目標(biāo)導(dǎo)航
1.一元一次方程的概念：
只含有一個未知數(shù)（元）且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知數(shù)在分母中時，它的次數(shù)不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。
3.等式的性質(zhì)：
（1）等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；
（2）等式兩邊都乘或除以同一個不等于0的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。
4. 移項：
方程中的某些項改變符號后，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形叫做移項。
移項的依據(jù)：（1）移項實(shí)際上就是對方程兩邊進(jìn)行同時加減，根據(jù)是等式的性質(zhì)1；（2）系數(shù)化為1實(shí)際上就是對方程兩邊同時乘除，根據(jù)是等式的性質(zhì)2。
注意：移項時要跨越“=”號，移過的項一定要變號。
5. 解一元一次方程的一般步驟：
去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1。
注意：去分母時不可漏乘不含分母的項。分?jǐn)?shù)線有括號的作用，去掉分母后，若分子是多項式，要加括號。
考點(diǎn)精講
考點(diǎn)1：一元一次方程定義及應(yīng)用
典例：若是關(guān)于的一元一次方程，則的值是______．
【答案】-1
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義即可求出答案．
【詳解】解：由題意得： ，
解得： ，
故答案為：-1．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的定義，屬于基礎(chǔ)題型．
鞏固練習(xí)
1．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y=5B．x2+x-1=0C．D．3x+1= 10
【答案】D
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義分析即可得出結(jié)論．
【詳解】解：方程x+2y=5中含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故A項錯誤；
方程x2+x-1=0中未知數(shù)的最高次數(shù)為2次，不是一元一次方程，故B項錯誤；
代數(shù)式不是等式，更不是一元一次方程，故C項錯誤；
方程3x+1= 10含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1，是一元一次方程，故D正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，熟記一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）下列是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A、不是一元一次方程，故本選項錯誤；
B、是一元一次方程，故本選項正確；
C、不是等式，即不是一元一次方程，故本選項錯誤；
D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本選項錯誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常數(shù)且a≠0）．
3．（2021·山東濱州·七年級階段練習(xí)）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣4x＝3B．x＝0
C．x+2y＝1D．2（x﹣3）﹣3＝2x+5
【答案】B
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A．該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；
B．該方程符合一元一次方程的定義，故本選項符合題意；
C．該方程中含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；
D．由已知方程得到：﹣6﹣3＝5，該等式既不成立也不含有未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，方程的兩邊都是整式，這樣的方程叫一元一次方程．熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·河南鶴壁·七年級期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一個未知數(shù)，②未知數(shù)的次數(shù)為1，③整式方程，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：在下列方程：①，②，③，④，⑤中，
④，⑤是一元一次方程，共2個,
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·四川資陽·七年級期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【答案】C
【分析】根據(jù)方程的定義即可一一判定．
【詳解】解：含有未知數(shù)的等式叫做方程，
①是方程；
②，不含有未知數(shù)，故不是方程；
③不是等式，故不是方程；
④是方程；
⑤是方程；
⑥不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，熟練掌握和運(yùn)用方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2021·全國·七年級期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的個數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程可得答案．
【詳解】解：①是分式方程，故①不符合題意；
②，即，符合一元一次方程的定義．故②符合題意；
③的未知數(shù)的最高次數(shù)是2，它屬于一元二次方程．故③不符合題意；
④，即，符合一元一次方程的定義．故③符合題意；
⑤，即，符合一元一次方程的定義．故⑤符合題意；
⑥中含有2個未知數(shù)，屬于二元一次方程．故⑥不符合題意．
綜上所述，一元一次方程的個數(shù)是3個．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的概念．熟練掌握一元一次方程的定義是關(guān)鍵．
7．（2022·全國·七年級單元測試）若是關(guān)于的一元一次方程，則的值是______．
【答案】±1
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，即可求解．
【詳解】解：∵是關(guān)于的一元一次方程，
∴，
即．
故答案為：±1
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，熟練掌握只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程是一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·河南南陽·七年級期末）若是關(guān)于的一元一次方程，則的值可以是______寫出一個即可
【答案】2（答案不唯一）
【分析】只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一元一次方程的定義得出，即可得出答案．
【詳解】解：是關(guān)于的一元一次方程，
，
解得，
的值可以是．
故答案為：答案不唯一．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的定義，正確掌握一元一次方程定義是解題關(guān)鍵．
9．（2022·甘肅·永昌縣第六中學(xué)七年級期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一個一元一次方程，則a等于______．
【答案】-4
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行計算即可．只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常數(shù)且a≠0）
【詳解】解：由題意得：
|a|-3=1且a-4≠0，
∴a=±4且a≠4，
∴a=-4，
故答案為：-4．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，絕對值，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·四川廣元·七年級期末）若關(guān)于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解為x＝1，則a+m的值為 _____．
【答案】
【分析】根據(jù)解一元一次方程的定義求得的值，根據(jù)方程的解滿足方程，把解代入方程，可得關(guān)于的一元一次方程，解方程可得答案．
【詳解】解：∵方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4是關(guān)于x的一元一次方程，
∴，
解得，
∵關(guān)于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解為x＝1，
∴，
解得，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，一元一次方程的解，代數(shù)式求值，求得的值是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2：一元一次方程的解
典例：（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）若x＝3是關(guān)于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，則代數(shù)式10﹣3m＋n的值是___．
【答案】7
【分析】根據(jù)題意得到﹣3m+n＝﹣3，然后代入代數(shù)式10﹣3m＋n求解即可．
【詳解】解：由題意得：3m﹣n＝3，
∴﹣3m+n＝﹣3，
∴原式＝10﹣3＝7．
故答案為：7．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
此題考查了一元一次方程的解的含義以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的解的含義．
鞏固練習(xí)
1．（2022·福建泉州·七年級期末）下列方程中，解是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】將分別代入選項，能使等式依然成立的即為正確答案．
【詳解】A、，故A選項錯誤，不符合題意；
B、，故B選項錯誤，不符合題意；
C、，故C選項正確，符合題意；
D、，故D選項錯誤，不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，將解代入方程驗(yàn)證是解題關(guān)鍵．
2．（2022·福建泉州·七年級期末）若是關(guān)于的方程的解，則的值為（ ）
A．2B．8C．－3D．－8
【答案】B
【分析】將x=3代入ax-b=5中得3a-b=5，將該整體代入6a-2b-2中即可得出答案．
【詳解】解：將x=3代入ax-b=5中得：
3a-b=5，
所以6a-2b-2=2（3a-b）-2=2×5-2=8．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，求代數(shù)式的值，熟練掌握整體法是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若是方程的解，則a的值是（ ）
A．1B．1C．2D．—
【答案】A
【分析】將x＝1代入原方程即可計算出a的值．
【詳解】解：將x＝1代入ax+2x＝1得：
a+2＝1，
解得a＝﹣1．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·湖南湘西·七年級期末）是下列哪個方程的解（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把代入各個方程計算求解即可．
【詳解】把代入，可得：
，故A選項不符合題意；
，故B選項不符合題意；
，故C選項不符合題意；
，故D選項符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解的判定，準(zhǔn)確計算分析是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·四川成都·七年級期末）已知關(guān)于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，則a的值為（ ）
A．1B．C．D．﹣2
【答案】B
【分析】把x=2代入方程ax=5-3x得出2a=5-6，再求出方程的解即可．
【詳解】解：把x=2代入方程ax=5-3x得：2a=5-6，
解得：a=，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出關(guān)于a的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
6．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）已知是方程的解，則______．
【答案】5
【分析】將代入方程，求出a即可．
【詳解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查方程的解的定義．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．
7．（2022·新疆塔城·七年級期末）若是關(guān)于x的方程的解，則________．
【答案】
【分析】把代入，然后得出關(guān)于k的方程，據(jù)此進(jìn)一步求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，得
，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)概念．
8．（2021·河南洛陽·七年級期末）若關(guān)于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解為x＝﹣2，則a的值為 _____．
【答案】##0.4
【分析】把x＝﹣2代入方程即可求出：．
【詳解】解：把x＝﹣2代入方程得：，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解一元一次方程的解的定義：使等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解
9．（2022·河南南陽·七年級期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．
【答案】1
【分析】根據(jù)方程解的定義可得，把x=3代入方程，即可得出答案．
【詳解】把x=3代入方程得：，
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，理解方程的解是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·河南南陽·七年級期中）己知方程3x+m+4＝0的解為x＝m，則m＝______．
【答案】-1
【分析】根據(jù)一元一次方程的解可直接把代入方程求解m即可．
【詳解】解：∵方程的解是，
∴，
解得：，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解是解題的關(guān)鍵．使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值是該方程的解．
23．（2022·遼寧大連·七年級期末）已知x=1是關(guān)于x的方程6-（m-x）=5x的解，則代數(shù)式m2-6m+2=___________．
【答案】-6
【分析】根據(jù)一元一次方程的解的定義可知m的值，然后代入求值即可．
【詳解】解：把x=1代入6-（m-x）=5x，得6-（m-1）=5×1．
解得m=2．
所以m2-6m+2=22-6×2+2=-6．
故答案為：-6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解、代數(shù)式求值．解答關(guān)鍵是理解方程的解的定義：就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
考點(diǎn)3：等式的性質(zhì)
典例：（2022·貴州銅仁·七年級期末）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么．C．如果，那么D．如果，那么
【答案】C
【分析】利用等式的性質(zhì)對每個等式進(jìn)行變形即可找出答案．
【詳解】A.如果，那么，本選項錯誤，不符合題意；
B.如果，那么，本選項錯誤，不符合題意；
C.如果，那么，選項正確，符合題意；
D.如果，那么，本選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．
鞏固練習(xí)
1．（2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級期末）下列等式變形，正確的是（ ）
A．若5x=7-4x，則5x-4x=7B．若7x=2，則x=3.5
C．若x-3(4x-1)=9，則x-12x-3=9D．若，則2(3x-2)=x+2-6．
【答案】D
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：A、若5x=7-4x，則5x+4x=7，故該選項不符合題意；
B、若7x=2，則x=，故該選項不符合題意；
C、若x-3（4x-1）=9，則x-12x+3=9，故該選項不符合題意；
D、若，則2（3x-2）=x+2-6，故該選項符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·黑龍江大慶·期末）下列各式運(yùn)用等式的性質(zhì)變形，正確的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項判定即可．
【詳解】解：A．由，得，原式錯誤，故此選項不符合題意；
B．由，得，原式錯誤，故此選項不符合題意；
C．由，得，原式錯誤，故此選項不符合題意；
D．若，則，正確，故此選項符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河南南陽·七年級期末）下列變形正確的是（ ）
A．與B．得
C．得D．得
【答案】D
【分析】根據(jù)等式基本性質(zhì)和去括號法則進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、變形為，故A錯誤，不符合題意；
B、變形得：，故B錯誤，不符合題意；
C、得：，故C錯誤，不符合題意；
D、得，故D正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)和去括號法則，熟練掌握等式的基本性質(zhì)和去括號法則，是解題的關(guān)鍵．
4．（2020·湖南常德·七年級期末）下列方程的變形，正確的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】B
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷．
【詳解】A.由，得，故該選項錯誤，不符合題意；
B. 由，得，故該選項正確，符合題意；
C. 由，得，故該選項錯誤，不符合題意；
D. 由，得，故該選項錯誤，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了等式的性質(zhì)，熟悉等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
5．（2022·山東威?！て谀┮阎仁?，則下列等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、當(dāng)時，等式無意義，故此選項符合題意；
B、由可以得到，故此選項不符合題意；
C、由可以得到，故此選項不符合題意；
D、由可以得到，故此選項不符合題意．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·黑龍江哈爾濱·七年級期末）下列敘述中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】B
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：A、若，當(dāng)時，兩邊都除以無意義，故此選項不符合題意；
B、若，兩邊都乘以，得，故此選項符合題意；
C、若，得或，故此選項不符合題意；
D、若，兩邊都乘以，得，故此選項不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的基本性質(zhì)，等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），等式仍成立；等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)（或式子），等式仍成立．
7（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）下列等式的變形中，正確的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】B
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．
【詳解】A. 如果，那么，故該選項不正確，不符合題意；
B. 如果，那么，故該選項正確，符合題意；
C. 如果，且那么，故該選項不正確，不符合題意；
D. 如果，那么，故該選項不正確，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)1、等式兩邊加同一個數(shù)(或式子)結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題關(guān)鍵．
8（2022·福建泉州·七年級期中）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列變形正確的是（ ）
A．若，則a＝bB．若，則3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，則a＝cD．若4x＝a，則x＝4a
【答案】A
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．
【詳解】A. 若，則a＝b，故該選項正確，符合題意；
B. 若，則3x＋4x＝12，故該選項不正確，不符合題意；
C. 若ab＝bc，當(dāng)時，a＝c，故該選項不正確，不符合題意；
D. 若4x＝a，則x＝a，故該選項不正確，不符合題意；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．
9（2022·河南南陽·七年級期中）下列變形正確的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】C
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解，等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．
【詳解】A. 由，得，故該選項不正確，不符合題意；
B. 由，得，故該選項不正確，不符合題意；
C. 由，得，故該選項正確，符合題意；
D. 由，得，故該選項不正確，不符合題意；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期中）下面四個等式的變形中正確的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由4（），得
【答案】B
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、由方程兩邊都加即可得出，則此項錯誤，不符合題意；
B、由方程兩邊都除以4即可得出，則此項正確，符合題意；
C、由方程兩邊同乘以得，則此項錯誤，不符合題意；
D、由去括號得，再兩邊都加上4可得，則此項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．
11．（2021·河北承德·七年級期末）在下列式子中變形一定正確的是（ ）
A．如果2a= 1，那么a=2
B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c
D．如果a－b+c=0，那么a=b+c
【答案】C
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. 如果2a= 1，那么a=，故該選項不正確，不符合題意；
B. 如果a=b，當(dāng)時，那么，故該選項不正確，不符合題意；
C. 如果a=b，那么a+c=b+c，故該選項正確，符合題意；
D. 如果a－b+c=0，那么a=b-c，故該選項錯誤，不符合題意；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．
12．（2022·河南南陽·七年級期中）下列變形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移項、合并得5x＝0；③由方程2兩邊同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程兩邊同除以，得x＝1；其中錯誤變形的有（ ）個．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)對每一個選項的變形進(jìn)行核查，即可得到正確解答．
【詳解】解：①、由方程 = 2去分母，得x﹣12＝10，正確；
②、由方程6x﹣4＝x+4移項、合并得5x＝8，錯誤；
③、由方程兩邊同乘以6，得12﹣x+5＝3x+9，錯誤；
④、由方程 兩邊同除以 ，得x＝，錯誤；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的應(yīng)用，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）下列變形正確的是（ ）
A．如果ax＝bx，那么a＝b
B．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1
C．如果x＝y(tǒng)，那么x﹣5＝5﹣y
D．如果（a2+1）x＝1，那么x＝
【答案】D
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：A．x可能為0，等式兩邊不能同時除以0，故該選項不符合題意；
B．a(chǎn)+1可能為0，等式兩邊不能同時除以0，故該選項不符合題意；
C．等式的左邊減了5，右邊先乘了﹣1，又加了5，故該選項不符合題意；
D．∵a2≥0，
∴a2+1＞0，
等式兩邊都除以一個正數(shù)，結(jié)果仍是等式，故該選項符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式兩邊都加或減去同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊都乘同一個數(shù)或除以同一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·湖南岳陽·七年級期末）下列變形不一定正確的是（ ）
A．若，，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：A．根據(jù)等式性質(zhì)2，若a=b，m≠0，則，結(jié)論正確，故選項A不符合題意；
B．根據(jù)等式性質(zhì)2，若a=b，則a2=b2，結(jié)論正確，故選項B不符合題意；
C．根據(jù)等式性質(zhì)1，若a=b，則a+2c=b+2c，結(jié)論正確，故選項C不符合題意；
D．當(dāng)c=0時，若ac=bc，則a不一定等于b，故選項D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知等式的性質(zhì)，并注意在等式性質(zhì)2中，同時除以的時候不能除以0．
15．（2022·河北張家口·七年級期末）下列變形中，正確的是( )
A．若5x﹣6=7，則5x=7﹣6B．若﹣3x=5，則x=
C．若5x﹣3=4x+2，則5x﹣4x=2+3D．若，則2（x﹣1）+3（x+1）=1
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性質(zhì)分別進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、若，則，故此選項錯誤，不符合題意；
B、若，則，故此選項錯誤，不符合題意；
C、若，則，正確，符合題意；
D、若，則，故此選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確掌握等式的基本性質(zhì)．
16．（2022·吉林長春·七年級期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】移項后可直接得出答案．
【詳解】解：移項得：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)4：解一元一次方程—移項合并同類項
典例：（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先合并同類項，再把系數(shù)化為1，即可求解；
（2）先合并同類項，再把系數(shù)化為1，即可求解；
（3）先移項并合并同類項，再把系數(shù)化為1，即可求解；
（4）先移項并合并同類項，再把系數(shù)化為1，即可求解．
（1）解：合并同類項，得，
系數(shù)化為1，得；
（2）解：合并同類項，得，
系數(shù)化為1，得；
（3）解：移項并合并同類項，得
系數(shù)化為1，得；
（4）解：移項并合并同類項，得，
系數(shù)化為1，得．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2022·吉林長春·七年級期末）方程的解為（ ）
A．－1B．1C．3D．－3
【答案】B
【分析】先移項，再合并同類項，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為“1”，從而可得答案．
【詳解】解：，
移項得：
整理得：
解得：
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022·吉林長春·七年級期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將方程兩邊系數(shù)化1，即可得到方程的解．
【詳解】解：，
系數(shù)化1：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，能夠掌握解一元一次方程的步驟是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2022·福建泉州·七年級期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)解一元一次方程的方法，求出方程x+2=3的解即可．
【詳解】解：∵x+2=3，
∴x=3-2，
∴x=1．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．
4．（2022·陜西漢中·七年級期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方程移項合并，把系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】解：方程，
移項得：，
合并得：，
系數(shù)化為得：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
5．（2022·吉林長春·七年級期末）若是關(guān)于x的方程的解，則m的值為_________．
【答案】2
【分析】將x=3代入方程計算即可求出m的值．
【詳解】解：將x=3代入方程得：9-2m-5=0，
解得m=2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
6．（2022·甘肅·華亭市皇甫學(xué)校七年級期末）關(guān)于的方程的解是，則________．
【答案】6
【分析】把x=1代入已知方程，列出關(guān)于k的新方程，通過解新方程來求k的值．
【詳解】解：把x=1代入，得3×1-k+5=2，
解得 k=6．
故答案是：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義．把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．
7．（2022·河南南陽·七年級期末）已知方程與的解相同，則k的值為______．
【答案】－3
【分析】先解第一個方程得到x的值，再把x的值代入到第二個方程可得k．
【詳解】解：解方程5x+3=3x-1得，x=-2，
把x=-2代入x-1=k中，k=-3．
故答案為：-3．
【點(diǎn)睛】本題考查同解方程，能熟練解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．
【答案】
【分析】求出第二個方程的解得到x的值，代入第一個方程計算即可求出m的值即可．
【詳解】解：方程3x+5＝11，
解得：x＝2，
把x＝2代入得：12+3m＝22，
解得：m＝．
【點(diǎn)睛】此題考查了同解方程，同解方程即為方程解相同的方程．
9．（2022·吉林長春·七年級期末）解方程：．
【答案】x=-1
【分析】方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】解：移項得：-2x=8-6，
合并得：-2x=2，
系數(shù)化為1得：x=-1．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．
10．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（3）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（4）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（1）
移項得：
合并得：
（2）
移項得：
合并得：
（3）
移項得：
合并得：
系數(shù)化為1得：
（4）
移項得：
合并得：
系數(shù)化為1得：．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程方法，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握步驟．
考點(diǎn)5：解一元一次方程—去括號
典例：解方程
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【解析】（1）
解：去括號，得
移項，得
合并，得
系數(shù)化為1，得
（2）解：去分母，得：
去括號，得
移項、合并得
系數(shù)化為1，得
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．
鞏固練習(xí)
1．（2022·河南南陽·七年級期中）已知是方程的解，則的值是_________．
【答案】
【分析】把代入原方程，計算即可求出k的值．
【詳解】解：把代入方程得：，
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，熟練掌握方程的解的定義是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知代數(shù)式與的值相等，那么______．
【答案】-8
【分析】根據(jù)題意列方程，然后進(jìn)行解答即可得出a的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得：5a+1=3（a-5），
去括號得：5a+1=3a-15，
移項合并同類項得：2a=-16，
解得：a=-8．
故答案為：-8
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，關(guān)鍵在于根據(jù)題意列出方程．
3．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級期末）解方程：3-2（x+1）=2（x- 3）
【答案】
【分析】按照去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解一元一次方程即可求解．
【詳解】解：，
，
，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·吉林長春·七年級期末）解方程：．
【答案】
【分析】按照去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1的步驟解答即可．
【詳解】解：，
去括號，得：，
移項，得：，
合并同類項，得：，
系數(shù)化1，得：．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·湖南衡陽·七年級期末）解方程
【答案】
【分析】先去括號，然后再移項合并同類項，最后未知數(shù)系數(shù)化為1即可．
【詳解】解：，
去括號，得：，
移項合并同類項得：，
兩邊都除以4，得 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟，是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·福建泉州·七年級期末）解方程：．
【答案】
【分析】方程去括號，移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】解：去括號得：x+2x﹣2＝8+x，
移項得：3x﹣x＝8+2，
合并得：2x＝10，
系數(shù)化為1得：x＝5．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
7．（2022·福建泉州·七年級期末）解方程：
【答案】
【分析】去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可．
【詳解】解：去括號得：，
移項得：，
合并得：3x=11，
系數(shù)化為1得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．
8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·七年級期末）對兩個任意有理數(shù)、，規(guī)定一種新的運(yùn)算：，例如：．根據(jù)新的運(yùn)算法則，解答下列問題：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果；
（2）利用題中的新定義得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可．
（1）解：根據(jù)題中的新定義得：（?2）※5＝?2?2×5＝?2?10＝?12；
（2）根據(jù)題中的新定義得：
2?2（x＋1）＝10，
去括號得：2?2x?2＝10，
移項合并得：?2x＝10，
系數(shù)化為1得：x＝?5．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算以及解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
9．（2022·河南南陽·七年級階段練習(xí)）對于兩個非零常數(shù)a，b，規(guī)定一種新的運(yùn)算：，例如，．根據(jù)新運(yùn)算法則，解答下列問題：
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)7(2)
【分析】（1）先根據(jù)新運(yùn)算得出算式，再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；
（2）先根據(jù)新運(yùn)算得出算式，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可．
（1）根據(jù)題中的新定義得：
（2）根據(jù)題中的新定義得：，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算和解一元一次方程，能靈活運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算是解（1）的關(guān)鍵，能根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解（2）的關(guān)鍵．
考點(diǎn)6：解一元一次方程—去分母
典例：（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先移項合并同類項，然后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可；
（2）先去括號，再移項合并同類項，然后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可；
（3）先去分母，再去括號，然后移項合并同類項，最后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可；
（4）先去分母，再去括號，然后移項合并同類項，最后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可．
（1）解：，
移項合并同類項得：，
未知數(shù)系數(shù)化為1得：．
（2）解：，
去括號得：，
移項合并同類項得：，
未知數(shù)系數(shù)化為1得：．
（3）解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項合并同類項得：，
未知數(shù)系數(shù)化為1得：．
（4）解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項合并同類項得：，
未知數(shù)系數(shù)化為1得：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的基本步驟，是解題的關(guān)鍵．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查正負(fù)數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是理解題意表示出紅色、黑色所代表的數(shù)字．
鞏固練習(xí)
1．（2022·江蘇·七年級單元測試）解一元一次方程時，去分母正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】方程兩邊同時乘以6即可．
【詳解】解：去分母，得，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握去分母的方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·福建泉州·七年級期末）解方程時，去分母結(jié)果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，把方程的等號的左右兩邊分別乘6，判斷出去分母結(jié)果正確的是哪個即可．
【詳解】解：解方程時，去分母結(jié)果正確的是：3（3x-1）=6-2（x+3）．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性質(zhì)的應(yīng)用．
3．（2022·山東威海·期末）在解關(guān)于x的方程時，小穎在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)小穎解方程的過程求出a的值，然后正確求出原方程的解即可．
【詳解】解：由題意得的解為，
∴，
解得，
∴，
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并得：，
解得：，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期末）下列解方程變形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由，去括號得4x－2－3x＋9＝1；
④由，得x＝3．其中正確的有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】B
【分析】根據(jù)解一元一次方程的步驟進(jìn)行逐一求解判斷即可．
【詳解】解：①由3x+4=4x-5，得3x-4x=-5-4；方程變形錯誤，不符合題意；
②由，去分母得2x-3x-3=6；方程變形錯誤，不符合題意；
③由，去括號得4x-2-3x+9=1；正確，符合題意；
④由，得x=．方程變形錯誤，不符合題意；
綜上，正確的是③，只1個，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元一次方程的方法．
5．（2022·河南南陽·七年級期末）如圖的框圖表示解方程的流程，其中第步和第步變形的依據(jù)相同，這兩步變形的依據(jù)是（ ）
A．乘法分配律B．分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)
C．等式的基本性質(zhì)D．等式的基本性質(zhì)
【答案】D
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)解決本題．
【詳解】解：第步去分母，根據(jù)等式的基本性質(zhì)等式兩邊同乘一個不為的數(shù)，等式仍然成立，得．
第步的系數(shù)化為，根據(jù)等式的基本性質(zhì)等式兩邊同除以一個不為的數(shù)，等式仍然成立，得．
第步和第步變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等式的基本性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2022·山西呂梁·七年級期中）將方程去分母得到，錯在（ ）
A．分母的最小公倍數(shù)找錯
B．去分母時，漏乘了分母為1的項
C．去分母時，分子部分沒有加括號
D．去分母時，各項所乘的數(shù)為各分母的最小公倍數(shù)12
【答案】C
【分析】根據(jù)去分母法解一元一次方程進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：
去分母，得3(y+2)+2(2y-1)=12
去括號，得3y+6+4y-2=12
∴選項A，B，D正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程——去分母，解題關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟．
7．（2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級期末）解方程：
【答案】
【分析】方程去分母，去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】解：去分母，得2（1-2x）-10=5（x+3），
去括號，得2-4x-10=5x+15，
移項合并，得-9x=23，
把x系數(shù)化為1，得．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．
8．（2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級階段練習(xí)）解方程：
(1)5x+2＝7x﹣8；
(2)．
【答案】(1)x＝5(2)x＝-5
【分析】（1）方程移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
（1）解：5x+2＝7x﹣8
移項得：5x﹣7x＝﹣8﹣2，
合并得：﹣2x＝﹣10，
解得：x＝5；
（2）
解：
去分母得：3（x﹣1）+12＝2（2+x），
去括號得：3x﹣3+12＝4+2x，
移項得：3x﹣2x＝4+3﹣12，
合并得：x＝﹣5．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項，合并同類項，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．
9．（2022·甘肅·永昌縣第六中學(xué)七年級期末）解方程：
(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）方程去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
（1）解：去括號得：6x-10-12x+9=0，
移項得：6x-12x=10-9，
合并得：-6x=1，
解得：；
（2）去分母得：3（x-3）-2（2x+1）=6，
去括號得：3x-9-4x-2=6，
移項得：3x-4x=6+9+2，
合并得：-x=17，
解得：．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，掌握解題步驟是解題的關(guān)鍵，其步驟為：去分母，去括號，移項，合并同類項，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．
10．（2021·吉林油田第二中學(xué)七年級期中）解方程：
【答案】x＝
【分析】方程兩邊同時乘以6，移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為1，即可作答．
【詳解】
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，去分母時，方程兩邊同時乘以各個分母的最小公倍數(shù)，注意不要漏乘沒有分母的項．
11．（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)七年級期末）解方程
(1)6x﹣7 ＝ 4x﹣5
(2) ＝ 1﹣
【答案】(1)(2)
【分析】（1）移項、合并同類項，系數(shù)化為1即可得解；
（2）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求解即可．
（1）解：移項，得6x﹣4x=﹣5+7，
合并同類項，得2x＝2，
系數(shù)化為1，得x＝1；
（2）解：去分母，得2（4x﹣1）＝ 6﹣（3x﹣1），
去括號，得8x﹣2＝6﹣3x+1，
移項，得 8x+3x＝6+1+2，
合并同類項，得 11x＝9，
系數(shù)化為1，得．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·河南·鄭州二七優(yōu)智實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期末）解下列方程：
(1)32x－64＝16x＋32；
(2)－x＝3－．
【答案】(1)x=6；(2)x=-2．
【分析】（1）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括號，移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
（1）解：移項得：32x-16x=32+64，
合并得：16x=96，
系數(shù)化為1得：x=6；
（2）解：去分母得：4（1-x）-12x=36-3（x+2），
去括號得：4-4x-12x=36-3x-6，
移項得：-4x-12x+3x=36-6-4，
合并得：-13x=26，
系數(shù)化為1得：x=-2．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項，合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．
13．（2022·甘肅·華亭市皇甫學(xué)校七年級期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1；
（2）去分母，移項，合并同裂項，系數(shù)化為1．
（1），
去括號得 ，
整理得
（2），
去分母得 ，
整理得
【點(diǎn)睛】本題考查方程的化簡求解，需熟練掌握其運(yùn)算方法．
14．（2022·山東濟(jì)南·七年級期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）按照解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1計算即可；
（2）按照解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1計算即可．
（1）
解：去括號，
移項、合并，
化系數(shù)為1，；
（2）
解：去分母，
去括號，
移項、合并，
化系數(shù)為1，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟并準(zhǔn)確計算是本題的關(guān)鍵．
15．（2022·貴州銅仁·七年級期末）方程的解與方程的解相同，求m值．
【答案】m的值是-．
【分析】因?yàn)閮蓚€方程的解相同，所以解出第一個方程后，把x的值代入第二個方程中，進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：解方程2(1-x)=x+1得x=，
∵方程2(1-x)=x+1的解與方程的解相同，
把x=代入，
得：，
∴m=-．
故m的值是-．
【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程，解一元一次方程和一元一次方程的解等知識點(diǎn)，能得出關(guān)于m的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)7：一元一次方程拓展訓(xùn)練
典例：（2022·廣西防城港·七年級期中）用“★”定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣3）★2＝ ．
(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
【答案】(1)-27(2)2
【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算的公式計算即可；
（2）根據(jù)新定義運(yùn)算的公式列出方程后，解方程即可．
（1）解：（﹣3）★2＝；
故答案為：﹣27；
（2）根據(jù)題意得：
★3=
3a
＝8a
∴（★3）★（﹣2）＝8a★（﹣2）＝，
整理得：8a＝16，
解得：a＝2．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要考查了新定義運(yùn)算，一元一次方程，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2022·吉林長春·七年級期末）已知．當(dāng)時，；當(dāng)時，．則方程的解可能是（ ）
A．1.45B．1.64C．1.92D．2.05
【答案】B
【分析】由題意估算得出方程的解的取值范圍在1.5與1.8之間，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：對于來說，
∵當(dāng)x=1.5時，＞0；
當(dāng)x=1.8時，＜0；
∴方程的解的取值范圍在1.5與1.8之間，
觀察四個選項，1.64在此范圍之內(nèi)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出方程的解的取值范圍在1.5與1.8之間．
2．（2022·河南南陽·七年級期中）我們把 稱為二階行列式，且 =，如=－=－10．若=6，則的值為（ ）
A．8B．－2C．2D．－5
【答案】D
【分析】根據(jù)二階行列式的定義列式得一個關(guān)于m的一元一次方程，求出m的值即可．
【詳解】根據(jù)題意得=-4m-2×7，
∵=6，
∴-4m-2×7=6，
解得m=-5．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用定義新運(yùn)算解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確的列方程．
3．（2022·河北承德·七年級期末）解一元一次方程的過程就是通過變形，把一元一次方程轉(zhuǎn)化為的形式，下面是解方程的主要過程，方程變形對應(yīng)的依據(jù)錯誤的是（ ）
解：原方程可化為（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括號，得（ ③ ）
移項，得（ ④ ）
合并同類項，得（合并同類項法則）
系數(shù)化為1，得（等式的基本性質(zhì)2）
A．①分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)B．②等式的基本性質(zhì)2
C．③乘法對加法的分配律D．④加法交換律
【答案】D
【分析】方程利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化簡，再利用等式的基本性質(zhì)2兩邊乘以15去分母，去括號后利用等式的基本性質(zhì)1移項，合并后將x系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】解：原方程可化為（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括號，得（ ③ ）
移項，得（等式的基本性質(zhì)1 ）
合并同類項，得（合并同類項法則）
系數(shù)化為1，得（等式的基本性質(zhì)2）．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
4．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）對于兩個不相等的有理數(shù)a，b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，例如min{2，-4}＝-4，則方程min{x，-x}＝3x＋4的解為（ ）
A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－1或x＝－2D．x＝1或x＝2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得：min{x，-x}或，所以或，據(jù)此求出的值即可．
【詳解】規(guī)定符號min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，
當(dāng)min{x，-x}表示為時，
則，
解得，
當(dāng)min{x，-x}表示為時，
則，
解得，
時，最小值應(yīng)為，與min{x，-x}相矛盾，故舍去，
方程min{x，-x}＝3x＋4的解為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的解法，能根據(jù)題意正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·河南南陽·七年級階段練習(xí)）某同學(xué)解方程時，把“”處的系數(shù)看錯了，解得，他把“”處的系數(shù)看成了（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)“□”處的系數(shù)是y，則4y+1=4×4-3，然后根據(jù)解一元一次方程的方法，求出他把“□”處的系數(shù)看成了多少即可．
【詳解】解：設(shè)“□”處的系數(shù)是y，
則4y+1=4×4-3，
∴4y+1=13，
移項得
4y=13-1，
合并同類項得
4y=12，
系數(shù)化為1得y=3．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．
6．（2022·湖北孝感·七年級期末）用“*”定義一種運(yùn)算：對任意的有理數(shù)x和y：x*y＝mx＋my＋1（m為常數(shù)），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，則（－1）*（－3）的值為（ ）
A．－7B．－5C．－13D．－11
【答案】D
【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算，得出關(guān)于m的一元一次方程求解確定m=3，然后再代入新定義的運(yùn)算求解即可．
【詳解】解：∵x*y＝mx＋my＋1，1*2＝10，
∴m＋2m＋1=10，
解得m=3，
∴x*y＝3x＋3y＋1，
∴（－1）*（－3）=-3-9+1=-11，
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查解一元一次方程，理解題目中新定義的運(yùn)算方法是解題關(guān)鍵．
7．（2022·黑龍江大慶·期末）關(guān)于x的方程有無窮多個解，則______．
【答案】
【分析】方程整理后，根據(jù)有無窮多個解，確定出a與b的值，即可求出所求．
【詳解】解：方程整理得：（3a﹣5）x＝2a+3b，
∵方程有無窮多個解，
∴3a﹣5＝0，2a+3b＝0，
解得：a＝，b＝﹣，
則a﹣b＝+ ＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
8．（2022·江蘇·七年級單元測試）已知a，b為定值，關(guān)于x的方程，無論k為何值，它的解總是x＝2，則a＋b＝________．
【答案】﹣3
【分析】把x＝2代入方程，得，可得，再根據(jù)題意可得4＋b＝0，2a﹣2＝0，進(jìn)而可得a、b的值，從而可得答案．
【詳解】解：把x＝2代入方程，得：
，
，
4k＋2a＝6﹣4﹣bk，
4k＋bk＋2a﹣2＝0，
，
∵無論k為何值，它的解總是1，
∴4＋b＝0，2a﹣2＝0，
解得：b＝﹣4，a＝1．
則a＋b＝﹣3．
故答案為：﹣3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查方程解的定義，由k可以取任何值得到a和b的值是解題的關(guān)鍵．
9．（2021·河南信陽·七年級期末）若關(guān)于的方程與方程的解相同，則的值為____________．
【答案】11
【分析】先求出的解，再將解代入中，即可求得k的值．
【詳解】解：解可得：，
將代入可得：，
解得：，
故答案為：11．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程及同解方程，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·河南鄭州·七年級期末）關(guān)于x的一元一次方程，其中m是正整數(shù)．若方程有正整數(shù)解，則m的值為_____________．
【答案】2或4##4或2
【分析】通過解一元一次方程即可解答．
【詳解】解：
移項得，
化簡得，
又∵m是正整數(shù)且方程也有正整數(shù)解，
∴當(dāng)m=1，2，3，4，5，6時方程有解，
而當(dāng)m=2，4時有正整數(shù)解．
故答案為：2或4．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元一次方程的解．
11．（2022·福建泉州·七年級期末）在有理數(shù)范圍內(nèi)我們定義運(yùn)算法則“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值為______．
【答案】-1
【分析】根據(jù)a¤b=ab+a-b+3，可得-3x-3-x+3=4，再解方程即可．
【詳解】解：∵a¤b=ab+a-b+3，
∴-3¤x=-3x-3-x+3=4，
∴-4x=4，
解得：x=-1，
故答案為：-1．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，正確理解定義的運(yùn)算法則，列出方程是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·河北承德·七年級期末）設(shè)a，b，c，d為有理數(shù)，則我們把形如的式子叫做二階行列式，它的運(yùn)算法則用公式表示為，利用此法則解決下列問題：
（1）___________________；
（2）若，則x值為_______________．
【答案】 4 2
【分析】（1）根據(jù)：，求出的值是多少即可．
（2）根據(jù)：，可得：2×4﹣2（1﹣x）＝10，據(jù)此求出x的值是多少即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴1×2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4．
故答案為：4
（2）∵，
∴2×4﹣2（1﹣x）＝10，
∴2x+6＝10，
解得x＝2．
故答案為：2
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．
13．（2022·河南駐馬店·七年級期中）已知關(guān)于的一元一次方程的解是，那么關(guān)于的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)兩個方程的特點(diǎn)，第二個方程中的y+1相當(dāng)于第一個方程中的x，據(jù)此即可求解．
【詳解】∵，
∴．
∵關(guān)于x的一元一次方程的解是x=71，
∴關(guān)于(y+1)的一元一次方程的解為：y+1=71，
解得：y=70，
故答案為：y=70．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，理解兩個方程之間的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·山東煙臺·期末）若關(guān)于x的方程的解與關(guān)于x的方程的解互為相反數(shù)，則k=______．
【答案】15
【分析】分別解兩個方程，根據(jù)方程的解互為相反數(shù)，列出方程，解出k即可；
【詳解】解：，
，
，
，
，
解方程：，
，
，
，
根據(jù)題意列出方程，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，依據(jù)解方程步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1進(jìn)行計算，解題關(guān)鍵正確應(yīng)用運(yùn)算法則．
15．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解___________．
【答案】2
【分析】根據(jù)x的一元一次方程的解為，
得到，根據(jù)題意，得，
從而得到即x=y+1，代入計算即可．
【詳解】∵x的一元一次方程的解為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴x=y+1=3，
解得y=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解即使得方程兩邊相等的未知數(shù)的值，正確理解解得意義是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·四川省九龍縣中學(xué)校七年級期末）已知方程是關(guān)于x的一元一次方程．
(1)求代數(shù)式的值；
(2)求關(guān)于y的方程m|y－2|＝x的解．
【答案】(1)?2(2)y＝6或y＝?2
【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義得到|m|＝1且m＋1≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代數(shù)式化簡得到原式＝，然后把x＝4代入計算即可；
（2）方程化為|y?2|＝4，根據(jù)絕對值的意義得到y(tǒng)?2＝4或y?2＝?4，然后分別解兩個一次方程即可．
（1）解：∵方程是關(guān)于x的一元一次方程，
∴|m|＝1且m＋1≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化為：2x?8＝0，解得x＝4，
＝
＝，
當(dāng)x＝4時，原式＝＝?2；
（2）解：方程化為|y?2|＝4，
∴y?2＝4或y?2＝?4，
∴y＝6或y＝?2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定義．掌握相關(guān)定義和一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
17．（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)七年級期末）已知關(guān)于x的整式，整式，若a是常數(shù)，且的值與x無關(guān)．
(1)求a的值；
(2)若b為整數(shù)，關(guān)于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整數(shù)，求的值．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）把M與N代入2M+N中，去括號合并得到最簡結(jié)果，由2M+N的值與x無關(guān)，確定出a的值即可；
（2）方程移項，x系數(shù)化為1，表示出解，根據(jù)解為正整數(shù)且b為整數(shù)，確定出b的值，進(jìn)而求出所求．
（1）解：∵，N=，
∴2M+N=2（）+（）
=
=（16a-8）x+6，
∵2M+N的值與x無關(guān)，
∴16a-8=0，
解得：a=；
（2）解：方程bx-b-3=0，
整理得：x=1+，
∵解是正整數(shù)，
∴b=1或3，
當(dāng)b=1時，=；
當(dāng)b=3時，．
【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減-化簡求值，以及一元一次方程的解，熟練掌握運(yùn)算法則及方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
18．（2022·河南南陽·七年級期中）（1）取何值時，代數(shù)式與的值互為相反數(shù)？
（2）取何值時，關(guān)于的方程和的解相同？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到x的值；
（2）根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到k的值．
【詳解】解：（1）由題意，得，
解得，
答：當(dāng)時，代數(shù)式與的值互為相反數(shù)；
（2），
，
，
解得，
方程和的解相同，
把代入得，
解得，
答：當(dāng)時，關(guān)于的方程和的解相同．
【點(diǎn)睛】此題考查解一元一次方程，涉及到相反數(shù)的性質(zhì)，同解方程的概念等知識點(diǎn)，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
19．（2022·河南洛陽·七年級期中）當(dāng)為何值時，關(guān)于的方程和的解相同？
【答案】##
【分析】先求出第一個方程的解，把求出的x代入第二個方程，再求出k即可．
【詳解】解：解方程得：，
由題意得：，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程，解一元一次方程，一元一次方程的解等知識點(diǎn)，能得出關(guān)于k的方程是解此題的關(guān)鍵．
20．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b為常數(shù)），若這個方程的解恰好為x＝a﹣b，則稱這個方程為“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解為x＝﹣2，恰好為x＝2﹣4，則方程2x+4＝0為“恰解方程”．
(1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，則k的值為 ；
(2)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解為x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代數(shù)式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【答案】(1)(2)m＝﹣3，n＝﹣(3)-9
【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定義，得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再結(jié)合x＝n，即可求出m，n的值；
（ 3）根據(jù)“恰解方程”的定義得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化簡后代入計算即可．
（1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得：
x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴﹣＝3﹣k，
解得：k＝；
（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：
x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）解：解方程3x＝mn+n得：
x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴＝3+mn+n，
∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（）
＝﹣9．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定義是解題的關(guān)鍵．
21．（2022·河南駐馬店·七年級期末）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解為，則稱該方程為“商解方程”．例如：2＋x＝4的解為x＝2且，則方程2＋x＝4是“商解方程”．請回答下列問題：
(1)判斷3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若關(guān)于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
【答案】(1)不是
(2)m＝
【分析】（1）求出方程的解是，再進(jìn)行判斷即可；
（2）先求出方程的解，再根據(jù)題意得出關(guān)于的方程，最后求出方程的解即可．
（1），，而，所以不是“商解方程”；
（2），，，關(guān)于的一元一次方程是“商解方程”，，解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟記方程的解的定義（使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解）是解此題的關(guān)鍵．
22．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值．如果一個方程的解都是整數(shù)，那么這個方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是關(guān)于x的方程的解，則_____；
(2)若關(guān)于x的方程的解也是“立信方程”的解，則_______；
(3)若關(guān)于x的方程的解也是關(guān)于x的方程的解，且這兩個方程都是“立信方程”，求符合要求的正整數(shù)a和正整數(shù)k的值．
【答案】(1)1(2)5(3)，
【分析】（1）根據(jù)“立信方程”的定義解答即可；
（2）根據(jù)x2+3x-4=0，可得2x2+6x =8，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值為整數(shù)，可得為整數(shù)，從而得到a的值，進(jìn)而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k為正整數(shù)，即可求解．
（1）解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入1-2（x-m）=3，得：
1-2（0-m）=3，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案為：1．
（2）解： ∵x2+3x-4=0，
∴x2+3x=4，
∴2（x2+3x）= 2x2+6x =8，
∵關(guān)于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴8-3-n=0，解得：n=5．
故答案為：5．
（3）解：∵a為正整數(shù)，則a≠0，
∵，
∴，
∵該方程為“立信方程”，
∴x的值為整數(shù)，
∴為整數(shù)，
∴a可取1，4，2，-1，-4，-2，
∴x=-2，16，-1，-4，38，7，
同理9x-3=kx+14，
∴（9-k）x=17，
根據(jù)題意得：9-k≠0，
∴，
∴9-k可取8，-8，10，26，
∴此時x=17，1，-17，-1，
∴兩方程相同的解為x=-1，
此時對應(yīng)的a=2，k=26，
∴符合要求的正整數(shù)a的值為2，k的值為26．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的應(yīng)用，能理解立信方程的意義是解此題的關(guān)鍵．
能力提升
一、單選題（每題3分）
1．（2022·全國·七年級單元測試）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，有1個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)為1的整數(shù)方程是一元一次方程，判斷即可．
【詳解】A、是一元一次方程，符合題意；
B、有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，不合題意；
C、中未知數(shù)最高次數(shù)為2，不是一元一次方程，不合題意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是本題的關(guān)鍵．
2．（2022·福建福州·七年級期末）下列根據(jù)等式的性質(zhì)正確變形的是（ ）．
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】B
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)依次對各選項進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．由，得，原等式變形不正確，故此選項不符合題意；
B．由，得，原等式變形正確，故此選項符合題意；
C．由，得，原等式變形不正確，故此選項不符合題意；
D．由，得，原等式變形不正確，故此選項不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，性質(zhì)1：等式兩邊加上或減去同一個數(shù)（或式子），等式仍然成立；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，等式仍然成立．理解和掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）根據(jù)“x與5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】仔細(xì)審題，x與5的和的4倍即是4（x+5），x的即是x，由此根據(jù)可列出方程．
【詳解】解：由題意列方程式為：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系．
4．（2022·甘肅·景泰縣第四中學(xué)七年級期中）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形拼接而成，第①個圖案有4個三角形和1個正方形，第②個圖案有7個三角形和2個正方形，第③個圖案有10個三角形和3個正方形，…依此規(guī)律，如果第n個圖案中正三角形和正方形的個數(shù)共有2021個，則n=（ ）．
A．503B．504C．505D．506
【答案】C
【分析】根據(jù)圖形的變化發(fā)現(xiàn)第n個圖案中有（3n＋1）個正三角形和n個正方形，共（4n＋1）個，進(jìn)而可得n的值．
【詳解】解：因?yàn)榈冖賯€圖案有4個三角形和1個正方形，
第②個圖案有7個三角形和2個正方形，
第③個圖案有10個三角形和3個正方形，
…
依此規(guī)律，
所以第n個圖案中正三角形和正方形的個數(shù)：3n＋1＋n＝4n＋1，
4n＋1＝2021，
則n＝505．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．
5．（2022·浙江衢州·七年級期末）如圖，將4張形狀、大小完全相同的小長方形紙片分別以圖1、圖2的方式放入長方形ABCD中，若圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，則圖中BE的長為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】設(shè)小長方形的長為y，寬為x，用x、y及BE分別表示出圖1和圖2的周長，根據(jù)圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，即可求解．
【詳解】解∶如下圖，
設(shè)小長方形的長為y，寬為x，則，
圖1中陰影部分的周長為：y+2x+y+2x+y+（y-2x）+2x=4y+4x，
圖2中陰影部分的周長為：y+2x+（y+BE-2x）+y+2x+y+BE+2x=4y+4x+ 2BE，
∵圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，
∴4y+4x+ 2BE=4y+4x+1，
∴BE=，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減以及一元一次方程，正確地表示出兩圖中陰影部分的周長是解本題的關(guān)鍵．
6．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則關(guān)于y的一元一次方程的解為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】運(yùn)用整體思想，得到方程中，有，即可答案．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元一次方程的解為，
∴關(guān)于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解為；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分）
7．（2022·河南鶴壁·七年級期末）已知關(guān)于的一元一次方程的解是，則的值為______________．
【答案】3
【分析】將代入方程，得到關(guān)于的一元一次方程，解方程即可．
【詳解】解：關(guān)于的一元一次方程的解為，
，
解得．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義，解題的關(guān)鍵是理解使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．
8．（2022·湖南株洲·七年級期末）“的3倍與7的差等于12”可列方程為____________________．
【答案】
【分析】根據(jù)該數(shù)的3倍與7的差等于12，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此問得解
【詳解】解：根據(jù)題意得，3x﹣7＝12
故答案為：3x﹣7＝12．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·湖南衡陽·七年級期末）若代數(shù)式3x＋2與代數(shù)式x﹣10的值互為相反數(shù)，則x＝________．
【答案】2
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義列方程3x＋2＋x﹣10＝0，再求解方程即可．
【詳解】解：∵代數(shù)式3x＋2與代數(shù)式x﹣10的值互為相反數(shù)，
∴3x＋2＋x﹣10＝0，
整理得：4x﹣8＝0，
解得：x＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方、相反數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·江蘇南京·七年級期末）整式ax－b的值隨x的取值不同而不同，下表是當(dāng)x取不同值時對應(yīng)的整式的值，則關(guān)于x的方程－ax＋b＝3的解是______．
【答案】x=0
【分析】轉(zhuǎn)化為：，根據(jù)圖表求得一元一次方程的解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵根據(jù)圖表知：當(dāng)時，，
∴方程的解為：，
∴方程的解為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，正確得出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·河北邢臺·七年級期末）學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法后，老師布置了這樣一道計算題，兩位同學(xué)的解答過程分別如下：
（1）解答過程出現(xiàn)錯誤的同學(xué)是 _____；
（2）這個方程正確的解是 _____．
【答案】 甲和乙 x＝﹣1
【分析】（1）由題意可知，甲和乙都在去分母時出現(xiàn)錯誤；
（2）寫出正確的解題過程即可．
【詳解】解：（1）解答過程出現(xiàn)錯誤的同學(xué)是甲和乙；
（2）解方程 ，
，
2（3x+1）﹣（x﹣7）＝4，
6x+2﹣x+7＝4，
6x﹣x＝4﹣2﹣7，
5x＝﹣5，
x＝﹣1．
故答案為：（1）甲和乙；（2）x＝﹣1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2022·河北承德·七年級期中）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．
示例：即；則
（1）用含x的式子表示__________；
（2）當(dāng)時，n的值為__________．
【答案】 3x 1
【分析】（1）根據(jù)整式的加法求解即可；
（2）由題意得x+2x=3x，2x+3=n，3x+n=y，據(jù)此解答．
【詳解】解：（1）用含x的式子表示m=x+2x=3x；
（2）∵
當(dāng)時，
解得，x=-1
∴n=2x+3=1
故答案為：3x，1．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題目約定的規(guī)則，然后再進(jìn)一步解答．
三、解答題（13題5分，14題6分，15題7分）
13．（2021·浙江·杭州市余杭區(qū)良渚實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級階段練習(xí)）解方程：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)．
【分析】移項、合并同類項、系數(shù)化為，據(jù)此求出方程的解是多少即可.
去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為，據(jù)此求出方程的解是多少即可．
（1）解：移項，可得：，
合并同類項，可得：，
系數(shù)化為，可得：.
（2）解：去分母，可得：，
去括號，可得：，
移項，可得：，
合并同類項，可得：，
系數(shù)化為，可得：.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為．
14．（2022·江蘇常州·七年級期中）如圖，將邊長為的正方形紙片剪去一個邊長為a的正方形后，剩余部分可剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），若拼成的長方形一邊長為3，請解答下列問題：
(1)分別計算剪拼后所得的長方形的周長和面積（用含a的代數(shù)式表示）；
(2)若將剪拼后的長方形的長減少4，寬增加4，所得的新長方形的面積恰好等于原長方形的面積，求a的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)拼圖，用代數(shù)式表示出拼成的長方形的長，即可求得答案．
（2）用代數(shù)式表示變化后長方形的長與寬，再根據(jù)面積間的關(guān)系列方程即可求解．
(1)解：由題意得，
剪拼后所得的長方形的長為：，寬為：，
因此周長為：，
面積為：．
(2)由題意得，
，
解得，
a的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式、根據(jù)等量關(guān)系列一元一次方程，用代數(shù)式正確表示圖形的邊長、周長和面積是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·四川成都·七年級期末）航天創(chuàng)造美好生活，每年4月24日為中國航天日．學(xué)習(xí)了一元一次方程以后，小悅結(jié)合中國航天日給出一個新定義：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，是關(guān)于y的方程的一個解，且，滿足，則關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，當(dāng)時，滿足，所以關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．
(1)試判斷關(guān)于y的方程是否是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”？并說明理由；
(2)若關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
【答案】(1)是，理由見解析(2)a的值為101或109
【分析】（1）根據(jù)新定義的概念進(jìn)行分析計算；
（2）分別求得兩個方程的解，然后根據(jù)新定義概念分情況討論求解．
（1）是，理由如下：，解得：，，解得：或，∵，∴關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”；
（2），解得：，，解得：或，∵關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”，①當(dāng)時，解得：；②當(dāng)時，解得：，綜上，a的值為101或109．
【點(diǎn)睛】本題屬于新定義題目，理解新定義概念，掌握解一元一次方程的步驟，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵．x
－2
0
2
ax－b
－6
－3
0

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