一、單選題
1．已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
2．函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．在三棱錐中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
8．若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象是中心對稱圖形
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．若方程有三個解，，則
D．若方程有四個解，則
10．若關(guān)于x的方程存在三個不等的實(shí)數(shù)根．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
12．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
13．已知任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值為（ ）
A．B．C．D．
14．?dāng)?shù)學(xué)家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想：是質(zhì)數(shù)．直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使不等式成立的正整數(shù)的最大值為（ ）
A．11B．10C．9D．8
15．保定的府河發(fā)源于保定市西郊，止于白洋淀藻雜淀，全長26公里．府河作為保定城區(qū)主要的河網(wǎng)水系，是城區(qū)內(nèi)主要的排瀝河道．府河橋其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，是我市的標(biāo)志性建筑之一，懸鏈線函數(shù)形式為，當(dāng)其中參數(shù)時，該函數(shù)就是雙曲余弦函數(shù)，類似的有雙曲正弦函數(shù)．若設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
16．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)．已知衛(wèi)星運(yùn)行軌道近似為以地球?yàn)閳A心的圓形，運(yùn)行周期與軌道半徑之間關(guān)系為（K為常數(shù)）．已知甲、乙兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的運(yùn)行軌道半徑為，分別是甲、乙兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道上的動點(diǎn)，則之間距離的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
17．秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍魯郡（今河南省范縣），出生于普州（今四川安岳縣）．南宋著名數(shù)學(xué)家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家.1247年秦九韶完成了著作《數(shù)書九章》，其中的大衍求一術(shù)（一次同余方程組問題的解法，也就是現(xiàn)在所稱的中國剩余定理）、三斜求積術(shù)和秦九韶算法（高次方程正根的數(shù)值求法）是有世界意義的重要貢獻(xiàn)．設(shè)的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，面積為，秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”公式為，若，，則由“三斜求積術(shù)”公式可得的面積為（ ）
A．B．C．D．1
18．在財(cái)務(wù)審計(jì)中，我們可以用“本?福特定律”來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否造假.本福特定律指出，在一組沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)（均為正實(shí)數(shù)）中，首位非零的數(shù)字是這九個事件不是等可能的.具體來說，隨機(jī)變量是一組沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則.則根據(jù)本?福特定律，首位非零數(shù)字是1與首位非零數(shù)字是8的概率之比約為（ ）（保留至整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.
A．4B．6C．7D．8
二、多選題
19．已知函數(shù)的圖象與直線有三個交點(diǎn)，記三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．存在實(shí)數(shù)，使得
B．
C．
D．為定值
三、填空題
20．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在上，，且的面積為1，則的準(zhǔn)線方程為 ．
21．在平行六面體中，為的中點(diǎn)，過的平面分別與棱交于點(diǎn)，且，則 （用表示）．
22．已知正方體的棱長為2，M為棱的中點(diǎn)，N為底面正方形ABCD上一動點(diǎn)，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點(diǎn)N的軌跡的長度為 ．
23．已知正方體的棱長為4，點(diǎn)P在該正方體的表面上運(yùn)動，且，則點(diǎn)P的軌跡長度是 ．
24．在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，過、、的平面把正方體截成兩部分體積分別為，則 .
25．北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點(diǎn)有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結(jié)論：
①正方體在每個頂點(diǎn)的曲率均為；
②任意四棱錐的總曲率均為；
③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù).
其中，所有正確的結(jié)論是 （填寫序號）.
參考答案：
1．C
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，
因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，
因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以?br>在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因?yàn)?，所以?br>即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
2．C
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點(diǎn)，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
所以由圖可知，與的交點(diǎn)個數(shù)為.
故選：C.
3．D
【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】因?yàn)?所以,
即,即,所以.
如圖,設(shè),
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
4．A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時，設(shè)，
則：
，
，則
當(dāng)時，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
5．D
【分析】先由點(diǎn)到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.
【詳解】如圖，

因?yàn)椋环猎O(shè)漸近線方程為，即，
所以，
所以.
設(shè),則，所以，所以.
因?yàn)?所以，所以，所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為
故選：D
6．B
【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.
【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平?
又因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面，?
在中，因?yàn)?，所以，所以?br>在中，因?yàn)椋裕?br>所以.
故選：B
7．B
【分析】
由可得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個極值點(diǎn)，
所以在上有兩個變號零點(diǎn)，
因?yàn)?，令，即，可得?br>令，則，
令，得，令，得，
所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因?yàn)椋?，，如下圖所示：
當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點(diǎn)，
設(shè)兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，
由圖可知，當(dāng)或時，，此時，，
當(dāng)時，，此時，，
所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，
此時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，合乎題意.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
8．D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象性質(zhì)，再將問題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)的分布情況，從而列式即可得解.
【詳解】令，得，即，
記，則，
對求導(dǎo)得，
因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則函數(shù)的大致圖象如圖，
記，由于有三個不同的零點(diǎn)，
所以必有兩個不同的零點(diǎn)，記為，
當(dāng)時，有，即，無解；
當(dāng)時，有，即，無解；
當(dāng)時，有，即，解得；
綜上，的取值范圍為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的零點(diǎn)的分布情況，數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于的不等式組，從而得解.
9．D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷B；求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，得到的圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷A；并可求出，的值，進(jìn)而判斷C；借助圖象可求出的取值范圍，進(jìn)而判斷D.
【詳解】對于B，當(dāng)時，，
，
因?yàn)?，所以，?br>所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；
當(dāng)時，，
，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；
因?yàn)?，所以?br>所以的對稱軸為，
又，
，
故圖象如下：
對于A，由圖象可知，不是中心對稱圖形，故A錯誤；
對于C，若方程有三個解，則，故
又，解得，所以，
所以，故C錯誤；
對于D，由圖象可知若方程有四個解，則，解得，
故D正確.
故選：D
10．D
【分析】不是方程的根，當(dāng)時，變形為，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.
【詳解】當(dāng)時，，，兩者不等式，故不是方程的根，
當(dāng)時，，
令，則，
當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
畫出的圖象如下：

令，，
則，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
畫出，的函數(shù)圖象，如下：

令，，則，
由于在上恒成立，
故當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
其中，
從的函數(shù)圖象，可以看出當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
畫出函數(shù)圖象如下，

要想有三個不同的根，則.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題或函數(shù)零點(diǎn)，一般有三個方法，
一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.
二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，
三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.
11．A
【分析】將不等式變?yōu)椋瑢栴}轉(zhuǎn)化為圖象在下方的部分恰有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的圖象，由此可確定，進(jìn)而得到參數(shù)范圍.
【詳解】由題意知：定義域?yàn)?，則由得：；
設(shè)，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又，可得圖象如下圖所示：
如圖所示：，，，，
將解集中恰有兩個整數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象在下方的部分恰有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，
恒過點(diǎn)，
當(dāng)時，圖象在下方的部分恰有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，
又，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)不等式整數(shù)解的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線與曲線位置關(guān)系的判斷問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定曲線的圖象后，采用數(shù)形結(jié)合的方式，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)確定臨界點(diǎn)，進(jìn)而確定參數(shù)范圍.
12．A
【分析】即轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象下方的部分恰有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn).求出函數(shù)單調(diào)性，畫出函數(shù)的大致圖象，數(shù)形結(jié)合分析即得解.
【詳解】解：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>從而等價于，
即轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象下方的部分恰有兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn).
因?yàn)?，所?
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
畫出函數(shù)的大致圖象，
如圖所示.，，，
由圖可知，即.
故選：A
13．B
【分析】由關(guān)于的不等式恒成立，可知當(dāng)時，函數(shù)的圖像在直線下方，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)的圖像，利用圖像求解即可
【詳解】解：令（），由題意知當(dāng)時，函數(shù)的圖像在直線下方，
由，得，
當(dāng)變化時，，的變化如下表
所以的大致圖像如圖所示
當(dāng)時，由圖像知不成立，
當(dāng)時，因?yàn)?，所以?dāng)時不成立；
當(dāng)時，設(shè)直線與的圖像相切于點(diǎn)，則
，得，解得，
所以，
所以當(dāng)時，函數(shù)的圖像在直線下方，
所以當(dāng)時，，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是把不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，函數(shù)的圖像在直線下方，然后利用函數(shù)圖像求解，屬于中檔題
14．B
【分析】結(jié)合已知條件求出的通項(xiàng)公式，并求出，然后利用裂項(xiàng)相消法即可求解.
【詳解】依題意，，，
則，
則
，即，而，解得，
所以滿足條件的正整數(shù)的最大值為.
故選：B
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．
15．A
【分析】根據(jù)題意，寫出函數(shù)解析式，由奇偶性和單調(diào)性，解不等式即可.
【詳解】由題意，，
函數(shù)定義域?yàn)镽，為增函數(shù)，
由，則函數(shù)為奇函數(shù)，
由，即
所以，解得，
所以x的取值范圍為.
故選：A
16．B
【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到，再根據(jù)圖形，利用，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，設(shè)衛(wèi)星乙的運(yùn)行軌道半徑為，因?yàn)?，且，所以?br>設(shè)地球的球心為，則，當(dāng)且僅當(dāng)與共線且位于兩側(cè)時取得等號，
故選：B．
17．B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理和余弦定理，求得，，結(jié)合“三斜求積術(shù)”的公式，代入即可求解.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以?br>又因?yàn)?，由余弦定理得?br>可得，
所以.
故選：B．
18．B
【分析】根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)運(yùn)算即可得.
【詳解】由題意可得.
故選：B.
19．BCD
【分析】化簡方程，令，得，構(gòu)造，則，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使關(guān)于x的方程三個不相等的實(shí)數(shù)解，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實(shí)根， ，結(jié)合韋達(dá)定理，推出所求表達(dá)式的關(guān)系式，然后對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案．
【詳解】由方程，可得．
令，則有，即．
令函數(shù)，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，作出圖象如圖所示，
要使關(guān)于的方程有三個不相等的實(shí)數(shù)解，且，
結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實(shí)根，，
且，或，，
令，若，，
則故．
若，，則，無解，
綜上：，故C正確；
由圖結(jié)合單調(diào)性可知，故B正確；
若，則，又，故A不正確；，
故D正確，
故選：BCD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象將，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的函數(shù)即可求解.
20．
【分析】
根據(jù)拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系確定出的大小，然后根據(jù)的面積列出關(guān)于的方程，由此求解出的值，則準(zhǔn)線方程可知.
【詳解】
解法一 由題知的準(zhǔn)線過點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義可知，則由可知，
所以在中，，得，
由的面積為1，得，則，則，
所以，得，所以的準(zhǔn)線方程為，
故答案為：；
解法二 由題知的準(zhǔn)線過點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義可知，由可知，
所以在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，（另解：也可以通過證明得到）
則為等腰直角三角形，所以，
又的面積為1，所以的面積為2，
則，得，所以的準(zhǔn)線方程為，
故答案為：.
21．
【分析】由題意設(shè)分別為的中點(diǎn)，容易證明四邊形是平行四邊形，即平面為符合題意的平面，進(jìn)而分解向量即可求解.
【詳解】如圖所示：

由題意不妨設(shè)分別為的中點(diǎn)，容易證明四邊形是平行四邊形，
即平面為符合題意的平面，因此，
又因?yàn)?，，，且，?br>所以.
故答案為：.
22．
【分析】利用線面角求法得出N的軌跡為正方形內(nèi)一部分圓弧，求其圓心角計(jì)算弧長即可.
【詳解】如圖所示，取BC中點(diǎn)G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，

故MN與底面ABCD的夾角即，
∴，則，
故N點(diǎn)在以G為原點(diǎn)為半徑的圓上，又N在底面正方形ABCD上，
即N的軌跡為圖示中的圓弧，
易知，
所以長為.
故答案為：.
23．
【分析】由已知可判斷點(diǎn)可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi).先求解當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時，可推得點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與正方形邊界及其內(nèi)部的交線.然后根據(jù)扇形的弧長公式，即可得出當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時，點(diǎn)P的軌跡長度是，進(jìn)而得出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi).
當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時，
由平面，平面，可知，
所以，所以，
所以點(diǎn)到的距離為，
所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與正方形邊界及其內(nèi)部的交線.
如上圖，，，
則的長，
所以，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時，點(diǎn)P的軌跡長度是.
同理可得，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時，點(diǎn)P的軌跡長度也是.
當(dāng)點(diǎn)在平面時，點(diǎn)P的軌跡長度也是.
綜上所述，點(diǎn)P的軌跡長度為.
故答案為：.
24．
【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)畫出過的截面，再利用柱體、錐體的體積公式求，即可得結(jié)果.
【詳解】延長交的延長線與點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接：
延長交的延長線與點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接：
所以過、、的截面為，如下圖所示：
設(shè)正方體的棱長為，由， 分別是棱、的中點(diǎn)，
所以，
所以，，
則過、、的截面下方幾何體的體積為，
所以另一部分體積為，則.
故答案為：.
25．①②③
【分析】根據(jù)曲率的定義逐個對題中三個結(jié)論進(jìn)行計(jì)算并判斷.
【詳解】對于①，根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；
對于②，由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個頂點(diǎn)，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；
對于③，設(shè)每個面記為邊形，
則所有的面角和為，
根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.
故填：①②③
1
0

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