目標(biāo)導(dǎo)航
1. 角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做這個(gè)角的邊?；颍航且部梢钥闯墒且粭l射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。
平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角。終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：
①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小寫(xiě)的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如∠B，∠C等。
④用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫(xiě)在中間，邊上的字母寫(xiě)在兩側(cè)。
3.用一副三角板，可以畫(huà)出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
4.角的度量
角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。
1°=60’，1’=60”
5.角的性質(zhì)
（1）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。
（2）角的大小可以度量，可以比較
（3）角可以參與運(yùn)算。
6.角的平分線
從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。
7.余角和補(bǔ)角
①如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為如果∠α+∠β=90°，那么∠α與∠β互余；反過(guò)來(lái)，如果∠α與∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為如果∠α+∠β=180°，那么∠α與∠β互補(bǔ)；反過(guò)來(lái)如果∠α與∠β互補(bǔ)，那么∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等。
考點(diǎn)精講
考點(diǎn)1：鐘面上的角度計(jì)算
典例：16．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）鐘表上的時(shí)針、分針和秒針都在繞鐘表中心做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).
⑴鐘表從2點(diǎn)現(xiàn)在，經(jīng)過(guò)20分鐘后，分針和時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)了多少度？
⑵當(dāng)時(shí)間到3：20時(shí)，鐘表上時(shí)針和分針的夾角是多少度？
【答案】（1）分針轉(zhuǎn)動(dòng)120°，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)10°；（2）20°
【分析】（1）根據(jù)鐘表上每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，分針轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要60分鐘，分別得出時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)1分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度，據(jù)此即可求得答案；
（2）3：20時(shí)，根據(jù)時(shí)針與分針旋轉(zhuǎn)過(guò)的角度進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）∵時(shí)鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周的度數(shù)為360°，需要的時(shí)間為60分鐘，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)60分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度為30°，
∴時(shí)鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一分鐘時(shí)的度數(shù)為：360°÷60=6°，
時(shí)針旋轉(zhuǎn)一分鐘時(shí)的度數(shù)為：30°÷60=0.5°，
∴分針經(jīng)過(guò)20分鐘旋轉(zhuǎn)了6°×20=120°，
時(shí)針經(jīng)過(guò)20分鐘旋轉(zhuǎn)了0.5°×20=10°；
（2）當(dāng)時(shí)間到3：20分時(shí),鐘表上時(shí)針和分針的夾角是
（6-0.5）×20-30×3=110-90=20度.
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查了鐘面角，熟練掌握分針與時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是解題的關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
1．（2021·河南開(kāi)封·七年級(jí)期中）已知在某個(gè)時(shí)刻，時(shí)鐘的時(shí)針與分針成一直角，則這時(shí)可能是（ ）
A．3：30B．6：15C．9：00D．12：45
【答案】C
【分析】根據(jù)鐘面角的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：由鐘面角的定義可知，鐘面上每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間所對(duì)應(yīng)的圓心角為360°×＝30°，
當(dāng)時(shí)間為9：00時(shí)，時(shí)針指向數(shù)字9，分針指向數(shù)字12，這時(shí)分針與時(shí)針的夾角為30°×（12﹣9）＝90°，
其余選項(xiàng)均不符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了鐘面角，解題關(guān)鍵是找出時(shí)鐘的時(shí)針與分針相差的大格數(shù)．
2．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)期末）時(shí)鐘7：30的分針與時(shí)針夾角度數(shù)是（ ）
A．55度B．45度C．35度D．60度
【答案】B
【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解∶
=30°+15°
=45°，
即時(shí)鐘7：30的分針與時(shí)針夾角度數(shù)是45°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·浙江麗水·七年級(jí)期末）如圖是從圖的時(shí)鐘抽象出來(lái)的圖形，已知三角形是等邊三角形，，當(dāng)時(shí)針正對(duì)點(diǎn)時(shí)恰好是：，若時(shí)針與三角形一邊平行時(shí)，時(shí)針?biāo)傅臅r(shí)間不可能是（ ）
A．：B．：C．：D．：
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知，需要分三種情況，分別畫(huà)出圖形，可根據(jù)時(shí)鐘得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，需要分三種情況，如下圖所示：.
當(dāng)時(shí)，如圖2（1），此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為：或：；
當(dāng)時(shí)，如圖2（2），此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為：或：；
當(dāng)時(shí)，如圖2（3），此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為：或：；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分類討論思想，對(duì)于時(shí)鐘的認(rèn)識(shí)，找到每種情況是解題關(guān)鍵．
4．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）小明晚上放學(xué)到家時(shí)，鐘表的時(shí)間顯示為6點(diǎn)15分（如圖），此時(shí)時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)山堑亩葦?shù)是（ ）
A．90°B．92.5°C．97.5°D．102.5°
【答案】C
【分析】根據(jù)鐘面平均分為12份，每份的圓心角度數(shù)為30°，再根據(jù)時(shí)針和分鐘相距的份數(shù)乘以30°即可求解．
【詳解】解：6點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針和分鐘相距的份數(shù)是3+=，
∴6點(diǎn)15分時(shí)時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)山堑亩葦?shù)是×30°=97.5°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查鐘面角，確定時(shí)針和分鐘相距的份數(shù)是解答的關(guān)鍵．
5．（2022·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)期末）鐘面上的時(shí)間為8點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用鐘表表盤(pán)的特征解答．
【詳解】8點(diǎn)30分，時(shí)針和分針中間相差2.5個(gè)大格．
∵鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，
∴8點(diǎn)30分分針與時(shí)針的夾角是2.5×30°=75°．
故選D．
【點(diǎn)睛】用到的知識(shí)點(diǎn)為：鐘表上12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°．
6．（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）時(shí)間為7點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分針形成的小于的角為_(kāi)__________°
【答案】
【分析】利用分針和時(shí)針的速度求夾角即可．
【詳解】解：分針?biāo)俣龋海ǘ?分），時(shí)針?biāo)俣龋海ǘ?分）
則7點(diǎn)30分時(shí)夾角為：．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查時(shí)鐘上的角度問(wèn)題，搞清楚時(shí)針，分針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，并轉(zhuǎn)化為行程問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
7．（2021·貴州畢節(jié)·七年級(jí)階段練習(xí)）（12小時(shí)的時(shí)鐘）時(shí)鐘是7點(diǎn)20分，這一時(shí)刻鐘面上時(shí)針與分針的夾角（小于平角）是_____°．
【答案】100
【分析】時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，所以鐘表上7點(diǎn)20分，時(shí)針與分針的夾角相隔3個(gè)數(shù)字．
【詳解】解：鐘表上7點(diǎn)20分，時(shí)針指向7和8之間，分針指向4，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為，
則．
故答案為：100．
【點(diǎn)睛】本題考查的是鐘表表盤(pán)與角度相關(guān)的特征，解題的關(guān)鍵是掌握鐘表表盤(pán)被分成12大格，每一大格又被分為5小格，故表盤(pán)共被分成60小格，每一小格所對(duì)角的度數(shù)為．分針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，時(shí)間為60分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)1大格，即時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．
8．（2022·山東·萬(wàn)杰朝陽(yáng)學(xué)校期中）萬(wàn)杰朝陽(yáng)學(xué)校上午第二節(jié)課的下課時(shí)間是9：40，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是_________°．
【答案】50
【分析】根據(jù)時(shí)鐘上時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)30°，時(shí)針一分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針一分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：由題意得：
，
故選：50．
【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)30°，分針一分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°，是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）鐘表上的時(shí)針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，從8點(diǎn)到8點(diǎn)40分，時(shí)針轉(zhuǎn)了_____度，分針轉(zhuǎn)了_____度，8點(diǎn)40分時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘莀____度．
【答案】 20 240 20
【分析】根據(jù)分針每分鐘走6度，時(shí)針每分鐘走0.5度，乘以走的時(shí)間即可求解
【詳解】鐘表上的時(shí)針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，鐘表一圈有360度、60分鐘、12個(gè)小時(shí)，所以分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度等于 度/分鐘，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度等于 度/分鐘．由題意可知，時(shí)針和分針都走了40分鐘，所以時(shí)針轉(zhuǎn)了 度，分針轉(zhuǎn)了 度，8點(diǎn)時(shí)時(shí)針與分針?biāo)纬傻慕鞘?20度，所以8點(diǎn)40分時(shí)針與分針?biāo)纬傻慕鞘?度．
故答案為：20；240；20
【點(diǎn)睛】本題考查鐘面角，需注意一開(kāi)始時(shí)針與分針的位置不一定重合
10．（2022·河南·鄭州二七優(yōu)智實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）央視“新聞聯(lián)播”節(jié)目的結(jié)束時(shí)間一般是19：30，這一時(shí)刻鐘面上時(shí)針與分針的夾角是__________度．
【答案】45
【分析】利用鐘表表盤(pán)的特征解答．
【詳解】解：19：30，時(shí)針和分針中間相差1.5個(gè)大格．
∵鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，
∴19：30分針與時(shí)針的夾角是1.5×30°=45°．
故答案為：45．
【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角．鐘面被分成12大格，每大格30°；分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°．
11．（2022·山東菏澤·七年級(jí)期中）北京時(shí)間2021年12月9日15點(diǎn)40分，“天宮課堂”第一課正式開(kāi)講．在時(shí)刻為15：40時(shí)，時(shí)鐘上的時(shí)針與分針夾角的度數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】130°##130度
【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意得：
5×30°-40×0.5°=150°-20°=130°，
∴在時(shí)刻15：40時(shí)，時(shí)鐘上的時(shí)針與分針之間所成的夾角是：130°，
故答案為：130°．
【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·山東臨沂·七年級(jí)期末）某同學(xué)走進(jìn)教室發(fā)現(xiàn)黑板前的鐘表為8：30，他想知道再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間分針能和時(shí)針第一次重合．假設(shè)鐘表走時(shí)準(zhǔn)確，請(qǐng)問(wèn)再過(guò)_________分鐘．
【答案】##
【分析】由鐘表旋轉(zhuǎn)可得每過(guò)一分鐘時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為0.5度，分針每分鐘走6度，設(shè)再過(guò)x分鐘，分針與時(shí)針第一次重合，根據(jù)題意列出方程求解即可．
【詳解】解：鐘表上一周是360度，有12個(gè)大格，
∴每個(gè)大格的度數(shù)為：360÷12=30度，
一個(gè)大格有5個(gè)小格，
∴每個(gè)小格的度數(shù)為：30÷5=6度，
一小時(shí)是60分鐘，每過(guò)一分鐘時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：30÷60=0.5度，分針每分鐘走6度，
設(shè)再過(guò)x分鐘，分針與時(shí)針第一次重合，
根據(jù)題意得：，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查鐘面角度的計(jì)算及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵．
13．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）鐘表上2時(shí)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻匿J角的度數(shù)是多少？
（2）若時(shí)針由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)55分，問(wèn)分針轉(zhuǎn)過(guò)多大的角度？
【答案】（1）22.5°；（2）150°
【分析】（1）利用鐘表的鐘面上每一格的度數(shù)為30度，然后利用時(shí)針從數(shù)字2開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為15×0.5°＝7.5°，然后用30°減去7.5°得到時(shí)針與分針?biāo)傻匿J角的度數(shù)；
（2）利用分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°求解．
【詳解】（1）2點(diǎn)15分時(shí)分針指向數(shù)字3，而時(shí)針從數(shù)字2開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為15×0.5°＝7.5°，
所以鐘表上2時(shí)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻匿J角的度數(shù)為30°﹣7.5°＝22.5°；
（2）分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為25×6°＝150°．
【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角：分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：360°÷60=6°；時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：360°÷12÷60=0.5°．
14．（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）時(shí)鐘上的分針和時(shí)針像兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員，繞著它們的跑道晝夜不停地運(yùn)轉(zhuǎn)．以下請(qǐng)你解答有關(guān)時(shí)鐘的問(wèn)題：
(1)分針每分鐘轉(zhuǎn)了幾度？
(2)中午12時(shí)整后再經(jīng)過(guò)幾分鐘，分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角會(huì)第一次等于？
(3)在(2)中所述分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角等于后，再經(jīng)過(guò)幾分鐘兩針?biāo)傻拟g角會(huì)第二次等于？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)分針一小時(shí)轉(zhuǎn)一圈即360°，用360°除以60計(jì)算即得；
（2）根據(jù)分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度差是，列方程解答即可；
（3）相對(duì)于12時(shí)整第二次所成的鈍角第二次等于時(shí)，時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度差超過(guò)180°，這個(gè)差與之和是360°．
（1）
解：∵分針一小時(shí)轉(zhuǎn)一圈即360°,
∴分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是： ,
答：分針每分鐘轉(zhuǎn)了6度；
（2）
設(shè)中午12時(shí)整后再經(jīng)過(guò)x分鐘，分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角會(huì)第一次等于121°，
∵時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為： ，
時(shí)分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是： ；
∵分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角會(huì)第一次等于，
∴時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度差是，
∴，
解得：，
答：中午12時(shí)整后再經(jīng)過(guò)22分鐘，分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角會(huì)第一次等于121°；
（3）
設(shè)經(jīng)過(guò)y分鐘兩針?biāo)傻拟g角會(huì)第二次等于，
則從12時(shí)算起經(jīng)過(guò)(y+22)分鐘兩針?biāo)傻拟g角會(huì)第二次等于，
因?yàn)闀r(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度差超過(guò)180°，這個(gè)差與之和是360°，
故列得方程：，
解得：，
解得：，
答：經(jīng)過(guò)分鐘兩針?biāo)傻拟g角會(huì)第二次等于．
【點(diǎn)睛】本題通過(guò)鐘面角考查一元一次方程，掌握時(shí)針?lè)轴樀霓D(zhuǎn)動(dòng)情況，會(huì)根據(jù)已知條件列方程是解題的關(guān)鍵．選擇合適的初始時(shí)刻會(huì)簡(jiǎn)化理解和運(yùn)算難度，起到事半功倍的效果．
15．（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）日常生活中，我們幾乎每天都要看鐘表，它的時(shí)針；和分針如同兄弟倆在賽跑，其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).
（1）如圖1，上午8:00這一時(shí)刻，時(shí)鐘上分針與時(shí)針的夾角等于________；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出8:20這一時(shí)刻時(shí)針和分針的大致位置，思考并回答：從上午8:00到8:20，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是________，時(shí)鐘的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是________；
（3）“元旦”這一天，小明上午八點(diǎn)整出門(mén)買(mǎi)東西，回到家中時(shí)發(fā)現(xiàn)還沒(méi)到九點(diǎn)，但是時(shí)針與分針重合了，那么小明從離開(kāi)家到回到家的時(shí)間為多少分鐘？
【答案】（1）120°；（2）120°，10°；（3）44
【分析】（1）根據(jù)8：00這一時(shí)刻時(shí)針在8上，分針在12上，之間共有4個(gè)大格，列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)分針共轉(zhuǎn)過(guò)4個(gè)大格子，每一個(gè)大格子是30°列式計(jì)算即可得解；時(shí)針在8到9之間轉(zhuǎn)過(guò)20分鐘，轉(zhuǎn)完整個(gè)大格子需要60分鐘，然后列式計(jì)算即可得解；
（3）設(shè)8點(diǎn)x分鐘時(shí)，時(shí)針與分針重合了，然后根據(jù)分針的速度是時(shí)針的速度的12倍，列出方程求解即可．
【詳解】解：（1）30°×4=120°；
（2）分針轉(zhuǎn)過(guò)4×30°=120°，
時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)：×30°=10°；
故答案為（1）120°；（2）120°，10°；
（3）設(shè)8點(diǎn)x分鐘時(shí)，時(shí)針與分針重合了
則（12-1）××30°=8×30°，
解得x=≈44，
∴小明從離開(kāi)家到回到家的時(shí)間為44分鐘.
【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角問(wèn)題，求出時(shí)針與分針的夾角問(wèn)題，通常需要考慮夾角中的大格子和小格子兩個(gè)部分，也可以利用分針的轉(zhuǎn)速是時(shí)針的轉(zhuǎn)速的12倍考慮求解．
考點(diǎn)2：方位角及其應(yīng)用
典例：（2022·河北承德·七年級(jí)期末）如圖，結(jié)論正確的是（ ）
①射線的方向是北偏西50°；②射線的方向是東南方向；③射線的方向是北偏東15°；④和∠AOB互為補(bǔ)角；
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)方位角的確定方法依次判斷．
【詳解】解：①射線的方向是北偏西40°，故錯(cuò)誤；
②射線的方向是東南方向，故正確；
③射線的方向是北偏東15°，故正確；
④+∠AOB=45°+90°+40°=175°，故錯(cuò)誤；
正確的有2個(gè)，
故選：B．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
此題考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）為基準(zhǔn)線，其夾角的度數(shù)即為某條射線的方位角．
鞏固練習(xí)
1．（2022·山東煙臺(tái)·期末）如圖，某海域中有A，B兩個(gè)小島，其中B在A的北偏東40°方向，那么小島A相對(duì)于小島B的方向是（ ）
A．南偏東40°B．北偏東50°C．南偏西40°D．北偏西50°
【答案】C
【分析】根據(jù)B在A的北偏東方向，即可得出直線AB與B點(diǎn)正南方向的夾角為，再根據(jù)A的位置即可得到答案．
【詳解】解：B在A的北偏東40°方向，
∴小島A相對(duì)于小島B的方向是南偏西，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查位置和方向，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位置和方向的判斷方法．
2．（2022·河北衡水·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，貨船與港口相距海里，我們用有序數(shù)對(duì)南偏西，海里來(lái)描述貨船相對(duì)港口的位置，那么港口相對(duì)貨船的位置可描述為（ ）
A．南偏西，海里B．北偏西，海里
C．北偏東，海里D．北偏東，海里
【答案】D
【分析】以點(diǎn)為中心點(diǎn)，來(lái)描述點(diǎn)的方向及距離即可．
【詳解】解：由題意知港口相對(duì)貨船的位置可描述為北偏東，海里，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)確定位置，用方向角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以?duì)象所處的射線為終邊，故描述方向角時(shí)，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．
3．（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是表示北偏東的一條射線，是表示北偏西的一條射線，若，則表示的方向是（ ）
A．北偏東B．北偏東
C．北偏東D．北偏東
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求得∠AOB的度數(shù)，根據(jù)角的和差以及，可得∠DOC的度數(shù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
∵是表示北偏東的一條射線，是表示北偏西的一條射線，
∴，
∴，
∵，
，
，
．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了方位角的表示，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·陜西·西安高新一中實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，OB是北偏西50°方向的一條射線，若∠AOB=90°，則射線OA的方向是（ ）
A．西偏北50°B．東偏北40°C．北偏東40°D．北偏西40°
【答案】C
【分析】利用∠AOB的度數(shù)減去50°進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：由題意得：
90°-50°=40°，
∴射線OA的方向是：北偏東40°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·黑龍江綏化·期末）小麗家在小華家的南偏西30°的方向上，那么小華家在小麗家的什么方向上？（ ）
A．南偏西60°B．北偏東60°C．北偏東30°D．南偏西30°
【答案】C
【分析】根據(jù)方向的相對(duì)性，以小華家的位置看小麗家的位置與小麗家看小華家的位置方向完全相反，所偏的度數(shù)不變進(jìn)行求解即可
【詳解】解：小麗家在小華家的南偏西30°的方向上，那么小華家在小麗家的北偏東30°方向上，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了位置與方向，熟知兩個(gè)物體的位置方向相反，所偏角度不變是關(guān)鍵．
6．（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校階段練習(xí)）如圖所示，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．射線的方向是北偏東40°B．射線的方向是北偏西15°
C．射線的方向是南偏西30°D．射線的方向是東南方向
【答案】A
【分析】根據(jù)方位角的確定方法逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】解：A、射線的方向是北偏東，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
B、射線的方向是北偏西，則此項(xiàng)正確，不符合題意；
C、射線的方向是南偏西，則此項(xiàng)正確，不符合題意；
D、射線的方向是東南方向，則此項(xiàng)正確，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，熟練掌握方位角的確定方法是解題關(guān)鍵．
7．（2022·浙江麗水·七年級(jí)期末）如圖,射線OA表示北偏東30°方向,射線OB表示北偏西50°方向,則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得∠AOB=30°+50°，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：如圖所示：
∵射線OA表示北偏東30°方向，射線OB表示北偏西50°方向，
∴∠AOB=30°+50°=80°．
故選：B
【點(diǎn)睛】此題主要考查了方向角問(wèn)題，根據(jù)題意借助互余兩角的關(guān)系求出是解題關(guān)鍵．
8．（2022·安徽·定遠(yuǎn)縣第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖射線OA的方向是北偏東30°，在同一平面內(nèi)，則射線OB的方向是（ ）
A．北偏東40°B．北偏西40°或東偏南80°
C．南偏東80°D．北偏西40°或南偏東80°
【答案】D
【分析】根據(jù)OA的方向是北偏東30°，在同一平面內(nèi)∠AOB=70°即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，∵OA的方向是北偏東30°，在同一平面內(nèi)∠AOB=70°，
∴射線OB的方向是北偏西40°或南偏東80°，
故選D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了方向角，正確利用已知條件得出∠AOB度數(shù)是解題關(guān)鍵．
9．（2022·吉林·大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，貨輪O在航行過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上；同時(shí)，它又發(fā)現(xiàn)了客輪B；仿照表示燈塔方位的方法，客輪B在貨輪的_______方向．
【答案】北偏東40°##東偏北50°
【分析】根據(jù)方位角的表示方法即可得到答案．
【詳解】解：仿照表示燈塔方位的方法，客輪B在貨輪的北偏東40°的方向上，
故答案為：北偏東40°
【點(diǎn)睛】此題考查了方位角，熟練掌握方位角的表示方法是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·黑龍江省新華農(nóng)場(chǎng)中學(xué)期末）下面是學(xué)校到少年宮的行走路線圖
(1)如果小明從公園到學(xué)校，請(qǐng)敘述一下他的行走路線．
(2)如果他每分鐘走60米，那么他從公園走到學(xué)校要走幾分鐘？
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)從公園走到學(xué)校要走17分鐘．
【分析】（1）學(xué)校所在的位置依次為從公園出發(fā)，先向東偏北20°的方向到電視臺(tái)，再向北到書(shū)店，再向東偏北25°的方向到學(xué)校．根據(jù)圖上方向判斷即可；
（2）先算出小明公園到學(xué)校，一共走的路程，再根據(jù)路程÷速度=時(shí)間，算出時(shí)間即可．
（1）
解：學(xué)校所在的位置依次為從公園出發(fā)，先向東偏北20°的方向到電視臺(tái)，再由電視臺(tái)向北到書(shū)店，再由書(shū)店向東偏北25°的方向到學(xué)校；
（2）
解：先求小明公園到學(xué)校，一共走的路程：450+260+310=1020（米），
需要的時(shí)間：1020÷60=17（分鐘）；
答：從公園走到學(xué)校要走17分鐘．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了用具體方向描述路線圖，要考慮角度，再根據(jù)題里條件及路程、速度、時(shí)間之間關(guān)系解決問(wèn)題．
考點(diǎn)3：角的運(yùn)算
典例：（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；
(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；
(3)42°16′+18°23′×2．
【答案】(1)23°34′40′′(2)94°53′(3)79°2′
【分析】（1）根據(jù)度分秒之間的進(jìn)率即可解答；
（2）根據(jù)度分秒之間的進(jìn)率即可解答；
（3）先計(jì)算乘法，再計(jì)算加法即可．
（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．
（2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′-21°17′
=94°53′．
（3）解：42°16′+18°23′×2
=42°16′+36°46′
=79°2′．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查度分秒的計(jì)算，，，掌握度分秒之間的進(jìn)率是解答本題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）把化為用度表示，下列正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)1°等于60′，1′等于60″計(jì)算即可．
【詳解】40°12′36″中的12′36″化為秒為12×60″+36″=756″，
756″÷3600=0.21°，
即40°12′36″用度表示為：40.21°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的單位于角度制的知識(shí)，掌握度分秒之間時(shí)60進(jìn)制是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）下列換算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)制，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可．
【詳解】解：A、∵1°=60′，
∴0.48°=28.8′，
∵1′=60″，
∴0.8′=48″，
∴23.48°=23°28′48″，故A不符合題意；
B、∵1°=60′，
∴0.25°=15′，
∴22.25°=22°15′，故B符合題意；
C、∵1°=60′，
∴0.183°=10.98′，
∵1′=60″，
∴0.98′=58.8″，
∴18.183°=18°10′58.8″，故C不符合題意；
D、∵1°=60′，
∴0.11°=6.6′，
∵1′=60″，
∴0.6′=36″，
∴47.11°=47°6′36″，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·黑龍江·蘭西縣崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）用度表示__________．
【答案】
【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)制，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴用度表示，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：108°42'36″＝______°．
【答案】108.71
【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵1°＝60′，1′＝60″，
∴36″＝0.6′，
∴42.6′＝0.71°，
∴108°42'36″＝108.71°，
故答案為：108.71．
【點(diǎn)睛】本題考查度分秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制1°＝60′、1′＝60″是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·山東菏澤·七年級(jí)期末）角度換算：＝___°．
【答案】26.8
【分析】根據(jù)度分秒的換算法則求解即可．
【詳解】解：=，
故答案為：26.8．
【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算，解決本題的關(guān)鍵是掌握度分秒的換算法則．
6．（2022·山東·萬(wàn)杰朝陽(yáng)學(xué)校期中）=____度____分____秒；=______度．
【答案】 55 39 36 43.54
【分析】根據(jù)“60進(jìn)制”的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，整數(shù)部分即是度的數(shù)值，小數(shù)部分乘以60得到的數(shù)的整數(shù)部分即是分的數(shù)值，再將此時(shí)的小數(shù)部分乘以60即是秒的數(shù)值；將秒的值除以3600加上分的數(shù)值除以60，再加上度的數(shù)值即可．
【詳解】解：，則度的數(shù)值為55，
，則分的數(shù)值為39，
，即秒的數(shù)值為36；
根據(jù)1°=，得，
，，
所以，
故答案為：55，39，36，43.54．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了度、分、秒之間的轉(zhuǎn)化，掌握“60”進(jìn)制是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2022·山東·泰山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段練習(xí)） ____°____′____″；____°．
【答案】 30 7 12 100.21
【分析】根據(jù)角度的運(yùn)算可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案為30，7，12，100.21．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的運(yùn)算，熟練掌握度分秒的互換是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校階段練習(xí)）把30.6°化成度分為_(kāi)__________．
【答案】##30度36分
【分析】根據(jù)進(jìn)行換算即可得．
【詳解】解：
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了角度單位制，熟練掌握角度單位制的換算關(guān)系是解題關(guān)鍵．
9．（2022·山東·高唐縣第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算________．
【答案】
【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握度分秒的進(jìn)制．
10．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）________°．
【答案】
【分析】先把秒化成分，再把分化成度，從而得出答案．注意：1°=60′，1′=60″．
【詳解】解：
=27°14′+0.4′
=27°14.4′
=27°+0.24°
=27.24°．
故答案為27.24°．
【點(diǎn)睛】本題考查度分秒的換算，注意以60為進(jìn)制，先把秒化成分，再把分化成度．
11．（2022·河北滄州·七年級(jí)期末）如圖，在燈塔O處觀測(cè)到輪船M位于北偏西的方向，同時(shí)輪船N在北偏東16.12°的方向，那么∠MON的大小為_(kāi)_______．
【答案】70°19′48″或70.33°
【分析】利用方向角的定義求解即可．
【詳解】解：如下圖，
∵燈塔O處觀測(cè)到輪船M位于北偏西的方向，同時(shí)輪船N在北偏東16.12°的方向，
∴∠MOC=，∠NOC=16.12°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=+16.12°=+16°7′12″=70°19′48″=70.33°．
故答案為：70°19′48″或70.33°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出圖中角的度數(shù)．
12．（2022·河南平頂山·七年級(jí)期末）計(jì)算：______．（結(jié)果用度表示）
【答案】110.5°
【分析】利用度加度，分加分進(jìn)行計(jì)算，然后再根據(jù)1°＝60′進(jìn)行換算即可．
【詳解】解：，
，
∴，
故答案為：110.5°．
【點(diǎn)睛】本題考查角度的計(jì)算和度分秒的轉(zhuǎn)化，了解1°＝60′是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·河南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)期末）若，，則________（用“＞”“=”“＜”填空）．
【答案】＜
【分析】將∠1進(jìn)行換算，再和∠2比較即可判斷大?。?br>【詳解】解：∵0.45°=27′，
∴∠1=30.45°=30°+0.45°=30°27′，
∵∠2=30°28′，
∴∠1＜∠2．
故答案為：＜．
【點(diǎn)睛】本題主要考查度分秒的換算，換成形式一樣的即可比較大?。?br>14．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)期末）計(jì)算題．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算即可解答．
（1）
解：原式；
（2）
原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算及角度的四則運(yùn)算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)4：與三角板有關(guān)的角度計(jì)算
典例：（2022·河南南陽(yáng)·七年級(jí)期末）將一副三角板放在一起．
(1)如圖1，已知，求的度數(shù)；
(2)如圖2，已知，求的度數(shù)；
(3)如圖3，已知，求的度數(shù)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用角的和差列出算式即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)∠2=x°，利用角的和差列出方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)∠2=x°，利用角的和差列出方程，解方程即可得出結(jié)論．
（1）解：∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，∠1=13°，
∴∠2=90°-∠1-∠DCE=32°；
（2）解：設(shè)∠2=x°，則∠1=2x°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=60°，
∴∠1+60°+∠2=90°．
即：2x+60°+x=90°．
解得：x=10°．
∴∠2=10°．
（3）解：設(shè)∠2=x°，則∠1=2x°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=60°，
∴∠DCB=90°-∠1=60°-∠2．
∴90°-2x=60°-x．
解得：x=30°．
∴∠2=30°．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要考查了角的計(jì)算，利用角的和差列出算式是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2021·湖北·公安縣教學(xué)研究中心七年級(jí)期末）用一副三角板不能拼畫(huà)出的角度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用三角板角度相加減法，根據(jù)選項(xiàng)逐一分析，排除錯(cuò)誤答案即可．
【詳解】解：A、，故能畫(huà)出角；
B、用一副三角板不能畫(huà)出的角；
C、，故能畫(huà)出角；
D、，故能畫(huà)出角；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了用三角板直接畫(huà)特殊角，用三角板直接畫(huà)特殊角步驟：先畫(huà)一條射線，再把三角板所畫(huà)角的一邊與射線重合，頂點(diǎn)與射線端點(diǎn)重合，最后沿另一邊畫(huà)一條射線，標(biāo)出角的度數(shù)．
2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）將一副三角板按如圖所示的方式放置，則∠ACD的度數(shù)為（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】根據(jù)三角板的內(nèi)角度數(shù)可知∠DCB=45°，∠ACB＝30°，相加即可．
【詳解】解：由題意得：∠ACD＝∠DCB+∠ACB＝45°+30°＝75°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角度的運(yùn)算，熟練掌握三角板各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·山東煙臺(tái)·期中）如圖，將一副三角板與的直角頂點(diǎn)O重合在一起，若，為的平分線，則的度數(shù)為（ ）
A．72°B．73°C．75°D．76°
【答案】A
【分析】先推出∠AOD+∠BOC=180°，結(jié)合∠AOD=4∠BOC，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求出∠COE的度數(shù)，利用∠DOE=∠COD-∠COE即可解答．
【詳解】解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD ，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180° ，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=36°，
∵OE 為 ∠BOC 的平分線，
∴∠COE=∠BOC=18°，
∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?18°=72°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差計(jì)算及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)圖中的數(shù)量關(guān)系求出∠BOC=36°是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2022·河北邢臺(tái)·七年級(jí)期末）如圖所示是我們常用的一副直角三角板．用一副三角板不能拼出的角度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一副三角尺中的角度相加減得到結(jié)果，即可做出判斷．
【詳解】解：一副三角尺中的角度分別為：，，，，且，，，，
用一幅三角尺拼擺，能畫(huà)出的角是；；，不能畫(huà)出．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角板的知識(shí)．注意在大于而小于的范圍內(nèi)，只要是的倍數(shù)角都可以用一副三角尺畫(huà)出．
5．（2022·山東日照·七年級(jí)期末）用一副三角板拼成如圖所示的圖形，其中A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上．則圖中∠DBE的大小為（ ）
A．75°B．90°C．105°D．135°
【答案】C
【分析】利用平角的定義計(jì)算∠ACE的度數(shù)．
【詳解】由三角板得：
∵A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上．
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算：利用互余或互補(bǔ)計(jì)算角的度數(shù)．熟記三角板的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·山東青島·期中）如圖，將兩個(gè)三角尺的直角與頂點(diǎn)O重合在一起，若，OE為的平分線，則的度數(shù)為（ ）
A．36B．45C．60D．72
【答案】D
【分析】根據(jù)∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求出∠COE的度數(shù)，利用∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可解答．
【詳解】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOD＝4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝36°，
∵OE為∠BOC的平分線，
∴∠COE∠BOC＝18°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是明確∠AOD+∠BOC＝180°．
7．（2022·廣西河池·七年級(jí)期末）一副三角板擺放在一起的示意圖如下，若，則∠2的度數(shù)是______．
【答案】35°##35度
【分析】根據(jù)圖形直接用平角減去一個(gè)直角及∠1即可得出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)圖形可得：
∠2=180°-90°-∠1=35°，
故答案為：35°．
【點(diǎn)睛】題目主要考查簡(jiǎn)單的三角板中的角度計(jì)算，結(jié)合圖形進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵．
8．（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合放置于A處（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)），給出以下結(jié)論：
①；
②；
③；
④．
其中不正確的是_________．（寫(xiě)出序號(hào)）
【答案】①③④
【分析】根據(jù)三角板中角之間的關(guān)系解答即可．
【詳解】解：∵，，
∴當(dāng)時(shí)， ，故①不正確；
∵
∴②正確；
∵
∴③不正確；
∵，，
∴
∴④不正確；
綜上所述：不正確的是①③④，
故答案為：①③④
【點(diǎn)睛】本題考查三角板中角度的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象找出角之間的關(guān)系．
9．（2021·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）兩塊三角板按如圖所示方式放置，則∠ACD＝__________，∠DBA＝__________．
【答案】 105°##105度 75°##75度
【分析】根據(jù)角的和差，可得答案．
【詳解】解：∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，
∠DBA=∠ABC+∠CBD=30°+45°=75°，
故答案為：105°，75°．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，利用了角的和差．
10．（2022·山東煙臺(tái)·期末）如圖，將直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，射線OC平分．
(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角得出，再由角平分線得出，結(jié)合圖形求解即可；
（2）設(shè)，結(jié)合圖形利用角平分線及一元一次方程求解即可．
（1）
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的計(jì)算，鄰補(bǔ)角的計(jì)算及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
11．（2022·山東棗莊·七年級(jí)期中）如圖，將兩個(gè)直角三角板的頂點(diǎn)疊放在一起進(jìn)行探究．
(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分線，請(qǐng)你猜想此時(shí)CB是不是∠ECD的平分線，并簡(jiǎn)述理由；
(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CB始終在∠DCE的內(nèi)部，請(qǐng)猜想∠ACE與∠DCB是否相等，并簡(jiǎn)述理由．
【答案】(1)CB是∠ECD的角平分線；理由見(jiàn)詳解；
(2)∠ACE=∠DCE；理由見(jiàn)詳解；
【分析】（1）根據(jù)∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分線，可知∠ECB=∠ACB=45°，進(jìn)而可知∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，則∠ECB=∠DCB，由此可證CB是∠ECD的角平分線；
（2）由∠ACB=∠DCE=90°，可知∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，則∠ACE=∠DCB．
（1）
解：猜想CB是∠ECD的角平分線，理由如下：
∵∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，
∴∠ECB=∠DCB，
∴CB是∠ECD的角平分線；
（2）
猜想：∠ACE=∠DCE，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE＋∠ECB=90°，
∠DCB＋∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠DCB．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定，角度的轉(zhuǎn)換，能夠根據(jù)題意分析出角的變換過(guò)程是解決本題的關(guān)鍵．
12．（2022·河北保定·七年級(jí)期末）如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=70°，將一塊直角三角板DOE直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．
(1)如圖1，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=____________°；
(2)如圖2，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度數(shù)；
(3)如圖3，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，如果OD始終在∠BOC的內(nèi)部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
【答案】(1)20
(2)∠BOD=50°；∠COE=70°
(3)∠COE﹣∠BOD=20°，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)圖形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；
（2）根據(jù)角平分線定義求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；
（3）根據(jù)圖形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相減即可求出答案．
（1）
解：如圖①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案為：20；
（2）
如圖②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°,
∴∠COE=∠EOD-∠COD=70°；
（3）
∠COE-∠BOD=20°
理由是：如圖③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠COE-∠BOD
=90°-70°
=20°，
即∠COE-∠BOD=20°．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算的應(yīng)用，能根據(jù)圖形求出各個(gè)角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
13．（2022·安徽·宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）以直線上一點(diǎn)為端點(diǎn)作射線，使，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在處，即．
(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則______；
(2)如圖2，將直角三角板繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，
①若恰好平分，則______；
②若在內(nèi)部，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；
(3)將直角三角板繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（與重合時(shí)為停止）的過(guò)程中，恰好有，求此時(shí)的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)或
【分析】（1）先求出，再根據(jù)即可得；
（2）①先求出，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)即可得；
②根據(jù)和即可得；
（3）分①在的內(nèi)部和②在的外部?jī)煞N情況，根據(jù)角的和差分別求出和，再根據(jù)建立方程，解方程即可得．
（1）
解：，
，
，
，
故答案為：．
（2）
解：①，
，
恰好平分，
，
又，
，
故答案為：；
②在內(nèi)部，
，
，
，即，
，
即，
故答案為：．
（3）
解：①如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得；
②如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得；
綜上，的度數(shù)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差、角平分線等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
14．（2022·福建福州·七年級(jí)期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板、按如圖1放置，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，（°、），并將三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持．
(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一直線上時(shí)，則____；
(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖3，當(dāng)時(shí)．請(qǐng)說(shuō)明平分；
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖4，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)計(jì)算；
（2）計(jì)算的度數(shù)，得到，得出結(jié)論；
（3）設(shè)，表示出，根據(jù)，求出，得出答案；
(1)
解：點(diǎn)在同一直線上，，
，
故答案為：；
(2)
如圖3，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴平分；
(3)
如圖4，
，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形準(zhǔn)確表示角的和差．
15．（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）【閱讀理解】
如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點(diǎn)O以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°．
【解決問(wèn)題】
（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說(shuō)明理由．
（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如圖2，形成的三個(gè)角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當(dāng)其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”．
①第（2）問(wèn)中旋轉(zhuǎn)后的射線OC是“優(yōu)線”嗎？為什么？
②在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間記為t秒，當(dāng)射線OC是“優(yōu)線”時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的t值．
【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由見(jiàn)解析；（3）①是，理由見(jiàn)解析；②t=2，3，4，9，12
【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形可得結(jié)論；
（2）分別計(jì)算出角的度數(shù)可得結(jié)論；
（3）①根據(jù)“優(yōu)線”的定義可判斷；②根據(jù)題意全面考慮所有可能并分類討論可得t的值．
【詳解】（1）如圖，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí)，∠AOC-∠BOC=∠AOB，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB
（2）有，理由如下：
射線OD平分∠AOB，射線OB平分∠COD．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，∠AOC=15°×9=135°
則∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45°
因?yàn)椤螩OD=90°，
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°
∠BOC=∠BOD=45°
所以射線OB平分∠COD
又因?yàn)椤螧OD=45°=∠AOB
所以射線OD平分∠AOB
（3）①是，理由如下：
第（2）問(wèn)中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45°
則∠AOB=2∠BOC
所以O(shè)C是∠AOB的“優(yōu)線”．
②由題意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
當(dāng)∠BOC＝2∠AOC時(shí)，∠AOC＝30°，
∴15t＝30，解得t＝2；
當(dāng)∠AO＝2∠AOC時(shí)，∠AOC＝45°，
∴15t＝45，解得t＝3；
當(dāng)∠AOC＝2∠BOC時(shí)，∠AOC＝60°，
∴15t＝60，解得t＝4；
當(dāng)∠AOB＝2∠BOC時(shí)，∠AOC＝135°，
∴15t＝135，解得t＝9；
當(dāng)∠AOC＝2∠AOB時(shí)，∠AOC＝180°，
∴15t＝180，解得t＝12．
綜上，t＝2，3，4，9，12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角尺中角度的計(jì)算，幾何圖形中角的計(jì)算，根據(jù)題意全面考慮所有可能以分類討論是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)5：與角平分線有關(guān)的證明與計(jì)算
典例：（2022·四川省九龍縣中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，OE為∠AOD的平分線，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：
(1)∠EOC的大?。?br>(2)∠AOC的大?。?br>【答案】(1)60°；(2)105°．
【分析】（1）根據(jù)∠COD=∠EOC，可得∠EOC=4∠COD；
（2）根據(jù)角的和差，可得∠EOD的大小，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得答案．
（1）
解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，
∴∠EOC=4∠COD=4×15°=60°；
（2）
解：∵∠EOC=60°，∠COD＝15°，
∴∠EOD=∠EOC-∠COD=60°-15°=45°．
∵OE為∠AOD的平分線，
∴∠AOD=2∠EOD=2×45°=90°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=90°+15°=105°．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合正確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．如圖，已知，平分，且，則的度數(shù)為（ ）
A．126°B．108°C．112°D．106°
【答案】B
【分析】設(shè)∠AOC＝x，則∠COB＝2x，根據(jù)角的和差關(guān)系，得∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x，根據(jù)角平分線的定義，由OD平分∠AOB，得∠AOD＝∠AOB＝x，從而得到∠COD＝∠AOD?∠AOC＝x?x＝18°，進(jìn)而解決此題．
【詳解】解：設(shè)∠AOC＝x，則∠COB＝2x.
∴∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x.
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝x．
∴∠COD＝∠AOD?∠AOC＝x?x＝18°．
∴x＝36°．
∴∠AOB＝3x＝108°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角的和差關(guān)系、角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握角的和差關(guān)系、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2021·云南·文山市薄竹鎮(zhèn)樂(lè)詩(shī)沖中心學(xué)校七年級(jí)期末）已知∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，則∠MON=（ ）
A．50°B．20°C．20°或50°D．不能確定
【答案】C
【分析】分OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的內(nèi)部?jī)煞N情況，分別畫(huà)出圖形，利用角平分線的定義計(jì)算即可．
【詳解】解：當(dāng)OC在∠AOB的外部時(shí)，如圖1所示：
∵∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝∠AOB＋∠BOC＝×（70°＋30°）＝50°；
當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，如圖2所示：
∵∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠MON＝∠BOM?∠BON＝∠AOB?∠BOC＝×（70°?30°）＝20°；
綜上，∠MON的度數(shù)為20°或50°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的定義，角的和差計(jì)算，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分線，是∠AOC的平分線，是的平分線，是的平分線， 則與大小關(guān)系是（ ）
A．=B．＜C．＞D．無(wú)法確定
【答案】C
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而可得，即有，據(jù)此即可作答．
【詳解】∵OC平分∠AOB，，
∴，
∵OC1平分∠AOC，
∴，
∵OC2平分，
∴，
依次類推可知：，
∴可知，
∴，
∴，
∵根據(jù)題意可知，
∴，
即有：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律的探索，依據(jù)角平分線的性質(zhì)推導(dǎo)出是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2022·新疆·烏市八中七年級(jí)期中）如圖，已知，平分，且，求的度數(shù)．
【答案】108°
【分析】設(shè)，則、、均可用x表示出來(lái)，由來(lái)列方程，求出x，即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)，則，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
解得，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，正確理清角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·山東·濟(jì)南市萊蕪區(qū)方下魯西學(xué)校期中）如圖，OB是的平分線，OD是的平分線，，．求的度數(shù)．
【答案】
【分析】先由OB是的平分線求出，從而求出，再用OD是的平分線求出，最后用計(jì)算即可．
【詳解】∵OB是的平分線，，
∴，
∴．
又∵OD是的平分線，
∴，
又∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·新疆·庫(kù)車市第七中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數(shù)．
【答案】120°，30°
【分析】先根據(jù)角平分線，求得的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系，求得的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線，求得、的度數(shù)．
【詳解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠BOE=∠AOB =45°，
又∵∠EOF=60°，
∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°，
又∵OF平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOF=30°，
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，注意：也可以根據(jù)的度數(shù)是度數(shù)的2倍進(jìn)行求解．
7．（2021·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖所示，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線．
(1)如果∠AOB=50°，∠DOE=35°，那么∠BOD是多少度？
(2)如果∠AOE=160°，∠COD=25°，那么∠AOB是多少度？
【答案】(1)85°
(2)55°
【分析】（1）可以根據(jù)角平分線的定義求得∠COD，∠BOC的度數(shù)，即可求∠BOD；
（2）根據(jù)角平分線的定義可求∠COE的度數(shù)，進(jìn)而可求∠AOC的度數(shù)，再由角平分線定義即可求解∠AOB．
（1）
解：∵OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，
∴∠COD=∠DOE=35°，∠COB=∠BOA=50°．
∴∠BOD=∠COD+∠COB=85°．
（2）
解：∵OD是∠COE的平分線，
∴∠COE=2∠COD=2×25°=50°，
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=160°-50°=110°，
又∵OB是∠AOC的平分線，
∴∠AOB=∠AOC＝×110°＝55°．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義以及角的和差，根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解．
8．（2021·遼寧·朝陽(yáng)市第一中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知，OE平分∠AOB，，OF平分∠BOC．求∠BOC和∠AOC的度數(shù)．
【答案】∠BOC和∠AOC的度數(shù)分別為，
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，∠BOC=2∠BOF，再計(jì)算出，然后根據(jù)∠BOC=2∠BOF，∠AOC=∠BOC+∠AOB進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴，∠BOC=2∠BOF，
∵，
∴，
．
即∠BOC和∠AOC的度數(shù)分別為，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計(jì)算以及角平分線的定義，正確應(yīng)用角平分線的定義是解題關(guān)鍵．
9．（2022·山東·龍口市培基學(xué)校期中）如圖，已知OC是∠AOB內(nèi)部任意的一條射線，OM、ON分別是∠AOC、∠BOC的平分線．
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度數(shù)；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度數(shù)．
【答案】(1)50°
(2)
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∠MOC＝∠AOM，∠NOC＝∠BON，再根據(jù)∠MON＝∠MOC＋∠NOC即可求出∠MON的度數(shù)；
（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)可知∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，再根據(jù)∠MON＝∠MOC＋∠NOC即可計(jì)算∠MON的度數(shù)．
（1）
解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∠MOC＝∠AOM＝20°，∠NOC＝∠BON＝30°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝20°+30°＝50°，
即∠MON的度數(shù)為50°；
（2）
解：根據(jù)角平分線性質(zhì)可知∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝α，
∴∠MON＝α．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·寧夏·景博中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠DOB的平分線．
(1)如果，那么∠COE是多少度？
(2)在（1）的條件下，如果，那么∠BOE是多少度？
【答案】(1)65度
(2)45度
【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)角的和差即可得；
（2）先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)角平分線的定義即可得．
（1）
解：是的平分線，是的平分線，
，
，
．
（2）
解：，，
，
是的平分線，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．
11．（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．
(1)如圖1，若，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若，求的度數(shù)．
【答案】(1)20°
(2)144°
【分析】（1）已知，欲求，需求．由，得．由平分，得，進(jìn)而解決此題．
（2）欲求，需求．由，得．由平分，得．由，得，故，進(jìn)而可求得．
（1）
解：，
．
平分，
．
，
．
（2）
解：，
．
平分，
．
，
．
．
．
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角的和差關(guān)系、角平分線的定義以及直角的定義，熟練掌握角的和差關(guān)系、角平分線的定義以及直角的定義是解決本題的關(guān)鍵．
12．（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）如圖，，射線以的速度從位置出發(fā)，射線以的速度從位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
(2)若．
①當(dāng)三條射線、、構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)的值；
②在射線，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，射線始終在內(nèi)部，且平分，當(dāng)，求的值．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根據(jù)題意求得OD與OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度數(shù)；
（2）①分三種情況，列出方程，解方程即可得到答案；②先證明運(yùn)動(dòng)至外部．由，，可以得到，又因?yàn)槠椒郑瑒t，從而求出，再求得，即可求得答案．
（1）
解：依題意，當(dāng)時(shí)，射線運(yùn)動(dòng)的度數(shù)為，
∵，
∴此時(shí)與重合，
射線運(yùn)動(dòng)的度數(shù)為，
即，
∴當(dāng)時(shí)，．
（2）
①若時(shí)，分下面三種情形討論：
（i）如圖1，
當(dāng)時(shí)，，
∴，符合．
（ii）如圖2，
當(dāng)時(shí)，，
∴，符合．
（iii）如圖3，
當(dāng)時(shí)，，
∴，不在范圍內(nèi)，舍去．
綜上所得或．
②如圖4，
∵，
∴，，
∴最大度數(shù)為，最大度數(shù)為．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，即，
∴運(yùn)動(dòng)至外部．
此時(shí)，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算、圖形的旋轉(zhuǎn)、角之間計(jì)算、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列方程．
13．（2021·江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)期末）如圖，，，，分別是，的平分線．
(1)如圖1，當(dāng)在左側(cè)，且時(shí)，的度數(shù)是_________；
(2)當(dāng)?shù)奈恢貌淮_定時(shí)，請(qǐng)利用備用圖，畫(huà)出相關(guān)圖形，探究的大小與的數(shù)量關(guān)系；
(3)當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或
【分析】（1）利用角平分線的定義和角的和差關(guān)系求解；
（2）分OC在OB左側(cè)，OC在內(nèi)部，OC在OA下方三種情況，利用角的和差關(guān)系分別計(jì)算即可求解；
（3）將代入（2）中結(jié)論即可求解．
（1）
解：由題意得，，，
∵，分別是，
∴，，
∴，
即的度數(shù)是；
（2）
解：分三種情況討論，當(dāng)OC在OB左側(cè)時(shí)，如下圖所示：
；
當(dāng)OC在內(nèi)部時(shí)，如下圖所示：
；
當(dāng)OC在OA下方時(shí)，如下圖所示：
；
綜上可知，或或．
（3）
解：由（2）可知，時(shí)，
，或，或
解得，或，或（舍去），
即的度數(shù)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和角的和差關(guān)系，需要注意OC的位置有多種可能，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·廣東·正德中學(xué)七年級(jí)期末）多多對(duì)幾何中角平分線等興趣濃厚，請(qǐng)你和多多一起探究下面問(wèn)題吧．已知∠AOB=100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線．
(1)如圖1，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；
(2)如圖2，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，則∠EOF的度數(shù)_____；
(3)若射線OC在∠AOB的外部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余條件不變，請(qǐng)借助圖3探究∠EOF的大小，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EOF的度數(shù)（不寫(xiě)探究過(guò)程）．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)角的和差、角平分線的定義可得，然后根據(jù)即可得；
（2）先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)即可得；
（3）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)角平分線的定義可得，再分①射線在的內(nèi)部，②射線在的內(nèi)部，③射線在的內(nèi)部三種情況，分別根據(jù)角的和差即可得．
（1）
解： 是的平分線，，
，
，
，
是的平分線，
，
；
（2）
，
，
是的平分線，是的平分線，
，
故答案為：
（3）
是的平分線，是的平分線，
，
由題意，分以下三種情況：
①如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，
，
，
；
②如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，
，
，
；
③如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，
，
，
；
綜上，的度數(shù)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、角的和差等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．
15．（2022·河南·鄭州市第四初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）【閱讀理解】
如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個(gè)角的度數(shù)之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．
(1)∠AOB的角平分線 這個(gè)角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC＝ ．
【問(wèn)題解決】
(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與∠AOB的邊重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（s），當(dāng)t為何值時(shí)，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運(yùn)線？試說(shuō)明理由．
【答案】(1)是；
(2)40°或60°或80°；
(3)或或3．
【分析】（1）由角平分線的定義可得；
（2）分三種情況討論，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三種情況，結(jié)合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三種情況討論，由“幸運(yùn)線”的定義，列出方程可求t的值．
（1）
解：∵一個(gè)角的平分線平分這個(gè)角，且這個(gè)角是所分兩個(gè)角的兩倍，
∴一個(gè)角的角平分線是 這個(gè)角的“幸運(yùn)線”，
故答案為：是．
（2）
解：∵射線OC在∠AOB內(nèi)部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①當(dāng)∠AOC=2∠BOC時(shí)，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②當(dāng)2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③當(dāng)∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC時(shí)，OC平分∠AOB，
∴∠AOC =∠AOB =60°．
綜上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案為： 40°或60°或80°．
（3）
解：∵射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的“幸運(yùn)線”，
∴射線OP在以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的內(nèi)部．如下圖所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①當(dāng)∠AOP=2∠POQ時(shí)，則20t =2×(150-30t)，
∴t=．
②若∠POQ=2∠AOP，則150-30t =2×20t，
∴t=．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，則2×20t=150-10t，
∴t=3．
綜上所述：t=或或3．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，找等量關(guān)系列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
16．（2022·陜西·西安高新一中實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開(kāi)始出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度：射線OQ從OC處開(kāi)始出發(fā)，繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)，OP、OQ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒.（旋轉(zhuǎn)速度÷旋轉(zhuǎn)角度：旋轉(zhuǎn)時(shí)間）
(1)當(dāng)t＝ 秒，射線OP平分∠AOB時(shí)；
(2)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時(shí)，請(qǐng)求出當(dāng)∠POQ=60°時(shí)，射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；
(3)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足題意的的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)10；
(2)或秒；
(3)或；
【分析】（1）作出角平分線，求出OP運(yùn)動(dòng)到OG時(shí)的時(shí)間即可．
（2）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題需要分類討論，第一種OP、OQ還沒(méi)有相遇時(shí)，第二種OP、OQ相遇之后，畫(huà)圖利用角度列出等式．
（3）分別一其中一條作為角平分線來(lái)分析，畫(huà)出圖像之后列等式求時(shí)間．
（1）
解：作∠AOB的角平分線OG
∵∠AOB=60°，
∴∠AOG=∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
此時(shí)OP的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=（秒）；
故答案為：10；
（2）
解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由題意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如圖所示：
∴4t+60+5t=90，
∴t=；
②如圖所示：
此時(shí) 4t+5t-60=90，
∴t=
∵OQ停止運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=，
∴以上兩種情況均符合
∴當(dāng)∠POQ=60°時(shí)，OP的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為或秒；
（3）
解：存在；
①當(dāng)OQ平分∠BOP時(shí)，則∠BOQ=∠POQ，如圖：
則，
解得：；
②當(dāng)OP平分∠BOQ時(shí)，則∠BOP=∠POQ，如圖：
則，
解得：；
綜合上述，或；
【點(diǎn)睛】主要考查角平分線的計(jì)算，角度的和差倍分問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想，利用圖象找關(guān)系．
17．（2022·福建·福州時(shí)代中學(xué)七年級(jí)期末）已知，OC、OD是過(guò)點(diǎn)O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．
(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則______°
(2)如圖②，若，，則______°
(3)如圖③，在∠AOB內(nèi)，若，則______°
(4)將（3）中的∠COD繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∠AOB的外部（，），求此時(shí)∠MON的度數(shù)．
【答案】(1)80
(2)80
(3)
(4)或
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，，則；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到，，而，則，所以；
（3）與（2）一樣得到，，則；
（4）反向延長(zhǎng)、得到、，然后分類討論：當(dāng)、在內(nèi)部；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；
當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到．
（1）
解：、是的三等分線，
，
射線、分別平分和，
，，
；
故答案為80；
（2）
解：射線、分別平分和，
，，
，
，，
，
；
故答案為80；
（3）
解：射線、分別平分和，
，，
，
，，
，
，
；
故答案為；
（4）
解：反向延長(zhǎng)、得到、，如圖，
當(dāng)、在內(nèi)部，
，
設(shè)，則，
，，
；
當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；
當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；
當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到．
【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，也考查了角平分線的定義，熟練掌握角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)6：與余角（補(bǔ)角）有關(guān)的證明與計(jì)算
典例：（2022·山西運(yùn)城·七年級(jí)期中）如圖（甲），和都是直角．
(1)如果，那么的度數(shù)為_(kāi)_____度．若越來(lái)越小，則如何變化？
(2)找出圖（甲）中相等的角．如果，他們還會(huì)相等嗎？
(3)在圖（乙）中利用能夠畫(huà)直角的工具再畫(huà)一個(gè)與相等的角．
【答案】(1)148，∠DOC越來(lái)越小，則∠AOB越來(lái)越大；
(2)圖(甲)中相等的角有∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC；見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）結(jié)合∠AOB= ∠AOC+∠BOD-∠COD= 180°-∠DOC即可得出答案；
（2）無(wú)論∠DOC是否等于32°，∠AOC=∠BOD= 90°；根據(jù)∠AOD+∠COD=∠BOC + ∠COD= 90°可得∠AOD= ∠BOC；
（3）利用同角的余角相等畫(huà)圖．
（1）
解：∵∠BOD= 90°，∠DOC= 32°，
∴∠BOC =∠BOD- ∠COD = 90°-32°= 58°，
∵∠AOC= 90°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC= 90°+58°= 148°；
故答案為：148；
∵∠AOC=∠BOD= 90°，
∴∠AOB=∠ AOC+∠BOD-∠COD= 180°- ∠DOC，
∴∠DOC越來(lái)越小，則∠AOB越來(lái)越大；
（2）解：圖(甲)中相等的角有∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC；
無(wú)論∠DOC是否等于32°，
∠AOC=∠BOD= 90°，
∵∠AOD+∠COD=∠BOC+∠COD= 90°，
∴∠AOD=∠BOC；
（3）解：過(guò)點(diǎn)O在OE的同側(cè)作∠EOM =∠FON = 90°，則∠FOE=∠MON；
如圖所示：
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查余角與補(bǔ)角，正確觀察并分析圖形，熟練掌握余角和補(bǔ)角的意義是解答本題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2020·安徽安慶·八年級(jí)期中）如果一個(gè)角的度數(shù)比它補(bǔ)角的2倍多30°，那么這個(gè)角的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)角的度數(shù)為，則補(bǔ)角的度數(shù)為，根據(jù)題意列方程求解即可．
【詳解】設(shè)角的度數(shù)為，則補(bǔ)角的度數(shù)為，
根據(jù)題意得：，
，

解得：，
所以，這個(gè)角的度數(shù)為，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程與補(bǔ)角性質(zhì)，正確列出方程式求解即可．
2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．∠A是余角B．∠A和∠B是補(bǔ)角
C．∠A的余角是∠BD．如果∠A和∠B互補(bǔ)，則∠A和∠B能拼成直角
【答案】C
【分析】根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】A．余角是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，不能單獨(dú)存在，所以∠A是余角錯(cuò)誤，故不符合題意；
B．只能說(shuō)一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角，所以∠A和∠B是補(bǔ)角錯(cuò)誤，故不符合題意；
C．由余角的定義可知當(dāng)∠A+∠B=90°時(shí)，∠A的余角是∠B說(shuō)法正確，符合題意；
D．當(dāng)∠A=10°，∠B=170°時(shí)，∠A和∠B互補(bǔ)，但∠A和∠B不能拼成直角，所以如果∠A和∠B互補(bǔ)，則∠A和∠B能拼成直角錯(cuò)誤，故不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的意義，如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的余角；如果兩個(gè)角的和等于180°，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角．
3．（2022·甘肅·臨澤縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）已知∠A與∠B互余，∠B與∠C互補(bǔ)，若∠A＝50°，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
【答案】D
【分析】先根據(jù)互補(bǔ)角的定義可得，再根據(jù)互余角的定義即可得．
【詳解】與互余，且，
，
又與互補(bǔ)，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了互補(bǔ)角、互余角，熟練掌握互補(bǔ)角與互余角的定義是解題關(guān)鍵．
4．（2022·遼寧·丹東市第十七中學(xué)七年級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，若與的兩邊分別垂直，且比的3倍少，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，可設(shè)是度，利用方程即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：設(shè)是度，根據(jù)題意，得
①兩個(gè)角相等時(shí)，如圖1：
，
，
解得，
故，
②兩個(gè)角互補(bǔ)時(shí)，如圖2：
，
∴，
故的度數(shù)為：或．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線的定義，角的運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，本題需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決問(wèn)題．
5．（2021·貴州畢節(jié)·七年級(jí)期末）若的補(bǔ)角與的余角相等，則等于（ ）
A．90°B．60°C．180°D．270°
【答案】A
【分析】根據(jù)余角與補(bǔ)角的定義求解即可：如果兩個(gè)角的度數(shù)之和為90度，則這兩個(gè)角互余，如果兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．
【詳解】解：由題意得：180°-∠α=90°-∠β，
∴∠α-∠β=180°-90°=90°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角與補(bǔ)角，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·四川·大竹縣文星中學(xué)七年級(jí)期中）∠A的補(bǔ)角是125°，則它的余角是（ ）
A．54°B．35°C．25°D．以上均不對(duì)
【答案】B
【分析】首先根據(jù)補(bǔ)角的定義，算出∠A的度數(shù)，然后再根據(jù)余角的定義，即可得出∠A的余角．
【詳解】解：∵∠A的補(bǔ)角是125°，
∴，
∴的余角為：．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角和余角，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握補(bǔ)角和余角的定義．一般地，如果兩個(gè)角的和等于（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角；一般地，如果兩個(gè)角的和等于（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．
7．（2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）將一個(gè)含有45°角的直角三角板如圖所示放置，其中一個(gè)45°角的頂點(diǎn)落在直線a上，含90°角的頂點(diǎn)落在直線b上.若a//b，∠2=∠15°，則∠3的度數(shù)為_(kāi)__________°
【答案】75
【分析】由余角的定義進(jìn)行計(jì)算，即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，
∵，，
∴；
故答案為：75
【點(diǎn)睛】本題考查了余角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握余角的定義進(jìn)行計(jì)算．
8．（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）若一個(gè)角的余角為65°．則這個(gè)角的補(bǔ)角為_(kāi)__________．
【答案】155°##155度
【分析】根據(jù)互為余角的兩個(gè)角的和等于90°求出這個(gè)角，再根據(jù)互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵一個(gè)角的余角是65°，
∴這個(gè)角是90°65°=25°，
∴這個(gè)角的補(bǔ)角為180°25°=155°．
故答案為：155°．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，熟記余角和補(bǔ)角的概念是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·廣東·普寧市普師高級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）已知∠α與∠β互補(bǔ)，∠α＝150°，則∠β的余角的度數(shù)是_________
【答案】 ##60度
【分析】?jī)蓚€(gè)角之和為 則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，兩個(gè)角之和為 則這兩個(gè)角互為余角，根據(jù)互余互補(bǔ)的兩個(gè)角的含義進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵∠α與∠β互補(bǔ)，∠α＝150°，
∴
∴的余角為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是互余互補(bǔ)的兩個(gè)角之間的關(guān)系，掌握互為余角，互為補(bǔ)角的含義是解本題的關(guān)鍵．
10．（2022·安徽·宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如果一個(gè)角的補(bǔ)角是，那么這個(gè)角的余角是______．
【答案】##46度
【分析】根據(jù)補(bǔ)角的定義（和為的兩個(gè)角互為補(bǔ)角）和余角的定義（和為的兩個(gè)角互為余角）即可得．
【詳解】解：一個(gè)角的補(bǔ)角是，
這個(gè)角的度數(shù)為，
這個(gè)角的余角是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)角的余角與補(bǔ)角，熟記余角與補(bǔ)角的定義是解題關(guān)鍵．
11．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)勒流育賢實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）已知∠α是鈍角，∠α與∠β互補(bǔ)，∠β與∠γ互余，則∠α與∠γ的關(guān)系式為_(kāi)_______
【答案】
【分析】根據(jù)互補(bǔ)，兩個(gè)角的和等于，根據(jù)互余，兩個(gè)角的和等于，將兩個(gè)等式相減，即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
①，②，
∴①②得，，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角的互余、互補(bǔ)知識(shí)，理解互補(bǔ)，互余的概念是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·黑龍江·肇源縣第五中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠DOE＝3∠COE，∠EOB＝90o，則∠AOD＝____．
【答案】135°##135度
【分析】由∠DOE＝3∠COE，∠DOE與∠COE互補(bǔ)，可得∠COE＝45°，∠EOD＝135°，又根據(jù)∠BOE＝90°，得∠BOD＝45°，所以∠AOD＝135°．
【詳解】解：由∠DOE＝3∠COE，且∠DOE＋∠COE＝180°，
可得∠COE＝45°，∠EOD＝135°
∠BOE＝90°，
∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝135°－90°＝45°
故∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－45°＝135°
故答案為：135°
【點(diǎn)睛】本題考查了平角的定義以及角的計(jì)算，解題時(shí)注意結(jié)合圖形分析已知條件與問(wèn)題之間的位置關(guān)系，把條件與問(wèn)題的聯(lián)系作為主要的思考方向．
13．（2022·全國(guó)·七年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)．
【答案】135°
【分析】直接利用角平分線的定義得出∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
∠DOF＝∠BOF＝∠DOB，
∴∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，
∴∠EOF的度數(shù)為：90°＋45°＝135°．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的計(jì)算以及角平分線的定義，正確得出∠COE＋∠DOF＝45°是解題關(guān)鍵．
14．（2022·湖南懷化·七年級(jí)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，．
(1)若∠1=∠2，則ON，CD是什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)若，求∠BOC的度數(shù)．
【答案】(1)，見(jiàn)解析
(2)135°
【分析】（1）分析題意，找出ON與OD的夾角大小，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)角的位置關(guān)系，列出代數(shù)式，求解即可得出答案．
（1）
ON⊥CD，理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠CON＝∠AOC+∠2＝∠AOC+∠1＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）
∵∠1∠BOC，∠BOC＝∠1+∠BOM，
∴∠BOM∠BOC，
∵OM⊥AB，
∴∠BOM＝90°，
∴∠BOC＝135°．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角、角的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是分清角的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
15．（2021·浙江工業(yè)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，BD是∠ABC的平分線，∠ABE+∠BCF＝180°
(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度數(shù)：
(2)若CB是∠ACF的平分線，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．
【答案】(1)40°
(2)k=2
【分析】（1）根據(jù)角平分線和互余的關(guān)系確定∠DBC=∠BCF即可．
（2）根據(jù)角平分線和互余的關(guān)系確定∠DBC=∠BCF，再通過(guò)互補(bǔ)的關(guān)系求角度等量關(guān)系即可．
（1）
解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分線，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴∠BCF＝40°．
（2）
解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF，
∵CB是∠ACF的平分線，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF＝∠BCD，
∵∠ADB＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝2∠ABD，
∴k=2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)在求角度時(shí)的應(yīng)用，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16．（2022·陜西·西安輔輪中學(xué)七年級(jí)期末）已知：O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如圖1，當(dāng)∠AOC＝40°時(shí)，求∠DOE的度數(shù)；
(2)如圖2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；
(3)如圖3，∠AOC=36°，此時(shí)∠COD繞點(diǎn)O以每秒6°沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)t秒（0≤t”連接）．
【答案】
【分析】先把各角統(tǒng)一單位，再進(jìn)行比較大小即可得到答案．
【詳解】解：，，
∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的大小比較，解答此題的關(guān)鍵是把各角統(tǒng)一單位．
10．（2022·山西大同·七年級(jí)期末）用一副三角板按如圖方式放置，恰好與重合，則的大小為_(kāi)___________°
【答案】75
【分析】利用三角板兩個(gè)銳角的度數(shù)即可求解．
【詳解】解：左側(cè)三角板中較小的銳角為，右側(cè)三角板為等腰直角三角形，兩個(gè)銳角均為，
．
故答案為：75．
【點(diǎn)睛】本題考查三角板中的角度計(jì)算，熟知三角板每個(gè)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
11．（2021·湖北·公安縣教學(xué)研究中心七年級(jí)期末）若的度數(shù)為，且與互余，則的度數(shù)為_(kāi)___．
【答案】
【分析】根據(jù)余角定義：若兩個(gè)角的和為，則這兩個(gè)角互余，直接解答即可．
【詳解】解：∵與互余，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查互余角的數(shù)量關(guān)系．理解互余的概念是解題的關(guān)鍵，根據(jù)余角的定義：若兩個(gè)角的和為，則這兩個(gè)角互余列式計(jì)算．
12．（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，則∠DOE＝________°．（用含n的代數(shù)式表示）
【答案】
【分析】根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠BOE=∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（13題5分，14題6分，15題7分）
13．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖，分別確定四個(gè)城市相應(yīng)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)．
（2）每經(jīng)過(guò)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)多少度？每經(jīng)過(guò)，分針轉(zhuǎn)過(guò)多少度？
（3）當(dāng)時(shí)鐘指向上午，時(shí)針與分針的夾角是多少度？
（4）請(qǐng)你的同伴任意報(bào)一個(gè)時(shí)間（精確到分），你來(lái)確定時(shí)針與分針的夾角．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）答案不唯一，見(jiàn)解析．
【分析】（1）時(shí)針的12個(gè)小時(shí)把360°分解成12份，每份30°，按照這個(gè)度數(shù)關(guān)系對(duì)每個(gè)時(shí)鐘表進(jìn)行計(jì)算即可．
（2）時(shí)針1小時(shí)走總度數(shù)的，分針60分鐘把360°分解成60份，每份6°，分針一分鐘走一格，故是6°．
（3）先求出此時(shí)時(shí)針與10點(diǎn)整時(shí)時(shí)針的夾角，再用30°減去這個(gè)夾角，再加上3個(gè)30°即可．
（4）方法與（3）相同，任選一個(gè)時(shí)間進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）巴黎時(shí)間：12到1夾角為360°的，是30°
倫敦時(shí)間：夾角為0°
北京時(shí)間：4個(gè)30°，故為120°
東京時(shí)間：3個(gè)30°，故為90°
（2）時(shí)針每經(jīng)過(guò)1小時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)360°÷12=30°，分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)360°÷60=6°
（3）此時(shí)分針走過(guò)了360°的，所以時(shí)針移動(dòng)的角度占30°的，是5°，所以剩余25°，
故夾角為：25°+30°+30°+30°=115°
（4）9:20時(shí)此時(shí)時(shí)針與分針夾角是多少？
解：此時(shí)分針走過(guò)了360°的，時(shí)針移動(dòng)的角度占30°的，是10°，20°+30°+30°+30+30°+30°+30°=200°
故夾角為：360°-200°=160°.
【點(diǎn)睛】本題考查時(shí)針?lè)轴樤谵D(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的夾角的求解，熟練掌握時(shí)針每小時(shí)走30°，分針每分鐘走6°是本題關(guān)鍵．
14．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級(jí)期末）如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合．
(1)寫(xiě)出以為頂點(diǎn)的相等的角；
(2)若，求度數(shù)；
(3)寫(xiě)出與之間所具有的數(shù)量關(guān)系；
(4)當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，你所寫(xiě)出的（3）中的關(guān)系是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)與互補(bǔ)
(4)不變，見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等作答；
（2）由圖得∠DCE＝90°?∠ACE，求∠ACE的度數(shù)即可；
（3）∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；
（4）由（3）可得，當(dāng)三角板ACD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，不變化．
（1）
解：根據(jù)同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．
（2）
解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝150°?90°＝60°，
∴∠DCE＝90°?∠ACE＝90°?60°＝30°．
（3）
解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴∠ACB與∠DCE互補(bǔ)．
（4）
解：不變化．
∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴無(wú)論如何旋轉(zhuǎn)，∠ACB與∠DCE互補(bǔ)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，解答本題需要熟悉一副三角板各角之間的關(guān)系．
15．（2021·湖北·十堰市鄖陽(yáng)區(qū)教學(xué)研究室七年級(jí)期末）已知，，OM，ON分別是和的平分線．
(1)如圖1，如果OA，OC重合，且OD在的內(nèi)部，求的度數(shù)；
(2)如圖2，固定，將圖1中的繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）．
①與旋轉(zhuǎn)度數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；
②當(dāng)n為多少時(shí)，為直角？
(3)如果的位置和大小不變，的邊OD的位置不變，改變的大?。粚D1中的OC繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），如圖3，請(qǐng)直接寫(xiě)出與旋轉(zhuǎn)度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：_____．
【答案】(1)25°
(2)①n°＋25°，②n＝65
(3)∠MON=m°＋25°
【分析】（1）如圖1，根據(jù)OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，求出∠AOM，再根據(jù)ON平分∠COD，∠COD＝80°，可出∠AON，進(jìn)而求出∠MON＝∠AOM﹣∠AON；
（2）①根據(jù)圖形中角的和差關(guān)系可直接求出；②當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，由于n°＋25°＝90°，所以n＝65，
（3）根據(jù)圖中角的和差關(guān)系可得：∠MON＝∠COM﹣∠CON，即可得出答案．
（1）
如圖1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，
∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°，
（2）
①如圖2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°＋n°﹣40°＝n°＋25°，
②當(dāng)∠MON＝90°時(shí)，n°＋25°＝90°，
∴n＝65，
（3）
如圖3中，∠MON＝∠COM﹣∠CON＝65°＋m°﹣（80°＋m°）＝m°＋25°．
故答案是：∠MON＝m°＋25°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義和角的和差關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握角平分線的定義，并能結(jié)合圖形分析角的和差關(guān)系．

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