1、了解分式方程的概念和檢驗根的意義；
2、會解可轉化為一元一次方程的分式方程；掌握這種方程解法，掌握解方程中的化歸思想；
3、會列出分式方程解簡單的應用題。
知識精講
知識點01 分式方程及解分式方程
知識點
1.分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．
（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．
注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．
注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解．
【知識拓展1】分式方程的定義
例1．（2022·山東省泰安八年級階段練習）關于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．①②④
【即學即練】
1．（2022·湖南·八年級單元測試）已知方程：
①； ② ③； ④．
這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【知識拓展2】解分式方程
例2．（2022·河北·石家莊三模）小明和小亮在解答“解分式方程：”的過程如框，對他們的解答過程（每一步只對上一步負責）有以下判斷，判斷錯誤的是（ ）
小明的解法：
解：去分母得：①
去括號得：②
移項得：③
合并同類項得：④
系數(shù)化為得：⑤
是原分式方程的解⑥
小亮的解法：
解：去分母得：①
去括號得：②
移項得：③
合并同類項得：④
系數(shù)化為得：⑤
A．小明的步驟①錯誤，漏乘B．小明的步驟②、③、④都正確
C．小明的步驟⑤錯誤D．小亮的解答完全正確
【即學即練】
2.（2022·河北·八年級階段練習）解方程：
(1) (2)
【知識拓展3】分式方程的增根與無解問題
例3．（2022·浙江東陽·七年級期末）關于x的分式方程：．
（1）當m＝3時，求此時方程的根；（2）若這個關于x的分式方程會產生增根，試求m的值．
【即學即練】
3（1）（2022·江蘇九年級專題練習）關于x的分式方程(其中a為常數(shù))有增根，則增根為_____．
（2）（2022·浙江杭州·初二月考）已知關于x的分式方程﹣1＝無解，則m的值是（ ）
A．﹣2或﹣3B．0或3C．﹣3或3D．﹣3或0
【知識拓展4】分式方程的特殊解問題
例4．（2022·河南八年級期末）如果關于x的方程的解為非負數(shù)，且關于x，y的二元一次方程組解滿足，則滿足條件的整數(shù)a有（ ）個．
A．7B．6C．5D．4
【即學即練】
4.（1）（2022·安徽東至·七年級期末）已知關于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍為____．
（2）（2022·江蘇蘇州·八年級期中）已知關于x的分式方程的解是負數(shù)，則a的取值范圍______．
知識點02 分式方程的應用
知識點
分式方程的應用
（1）分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．
每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝，時間＝等．
（2）列分式方程解應用題的一般步驟：①設未知數(shù)；②找等量關系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．
【知識拓展1】工程問題
例1．（2022·內蒙古涼城·期末）為了支援青海省玉樹地區(qū)人民抗震救災，四川省某休閑用品有限公司主動承擔了為災區(qū)生產2萬頂帳篷的任務，計劃用10天完成．（1）按此計劃，該公司平均每天應生產帳篷 頂；（2）生產2天后，公司又從其他部門抽調了50名工人參加帳篷生產，同時通過技術革新等手段使每位工人的工作效率比原計劃提高了25%，結果提前2天完成了生產任務．求該公司原計劃安排多少名工人生產帳篷？
【即學即練1】
1．（2022·山東臨沂市·中考真題）某工廠生產、兩種型號的掃地機器人．型機器人比型機器人每小時的清掃面積多50%；清掃所用的時間型機器人比型機器人多用40分鐘． 兩種型號掃地機器人每小時分別清掃多少面積？若設型掃地機器人每小時清掃，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【知識拓展2】行程問題
例2．（2022·山東·武城縣八年級期末）小張去離家2520米的奧體中心看演唱會，到奧體中心后，發(fā)現(xiàn)演唱會門票忘帶了，此時離演唱會開始還有23分鐘，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一輛“共享單車”原路趕回奧體中心，已知小張騎車的時間比跑步的時間少用4分鐘，且騎車的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．(1)求小張跑步的平均速度；(2)如果小張在家取票和尋找“共享單車”共用了5分鐘，他能否在演唱會前趕到奧體中心？說明理由．
【即學即練2】
2．（2022·竹溪縣實驗中學其他）某中學八年級學生去距學校10千米的景點參觀，一部分學生騎自行車先走，過了30分鐘后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達，已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍．設騎車學生的速度為千米/小時，則所列方程正確的是( )
A．B．C．D．
【知識拓展3】銷售問題
例3．（2022·重慶巴蜀中學初三期中）某工廠計劃生產一種創(chuàng)新產品，若生產一件這種產品需A種原料1.2千克、B種原料1千克.已知A種原料每千克的價格比B種原料每千克的價格多10元.
（1）為使每件產品的成本價不超過34元，那么購入的B種原料每千克的價格最高不超過多少元？
（2）將這種產品投放市場批發(fā)銷售一段時間后，為拓展銷路又開展了零售業(yè)務，每件產品的零售價比批發(fā)價多30元.現(xiàn)用10000元通過批發(fā)價購買該產品的件數(shù)與用16000元通過零售價購買該產品的件數(shù)相同，那么這種產品的批發(fā)價是多少元？
【即學即練】
3．（2020·四川廣元·八年級期末）倡導健康生活推進全民健身，某社區(qū)去年購進，兩種健身器材若干件，經了解，種健身器材的單價是種健身器材單價的1.5倍，用7200元購買種健身器材比用5400元購買種健身器材多10件．(1)，兩種健身器材的單價分別是多少元？(2)若今年種健身器材的單價相較去年上漲了，種健身器材的單價相較去年下降了，這樣用7200元購買種健身器材和用5400元購買種健身器材的數(shù)量就一樣多，求的值．（保留一位小數(shù)）
【知識拓展4】方案問題
例4．（2022·內蒙古烏海·初二期末）在“雙十二”期間，兩個超市開展促銷活動，活動方式如下：
超市：購物金額打9折后，若超過2000元再優(yōu)惠300元； 超市：購物金額打8折．某學校計劃購買某品牌的籃球做獎品，該品牌的籃球在兩個超市的標價相同，根據(jù)商場的活動方式：（1）若一次性付款4200元購買這種籃球，則在商場購買的數(shù)量比在商場購買的數(shù)量多5個，請求出這種籃球的標價；（2）學校計劃購買100個籃球，請你設計一個購買方案，使所需的費用最少．（直接寫出方案）
【即學即練】
4．（2022·湖南長沙·八年級期末）某電腦公司經銷甲種型號電腦，受市場影響，電腦價格不斷下降．今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價500元，如果賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售額為90000元，今年銷售額只有80000元．(1)今年三月份甲種電腦每臺售價多少元？(2)為了提高收入，電腦公司決定增加經銷乙種型號電腦，已知甲種電腦每臺進價為3500元，乙種電腦每臺進價為3000元，公司預計用不多于66000元且不少于64000元的資金購進這兩種電腦共20臺，問有幾種進貨方案？(3)如果乙種電腦每臺售價為3700元，為擴大乙種電腦的銷量，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現(xiàn)金元，要使（2）中所有方案獲利相同，值應是多少？
能力拓展
考法01 分式方程中的整數(shù)解問題
【典例1】（2022·達州市·中考真題）若分式方程的解為整數(shù)，則整數(shù)___________．
變式1．（2022·河南南陽·八年級階段練習）若實數(shù)使得關于的分式方程有正整數(shù)解，則所有滿足條件的的值之和是（ ）
A．20B．17C．15D．12
變式2．（2022·重慶實驗外國語學校）關于x的分式方程有整數(shù)解，且關于y的不等式組有解，則所有滿足條件的正整數(shù)a的和是（ ）
A．6B．12C．14D．20
分層提分
題組A 基礎過關練
1．（2022·山東棗莊·八年級階段練習）下列方程①，②，③，④中，是關于x的分式方程的有（ ）個．
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·湖南·八年級階段練習）把分式方程的兩邊同時乘以，約去分母，得（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山東青州·初二期末）已知關于的分式方程無解，則的值為（ ）
A．B．或C．D．或或
4．（2022·廣東·佛山市華英學校三模），兩地相距千米，一輛大汽車從地開出小時后，又從地開出另一輛小汽車，已知小汽車的速度是大汽車速度的倍，結果小汽車比大汽車早分鐘到達地，求兩種汽車每小時各走多少千米．設大汽車的速度為，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·陜西金臺·）某公司為盡快給醫(yī)院供應一批醫(yī)用防護服，原計劃x天生產1200防護服，由于采用新技術，每天增加生產30套，因此提前2天完成任務，列出方程為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南·岳陽縣甘田中學八年級階段練習）方程的解昰___________．
7．（2022·湖南·永州市八年級階段練習）如果方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍為______．
8．（2022·江蘇海陵·八年級期中）若解關于x的方程＝+2時產生了增根，則m＝_____．
9．（2022·湖南·岳陽縣甘田中學八年級階段練習）解方程：
(1) (2)
10．（2022·重慶一中九年級階段練習）某山區(qū)突發(fā)森林大火，在這場與山火的拉鋸戰(zhàn)中，“以火滅火”的方式助力了階段性勝利時刻的到來．浴火后的山區(qū)，一半青山一半黃，為了還山區(qū)一抹綠，志愿者協(xié)會組織開展“迎國慶植樹活動”，計劃種植黃桷樹和香樟這兩種樹．
(1)該協(xié)會計劃種植黃桷樹和香樟共5000棵，其中黃桷樹的數(shù)量比香樟的數(shù)量的2倍少1000棵，求計劃種植黃桷樹多少棵？
(2)在實際種植過程中，為了加快進度，將參與活動的志愿者分成甲、乙兩組，甲組負責種植香樟，乙組負責種植黃桷樹，其中乙組每小時種植的樹苗比甲組多50棵，最終兩個小組同時完成任務，求乙組每小時種植的數(shù)量．
題組B 能力提升練
1．（2022·四川廣元·八年級期末）方程的解為（ ）
A．B．C．D．原分式方程無解
2．（2022·綿陽市·八年級專題練習）將的分母化為整數(shù)，得（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·浙江·模擬預測）已知關于x的方程無解，則m的值為（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（2022·石家莊市八年級期末）關于的分式方程有解，則字母的取值范圍是（ ）
A．或B．C．D．且
5．（2022·廣東·高州八年級階段練習）已知關于的分式方程的解為負數(shù)，求m的取值范圍．
6．（2022·河北張家口·初三二模）甲、乙兩船從相距300km的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲船從A地順流航行180km時與從B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度為6km/h，若甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h，則求兩船在靜水中的速度可列方程為（ ）A．= B．= C．= D．=
7．（2022·山東棗莊二模）若整數(shù)a使關于x的分式方程﹣2＝有整數(shù)解，則符合條件的所有a之和為（ ）
A．7B．11C．12D．13
8．（2022·江蘇·濱海縣八巨初級中學八年級階段練習）某中學組織學生去離學校的東山農場，先遣隊與大隊同時出發(fā)，先遣隊的速度是大隊的速度的1.2倍，若先遣隊比大隊早到了，設大隊的速度為，可得方程為_____________．
9．（2022·江蘇新吳·八年級期末）某文具店王老板用240元購進一批筆記本，很快售完；王老板又用600元購進第二批筆記本，所購本數(shù)是第一批的2倍，但進價比第一批每本多了2元．（1）第一批筆記本每本進價多少元？（2）王老板以每本12元的價格銷售第二批筆記本，售出60%后，為了盡快售完，決定打折促銷，要使第二批筆記本的銷售總利潤不少于48元，剩余的筆記本每本售價最低打幾折？
10．（2022·山東德州·八年級期末）某商店準備購進A、B兩種商品，A種商品每件的進價比B種商品每件的進價多20元，用2000元購進A種商品和用1200元購進B種商品的數(shù)量相同．商店將A種商品每件的售價定為80元，B種商品每件的售價定為45元．(1)A種商品每件的進價和B種商品每件的進價各是多少元？
(2)商店計劃用不超過1560元的資金購進A、B兩種商品共40件，其中A種商品的數(shù)量不低于B種商品數(shù)量的一半，該商店有幾種進貨方案？
11．（2021·浙江長興·初二月考）某市文化宮學習十九大有關優(yōu)先發(fā)展教育的精神，舉辦了為某貧困山區(qū)小學捐贈書包活動．首次用2000元在商店購進一批學生書包，活動進行后發(fā)現(xiàn)書包數(shù)量不夠，又購進第二批同樣的書包，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的3倍，但單價貴了4元，結果第二批用了6300元．
(1)求文化官第一批購進書包的單價是多少？
(2)商店兩批書包每個的進價分別是68元和70元，這兩批書包全部售給文化宮后，商店共盈利多少元？
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）已知關于的分式方程的解為非正數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·安徽霍邱·七年級期末）已知關于x的分式方程的解滿足2＜x＜5，則k的取值范圍是（ ）
A．﹣7＜k＜14B．﹣7＜k＜14且k≠0C．﹣14＜k＜7且k≠0D．﹣14＜k＜7
3．（2022·重慶市育才中學九年級階段練習）若關于x的一元一次不等式組無解，且關于y的分式方程的解是整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為（ ）
A．?6B．?4C．?2D．1
4．（2022·重慶一中九年級階段練習）“遙知漣水蟹，九月已經霜，巨實黃金重，舒肥白玉香”，金秋時節(jié)，是吃螃蟹的最佳季節(jié)．某螃蟹經銷商出售梭子蟹、青蟹、大閘蟹三種產品．10月1日，梭子蟹、青蟹的銷量之比為，青蟹、大閘蟹的銷量之比為，梭子蟹、青蟹的單價之比為，大閘蟹的單價比青餐高．10月8日，隨著假期結束，梭子蟹、青蟹的購買熱度與10月1日相比有所下降，單價也有所變化，梭子蟹下降的銷量占當天三種螃蟹總銷量的，梭子蟹、青蟹的銷量之比為．10月8日，大閘蟹因為單價降低50%，銷量反而有所增長，結果發(fā)現(xiàn)，10月8日大閘蟹的銷售額恰好等于10月1日大閘蟹的銷售額，梭子蟹和青蟹在10月8日的總銷售額之比為，梭子蟹兩天的總銷售額與青蟹兩天的總銷售額之比為，則10月8日，梭子蟹與大閘蟹的單價之比為___________．
5．（2022·廈門雙十中學海滄附屬學校）觀察分析下列方程：①；②；③．請利用它們所蘊含的規(guī)律，求關于的方程（n為正整數(shù)）的根，你的答案是_____．
6．（2022·河北·邢臺市八年級階段練習）已知，關于的分式方程．
(1)當，時，求分式方程的解；(2)當時，求為何值時分式方程無解；
(3)若，且、為正整數(shù)，當分式方程的解為整數(shù)時，求的值．
7．（2022·重慶·黔江區(qū)育才初級中學校八年級期中）已知關于x的分式方程
(1)已知m=4，求方程的解；(2)若該分式方程無解，試求m的值．
8.（2022·河南·初二期中）某市組織學術研討會，需租用客車接送參會人員往返賓館和觀摩地點，客車租賃公司現(xiàn)有座和座兩種型號的客車可供租用，已知60座的客車每輛每天的租金比座的貴元．（1）會務組第一天在這家公司租了輛座和輛座的客車，一天的租金為元，求座和座的客車每輛每天的租金各是多少元？（2）由于第二天參會人員發(fā)生了變化，因此會務組需重新確定租車方案，方案：若只租用座的客車，會有一輛客車空出個座位；方案：若只租用座客車，正好坐滿且比只租用座的客車少用兩輛。①請計算方案的費用； ②如果你是會務組負責人，從經濟角度考慮，還有其他方案嗎？
9．（2022·湖南學八年級階段練習）某地為某校師生交通方便，在通往該學校原道路的一段全長為360m的舊路上進行整修鋪設柏油路面．鋪設120m后，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，后來每天的工效比原計劃增加20%，結果共用32天完成這一任務．(1)求原計劃每天鋪設路面的長度；(2)若市政部門原來每天支付工人工資為600元，提高工效后每天支付給工人的工資增長了30%，現(xiàn)市政部門為完成整個工程準備了25000元的流動資金．請問，所準備的流動資金是否夠支付工人工資？并說明理由．

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15.3 分式方程

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