一、解答題
1．設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對于集合A中的任意元素和，記
M（）=．
（Ⅰ）當(dāng)n=3時，若，，求M（）和M（）的值；
（Ⅱ）當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當(dāng)相同時，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個數(shù)的最大值；
（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，M（）=0．寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由．
2．已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)證明：存在，滿足 使得．
3．已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
4．設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；
（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；
（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．
5．給定正整數(shù)，設(shè)集合．若對任意，，，兩數(shù)中至少有一個屬于，則稱集合具有性質(zhì)．
(1)分別判斷集合與是否具有性質(zhì)；
(2)若集合具有性質(zhì)，求的值；
(3)若具有性質(zhì)的集合中包含6個元素，且，求集合．
6．已知集合，集合，且滿足，，與恰有一個成立.對于定義，以及，其中.
例如.
(1)若，，求的值及的最大值；
(2)從中任意刪去兩個數(shù)，記剩下的數(shù)的和為，求的最小值（用表示）；
(3)對于滿足的每一個集合，集合中是否都存在三個不同的元素，，，使得恒成立？請說明理由.
7．設(shè)集合，如果對于的每一個含有個元素的子集P，P中必有4個元素的和等于，稱正整數(shù)為集合的一個“相關(guān)數(shù)”.
(1)當(dāng)時，判斷5和6是否為集合的“相關(guān)數(shù)”，說明理由；
(2)若為集合的“相關(guān)數(shù)”，證明：；
(3)給定正整數(shù)，求集合的“相關(guān)數(shù)”m的最小值.
8．設(shè)A是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意，都有或，則稱A為自鄰集.記集合的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為.
(1)直接寫出的所有自鄰集；
(2)若為偶數(shù)且，求證：的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù)；
(3)若，求證：.
9．若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.
(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；
(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.
10．定義函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)若對任意恒成立，求k的取值范圍；
(3)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，并判斷是否有最小值．若有最小值m﹐證明：；若沒有最小值，說明理由．
（注：…是自然對數(shù)的底數(shù)）
11．對于函數(shù)，把稱為函數(shù)的一階導(dǎo)，令，則將稱為函數(shù)的二階導(dǎo)，以此類推得到n階導(dǎo).為了方便書寫，我們將n階導(dǎo)用表示.
(1)已知函數(shù)，寫出其二階導(dǎo)函數(shù)并討論其二階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性.
(2)現(xiàn)定義一個新的數(shù)列：在取作為數(shù)列的首項，并將作為數(shù)列的第項.我們稱該數(shù)列為的“n階導(dǎo)數(shù)列”
①若函數(shù)（），數(shù)列是的“n階導(dǎo)數(shù)列”，取Tn為的前n項積，求數(shù)列的通項公式.
②在我們高中階段學(xué)過的初等函數(shù)中，是否有函數(shù)使得該函數(shù)的“n階導(dǎo)數(shù)列”為嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮數(shù)列，請寫出它并證明此結(jié)論.（寫出一個即可）
12．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)，
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)有三個零點(diǎn)時實數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
(3)對于函數(shù)，若實數(shù)滿足，其中F、D為非零實數(shù)，則稱為函數(shù)的“篤志點(diǎn)”.
①已知函數(shù)，且函數(shù)有且只有3個“篤志點(diǎn)”，求實數(shù)a的取值范圍；
②定義在R上的函數(shù)滿足：存在唯一實數(shù)m，對任意的實數(shù)x，使得恒成立或恒成立.對于有序?qū)崝?shù)對，討論函數(shù)“篤志點(diǎn)”個數(shù)的奇偶性，并說明理由
13．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸?軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為，記作．

(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；
(2)在平行六面體中，，，N為線段D1C1的中點(diǎn)．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．
①求的斜60°坐標(biāo)；
②若，求與夾角的余弦值．
14．三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知A，B是空間直角坐標(biāo)系中異于O的不同兩點(diǎn)．
(1)①若，，求；
②證明：．
(2)記的面積為，證明：．
(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．
15．對于一個三維空間，如果一個平面與一個球只有一個交點(diǎn)，則稱這個平面是這個球的切平面.已知在空間直角坐標(biāo)系中，球的半徑為，記平面、平面、平面分別為、、.
(1)若棱長為的正方體、棱長為的正四面體的內(nèi)切球均為球，求的值；
(2)若球在處有一切平面為，求與的交線方程，并寫出它的一個法向量；
(3)如果在球面上任意一點(diǎn)作切平面，記與、、的交線分別為、、，求到、、距離乘積的最小值.
16．無數(shù)次借著你的光，看到未曾見過的世界：國慶七十周年?建黨百年天安門廣場三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀(jì)念日”向人民英雄敬獻(xiàn)花籃儀式的凝重莊嚴(yán)金帆合唱團(tuán)，這絕不是一個抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當(dāng)你想起他，應(yīng)是四季人間，應(yīng)是繁星璀璨！這是開學(xué)典禮中，我校金帆合唱團(tuán)的頒獎詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六棱臺（圖3），正六棱柱的側(cè)棱交的延長線于點(diǎn)，經(jīng)測量，且
(1)寫出三條正六棱臺的結(jié)構(gòu)特征.
(2)“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳，假設(shè)排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽略墻壁厚度，估算金帆排練廳對應(yīng)幾何體體積.（棱臺體積公式：）
(3)“小迷糊”站在“六角樓”下，陶醉在歌聲里.“大聰明”走過來說：“數(shù)學(xué)是理性的音樂，音樂是感性的數(shù)學(xué).學(xué)好數(shù)學(xué)方能更好的欣賞音樂，比如咱們剛剛聽到的一個復(fù)合音就可以表示為函數(shù)，你看這多美妙!”
“小迷糊”：“”
親愛的同學(xué)們，快來幫“小迷糊”求一下的最大值吧.
17．正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體.可以驗證一共只有五種多面體.令（均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時候某正多面體的所有頂點(diǎn)都可以和另一個正多面體的一些頂點(diǎn)重合，例如正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合，正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的所有頂點(diǎn)重合，等等.
(1)當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；
(2)當(dāng)正面體在棱長為的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；
(3)已知正面體的每個面均為正五邊形，正面體的每個面均為正三角形.考生可在以下2問中選做1問.
（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結(jié)果給分）
第一問：求棱長為的正面體的表面積；
第二問：求棱長為的正面體的體積.
18．對于定義域R上的函數(shù)，如果存在非零常數(shù)T，對任意，都有成立，則稱為“T函數(shù)”．
(1)設(shè)函數(shù)，判斷是否為“T函數(shù)”，說明理由；
(2)若函數(shù)（且）的圖象與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，證明：為“T函數(shù)”；
(3)若函數(shù)為“T函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．
19．將函數(shù)的圖象按向量平移指的是：當(dāng)時，圖形向右平移個單位，當(dāng)時，圖形向左平移個單位；當(dāng)時，圖形向上平移個單位，當(dāng)時，圖形向下平移個單位．已知，將的圖象按平移得到函數(shù)的圖象．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上至少含30個零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的中，求的最小值；
(3)對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
20．若對于定義在上的連續(xù)函數(shù)，存在常數(shù)（），使得對任意的實數(shù)成立，則稱是回旋函數(shù)，且階數(shù)為.
（1）試判斷函數(shù)是否是一個階數(shù)為1的回旋函數(shù)，并說明理由；
（2）已知是回旋函數(shù)，求實數(shù)的值；
（3）若回旋函數(shù)（）在恰有100個零點(diǎn)，求實數(shù)的值.
21．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時，求的值；
(2)已知，，為的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
(3)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)時不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.
22．如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的點(diǎn)，，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形設(shè).
(1)當(dāng)時，求四邊形OACB的周長；
(2)克羅狄斯托勒密所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補(bǔ)時取等號，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段OC的長取最大值時，求
(3)問：B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值.
23．將平面直角坐標(biāo)系中的一列點(diǎn)、、、、，記為，設(shè)，其中為與軸方向相同的單位向量.若對任意的正整數(shù)，都有，則稱為點(diǎn)列.
(1)判斷、、、、、是否為點(diǎn)列，并說明理由；
(2)若為點(diǎn)列，且任取其中連續(xù)三點(diǎn)、、，證明為鈍角三角形；
(3)若為點(diǎn)列，對于正整數(shù)、、，比較與的大小，并說明理由.
24．對于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個n維向量．特別地，稱為零向量．設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，．對一組向量，，…，（，），若存在一組不全為零的實數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無關(guān)．
(1)對，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．
①，；②，，；③，，，．
(2)已知向量，，線性無關(guān)，判斷向量，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．
(3)已知個向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個都線性無關(guān)，證明下列結(jié)論：
①如果存在等式（，），則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；
②如果兩個等式，（，，）同時成立，其中，則．
25．若數(shù)列滿足：，且，則稱為一個X數(shù)列. 對于一個X數(shù)列，若數(shù)列滿足：，且，則稱為的伴隨數(shù)列.
(1)若X數(shù)列中，，，，寫出其伴隨數(shù)列中的值；
(2)若為一個X數(shù)列，為的伴隨數(shù)列.
①證明：“為常數(shù)列”是“為等比數(shù)列”的充要條件；
②求的最大值.
26．已知A為有限個實數(shù)構(gòu)成的非空集合，設(shè)，，記集合和其元素個數(shù)分別為，.設(shè).例如當(dāng)時，，，，所以.
(1)若，求的值；
(2)設(shè)A是由3個正實數(shù)組成的集合且，；，證明：為定值；
(3)若是一個各項互不相同的無窮遞增正整數(shù)列，對任意，設(shè)，.已知，，且對任意，，求數(shù)列的通項公式.
27．已知數(shù)列：1，，，3，3，3，，，，，，，即當(dāng)（）時，，記（）.
(1)求的值；
(2)求當(dāng)（），試用、的代數(shù)式表示()；
(3)對于，定義集合是的整數(shù)倍，，且，求集合中元素的個數(shù).
28．對于無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立，則稱無窮數(shù)列是周期為的周期數(shù)列.
(1)已知無窮數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且，，是數(shù)列的前項和，若對一切正整數(shù)恒成立，求常數(shù)的取值范圍；
(2)若無窮數(shù)列和滿足，求證：“是周期為的周期數(shù)列”的充要條件是“是周期為的周期數(shù)列，且”；
(3)若無窮數(shù)列和滿足，且，是否存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請說明理由.
29．直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體．如：方程中，當(dāng)取給定的實數(shù)時，表示一條直線；當(dāng)在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，表示過點(diǎn)的直線族（不含軸）．記直線族（其中）為，直線族（其中）為．
(1)分別判斷點(diǎn)，是否在的某條直線上，并說明理由；
(2)對于給定的正實數(shù)，點(diǎn)不在的任意一條直線上，求的取值范圍（用表示）；
(3)直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線．求的包絡(luò)和的包絡(luò)．
30．閱讀材料：
在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與定點(diǎn)（或的距離和它到定直線（或）的距離之比是常數(shù)，則，化簡可得，設(shè)，則得到方程，所以點(diǎn)的軌跡是一個橢圓，這是從另一個角度給出了橢圓的定義.這里定點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，直線稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線；定點(diǎn)是橢圓的另一個焦點(diǎn)，直線稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線.
根據(jù)橢圓的這個定義，我們可以把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.若點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，我們把這個公式稱為橢圓的焦半徑公式.
結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：
已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是該橢圓上第一象限的點(diǎn)，且軸，若直線是橢圓右準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到直線的距離為8.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)也在橢圓上且的重心為，判斷是否能構(gòu)成等差數(shù)列？如果能，求出該等差數(shù)列的公差，如果不能，說明理由.
31．類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知曲面的方程為.

(1)已知直線過曲面上一點(diǎn)，以為方向向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點(diǎn)均在曲面上）；
(2)已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時，過曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設(shè)直線在曲面上，且過點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值.
32．類比平面解析幾何的觀點(diǎn)，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適合某種條件的動點(diǎn)的軌跡，在空間直角坐標(biāo)系中，空間平面和曲面的方程是一個三元方程．
(1)類比平面解析幾何中直線的方程，直接寫出：
①過點(diǎn)，法向量為的平面的方程；
②平面的一般方程；
③在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c的平面的截距式方程（）；（不需要說明理由）
(2)設(shè)為空間中的兩個定點(diǎn)，，我們將曲面定義為滿足的動點(diǎn)P的軌跡，試建立一個適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并推導(dǎo)出曲面的方程．
33．定義：一般地，當(dāng)且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓.
(1)如圖，已知為上的動點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得的垂直平分線與交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線，求的方程；
(2)在條件（1）下，已知橢圓是橢圓的相似橢圓，是橢圓的左?右頂點(diǎn).點(diǎn)是上異于四個頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，當(dāng)（為曲線的離心率）時，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，求的值.
34．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”，例如：點(diǎn)，點(diǎn)，因為，所以點(diǎn)與點(diǎn)的“切比雪夫距離”為，記為．
(1)已知點(diǎn)，B為x軸上的一個動點(diǎn)，
①若，寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②直接寫出的最小值
(2)求證：對任意三點(diǎn)A，B，C，都有；
(3)定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，若動點(diǎn)P所在的曲線所圍成圖形的面積是36，求r的值．
35．定義：若橢圓上的兩個點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點(diǎn)對”，記作.已知橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求“共軛點(diǎn)對”中點(diǎn)所在直線的方程；
(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點(diǎn)在橢圓上逆時針排列.證明：四邊形的面積小于.
36．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集，令.從集合Mn中任取兩個不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.
（1）當(dāng)n=1時，求X的概率分布；
（2）對給定的正整數(shù)n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
37．在信息論中，熵（entrpy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機(jī)的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構(gòu)成了一個隨機(jī)變量，這個隨機(jī)變量的均值（即期望）就是這個分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滳.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量所有取值為，定義的信息熵，（，）.
(1)若，試探索的信息熵關(guān)于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此時的信息熵.
38．設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標(biāo)可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設(shè)．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)對任意與有相同可能取值的隨機(jī)變量，證明：，并指出取等號的充要條件
39．某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績?nèi)缦卤恚?br>計算可得數(shù)學(xué)成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，.
(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同.記在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù).
（i）記，.證明：；
（ii）用（i）的公式求得這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”約為0.91，簡述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時的優(yōu)勢.
注：參考公式與參考數(shù)據(jù).
；；.
40．在一個典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘枺ㄟ^信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實際應(yīng)用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個取值的隨機(jī)變量，分別記作和.條件概率，描述了輸入信號和輸出信號之間統(tǒng)計依賴關(guān)系，反映了信道的統(tǒng)計特性.隨機(jī)變量的平均信息量定義為：.當(dāng)時，信道疑義度定義為
(1)設(shè)有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點(diǎn)數(shù)成正比，試求扔一次骰子向上的面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均信息量；
(2)設(shè)某信道的輸入變量與輸出變量均取值0，1.滿足：.試回答以下問題：
①求的值；
②求該信道的信道疑義度的最大值.
41．對于數(shù)組，各項均為自然數(shù)，如下定義該數(shù)組的放縮值：三個數(shù)最大值與最小值的差．如果放縮值m≥1，可進(jìn)行如下操作：若a、b、c最大的數(shù)字是唯一的，把最大的數(shù)減2，剩下的兩個數(shù)一共加2，且每個數(shù)得到的相等；若a、b、c最大的數(shù)有兩個，則把最大的數(shù)各減1，第三個數(shù)加上最大數(shù)共減少的值．此為第一次操作，記為放縮值記為，可繼續(xù)對再次進(jìn)行該操作，操作n次以后的結(jié)果記為，放縮值記為．
(1)若，求的值
(2)已知的放縮值記為t，且．若n=1，2，3．．．．．．時，均有，若，求集合
(3)設(shè)集合中的元素是以4為公比均為正整數(shù)的等比數(shù)列中的項，，且，在一個集合中有唯一確定的數(shù)．證明：存在滿足=0．
42．離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素數(shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對數(shù)，記為．
(1)若，求；
(2)對，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時，）．證明：，其中；
(3)已知．對，令．證明：．
43．設(shè)數(shù)陣，其中．設(shè)，其中且．定義變換為“對于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到以此類推，最后將經(jīng)過變換得到．記數(shù)陣中四個數(shù)的和為．
(1)若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；
(2)若，求的所有可能取值的和；
(3)對任意確定的一個數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過．
44．帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：
(1)求實數(shù)，的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
45．羅爾中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．羅爾定理描述如下：如果 上的函數(shù)滿足以下條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)，②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，③，則至少存在一個，使得．據(jù)此，解決以下問題：
(1)證明方程在內(nèi)至少有一個實根，其中；
(2)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．
學(xué)生編號i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
數(shù)學(xué)成績
100
99
96
93
90
88
85
83
80
77
知識競賽成績
290
160
220
200
65
70
90
100
60
270
學(xué)生編號i
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
數(shù)學(xué)成績
75
74
72
70
68
66
60
50
39
35
知識競賽成績
45
35
40
50
25
30
20
15
10
5
參考答案：
1．(1)2,1;(2) 最大值為4;(3)
【詳解】（Ⅰ），．
（Ⅱ）考慮數(shù)對只有四種情況：、、、，
相應(yīng)的分別為、、、，
所以中的每個元素應(yīng)有奇數(shù)個，
所以中的元素只可能為（上下對應(yīng)的兩個元素稱之為互補(bǔ)元素）：
、、、，
、、、，
對于任意兩個只有個的元素，都滿足是偶數(shù)，
所以集合、、、滿足題意，
假設(shè)中元素個數(shù)大于等于，就至少有一對互補(bǔ)元素，
除了這對互補(bǔ)元素之外還有至少個含有個的元素，
則互補(bǔ)元素中含有個的元素與之滿足不合題意，
故中元素個數(shù)的最大值為．
（Ⅲ），
此時中有個元素，下證其為最大．
對于任意兩個不同的元素，滿足，
則，中相同位置上的數(shù)字不能同時為，
假設(shè)存在有多于個元素，由于與任意元素都有，
所以除外至少有個元素含有，
根據(jù)元素的互異性，至少存在一對，滿足，
此時不滿足題意，
故中最多有個元素.
2．(1)，，，
(2)
(3)證明見詳解
【分析】（1）先求，根據(jù)題意分析求解；
（2）根據(jù)題意題意分析可得，利用反證可得，在結(jié)合等差數(shù)列運(yùn)算求解；
（3）討論的大小，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.
【詳解】（1）由題意可知：，
當(dāng)時，則，故；
當(dāng)時，則，故；
當(dāng)時，則故；
當(dāng)時，則，故；
綜上所述：，，，.
（2）由題意可知：，且，
因為，且，則對任意恒成立，
所以，
又因為，則，即，
可得，
反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，
當(dāng)時，則；當(dāng)時，則，
則，
又因為，則，
假設(shè)不成立，故，
即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.
（3）因為均為正整數(shù)，則均為遞增數(shù)列，
（?。┤?，則可取，滿足 使得；
（ⅱ）若，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得；
（ⅲ）若，
定義，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
即滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得.
綜上所述：存在使得．

3．(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．
(2)證明見解析．
(3)證明見解析．
【分析】（1）直接利用定義驗證即可；
（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；
（3）時，根據(jù)和的個數(shù)易得顯然不行，再討論時，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類討論驗證不行即可．
【詳解】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．
（2）若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；
當(dāng)時,數(shù)列，滿足，，，，，，，， ．
（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，
若，則至多可表個數(shù)，矛盾,
從而若,則，至多可表個數(shù)，
而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個負(fù)數(shù)（恰 21個），這表明中僅一個負(fù)的，沒有0，且這個負(fù)的在中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個負(fù)數(shù)為 ，
則所有數(shù)之和，，
，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個，
（僅一種方式），
與2相鄰，
若不在兩端,則形式，
若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨為形式，
若,則 （有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，
，則 （有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，
由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、
故只能，①或，②
這2種情形，
對①：，矛盾，
對②：，也矛盾，綜上，
當(dāng)時，數(shù)列滿足題意，
．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項（可以是一項）之和能表示從到中間的任意一個值．本題第二問時，通過和值可能個數(shù)否定；第三問先通過和值的可能個數(shù)否定，再驗證時，數(shù)列中的幾項如果符合必然是的一個排序，可驗證這組數(shù)不合題．
4．（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；．
【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；
(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定的值；
(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)的值.
【詳解】(1)因 為 所以，
因 為所 以
所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.
(2)性質(zhì)①，
由性質(zhì)③，因此或，或，
若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因為或，所以或.
若，則，
不滿足，舍去.
當(dāng)，則前四項為:0，0，0，1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，
當(dāng)時：
若，則，利用性質(zhì)③：
，此時可得：；
否則，若，取可得：，
而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因為，有
即當(dāng)時命題成立，證畢.
綜上可得：，.
(3)令，由性質(zhì)③可知：
，
由于，
因此數(shù)列為數(shù)列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此時，，滿足題意.
【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
5．(1)集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)
(2)
(3)，，或
【分析】
（1）根據(jù)性質(zhì)的定義，即可判斷兩個集合是否滿足；
（2）根據(jù)性質(zhì)的定義，首先確定，再討論是否屬于集合，即可確定的取值，即可求解；
（3）首先確定集合中有0，并且有正數(shù)和負(fù)數(shù)，然后根據(jù)性質(zhì)討論集合中元素的關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）
集合中的，，
所以集合不具有性質(zhì)，
集合中的任何兩個相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個屬于集合，所以集合具有性質(zhì)；
（2）若集合具有性質(zhì)，記，則，
令，則，從而必有，
不妨設(shè)，則，且，
令，，則，且，且，
以下分類討論：
1）當(dāng)時，若，此時，滿足性質(zhì)；
若，舍；若，無解；
2）當(dāng)時，則，注意且，可知無解；
經(jīng)檢驗符合題意，
綜上；
（3）首先容易知道集合中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，
不妨設(shè)，其中，，
根據(jù)題意，
且，從而或，
1）當(dāng)時，，
并且，，
由上可得，并且，
綜上可知；
2）當(dāng)時，同理可得，
據(jù)此，當(dāng)中有包含6個元素，且時，符合條件的集合有5個，
分別是，，或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是確定滿足性質(zhì)的集合里面有0，再對其他元素進(jìn)行討論.
6．(1)1，2
(2)
(3)存在，理由見解析
【分析】（1）表示出和，求的值及的最大值；
（2）由的定義求刪去的兩個數(shù)后剩下的數(shù)和的范圍，結(jié)合的定義．列不等式并判斷等號成立，可得出結(jié)論；
（3）的定義可知：，可找到三個不同的元素，，，使得.
【詳解】（1），
，，，
所以；
，，
，最大，則，，所以最大值為.
（2）設(shè)中的最大值為，由定義，，
若存在，，
則，，，，進(jìn)而，，矛盾.
于是除外，剩余的由定義，中恰有個元素，，
設(shè)刪去的兩個數(shù)為，，則，
構(gòu)造，刪去，，恰好取得等號.
所以的最小值為.
（3）結(jié)論：集合中存在滿足條件的三個不同的元素，，，證明如下：
設(shè)，中的一個最大值為，由得
于是，，進(jìn)而
考慮，
由于，，而
于是一定存在不同于，的，使得，
進(jìn)而，于是，
取，，即可.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
集合新定義問題，要緊緊圍繞新定義的概念和運(yùn)算法則，對問題進(jìn)行分析整理后求解.
7．(1)5不是集合的“相關(guān)數(shù)”，6是集合的“相關(guān)數(shù)”，理由見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)數(shù)的定義判斷，即可求解；
（2）根據(jù)相關(guān)數(shù)的定義，得到時，一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”，得到，從而證明結(jié)論；
（3）根據(jù)，將集合的元素分成組，對的任意一個含有個元素的子集，必有三組同屬于集合，不妨設(shè)與無相同元素，此時這4個元素之和為，從而求出的最小值．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
①對于的含有5個元素的子集，
因為，所以5不是集合的“相關(guān)數(shù)”；
②的含有6個元素的子集只有，
因為，所以6是集合的“相關(guān)數(shù)”．
（2）證明：考察集合的含有個元素的子集，
中任意4個元素之和一定不小于，
所以一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”；
所以當(dāng)時，一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”，
因此若為集合的“相關(guān)數(shù)”，必有，
即若為集合的“相關(guān)數(shù)”，必有.
（3）解：由（2）得，
先將集合的元素分成如下組：，
對于的任意一個含有個元素的子集，必有三組同屬于集合，
再將集合的元素剔除和后，分成如下組：，
對于的任意一個含有個元素的子集，必有三組同屬于集合，
這一組與上述三組中至少一組無相同元素，
不妨設(shè)與無相同元素，此時這4個元素之和，
所以集合的“相關(guān)數(shù)”的最小值為.
【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.
8．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)自鄰集的定義及子集的概念一一寫出結(jié)果即可；
（2）取的一個含5個元素的自鄰集，判定
集合，再證明C也是自鄰集且，從而得出結(jié)論；
（3）記自鄰集中最大元素為的自鄰集的個數(shù)為，，則當(dāng)時有，再分類討論證明即可.
【詳解】（1）由題意可得，的所有自鄰集有：；
（2）對于的含5個元素的自鄰集，
不妨設(shè).
因為對于，都有或，，2，3，4，5，
所以，，或.
對于集合，，，，，
因為，所以，，2，3，4，5，
，
所以.
因為，，或.
所以，，
或，
所以對于任意或，，2，3，4，5，
所以集合也是自鄰集.
因為當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以.
所以對于集合的含5個元素的自鄰集，在上述對應(yīng)方法下會存在一個不同的含有5個元素的自鄰集與其對應(yīng).
所以，的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù).
（3）記自鄰集中最大元素為的自鄰集的個數(shù)為，，
當(dāng)時，，，
顯然.
下面證明：.
①自鄰集含有，，這三個元素，記去掉這個自鄰集中的元素后的集合為
因為，，所以仍是自鄰集，且集合中的最大元素是，
所以含有，，這三個元素的自鄰集的個數(shù)為.
②自鄰集含有，這兩個元素，不含，且不只有，這兩個元素，
記自鄰集除，之外最大元素為，則，每個自鄰集去掉，這兩個元素后，仍為自鄰集.
此時的自鄰集的最大元素為，可將此時的自鄰集分為個；
其中含有最大數(shù)為2的集合個數(shù)為，
含有最大數(shù)為3的集合個數(shù)為，，
含有最大數(shù)為的集合個數(shù)為.
則這樣的集合共有個.
③自鄰集只含有，這兩個元素，這樣的自鄰集只有1個.
綜上可得，
所以，
故時，得證.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問取自鄰集，和集合，，，，，先由定義判定，且集合也是自鄰集，.即可證明結(jié)論；第三問記自鄰集中最大元素為的自鄰集的個數(shù)為，有，再分三類①自鄰集含有，，這三個元素的自鄰集的個數(shù)為，②自鄰集含有，這兩個元素的集合共有個，③自鄰集只含有，這兩個元素，這樣的自鄰集只有1個來證明：即可.
9．(1)是上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.
(2)
(3)證明過程見詳解.
【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；
（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對于任意，都有，，只需且，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.
（3）分和兩種情況進(jìn)行證明，，用放縮法進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）對于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3類函數(shù)”.
（2）因為，
由題意知，對于任意不同的，都有，
不妨設(shè)，則，
故且，
故為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，
故任意，都有，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
所以，，故在單調(diào)遞減，
，
由可轉(zhuǎn)化為，令，只需
，令，在單調(diào)遞減，
且，，所以使，即，
即，
當(dāng)時，，，故在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，故在單調(diào)遞減，
，
故.
（3）因為為上的“2類函數(shù)”，所以，
不妨設(shè)，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，因為，
，
綜上所述，，，.
【點(diǎn)睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立或恒成立；②數(shù)形結(jié)合（的圖象在上方即可）；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.
10．(1)
(2)
(3)答案見詳解
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）通過參變分離以及求解函數(shù)的最值得出結(jié)果；
（3）分成為奇數(shù)，為偶數(shù)兩種情況，并借助導(dǎo)數(shù)不等式分別討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)及最值.
【詳解】（1）由，
可得,
所以曲線在處的切線斜率.
（2）若對任意恒成立，
所以對任意恒成立，
令，則，
由解得，或；由解得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，且當(dāng)時，，
故的最小值為，
故，即的取值范圍是.
（3），
當(dāng)時，，
因此當(dāng)為奇數(shù)時，，
此時
則，所以單調(diào)遞減.
此時，顯然有唯一零點(diǎn)，無最小值.
當(dāng)時，
且當(dāng)時，
，
由此可知此時不存在最小值.
從而當(dāng)為奇數(shù)時，有唯一零點(diǎn)，無最小值，
當(dāng)時，即當(dāng)為偶數(shù)時，，
此時，
由，解得；由，解得
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的最小值為，
即，所以當(dāng)為偶數(shù)時，沒有零點(diǎn).
設(shè)，
，
所以在上單調(diào)遞增，，即.
令可得，
當(dāng)時
，
即.
從而當(dāng)為偶數(shù)時，沒有零點(diǎn)，存在最小值.
綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)時，有唯一零點(diǎn)，無最小值；
當(dāng)為偶數(shù)時，沒有零點(diǎn)，存在最小值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化法則
（1）恒成立恒成立；
（2）恒成立恒成立；
（3）恒成立，恒成立；
（4）恒成立．
11．(1)，單調(diào)性見解析
(2)①；②存在，證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)再次求導(dǎo)得到，再求導(dǎo)討論和兩種情況，得到單調(diào)區(qū)間.
（2）求導(dǎo)得到，計算，，取求導(dǎo)得到，確定，驗證得到答案.
【詳解】（1），函數(shù)定義域為，
，，，
當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，取，則，
設(shè)，，則恒成立，
且，故存在唯一的滿足，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
綜上所述：
時，在上單調(diào)遞增；
時，存在唯一的滿足，
時，函數(shù)單調(diào)遞減，時，函數(shù)單調(diào)遞增.
（2）①，則，，，，
，故，；
②存在，取，，則，則，
即，，
數(shù)列嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮數(shù)列，滿足條件.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的新定義，數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中充分理解新定義的隱含條件，轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵，此類能力需要多練多思考多總結(jié).
12．(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
(2)
(3)①；②答案見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算極值，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.
（2）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，確定，構(gòu)造新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計算最值，考慮和兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算最值即可.
（3）①考慮，，三種情況，代入數(shù)據(jù)，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)根的分布得到范圍；②確定，比較與的大小關(guān)系，得到，得到答案.
【詳解】（1），
，
當(dāng)時，，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，，故，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；
綜上所述：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：
根據(jù)圖像知.
（2），，
取，得到或，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，
恒成立，
，，故，
設(shè)，，
，
設(shè)，則恒成立，
故在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，；
當(dāng)時，存在，使得，
時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
故，不成立；
綜上所述：.
（3）①有三個不等的實數(shù)根，
當(dāng)時，，故，解得，不符合；
當(dāng)時，，故，即，
令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，
故當(dāng)時，在有1個“篤志點(diǎn)”；
當(dāng)時，，故，
則，由于至多有兩個根，
結(jié)合前面分析的取值范圍為的子集，
令，其中，
，當(dāng)時，，
的圖象的對稱軸為，
故在上有兩個不相等的實數(shù)根，
綜上所述：
函數(shù)有且只有3 個“篤志點(diǎn)”，則實數(shù)的取值范圍為；
② 定義在上的函數(shù)滿足：
存在唯一實數(shù)，對任意的實數(shù)，使得恒成立，
故，，
因為，所以，
即，
比較與的大小關(guān)系，
若存在，使得，即，
則有成立，
故對于有序?qū)崝?shù)對，函數(shù)“篤志點(diǎn)” 個數(shù)為奇數(shù)個，
同理，對于定義在上的函數(shù)滿足：
存在唯一實數(shù)，對任意的實數(shù)，使得恒成立，
故，，
因為，所以，
即，可得到同樣的結(jié)論；綜上所述：若存在，使得，
則函數(shù)“篤志點(diǎn)”個數(shù)為奇數(shù)個，
否則，函數(shù)“篤志點(diǎn)”個數(shù)為偶數(shù)個.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的新定義問題，利用導(dǎo)航求參數(shù)范圍，函數(shù)的最值極值，零點(diǎn)問題和恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中分類討論的方法是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.
13．(1)
(2)①；②
【分析】對于小問（1），因為，，可以通過“空間斜60°坐標(biāo)系”的定義，化簡為，，再計算的斜60°坐標(biāo).
對于小問（2），設(shè)，，分別為與，，同方向的單位向量，則，，，①中，通過平行六面體得到，從而得到的斜60°坐標(biāo)；
②中，因為，所以，結(jié)合①中的的斜60°坐標(biāo)，并通過，計算與夾角的余弦值.
【詳解】（1）由，，
知，，
所以，所以；
（2）設(shè)，，分別為與，，同方向的單位向量，
則，，，
①，
.
②因為，所以，
則，
∵， .
∴，
，
所以與的夾角的余弦值為
14．(1)①；②證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用向量的叉乘的定義逐項分析即得.
（2）利用數(shù)量積公式求得，則有 可知，借助叉乘公式，利用分析法即可證得結(jié)果．
（3）由（2），化簡可得，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）①因為，，
則．
②證明：設(shè)，，
則，
將與互換，與互換，與互換，
可得，
故．
（2）證明：因為，
故，
故要證，
只需證，
即證．
由（1），，，
故，
又，，，
故
則成立，
故．
（3）證明：由（2），
得，
故，
故的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．
15．(1)
(2)交線方程為，該直線的一個方向向量為
(3)
【分析】（1）求出的值，利用等體積法求出的值，由此可得出的值；
（2）在與的交線上任取一點(diǎn)，記點(diǎn)，由結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出與的交線方程，由此可寫出交線的一個法向量；
（3）設(shè)為球面上一點(diǎn)，則，求出平面的方程，可求出平面與三條軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用等面積法求出點(diǎn)到直線、、距離，在利用三元基本不等式可求得到、、距離乘積的最小值.
【詳解】（1）解：由題意可知，球內(nèi)最大內(nèi)切正方體的棱長為，
設(shè)球為最大內(nèi)切正四面體為，如下圖所示：
設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則為正的中心，
取線段的中點(diǎn)，連接，則，
則，，
所以，，，
因為，
，故，解得，
所以，.
（2）解：在與的交線上任取一點(diǎn)，記點(diǎn)，
則，即，
即，即，
所以，與的交線方程為，該直線的一個法向量為.
（3）解：設(shè)為球面上一點(diǎn)，則，
在平面上任取一點(diǎn)，則，
即，
即，即，
因為平面與三個坐標(biāo)平面均有交線，則，
平面分別交、、軸于點(diǎn)、、，
設(shè)到、、距離分別為、、，
則，
同理可得，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)，
故到、、距離乘積的最小值為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何與平面解析幾何的綜合問題，解題時主要要清楚直線與球的切結(jié)關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯思維能力與空間想象能力，屬于難題.
16．(1)答案見解析
(2)
(3)
【分析】
（1）根據(jù)正六棱臺性質(zhì)即可;
（2）找出棱臺的高，代入體積公式即可;
（3）法1.利用四元均值不等式，法2.利用琴生不等式法，法3.利用二元均值不等式推廣，法4.利用柯西不等式.
【詳解】（1）類似于上下底面平行，相似，都是正六邊形，側(cè)棱等長，側(cè)棱延長交于一點(diǎn)，側(cè)面都是等腰梯形，等等.
（2）在中，可求，
所以排練廳上底面為邊長10的正六邊形，下底面為邊長9的正六邊形，高為，
所以，
所以.
（3）法1.四元均值不等式
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
所以最大值為.
法2.琴生不等式法
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.
所以最大值為.
法3.二元均值不等式推廣，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以最大值為.
法4.柯西不等式
，根據(jù)二次函數(shù)知識可知當(dāng)取得最大值，
所以；
柯西不等式等號成立時與二次函數(shù)取到最值時相同，當(dāng)且僅當(dāng).
所以最大值為.
17．(1)
(2)
(3)第一問：；第二問：
【分析】（1）根據(jù)正面體特點(diǎn)得出、、、、即可求出夾角最大值；
（2）得出顯然截面為邊長為的正三角形即可求解；
（3）第一問：根據(jù)正二十面體各面為正三角形即可求解；
第二問：圖形可以分為得到一個棱長相等的平行六面體和六個相同的立體圖形，由此即可求解.
【詳解】（1）設(shè)正面體每個端點(diǎn)出去的棱數(shù)相等為，
每個面的邊的數(shù)量相等為，端點(diǎn)數(shù)量為，
面的數(shù)量為，棱的數(shù)量為，
由于每個棱用兩個端點(diǎn)，所以有：，
由于每兩個相鄰的面共用一條棱，所以有：，
由，解得，
因為代表多邊形的邊數(shù)，所以，
因為要得到立體圖形，必須有，
由題意易得，所以，，
所以滿足條件的只有組解，
①，，，即正四面體；
②，，，即正六面體；
③，，，即正十二面體；
④，，，即正八面體；
⑤，，，即正二十面體。
即，，，，，
為了滿足題意，只需找到正六面體的四個端點(diǎn)，端點(diǎn)距離全部相等，
滿足題意的僅有一種，如圖所示：
易得線面角只有或，所以夾角最大值為；
（2）
、、代表正六面體的中心，、、代表截面三角形，
顯然截面為邊長為的正三角形，面積；
（3）第一問：
正二十面體各面為正三角形，表面積；
第二問：正十二面體各面為正五邊形，圖形如下：
按照圖示帶箭頭的虛線分割，得到一個棱長相等的平行六面體和六個相同的立體圖形，
如圖、長度為1，且，
由易知，即正六面體邊長為，
正六面體邊長為，則，
沿著頂棱的兩個端點(diǎn)，分別作關(guān)于頂棱垂直的切面，立體圖形可以拆成兩個四面體，一個三棱柱，
先算出綠色邊的長度，再用勾股定理易得立體圖形高為，
，
所以總體積為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于熟悉正面體的性質(zhì)以及對立體圖形想象的正確.
18．(1)不是“T函數(shù)”，理由見解析；
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)“T函數(shù)”的定義判斷是否滿足該定義，即可得結(jié)論；
（2）只需證明滿足“T函數(shù)”定義，即可得結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)為“T函數(shù)”，可得恒成立，即可推得，即可求得答案.
【詳解】（1）若函數(shù)是“T函數(shù)”，則對于，恒有,
即恒成立，故恒成立，
由于，上式不可能恒成立，
故不是“T函數(shù)”；
（2）證明：函數(shù)（且）的圖象與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，顯然，
即存在非零常數(shù)T，使得，
所以恒成立，
故為“T函數(shù)”.
（3）若函數(shù)是“T函數(shù)”，則,
即恒成立，
故恒成立，
即恒成立，
即有，
故，
即實數(shù)m的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是給出函數(shù)的新定義，由此去判斷求解問題，解答本題的關(guān)鍵就是要理解函數(shù)的新定義，明確其含義，依此去判斷解決問題.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意中平移的定義即可直接得出結(jié)果；
（2）求出函數(shù)的最小正周期，根據(jù)題意知函數(shù)與圖象在上至少有30個交點(diǎn)，由或可知一個周期內(nèi)的波谷跨度，即可求解；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的值域，令，利用換元法，結(jié)合函數(shù)在閉區(qū)間上恒成立問題即可求解.
【詳解】（1）將的圖象按平移得，
所以的解析式為；
（2）函數(shù)的最小正周期為．
函數(shù)在上至少有30個零點(diǎn)，
即方程在上至少有30個解，
即函數(shù)與圖象在上至少有30個交點(diǎn)，
由或，
解得或，
一個周期內(nèi)交點(diǎn)中，兩個交點(diǎn)距離中最小為波谷跨度，
交點(diǎn)正好跨過15個波谷，即跨過14個整周期和一個波谷時，有最小值．
即在所有滿足上述條件的中，的最小值為．
（3）由，得，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，得，
令，則，，
在上恒成立，
只需且即可，
解得.
20．（1）是一個階數(shù)為1的回旋函數(shù);（2），;（3）.
【分析】試題分析：（1）根據(jù)“回旋函數(shù)”、“階數(shù)”的定義，只需證明即可；（2）是階回旋函數(shù)，則恒成立，由三角函數(shù)的值域可知，然后解簡單的三角方程即可得結(jié)果；（3）根據(jù)“回旋函數(shù)”的定義可得，，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性結(jié)合圖象即可得結(jié)果.
試題解析：（1） ，
函數(shù)是一個階數(shù)為1的回旋函數(shù).
（2）設(shè)是階回旋函數(shù)，則，
若，上式對任意實數(shù)均成立；
若，，由三角函數(shù)的值域可知，
當(dāng)時，對任意實數(shù)有；
則，，所以.
當(dāng)時，對任意實數(shù)有；
則，，所以，.
綜上所述：，.
（3） ，對任意的都成立.
由（2）可知，，，.
令，解得（）.
函數(shù)在恰有100個零點(diǎn)，，
.又，，
.
【方法點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、新定義問題及函數(shù)零點(diǎn)問題，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運(yùn)算，使問題得以解決.本題定義“回旋函數(shù)”達(dá)到考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的目的.
21．(1)
(2)存在，點(diǎn)
(3)
【分析】（1）依題意可得，利用輔助角公式將函數(shù)化簡，即可得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由利用兩角差的正弦公式計算可得；
（2）依題意可得，即可求出的解析式，設(shè)，表示出，，則由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，即可得解；
（3）依題意當(dāng)時恒成立，再對分三種情況討論，參變分離結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】（1）解：向量的相伴函數(shù)為，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
（2）解：由為的相伴特征向量知：
所以.
設(shè)，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時，和同時等于，這時（*）式成立.
∴在圖像上存在點(diǎn)，使得.
（3）解：向量的相伴函數(shù)為
當(dāng)時，，
即，恒成立.
所以①當(dāng)，即時，，所以，
即，由于，所以的最小值為，所以；
②當(dāng)，，不等式化為成立.
③當(dāng)，時，，所以，
即，由于，所以的最大值為，所以.
綜上所述，k的取值范圍是.
22．(1)
(2)
(3)當(dāng)B滿足時，四邊形OACB的面積最大，最大值為
【分析】（1）借助余弦定理計算即可得；
（2）由題意可得，代入數(shù)據(jù)可得，即有OC的最大值為3，取等號時，設(shè)可得，解出后借助余弦定理即可得；
（3）借助余弦定理可得，結(jié)合面積公式與誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
即，于是四邊形OACB的周長為；
（2）因為，且為等邊三角形，，，
所以，所以，
即OC的最大值為3，取等號時，
所以，
不妨設(shè)，
則，解得，
所以，
所以；
（3）在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四邊形OACB的面積為
，
當(dāng)，即時，四邊形OACB的面積取得最大值為，
所以，當(dāng)B滿足時，四邊形OACB的面積最大，最大值為.
23．(1)為點(diǎn)列，理由見解析
(2)證明見解析
(3)，理由見解析
【分析】（1）利用點(diǎn)列的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）利用為點(diǎn)列，得到對中連續(xù)三點(diǎn)、、，都有，分析得出，即可證明；
（3）利用為點(diǎn)列，得，，則列舉不等式后，利用不等式的基本性質(zhì)左右分別相加，可得，再由，，即可判斷得到答案.
【詳解】（1）為點(diǎn)列，理由如下：
由題意可知，，，所以，
，即，，
所以、、、、、為點(diǎn)列；
（2）由題意可知，，，所以，
因為為點(diǎn)列，所以，，
又因為，所以
所以對中連續(xù)三點(diǎn)、、，都有，
因為，，
因為，故與不共線，即、、不共線，
因為，
所以，，則為鈍角，
所以為鈍角三角形；
（3）由，
因為為點(diǎn)列，由知，，
所以，，，
，
兩邊分別相加可得，
所以，
所以，所以，
又，，
所以，，
所以
24．(1)①線性相關(guān)，②線性相關(guān)，③線性相關(guān)
(2)向量，，線性無關(guān)，理由見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)定義逐一判斷即可；
（2）設(shè)，則，然后由條件得到即可；
（3）①如果某個，，然后證明都等于0即可；
②由可得，然后代入證明即可.
【詳解】（1）對于①，設(shè)，則可得，所以線性相關(guān)；
對于②，設(shè)，則可得，所以，
所以線性相關(guān)；
對于③，設(shè)，則可得，
可取符合該方程，所以線性相關(guān)；
（2）設(shè)，則
因為向量，，線性無關(guān)，所以，解得
所以向量，，線性無關(guān)
（3）證明：①，如果某個，
則
因為任意個都線性無關(guān)，所以都等于0
所以這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零
②因為，所以全不為零
所以由可得
代入可得
所以
所以，，
所以
25．(1)，，；
(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）利用題中定義，利用代入法進(jìn)行求解即可；
（2）①根據(jù)充要條件的定義，結(jié)合反證法進(jìn)行證明即可；②根據(jù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1），，；
（2）①充分性：若數(shù)列為常數(shù)列，∵，∴，
∴，又，
∴其伴隨數(shù)列是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列；
必要性：假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，而數(shù)列不為常數(shù)列，
∴數(shù)列中存在等于0的項，設(shè)第一個等于0的項為，其中，
∴，得等比數(shù)列的公比．
又，得等比數(shù)列的公比，與矛盾．∴假設(shè)不成立．
∴當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時，數(shù)列為常數(shù)列．
綜上“為常數(shù)列”是“為等比數(shù)列”的充要條件；
②當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
綜上，結(jié)合可得：，，，
由題意知，所以，
于是有，
所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用分類討論法，結(jié)合題中定義是解題的關(guān)鍵.
26．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題中的定義，列舉出，即可；
（2）先列舉，，，中可能元素，根據(jù)集合的互異性判斷元素個數(shù)差即可；
（3）類比（1）（2）當(dāng)數(shù)列由到，為保證成立，則必有其成等差數(shù)列，故猜想，可用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
，所以；
（2）設(shè)，其中，
則，
，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以為定值；
（3），
若，
則，
,
故，
，
此時，不符合題意，
故，
猜想，下面給予證明，
當(dāng)時，顯然成立，
假設(shè)當(dāng)，時，都有成立，即，
此時，，
故，，
，符合題意，
，
則，
，
若，
的元素個數(shù)小于
的元素個數(shù)，
則有，
不符合題意，故，
綜上，對于任意的，都有，
故數(shù)列的通項公式.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的核心是利用集合的新定義，列舉集合中元素，注意集合的互異性，進(jìn)而得到集合的元素個數(shù).
27．(1)；
(2)，()；
(3)1024.
【分析】（1）由得，然后根據(jù)求和公式結(jié)合條件即得；
（2）分別求出為奇數(shù)時和為偶數(shù)時的表達(dá)式，最后用n、k的代數(shù)式表示即可；
（3）由題可得為整數(shù)，然后結(jié)合條件及等差數(shù)列求和公式即得.
【詳解】（1）依題意：（），
由得，
所以
；
（2）① 當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，
；
②當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，
；
綜上：，()；
（3）由（2）知，當(dāng)時，
，，
因為是的整數(shù)倍，
所以為整數(shù)，
所以為奇數(shù)，由得，
所以滿足條件的的個數(shù)為，
所以集合中元素的個數(shù)為.
【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.
28．(1)
(2)證明見解析；
(3)不存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，分為偶數(shù)和為奇數(shù)時兩種情況討論求解即可；
（2）根據(jù)周期性，結(jié)合累加法分別證明充分性與必要性即可；
（3）由題知數(shù)列是周期為，再結(jié)合（2）的結(jié)論求解即可.
【詳解】（1）解：因為無窮數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且，，
所以，當(dāng)為偶數(shù)時，；
當(dāng)為奇數(shù)時，，
因為對一切正整數(shù)恒成立，
所以，當(dāng)為偶數(shù)時，，故只需即可；
當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，故只需即可；
綜上，對一切正整數(shù)恒成立，常數(shù)的取值范圍為
（2）證明：先證充分性：
因為是周期為的周期數(shù)列，，
所以，，即，
所以，即
所以，是周期為的周期數(shù)列，即充分性成立.
下面證明必要性：
因為是周期為的周期數(shù)列，
所以，即
所以，，即
所以，，即，
所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，
因為，即
所以，必要性成立.
綜上，“是周期為的周期數(shù)列”的充要條件是“是周期為的周期數(shù)列，且”
（3）解：假設(shè)存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列，
所以，由（2）知，數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且，
因為，
所以，，
所以數(shù)列是周期為，
所以，即，顯然方程無解，
所以，不存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問解題的關(guān)鍵在于根據(jù)遞推關(guān)系得數(shù)列是周期為，再結(jié)合和（2）中的充要條件，求解方程即可.
29．(1)點(diǎn)在的某條直線上，點(diǎn)不在的某條直線上；
(2)；
(3)的包絡(luò)方程為，的包絡(luò)方程為.
【分析】(1)分別把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線族的方程，然后判斷方程是否有實數(shù)解即可.
(2)由點(diǎn)不在的任意一條直線上，得到關(guān)于的方程在時無實數(shù)解，再用導(dǎo)數(shù)法求的最小值，令的最小值大于零即可求出的取值范圍.
(3)先求直線族中的取值范圍，從而猜測包絡(luò)線的方程，再用包絡(luò)線的切線方程進(jìn)行驗證，從而確定所求的方程為包絡(luò)線方程.
【詳解】（1）把點(diǎn)代入直線族的方程
得：，
因為，所以方程有實數(shù)根，
所以點(diǎn)在的某條直線上.
把點(diǎn)代入直線族的方程
得：，
因為，所以方程無實數(shù)根，
所以點(diǎn)不在的某條直線上.
（2）因為點(diǎn)不在的任意一條直線上，
所以方程在上無實數(shù)解，
即方程在上無實數(shù)解.
令，則，
因為為正實數(shù)，所以當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
解得，
所以的取值范圍為.
（3）由(2)的結(jié)論猜測的包絡(luò)是曲線.
，解，得.
在曲線上任取一點(diǎn)，
則過該點(diǎn)的切線方程是即.
而對任意的，的確為曲線的切線.
故的包絡(luò)是曲線.
將整理為關(guān)于的方程
，
若該方程無解，則，
整理得.
猜測的包絡(luò)是拋物線.
，解，得.
在拋物線上任取一點(diǎn)，
則過該點(diǎn)的切線方程是，
而對任意的，確為拋物線的切線.
故的包絡(luò)是拋物線.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：新文化題出題的特點(diǎn)，就是先給出一段材料，然后利用材料中的有用信息解決問題，這種題目的特點(diǎn)，就是要把要解決的問題轉(zhuǎn)化為材料中的公式或者概念，難度較大.
30．(1)
(2)能構(gòu)成等差數(shù)列，公差為或
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合準(zhǔn)線的定義和公式，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)焦半徑公式，以及重心坐標(biāo)公式，即可判斷是否為等差數(shù)列，再利用點(diǎn)差法求直線的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求焦半徑和的值，即可求公差.
【詳解】（1）由題意可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
且，得，即，
所以橢圓方程為，當(dāng)時，，
因為點(diǎn)在第一象限，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）設(shè)，，
由（1）可知，，，，
所以，，，
的重心為，則，即，
則，
所以能構(gòu)成等差數(shù)列，
如圖，延長，交于點(diǎn)，，即，
所以，，
，兩式相減得，
可得，即，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，得，
解得：或，
即，,
或，,
所以分別是或，公差為或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵理解準(zhǔn)線方程，利用焦半徑的定義和公式，轉(zhuǎn)化為直線于橢圓的位置關(guān)系，通過聯(lián)立方程，點(diǎn)差法，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題.
31．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，由題意有，從而得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲面的方程驗證即可.
（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，直線的方向向量為，由題意有，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲面的方程，進(jìn)而可求得的關(guān)系，可得，利用向量夾角公式求解即可得出答案.
【詳解】（1）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，而為直線的方向向量，則有，
從而存在實數(shù)，使得，即，
則，解得，即點(diǎn)，
顯然，
因此點(diǎn)的坐標(biāo)總是滿足曲面的方程，所以直線在曲面上.
（2）直線在曲面上，且過點(diǎn)，
設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，直線的方向向量為，則有，
從而存在實數(shù)，使得，即，
則，解得，即點(diǎn)，
由點(diǎn)在曲面上，得，
整理得，
依題意，對任意的實數(shù)有恒成立，
因此，且，解得，或，
不妨取，則，或，即，或，
又直線的方向向量為，
所以異面直線與所成角的余弦值均為.
32．(1)①；②；③
(2)
【分析】（1）類比平面內(nèi)直線的方程，寫出平面的方程，并進(jìn)行證明；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，類比橢圓，寫出方程，化簡后得到答案.
【詳解】（1）①，理由如下：
設(shè)平面上除任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，即，
又，
故過點(diǎn)，法向量為的平面的方程為；
②平面的一般方程為，理由如下：
由①可得，
變形為，令，
故平面的一般方程為；
③在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c的平面的截距式方程（）為，理由如下：
由②可得平面的一般方程為，
由于方程在x，y，z軸上存在截距，且截距不為0，故，
變形為，故，
令，
故在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c的平面的截距式方程（）為；
（2）以兩個定點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，
以線段的垂直平分線為軸，以與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，可得，，
所以，
移項得，
兩邊平方得，
即，
故，兩邊平方得，
，兩邊同除以得，
，
令，故曲面的方程為
33．(1)
(2)5
【分析】（1）由圖可知是的中位線，由此可得長為定值，因為點(diǎn)在的垂直平分線上，所以，根據(jù)橢圓定義求解析式即可；
（2）假設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，表示直線與直線的斜率，并找出兩斜率關(guān)系，最后表示出兩直線方程，分別與橢圓C聯(lián)立方程，利用弦長公式和韋達(dá)定理求出的值.
【詳解】（1）連接，易知且，
，又點(diǎn)在的垂直平分線上，
，
，滿足橢圓定義，
，
曲線的方程為.
（2）由（1）知橢圓方程為，
則離心率，
楄圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)為橢圓異于四個頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線斜率，
則，
又，
.
設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.
直線為，
由得，
設(shè)，則，
，
同理可得，
.
34．(1)①；②
(2)證明見解析
(3)
【分析】(1)根據(jù)切比雪夫距離定義寫出答案即可；
(2)設(shè)，，，根據(jù)切比雪夫距離定義結(jié)合三角不等式可證；
(3)根據(jù)切比雪夫距離定義求出動點(diǎn)的軌跡方程，從而根據(jù)動點(diǎn)P所在的曲線所圍成圖形的面積是36可求r的值.
【詳解】（1）①；②；
（2）設(shè)，，，
則
，
同理可得，，
所以；
故對任意三點(diǎn)A，B，C，都有.
（3）設(shè)軌跡上動點(diǎn)，則，
等價于或，
所以點(diǎn)的軌跡是以為中心，邊長為的正方形，
故點(diǎn)所在曲線所圍成的圖形的面積為，所以，
所以．
35．(1)；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求出長軸長即可作答.
（2）設(shè)，根據(jù)“共軛點(diǎn)對”的定義列出方程，化簡作答.
（3）求出的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，，利用點(diǎn)差法得，再求出點(diǎn)P到直線l距離的范圍即可推理作答.
【詳解】（1）依題意，橢圓的另一焦點(diǎn)為，
因此 ，
于是，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)“共軛點(diǎn)對”中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由（1）知，點(diǎn)在橢圓C：上，
依題意，直線l的方程為，整理得，
所以直線的方程為.
（3）由（2）知，直線：，由，解得或，則，，
設(shè)點(diǎn)，，則，兩式相減得，
又，于是，則，有，線段PQ被直線l平分，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，則四邊形的面積，
而，則有，
設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程為，則當(dāng)與C相切時，d取得最大值，
由消去y得，
令，解得，
當(dāng)時，此時方程為，即，解得，
則此時點(diǎn)P或點(diǎn)Q必有一個和點(diǎn)重合，不符合條件，從而直線與C不可能相切，
即d小于平行直線和（或）的距離，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)，，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法證明出線段PQ被直線l平分，再設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，求出直線與橢圓相切時的值，即可證明面積小于.
36．（1）見解析；
（2）
【分析】(1)由題意首先確定X可能的取值，然后利用古典概型計算公式求得相應(yīng)的概率值即可確定分布列；
(2)將原問題轉(zhuǎn)化為對立事件的問題求解的值，據(jù)此分類討論①.，②.，③.，④.四種情況確定滿足的所有可能的取值，然后求解相應(yīng)的概率值即可確定的值.
【詳解】（1）當(dāng)時，的所有可能取值是．
的概率分布為，
．
（2）設(shè)和是從中取出的兩個點(diǎn)．
因為，所以僅需考慮的情況．
①若，則，不存在的取法；
②若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時或，有2種取法；
③若，則，因為當(dāng)時，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時或，有2種取法；
④若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時或，有2種取法．
綜上，當(dāng)時，的所有可能取值是和，且
．
因此，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查計數(shù)原理、古典概型、隨機(jī)變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識，考查邏輯思維能力和推理論證能力．
37．(1)，，最大值為.
(2).
【分析】（1）由題意可知且，減少變量可得的信息熵關(guān)于的解析式，求導(dǎo)可得單調(diào)性，故而求出最大值；
（2）由可知數(shù)列從第二項起，是首項為，公比為2的等比數(shù)列，故而可求出（）的通項公式，再由可得的解析式.
【詳解】（1）當(dāng)時，,，
令，，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為.
（2）因為，（），
所以（），
故，
而，
于是，
整理得
令，
則，
兩式相減得
因此，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，根據(jù)等比數(shù)列定義寫出，進(jìn)而寫出的通項公式，應(yīng)用裂項相消及等比數(shù)列前n項和公式求化簡.
38．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用定義，結(jié)合二項分布的概率公式與對數(shù)的運(yùn)算法則即可得解；
（2）利用定義，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則得到關(guān)于的關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，從而得解；
（3）先利用導(dǎo)數(shù)證得恒不等式，從而結(jié)合定義即可得證.
【詳解】（1）不妨設(shè)，則.
所以
.
（2）當(dāng)時，，
記
，
則
，
令，則，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
所以，則單調(diào)遞增，而，
所以在為負(fù)數(shù)，在為正數(shù)，
則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以的最小值為.
（3）令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則當(dāng)時，，所以，即，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)對所有的時等號成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是充分理解新定義指標(biāo)，熟練掌握對數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.
39．(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式進(jìn)行計算即可；
（2）（i）根據(jù)題意即相關(guān)系數(shù)的公式進(jìn)行計算即可證明；（ii）只要能說出斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)與一般的樣本相關(guān)系數(shù)相比的優(yōu)勢即可.
【詳解】（1）由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)為
；
（2）（i）證明：因為和都是1，2，，的一個排列，所以
，
，
從而和的平均數(shù)都是．
因此，，
同理可得，
由于
，
所以.
（ii）這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是0.91，
答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫某種線性關(guān)系；
答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與具體的數(shù)值無關(guān)，只與排名有關(guān)．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關(guān)系，則可以采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫線性關(guān)系．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛；新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運(yùn)算，使問題得以解決.
40．(1)2.40
(2)①；②1
【分析】（1）充分理解題意，利用隨機(jī)變量的平均信息量定義解決本小題；
（2）由全概率和條件概率公式解決本小題.
【詳解】（1）設(shè)表示扔一非均勻股子點(diǎn)數(shù)，則
扔一次平均得到的信息量為
.
（2）①由全概率公式，得
②由題意，.
所以，
;
其中.
令
.
時時，,
.
41．(1)
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，直接進(jìn)行推理計算，分別求出……判斷出當(dāng)時，都有，即可求得；
（2）根據(jù)題意直接判斷，分類討論：當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，計算出.即可求解.
（3）先判斷出的放縮值是3的倍數(shù).設(shè)，分類討論：i.當(dāng)中有唯一最大數(shù)時和ii.當(dāng)中的最大數(shù)有兩個，分別求出.得到數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列.得到當(dāng)時,有,此時，符合題意.
【詳解】（1）由題意可知：當(dāng)時，
進(jìn)行第一次操作，得到(2,4,12)，所以；
進(jìn)行第二次操作，得到(3,5,10)，所以；
進(jìn)行第三次操作，得到(4,6,8)，所以；
進(jìn)行第四次操作，得到(5,7,6)，所以；
進(jìn)行第五次操作，得到(6,5,7)，所以；
進(jìn)行第六次操作，得到(7,6,5)，所以；
……
所以.
（2）i.當(dāng)時，所以，.
由操作規(guī)則可知，每次操作后，數(shù)組中的最大數(shù)變?yōu)樽钚?shù)，最小數(shù)和次小數(shù)分別變?yōu)榇涡?shù)和最大數(shù)，
所以數(shù)組的放縮值不會改變.
所以當(dāng)時，恒成立；
ii.當(dāng)時，，所以，或，
所以總有.不符合題意.
綜上所述：滿足的的取值只能是2.
故集合.
（3）因為是以4為公比的正整數(shù)等比數(shù)列中的三項,所以是形如 (其中)的數(shù).
因為，且，在一個集合中有唯一確定的數(shù)，所以互不相同.
又因為,
所以中每兩個數(shù)的差都是3的倍數(shù),所以的放縮值是3的倍數(shù).
設(shè)，
i.當(dāng)中有唯一最大數(shù)時,不妨設(shè)，則,所以
.
因為是3的倍數(shù),則也是3的倍數(shù)，
所以,則,,所以,
所以.
ii.當(dāng)中的最大數(shù)有兩個時,不妨設(shè).
則,所以
.
因為是3的倍數(shù),則也是3的倍數(shù)，
所以,則,,所以,
所以.
綜上知,當(dāng)時,數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列.
當(dāng)時,由上述分析可得,此時.
所以存在,滿足的放縮值.
42．(1)1
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）第一問直接根據(jù)新定義來即可.
（2）第二問結(jié)合新定義、帶余除法以及費(fèi)馬小定理即可得證.
（3）根據(jù)新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可得證.
【詳解】（1）若，又注意到，
所以.
（2）【方法一】：當(dāng)時，此時，此時，，
故，
此時.
當(dāng)時，因相異，故，
而，故互質(zhì).
記，
則，使得，
故，故，
設(shè)，則，
因為除以的余數(shù)兩兩相異，
且除以的余數(shù)兩兩相異，
故，故，
故，而其中，
故即.
法2：記，，，
其中，，k是整數(shù)，則，
可知．
因為1，a，，…，兩兩不同，
所以存在，使得，
即可以被p整除，于是可以被p整除，即．
若，則，，因此，．
記，，，其中l(wèi)是整數(shù)，
則，
即．
（3）【方法二】：當(dāng)時，由（2）可得，若，則也成立.
因為，所以.
另一方面，
.
由于，所以.
法2：由題設(shè)和（2）的法2的證明知：
，
．
故
．
由（2）法2的證明知，所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分理解新定義，然后結(jié)合帶余除法以及費(fèi)馬小定理等初等數(shù)論知識即可順利得解.
43．(1)，
(2)0
(3)證明見解析
【分析】（1）由，，求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣，進(jìn)而可求得的值；
（2）分情況討論，結(jié)合題意分析求解；
（3）分和兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．
【詳解】（1）因為，
經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，
經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，
所以.
（2）若，則，可得；
若，則，可得；
若，則，可得；
若其中一個為3，另外兩個屬于，則，
可得；
若，則，可得；
若，其中一個為3，另外一個屬于，
則，可得；
若，其中一個為3，另外一個屬于，
則，可得；
若，則，可得；
綜上所述：的所有可能取值的和為.
（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)椤ⅲ?br>含有且不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、?br>同時含有和的子集共個，經(jīng)過變換后第一行仍為、；
不含也不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行仍為、．
所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為
.
若，則的所有非空子集中，含有的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、?br>不含有的子集共個，經(jīng)過變換后第一行仍為、．
所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為．
同理，經(jīng)過變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為．
所以的所有可能取值的和為，
又因為、、、，所以的所有可能取值的和不超過．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：從定義知識的新情景問題入手這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，因此在解這類型題時就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義，再運(yùn)用新定義解決問題，然后得出結(jié)論,
44．(1)，
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）求出，，，，依題意可得，，即可得到方程組，解得即可；
（2）由（1）知，即證，令，即證時，記，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；
（3）分析可得，即或，先考慮，該不等式等價于，結(jié)合（2）的結(jié)論即可，再考慮，該不等式等價于，利用導(dǎo)數(shù)證明，，即可得到，，再分類討論即可判斷.
【詳解】（1）因為，所以，，
，則，，
由題意知，，，
所以，解得，.
（2）由（1）知，即證，
令，則且，
即證時，
記，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，即，即成立，
當(dāng)時，即，即成立，
綜上可得時，
所以成立，即成立.
（3）由題意知，欲使得不等式成立，
則至少有，即或，
首先考慮，該不等式等價于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范圍是，
再考慮，該不等式等價于，
記，，
則，所以當(dāng)時，時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，，
所以，，
當(dāng)時由，可知成立，
當(dāng)時由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范圍是，
綜上可得不等式的解集為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，首先確定或，分別求、對應(yīng)解集，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求、的解集，構(gòu)造中間函數(shù)研究不等式成立的x取值.
45．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)，驗證函數(shù)滿足羅爾中值定理的條件，根據(jù)羅爾中值定理完成證明；
（2）設(shè)，且，由羅爾中值定理可得至少有兩個解，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式求的取值范圍．
【詳解】（1）設(shè)，
則，
所以函數(shù)在上連續(xù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，
又，故，
所以由羅爾中值定理可得至少存在一個，使得，
所以，
所以方程在內(nèi)至少有一個實根，
（2）因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，
不妨設(shè)其零點(diǎn)為，則，，
由可得，
所以函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，
又，，
由羅爾中值定理可得至少存在一個，使得，
因為函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，
又，，
由羅爾中值定理可得至少存在一個，使得，
所以方程在上至少有兩個不等的實數(shù)根，
設(shè)，
則，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以方程在上至多有一個根，矛盾，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以方程在上至多有一個根，矛盾，
當(dāng)時，由，可得，，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，
又，
所以，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理可得，，
所以，，又，
所以，
所以的取值范圍．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
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