這樣的5個數(shù)它們的和等于2030．
【點睛】主要考查一元一次方程的應(yīng)用，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，規(guī)律型的習(xí)題一般是從所給的數(shù)據(jù)和運算方法進(jìn)行分析，從特殊值的規(guī)律上總結(jié)出一般性的規(guī)律．
7．（2022·湖北荊州·七年級期末）把正整數(shù)1，2，3，4，…，排列成如圖1所示的一個表，從上到下分別稱為第1行、第2行、第3行……，從左到右分別稱為第1列、第2列、第3列……．用如圖2所示的方框在圖1中框住16個數(shù)，把其中沒有被陰影覆蓋的四個數(shù)分別記為a，b，c，d．設(shè)a＝x．

(1)在圖1中，數(shù)2022排在第幾行第幾列？
(2)若，求出d所表示的數(shù)；
(3)將圖1中的奇數(shù)都改為原數(shù)的相反數(shù)，偶數(shù)不變，此時的值能否為2700？如果能，請求出a所表示的數(shù)，并求出a在圖1中排在第幾行第幾列；如果不能，請說明理由．
【答案】(1)第225行第6列；(2)80；(3)所表示的數(shù)為660，在圖1中排在第74行第3列．
【分析】（1）每一行有9個數(shù)，則2022÷9＝224……6，則可判斷2022的位置；
（2）分別用含x的式子表示出b，c，d，再由所給的等式可求出x的值，即可確定d的值；
（3）不難看出奇數(shù)行第1個數(shù)為負(fù)，偶數(shù)行第1個數(shù)為正，分兩種情況進(jìn)行討論：①a為奇數(shù)；②a為偶數(shù)，從而可求得相應(yīng)的a值，再進(jìn)行判斷即可．
（1）因為余6所以在圖1中，數(shù)2022排在第225行第6列．
（2）設(shè)，則，，因為所以解得所以即所表示的數(shù)為80.
（3）假設(shè)的值為2700由題意可知，，同號，，同號則，為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)設(shè)，則，，所以解得因為余3所以660在圖1中排在第74行第3列答：所表示的數(shù)為660，在圖1中排在第74行第3列.
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，得到a，b，c，d之間的關(guān)系．
8．（2022·浙江麗水·七年級期末）如圖，將1，2，3，…，40這40個數(shù)按照下表進(jìn)行排列，現(xiàn)用一個Z字框（圖中陰影部分）框住表中的4個數(shù)，移動該框，設(shè)框中最小的數(shù)為．
(1)請用含的代數(shù)式表示框中4個數(shù)的和．
(2)框中4個數(shù)的和可能是132嗎？若能，請求出最小的數(shù)．
【答案】(1)4x+24(2)能，最小的數(shù)為27
【分析】（1）若框中最小的一個數(shù)為x，則其它四個數(shù)分別是x+1、x+11、x+12．然后求和即可；
（2）根據(jù)所給的數(shù)的和列方程計算，如果結(jié)果不是整數(shù)，則應(yīng)舍去．
(1)解：設(shè)框中最小的數(shù)為x，則
x+x+1+x+11+x+12=4x+24；
∴框中4個數(shù)的和為x+24．
(2)解：根據(jù)題意，得4x+24=132．
解得x=27．
觀察表格中的數(shù)據(jù)知，x=27符合題意．
答：能，最小的數(shù)是27．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式和數(shù)字的變化規(guī)律，關(guān)鍵是根據(jù)所給的數(shù)的和列方程計算解答．
9．（2022·山西太原·七年級期中）數(shù)學(xué)活動-探究日歷中的數(shù)字規(guī)律
如圖1是2022年2月份的日歷，小宇在其中畫出兩個2×2的方框，每個框均框住位置為的四個數(shù)，計算“bc-ad”的值，探索其運算結(jié)果的規(guī)律．
(1)計算：2×8-1×9＝ ，19×25-18×26=
(2)小宇通過特例分析，猜想所有日歷中，2×2方框里“bc-ad”的結(jié)果都不變，并說明理由如下，請你將其過程補(bǔ)充完整；
解：bc-ad的值均為 ．理由如下：
設(shè)a＝x，則b＝x＋7，c＝x＋1，d＝
因為bc-ad＝
所以bc-ad的值均為
(3)同學(xué)們利用小宇的方法，借助2022年4月份的日歷，繼續(xù)進(jìn)行如下探究．
請從下列A，B兩題中任選一題作答．我選擇
A，在日歷中用“十字框”框住位置為的五個數(shù)，探究bc-ad的值的規(guī)律，請寫出你的結(jié)論，并說明理由．
B．在日歷中用日數(shù)柜框住位置為的七個數(shù)，探究bc-ad的值的規(guī)律，請寫出你的結(jié)論，并說明理由．
【答案】(1)7，7(2)7，x+8，7，7(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)混合運算的法則計算求解；
（2）代入化簡求值即可；
（3）A：結(jié)論：bc-ad=-48，設(shè)中間O為y，則a=y-1，d=y+1，b=y-7，c=y+7，可得bc-ad=（y-7）（y+7）-（y-1）（y+1）=-48；
B：結(jié)論：dc-af=28．設(shè)中間O為m，則b=m-1，e=m+1，a=m-8，c=m+6，d=m-6．f=m+8，可得dc-af=（m-6）（m+6）-（m-8）（m+8）=28．
(1)2×8-1×9=16-9=7，
19×25-18×26=475-468=7
故答案為：7，7；
(2)小宇通過特例分析，猜想所有日歷中，2×2方框里“bc-ad”的結(jié)果都不變，并說明理由如下，請你將其過程補(bǔ)充完整；
解：bc-ad的值均為7．理由如下：
設(shè)a=x，則b=x+7，c=x+1，d=x+8．
因為bc-ad=（x+7）（x+1）-x（x+8）=7．
所以bc-ad的值均為7．
故答案為：7，x+8，7，7；
(3)同學(xué)們利用小宇的方法，借助2022年4月份的日歷，繼續(xù)進(jìn)行如下探究．
請從下列A，B兩題中任選一題作答．我選擇A或B．
A．在日歷中用“十字框”框住位置為
結(jié)論：bc-ad=-48，
理由．設(shè)中間O為y，則a=y-1，d=y+1，b=y-7，c=y+7，
∴bc-ad=（y-7）（y+7）-（y-1）（y+1）=-48，
B．在日歷中用“H型框”框住位置為
結(jié)論：dc-af=28．
理由：設(shè)中間O為m，則b=m-1，e=m+1，a=m-8，c=m+6，d=m-6．f=m+8，
∴dc-af=（m-6）（m+6）-（m-8）（m+8）=28．
【點睛】本題考查了日歷中的數(shù)字問題，有理數(shù)的混合運算，整式的加減等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會模仿例題解決問題．
10．（2022·河南南陽·七年級期末）如圖是某月的月歷．
(1)帶陰影的方框中的9個數(shù)的和與方框正中心的數(shù)有什么關(guān)系？
(2)如果將帶陰影的方框移至圖1的位置，（1）中的關(guān)系還成立嗎？
(3)不改變帶陰影的方框的大小，將方框移動幾個位置試一試，你能得出什么結(jié)論？請說明其中的理由．
(4)這個結(jié)論對于任何一個月的月歷都成立嗎？
(5)如圖2，如果帶陰影的方框里的數(shù)是4個，請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
【答案】(1)方框中9個數(shù)之和為方框正中心的9倍
(2)改變位置，關(guān)系不變
(3)不改變帶陰影的方框的大小，將方框移動位置，關(guān)系不變，理由見詳解
(4)這個關(guān)系對任何一個月的日歷都成立，理由為任何一個日歷表都具有這種排列規(guī)律
(5)方框中對角兩數(shù)之和相等
【分析】（1）求出9個數(shù)之和，然后找出與正中心的數(shù)的關(guān)系為：9個數(shù)之和為方框正中心的9倍；
（2）改變位置，關(guān)系不變；
（3）設(shè)正中心的數(shù)為x，結(jié)合表格依次表示出其他9個數(shù)字，然后相加找出關(guān)系；
（4）這個關(guān)系對任何一個月的日歷都成立，理由為：日歷都具有此規(guī)律；
（5）方框中對角兩數(shù)之和相等．
(1)9個數(shù)之和為：3+4+5+10+11+12+17+18+19＝99，
99÷11＝9，
則方框中9個數(shù)之和為方框正中心的9倍；
(2)移動位置，9個數(shù)字之和為：8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144，
144÷16＝9，
所以改變位置，關(guān)系不變；
(3)不改變帶陰影的方框的大小，將方框移動位置，關(guān)系不變．
設(shè)正中心的數(shù)為x，
則9個數(shù)之和為：（x﹣8）+（x﹣7）+（x﹣6）+（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）＝9x，
9x÷x＝9，
故移動位置，方框中9個數(shù)之和為方框正中心的9倍．
(4)這個關(guān)系對任何一個月的日歷都成立，理由為任何一個日歷表都具有這種排列規(guī)律；
(5)12+19＝13+18＝31，則方框中對角兩數(shù)之和相等．
【點睛】此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用．解決本題的難點是發(fā)現(xiàn)日歷中左右相鄰的數(shù)相隔1，上下相鄰的數(shù)相隔7．
考點9：數(shù)軸上的動點問題
典例：（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上，O為原點，點A表示的數(shù)為－10，點B表示的數(shù)為4．
(1)A，B兩點間的距離是______．
(2)若將數(shù)軸折疊，使得點A與點B重合，此時原點O與表示數(shù)______的點重合．
(3)若點A，B分別以每秒1個單位長度和每秒3個單位長度的速度同時向左運動，則幾秒時點B追上點A？
(4)若點A，B以（3）中的速度相向而行，則幾秒時A，B兩點相距2個單位長度？
【答案】(1)14(2)-6(3)7秒后點B追上點A(4)3秒或4秒后A，B兩點相距2個單位長度
【分析】（1）根據(jù)A、B表示的數(shù)，求出A，B兩點間的距離即可；
（2）先求A、B中點，再根據(jù)對稱性求解即可；
（3）設(shè)t秒后點B追上點A，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可；
（4）設(shè)x秒后A，B兩點相距2個單位長度，根據(jù)等量關(guān)系列出表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出t的值即可．
（1）解：∵點A表示的數(shù)為-10，點B表示的數(shù)為4，
∴A，B兩點間的距離為．
故答案為：14．
（2）解：由題知折疊點為AB的中點，
即折疊點表示的數(shù)為：，
根據(jù)對稱性可知，原點與?6表示的數(shù)關(guān)于?3對稱．
故答案為：?6．
（3）解：設(shè)t秒后點B追上點A，根據(jù)題意得：
，
解得：，
答：7秒后點B追上點A．
（4）解：設(shè)x秒后A，B兩點相距2個單位長度，
①當(dāng)點A在點B左側(cè)時，根據(jù)題意得，
x＋3x＋2＝14，
解得：x＝3；
②當(dāng)點A在點B右側(cè)時，根據(jù)題意得，
x＋3x＝14＋2，
解得x＝4，
綜上所述，3秒或4秒后A，B兩點相距2個單位長度．
方法或規(guī)律點撥
本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)軸上兩點之間的距離，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2022·山東棗莊·七年級期末）如圖所示，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為8，點B表示的數(shù)為﹣6．動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動；動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，點P運動（ ）秒追上點Q．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)追及模型列出方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)點P運動x秒追上點Q，
根據(jù)題意得：5x-3x=8-(-6)，
解得x=7，
∴點P運動7秒追上點Q，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸以及數(shù)軸上兩點之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，列出一元一次方程是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，動點A從原點出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運動，同時動點B也從原點出發(fā)向數(shù)軸正方向運動．3秒后，兩點相距12個單位長度．已知動點A、B的速度比是1：3（速度單位：1個單位長度/秒）．
(1)求兩個動點運動的速度，并在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點從原點出發(fā)運動3秒時的位置；
(2)若A、B兩點分別從（1）中標(biāo)出的位置同時向數(shù)軸負(fù)方向運動，
①問經(jīng)過幾秒鐘，原點恰好處于兩個動點的正中間；
②再經(jīng)過多長時間，OB＝2OA？
【答案】(1)A點運動的速度為1個單位/秒，點B運動的速度為3個單位/秒，位置見解析
(2)① ；②t＝秒或t＝15秒時，OB＝2OA
【分析】（1）設(shè)A點運動的速度為x個單位/秒，點B運動的速度為3x個單位/秒，然后根據(jù)兩點的距離為12個單位長度列方程求解即可；
（2）①根據(jù)點A到原點的距離與點B到原點的距離相等列方程求解即可；
②分為兩點在原點的同側(cè)和異側(cè)兩種情況計算即可．
（1）解：設(shè)A點運動的速度為x個單位/秒，點B運動的速度為3x個單位/秒．
根據(jù)題意得：3（x+3x）＝12．
解得：x＝1．
∴A點運動的速度為1個單位/秒，點B運動的速度為3個單位/秒．
﹣1×3＝﹣3，3×3＝9．
3秒時A、B兩點的位置如圖所示：
（2）解：①設(shè)t秒后，原點在AB的中間．
根據(jù)題意得：3+t＝9﹣3t．
解得：t＝．
②當(dāng)點B在原點右側(cè)時，
根據(jù)題意得：9﹣3t＝2（3+t）．
解得：t＝．
當(dāng)點B在原點的左側(cè)時，
根據(jù)題意得：3t﹣9＝2（3+t）．
解得：t＝15．
綜上所述當(dāng)t＝秒或t＝15秒時，OB＝2OA．
【點睛】本題主要考查的是一元一次方程的應(yīng)用，掌握數(shù)軸上兩點的距離公式是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）如圖，動點從原點出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運動，同時動點也從原點出發(fā)向數(shù)軸正方向運動，秒后，兩點相距個單位長度．已知動點、的速度比為：速度單位：每秒個單位長度．
(1)動點的運動速度為每秒______ 個單位長度，動點的運動速度為______個單位長度．
(2)在數(shù)軸上標(biāo)出、兩點從原點出發(fā)運動秒時的位置；
(3)若表示數(shù)的點記為，、兩點分別從中標(biāo)出的位置同時向數(shù)軸負(fù)方向運動，再經(jīng)過多長時間，、兩點相距個單位？
【答案】(1)，(2)見解析(3)3秒或5秒
【分析】（1）設(shè)動點A、B的速度分別為xcm/s和3xcm/s，根據(jù)2秒后兩點相距16個單位長度列出方程求解即可；
（2）根據(jù)A、B兩點從原點出發(fā)運動2秒時的路程，確定它們的位置即可；
（3）假設(shè)運動時間為t，分兩種情況進(jìn)行討論：B未追上A時和B超過A后，根據(jù)數(shù)軸上兩數(shù)之間的距離計算方法列方程，分別求得時間的值．
（1）設(shè)動點A、B的速度分別為xcm/s和3xcm/s，則
2（x+3x）=16，
解得x=2，
∴3x=6，
∴動點A的運動速度為每秒2個單位長度，動點B的運動速度為6個單位長度；
故答案為：2，6；
（2）有（1）可得動點A的運動速度為每秒2個單位長度，動點B的運動速度為6個單位長度，
∴兩秒后動點A走了4個單位長度，動點B走了12個點位長度
∴A：-4，B：12
數(shù)軸上表示如圖所示：
（3）設(shè)運動時間為t，則動點A所表示的數(shù)為：-4-2t，動點B所表示的數(shù)為：12-6t，
B未追上A時：此時A，B之間的距離為4，且B在A的右側(cè)，
∴12-6t-(-4-2t)=4，解得：t=3；
B超過A后：此時A，B之間的距離為4，且B在A的左側(cè)，
∴-4-2t-(12-6t)=4，解得：t=5，
答：再經(jīng)過3秒或5秒，A 、 B 兩點相距4個單位．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸的綜合應(yīng)用，解題時注意方程思想和分類討論思想的應(yīng)用，能夠表示數(shù)軸上任意兩點之間的距離并以此列方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)七年級期末）已知多項式的次數(shù)為a，常數(shù)項為b，a，b分別對應(yīng)著數(shù)軸上的A、B兩點．
(1)______，______；并在數(shù)軸上畫出A、B兩點；
(2)若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度單位的速度向x軸正半軸運動，求運動時間為多少時，點P到點A的距離是點P到點B的距離的2倍；
(3)數(shù)軸上還有一點C的坐標(biāo)為30，若點P和Q同時從點A和點B出發(fā)，分別以每秒3個單位長度和每秒1個單位長度的速度向C點運動，P到達(dá)C點后，再立即以同樣的速度返回，運動到終點A，點Q到達(dá)終點C停止．求點P和點Q運動多少秒時，P，Q兩點之間的距離為4．
【答案】(1)4，16，圖見解析(2)或秒(3)或或或秒
【分析】（1）根據(jù)多項式2x3y﹣xy+16的次數(shù)為a，常數(shù)項為b，直接可得a＝4，b＝16，再在數(shù)軸上表示4和16即可；
（2）設(shè)運動t秒，點P到點A的距離是點P到點B的距離的2倍，可得3t＝2×|4+3t﹣16|，即可解得t＝ 或t＝8；
（3）設(shè)運動x秒，P，Q兩點之間的距離為4，分四種情況：①點P追上Q之前，②點P追上Q，P還未到達(dá)C時，③P到達(dá)C后返回，還未與Q相遇時，④P到達(dá)C后返回，與Q相遇后時，分別列出方程，解可解得答案．
（1）∵多項式2x3y﹣xy+16的次數(shù)為a，常數(shù)項為b，
∴a＝4，b＝16，
在數(shù)軸上畫出A、B兩點如下：
（2）設(shè)運動t秒，點P到點A的距離是點P到點B的距離的2倍，根據(jù)題意得：
3t＝2×|4+3t﹣16|，
解得t＝ 或t＝8，
答：運動 秒或8秒，點P到點A的距離是點P到點B的距離的2倍；
（3）設(shè)運動x秒，P，Q兩點之間的距離為4，
①點P追上Q之前，16+x﹣（4+3x）＝4，解得x＝4，
②點P追上Q，P還未到達(dá)C時，4+3x﹣（16+x）＝4，解得x＝8，
③P到達(dá)C后返回，還未與Q相遇時，，解得x＝9，
④P到達(dá)C后返回，與Q相遇后時，，解得x＝11，
綜上所述，點P和點Q運動4秒或8秒或9秒或11秒時，P，Q兩點之間的距離為4．
【點睛】本題考查一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類討論，分別找等量列方程．
5．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心七年級期末）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點，且A，B兩點間的距離為10.動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒．
(1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是______；當(dāng)點P運動到AB的中點時，它所表示的數(shù)是______；
(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發(fā)，當(dāng)點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？
【答案】(1)-4；1(2)當(dāng)點P運動1秒或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點，且A，B兩點間的距離為10．即可得點B表示的數(shù)；進(jìn)而可得當(dāng)點P運動到AB的中點時，它所表示的數(shù)；
（2）根據(jù)點P與點Q相遇前和相遇后之間的距離為8個單位長度，分兩種情況列方程即可求解．
（1）解：∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點，且A，B兩點間的距離為10，
∴得B點表示的數(shù)為-4；
當(dāng)點P運動到AB的中點時，它所表示的數(shù)為=1．
故答案為：-4；1；
（2）解：當(dāng)點P與點Q相遇前，距離8個單位長度，
根據(jù)題意，得：2t+（10-4t）=8，
解得t=1；
當(dāng)點P與點Q相遇后，距離8個單位長度，
根據(jù)題意，得：（4t-10）-2t=8，
解得t=9．
答：當(dāng)點P運動1秒或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上動點的運動情況列方程．
6．（2022·山東煙臺·期中）已知數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別是a、b，點A在原點的左側(cè)且到原點的距離是5，點B在原點的右側(cè)，且到原點的距離是點A到原點的距離的6倍．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)動點M、N分別從點A、B的位置同時出發(fā)，在數(shù)軸上做無折返的運動．已知動點M的運動速度是2個單位長度/秒，動點N的運動速度是3個單位長度/秒．
①若點M和點N相向而行，經(jīng)過幾秒，點M與點N相遇？
②若點M和點N都向左運動，經(jīng)過幾秒，點N追上點M？
③若點M和點N的運動方向不限，經(jīng)過幾秒，點M、N相距15個單位長度？
【答案】(1)﹣5，30(2)①7秒；②35秒；③4，10，20或50秒
【分析】（1）根據(jù)題意確定A點坐標(biāo)，再確定B點坐標(biāo)；
（2）先求出AB的長度，①若M，N相向而行，設(shè)x秒相遇，根據(jù)題意列出一元一次方程即可求解；
②當(dāng)點M，N都向左運動，設(shè)y秒點N追上點M，根據(jù)題意列出一元一次方程即可求解；
③設(shè)經(jīng)過t秒點M，N相距15個單位長度，此時需分類討論，注意N點速度大于M點速度，第一種情況：當(dāng)點M，N相向運動，且M在N左邊時；第二種情況：當(dāng)點M，N相向運動，且M在N右邊時；第三種情況：當(dāng)M，N都向左運動，且M在N左邊時；第四種情況：當(dāng)M，N都向左運動，且M在N右邊時．四種情況均利用一元一次方程即可求解．
（1）∵點A在原點的左側(cè)且到原點的距離是5，
∴點A表示的數(shù)是﹣5．
∵點B在原點的右側(cè)，且到原點的距離是點A到原點的距離的6倍，
∴點B表示的數(shù)是5×6＝30．
故答案為：﹣5，30；
（2）AB＝b﹣a＝30﹣（﹣5）＝35．
①若M，N相向而行，設(shè)x秒相遇，
則2x＋3x＝35，解得x＝7．
答：經(jīng)過7秒，點M與N相遇．
②當(dāng)點M，N都向左運動，設(shè)y秒點N追上點M，
則3y＝35＋2y，解得y＝35．
答：經(jīng)過35秒，點N追上點M．
③設(shè)經(jīng)過t秒點M，N相距15個單位長度．
當(dāng)點M，N相向運動，且M在N左邊時，
35﹣2t﹣3t＝15，解得t＝4；
當(dāng)點M，N相向運動，且M在N右邊時，
2t＋3t﹣35＝15，解得t＝10．
當(dāng)M，N都向左運動，且M在N左邊時，
則3t﹣2t＝35﹣15，解得t＝20．
當(dāng)M，N都向左運動，且M在N右邊時，
3t﹣2t＝35＋15，解得t＝50．
綜上所述，經(jīng)過4，10，20或50秒，點M、N相距15個單位長度．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程在行程問題中的應(yīng)用，注重分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2022·廣西玉林·七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為16，B是數(shù)軸上位于點A左側(cè)的一點，且AB＝54，動點P從A點出發(fā)，以每秒8個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．
(1)寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù) ；點P表示的數(shù) （用含t的代數(shù)式表示）；
(2)動點P從A點出發(fā)多少秒時，AP的長度為24？
(3)動點Q從點B出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，問出發(fā)多少秒時，P、Q之間的距離恰好等于2？
【答案】(1)－38；16－8t；(2)動點P從A點出發(fā)3秒時AP的長度為24；(3)若點P，Q同時出發(fā)或4秒時，P，Q之間的距離恰好等于2．
【分析】（1）根據(jù)已知可得B點表示的數(shù)為16－54＝－38；點P表示的數(shù)為16－8t；
（2）根據(jù)點P的運動方向和運動速度可得時間；
（3）分兩種情況討論①當(dāng)點P，Q相遇之前，②當(dāng)點P，Q相遇之后，分別列方程求解即可．
（1）解：∵AB＝54，點A表示的數(shù)是16，且B是數(shù)軸上位于點A左側(cè)的一點，∴點B表示的數(shù)是16－54＝－38，∵動點P從A點出發(fā)，以每秒8個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴點P表示的數(shù)是16－8t，故答案為：－38，16－8t；
（2）解：∵點P從A點出發(fā)，以每秒8個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴24÷8＝3，答：動點P從A點出發(fā)3秒時AP的長度為24；故答案為：3秒；
（3）解：分兩種情況：①當(dāng)點P，Q相遇之前，由題意，得8t＋2＋6t＝54，解得t＝；②當(dāng)點P，Q相遇之后，由題意，得8t＋6t－2＝54，解得t＝4；∴若點P，Q同時出發(fā)或4秒時，P，Q之間的距離恰好等于2．故答案為：或4秒．
【點睛】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用，用到的知識是數(shù)軸上兩點之間的距離，涉及到行程問題中的相遇問題需要兩種情況分類討論，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程求解．
8．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校期中）如圖，A、B分別為數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為，點B對應(yīng)的數(shù)80，
(1)請直接寫出AB的中點M對應(yīng)的數(shù)______；
(2)現(xiàn)在有一只電子螞蟻P從點A出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從點B出發(fā)，以3個單位長度/秒的速度向左運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點C相遇，請求出點C對應(yīng)的數(shù)；
(3)若當(dāng)電子螞蟻P從點A出發(fā)時，以2個單位長度/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從點B出發(fā)，以3個單位長度/秒的速度向左運動，經(jīng)過多長時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距25個單位長度？
【答案】(1)30(2)20(3)15秒或25秒
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點所表示的數(shù)為a、b，則AB的中點所表示的數(shù)為，計算求解即可；
（2）方法一：根據(jù)路程、速度與時間的關(guān)系求出相遇的時間，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離求出C點對應(yīng)數(shù)即可；方法二：由題意知，P表示為，Q表示，則，求出的值，進(jìn)而可求C點對應(yīng)數(shù)；
（3）由題意知，第一次相距個單位長度的時間為（秒）；第二次相距個單位長度時間為（秒）．
(1)解：AB的中點M所對應(yīng)的數(shù)為，
故答案為：30．
(2)解：方法一：∵，
∴（秒），
∴，
∴C點對應(yīng)數(shù)為20；
方法二：由題意知，P表示為，Q表示，
則，
解得，
∴，
∴C點對應(yīng)數(shù)為20．
(3)解：由題意知，第一次相距個單位長度的時間為（秒）；
第二次相距個單位長度時間為（秒）；
∴經(jīng)過15秒或25秒時，P、Q相距25個單位長度．
【點睛】本題考查了數(shù)軸上的點的表示，數(shù)軸上兩點之間的距離等知識．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意列方程．
9．（2021·重慶市黔江區(qū)教育科學(xué)研究所七年級期末）如圖1，線段．
(圖1)
(1)點沿線段自點向點以厘米/秒運動，同時點沿線段自點向點以厘米/秒運動，幾秒鐘后、兩點相遇？
(2)如圖2，，，現(xiàn)點繞著點以的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周后停止，同時點沿直線自點向點運動，假若點、兩點也能相遇，求點運動的速度．
(圖2)
【答案】(1)4s(2)或
【分析】（1）根據(jù)相遇時，點P和點Q的運動的路程和等于AB的長列方程即可求解；
（2）由于點P，Q只能在直線AB上相遇，而點P旋轉(zhuǎn)到直線AB上的時間分兩種情況，所以根據(jù)題意列出方程分別求解．
(1)解：設(shè)經(jīng)過后，點、相遇．
依題意，有，解得，
答：經(jīng)過后，點、相遇；
(2)解：點，只能在直線AB上相遇，
則點旋轉(zhuǎn)到直線上的時間為，或．
設(shè)點的速度為，則有，解得；
或，解得
答：點的速度為或．
【點睛】此題考查的知識點是一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握速度、路程、時間的關(guān)系．
10．（2022·山西大同·七年級期末）如圖，A在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為
(1)點B在點A右邊，距離A點4個單位長度，則點B所對應(yīng)的數(shù)是____________；
(2)在（1）的條件下，點A以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向左運動，同時點B以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向右運動，當(dāng)點A運動到所在的點處時，點B停止運動，此時A，B兩點間距離是____________；
(3)在（2）的條件下，現(xiàn)在A點靜止不動，B點再以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向左運動時，求經(jīng)過多長時間A，B兩點相距4個單位長度．
【答案】(1)2(2)12(3)4秒或8秒
【分析】（1）根據(jù)左減右加可求點B所對應(yīng)的數(shù)；
（2）先根據(jù)時間=路程÷速度，求出運動時間，再根據(jù)列出=速度×?xí)r間求解即可；
（3）分兩種情況：運動后的B點在A點右邊4個單位長度；運動后的B點在A點左邊4個單位長度；列出方程求解即可．
(1)解：-2+4=2．
故點B所對應(yīng)的數(shù)是2；
故答案是：2；
(2)解：（-2+6）÷2=2（秒），
6+2+2×2=12（個單位長度）．
故A，B兩點間距離是12個單位長度．
故答案是：12；
(3)解：運動后的B點在A點右邊4個單位長度，
設(shè)經(jīng)過x秒長時間A，B兩點相距4個單位長度，
依題意有
解得；運動后的B點在A點左邊4個單位長度，
設(shè)經(jīng)過x秒長時間A，B兩點相距4個單位長度，
依題意有，
解得．
故經(jīng)過4秒或8秒A，B兩點相距4個單位長度
【點睛】本題考查了數(shù)軸，行程問題的數(shù)量關(guān)系的運用，解答時根據(jù)行程的問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．
11．（2022·河南南陽·七年級期末）如圖，已知、、是數(shù)軸上三點，點表示的數(shù)為4，，．
(1)點表示的數(shù)是______，點表示的數(shù)是______．
(2)動點、分別從、同時出發(fā)，點以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)點的運動時間為（）秒．
①用含的代數(shù)式表示：點表示的數(shù)為______，點表示是數(shù)為______；
②當(dāng)時，點、之間的距離為______；
③當(dāng)點在上運動時，用含的代數(shù)式表示點、之間的距離；
④當(dāng)點、到點的距離相等時，直接寫出的值．
【答案】(1)，6(2)①，；②7；③；④t的值為或10
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點距離=右邊的數(shù)-左邊的數(shù)；計算求值即可；
（2）①根據(jù)數(shù)軸上動點的表示：起點所表示的數(shù)加上或減去動點運動的距離，向正方向用加，負(fù)方向用減；列代數(shù)式即可；②t=1時，求出兩點所表示的數(shù)，再計算兩點距離；③用右邊的數(shù)-左邊的數(shù)便可解答；④分兩種情況：當(dāng)P，Q相遇時；當(dāng)P點在C點右邊，Q點在C點左邊時；根據(jù)數(shù)軸上兩點距離公式列方程求解即可；
(1)解：A點在B點左邊，B點表示4，AB=8，∴A點表示的數(shù)，4-8=-4；
C點在B點右邊，BC=2，∴C點表示的數(shù)為：4+2=6；
(2)解：①P點向右運動，∴P點表示的數(shù)為-4+2t；
Q點向左運動，∴Q點表示的數(shù)為6-t；
②t=1時，P點-2，Q點5，兩點距離=5-（-2）=7；
③∵Q點在右，P點在左，∴兩點距離=6-t-（-4+2t）=10-3t，
④當(dāng)P，Q相遇時，兩點到C點距離相等，此時2t+t=10，解得：t=，
當(dāng)P點在C點右邊，Q點在C點左邊時，-4+2t-6=6-（6-t），解得：t=10，
∴t的值為或10；
【點睛】本題考查了數(shù)軸上動點的問題，一元一次方程的應(yīng)用；掌握數(shù)軸上兩點距離公式是解題關(guān)鍵．
12．（2022·河南·商丘市第十六中學(xué)七年級期末）已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為－24，12
(1)A、B兩點間的距離為___．
(2)如圖①，如果點P沿線段AB自點A向點B以每秒2個單位長度的速度運動，同時點Q沿線段BA自點B向點A以每秒4個單位長度的速度運動，運動時間為t秒．
①運動t秒時，點P對應(yīng)的數(shù)為___，點Q對應(yīng)的數(shù)為___；（用含t的代數(shù)式表示）
②當(dāng)P、Q兩點相遇時，點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是___；
③求P、Q相距6個單位長度時的t值；
(3)如圖②，若點D在數(shù)軸上，點M在數(shù)軸上方，且AD＝MD＝DC＝5，，現(xiàn)點M繞著點D以每秒轉(zhuǎn)的速度順時針旋轉(zhuǎn)（一周后停止），同時點N沿射線BA自點B向點A運動．當(dāng)M、N兩點相遇時，直接寫出點N的運動速度．
【答案】(1)36(2)，；-12；5秒或7秒(3)單位長度/秒或2單位長度/秒
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離等于兩數(shù)差的絕對值求解即可；
（2）①根據(jù)運動規(guī)律直接用代數(shù)式表達(dá)即可；②根據(jù)相遇時對應(yīng)點在同一位置列方程求出時間，進(jìn)而求出對應(yīng)點即可；③分點P在點Q左右兩側(cè)兩種情況討論，列方程求解即可；
（3）分M和N在點A和點C兩種情況相遇，算出時間后再計算出速度即可．
(1)解：A、B兩點間的距離為，
故答案為：36；
(2)解：①根據(jù)題意，點P對應(yīng)的數(shù)為，點Q對應(yīng)的數(shù)為，
故答案為：，；
②當(dāng)P、Q兩點相遇時，，
解得，
點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，
故答案為：-12；
③點P在點Q左側(cè)時，，
解得，
點P在點Q右側(cè)時，，
解得，
故P、Q相距6個單位長度時的t值為5秒或7秒；
(3)解：①M和N在點C處相遇時，
運動的時間為：（秒）
點N運動的距離為：，
此時點N的運動速度為：單位長度/秒；
②M和N在點A處相遇時，
運動的時間為：（秒）
點N運動的距離為：，
此時點N的運動速度為：單位長度/秒；
綜上可得，點N的運動速度為單位長度/秒或2單位長度/秒．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
能力提升
一、單選題（每題3分）
1．（2022·河南·鄭州市第五十七中學(xué)七年級期末）新型冠狀肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人們生活中必不可少的物品．某口罩廠有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)400個口罩面或500個口罩耳繩，一個口罩面需要配兩個耳繩，為使每天生產(chǎn)的口罩剛好配套，設(shè)安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則下列所列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則人生產(chǎn)耳繩，由一個口罩面需要配兩個耳繩可知耳繩的個數(shù)是口罩面?zhèn)€數(shù)的2倍從而得出等量關(guān)系，就可以列出方程．
【詳解】解：設(shè)安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則人生產(chǎn)耳繩，
由題意得
．
故選：C．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．
2．（2022·河南·鄭州市第五十七中學(xué)七年級期末）把9個數(shù)填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構(gòu)成了一個“九宮格”．它源于我國古代的“洛書”（圖1），是世界上最早的“幻方”．圖2是僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的“九宮格”，則其中a的值為（ ）
A．2B．4C．6D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)題意設(shè)左邊中間位置為b，左上為c．求出“九宮格”中的b、c，再求出a即可求解．
【詳解】如圖，依題意可得2+5+8=3+5+b，
解得b=7．
∴2+5+8=2+7+c，
解得c=6．
∴2+5+8=6+8+a，
解得a=1．
故選：D．
【點睛】此題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到方程求解．
3．（2022·云南·云大附中三模）觀察下列兩行數(shù)：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1，第2個相同的數(shù)是7，…，若第n個相同的數(shù)是103，則n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】A
【分析】根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1，第2個相同的數(shù)是7，，第個相同的數(shù)是，進(jìn)而可得的值．
【詳解】解：第1個相同的數(shù)是，
第2個相同的數(shù)是，
第3個相同的數(shù)是，
第4個相同的數(shù)是，
，
第個相同的數(shù)是，
所以，
解得．
答：第個相同的數(shù)是103，則等于18．
故選：．
【點睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，確定出相同數(shù)的差值，從而得出相同數(shù)的通式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·湖北隨州·七年級期末）如圖，是學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題時，老師板書的問題和兩名同學(xué)列的正確方程．
根據(jù)以上信息，有下列四種說法：①兵兵所列方程中的x表示船在靜水中的平均速度；②倩倩所列方程中的x表示船在靜水中的平均速度：③兵兵所列方程中的x表示甲乙兩碼頭的路程；④倩倩所列方程中：x表示甲乙兩碼頭的路程；其中，正確的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】根據(jù)靜水速=順?biāo)?水流速、逆水速=靜水速-水流速設(shè)未知數(shù)即可求解.
【詳解】解：設(shè)船在靜水中的平均速度為xkm/h，
由題意，得：，故①正確；
設(shè)甲乙兩碼頭的路程為x km，
由題意，得，④正確；
故答案為：B
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·浙江紹興·七年級期中）小江去商店購買簽字筆和筆記本（其中簽字筆和筆記本的單價相同）．若購買20支簽字筆和15本筆記本，則他身上的錢還缺25元；若購買19支簽字筆和12本筆記本，則他身上的錢會剩下15元．若小江購買17支簽字筆和9本筆記本，則（ ）
A．他身上的錢還缺65元B．他身上的錢會剩下65元
C．他身上的錢還缺115元D．他身上的錢會剩下115元
【答案】B
【分析】設(shè)簽字筆的單價為x元，則筆記本的單價為x元，根據(jù)小江身上的錢不變得出方程20x+15x﹣25＝19x+12x+15，整理得x＝10，由小江購買17支簽字筆和9本筆記本的錢為17x+9x，得出19x+12x +15﹣（17x+9x）＝5x+15，代入計算即可．
【詳解】解：設(shè)簽字筆的單價為x元，則筆記本的單價為x元，
根據(jù)題意得：20x+15x﹣25＝19x+12x+15，
整理得：4x＝40，
解得：x＝10，
∵小江購買17支簽字筆和9本筆記本的錢為17x+9x＝26x，
∴19x+12 x +15﹣26x
＝5x+15
∵x＝10，
∴5x+15＝5×10+15
＝65，
即小江身上的錢會剩下65元；
故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，得出方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室二模）濰坊出租車采用階梯式的計價收費辦法如下表：
若某人一次乘車費用為26元，那么行駛里程為（ ）
A．13公里B．12公里C．11公里D．10公里
【答案】C
【分析】設(shè)行駛里程為x公里，乘車費用為26元．根據(jù)題意列出一元一次方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)行駛里程為x公里，乘車費用為26元．
若，根據(jù)題意得，不成立．
若，根據(jù)題意得．
解得（舍）．
若，根據(jù)題意得．
解得．
若，根據(jù)題意得．
解得（舍）．
若時，根據(jù)題意得．
解得（舍）．
∴若某人一次乘車費用為26元，那么行駛里程為11公里．
故選：C．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，熟練掌握該知識點是解題關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分）
7．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）某次籃球聯(lián)賽共有十支隊伍參賽，部分積分表如下表：
根據(jù)表格提供的信息，可知勝一場積 _____分．
【答案】2
【分析】根據(jù)C隊情況確定勝一場和負(fù)一場共積3分，然后設(shè)勝一場積x分，則負(fù)一場積（3﹣x）分，根據(jù)A隊情況列出一元一次方程并求解即可．
【詳解】解：觀察C隊情況，可知勝一場和負(fù)一場的積分之和為27÷9=3分．
設(shè)勝一場積x分，則負(fù)一場積（3﹣x）分．
根據(jù)A隊情況得14x+4（3﹣x）＝32．
解得x＝2．
∴勝一場積2分．
故答案為：2．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，熟練掌握該知識點是解題關(guān)鍵．
8．（2022·四川廣元·七年級期末）已知某鐵路橋長1600米．現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共用90秒，整列火車完全在橋上的時間是70秒．則這列火車長______米．
【答案】200
【分析】設(shè)這列火車的長為x米，利用速度＝路程÷時間，結(jié)合火車的速度不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：設(shè)這列火車的長為x米，
根據(jù)題意得， ，
解得，
∴這列火車的長為200米．
故答案為：200
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·湖南湘西·七年級期末）我國明代著名數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》一書中記載了一些詩歌形式的算題，其中有一個“百羊問題”．題目的意思是：甲趕了一群羊在草地上往前走，乙牽了一只肥羊緊跟在甲的后面．乙問甲：“你這群羊有一百只嗎？”甲說：“如果再有這么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只湊進(jìn)來，才滿100只．”請問甲原來趕的羊一共有多少只？如果設(shè)甲原來趕的羊一共有x只，那么可列方程為______________________．
【答案】
【分析】設(shè)甲原來趕的羊一共有x只，根據(jù)等量關(guān)系式：這一群+一群+半群+群+1=100只，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)甲原來趕的羊一共有x只，根據(jù)題意得：
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·湖北·鄂州市第一中學(xué)七年級期末）為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長為170米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負(fù)責(zé)施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進(jìn)26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進(jìn)2米．按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作__________天．
【答案】12
【分析】設(shè)甲工程隊每天掘進(jìn)x米，則乙工程隊每天掘進(jìn)（x-2）米．根據(jù)“甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進(jìn)26米”列出方程，然后求工作時間；
【詳解】設(shè)甲工程隊每天掘進(jìn)x米，則乙工程隊每天掘進(jìn)（x-2）米，
由題意得，2x+（x+x-2）=26，
解得x=7，
∴乙工程隊每天掘進(jìn)5米，
按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作時間為：
（天）．
故答案為：12．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·河南南陽·七年級期中）如圖，數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)的有理數(shù)分別是和． 動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸在A、B之間往返運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸在B、A之間往返運動，設(shè)運動時間為秒，當(dāng)時，若原點O恰好是線段PQ的中點，則的值是_______．
【答案】1或7
【分析】分兩種情況討論：當(dāng)0

相關(guān)試卷

人教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步講義專題3.4 實際問題與一元一次方程講練（149題113頁）（學(xué)生版）（人教版）：

這是一份人教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步講義專題3.4 實際問題與一元一次方程講練（149題113頁）（學(xué)生版）（人教版），共41頁。

人教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步講義專題2.1 整式講練（教師版）（人教版）：

這是一份人教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步講義專題2.1 整式講練（教師版）（人教版），共54頁。試卷主要包含了代數(shù)式，單項式，多項式，整式，代數(shù)式書寫規(guī)范，2×104等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步精品講義第11講專題3.4實際問題與一元一次方程講練-【學(xué)生版+解析】：

這是一份人教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步精品講義第11講專題3.4實際問題與一元一次方程講練-【學(xué)生版+解析】，共148頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教版七年級上冊3.4 實際問題與一元一次方程精品隨堂練習(xí)題

人教版七年級上冊3.4 實際問題與一元一次方程精品隨堂練習(xí)題
人教版七年級上冊3.4 實際問題與一元一次方程精品測試題

人教版七年級上冊3.4 實際問題與一元一次方程精品測試題
初中數(shù)學(xué)人教版七年級上冊3.4 實際問題與一元一次方程優(yōu)秀練習(xí)

初中數(shù)學(xué)人教版七年級上冊3.4 實際問題與一元一次方程優(yōu)秀練習(xí)
人教版七年級上冊第三章 一元一次方程3.4 實際問題與一元一次方程達(dá)標(biāo)測試

人教版七年級上冊第三章 一元一次方程3.4 實際問題與一元一次方程達(dá)標(biāo)測試
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部