2024汕尾高二下學期7月期末考試數學含解析-試卷下載-教習網

注意事項：
1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準確，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處.
2．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.
3．答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結束后，請將本試題及答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知，則的虛部為（）
A. 1B. 2C. D. 0
2. 已知是三角形一內角，若，則（）
A. B. C. D.
3. 集合，，是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 設α是空間中一個平面，是三條不同的直線，則（）
A 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D 若，則
5. 在的展開式中，的系數是（）
A. B. C. 60D. 80
6. 某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調研考試．經過數據分析，數學成績X近似服從正態(tài)分布，則數學成績位于[80，88]的人數約為（）
參考數據：，，．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
7. 某校高二年級開展課外實踐活動，數學建模課題組的學生選擇測量鳳山媽祖石像的高度．如圖，為測量石像的高度，在距離平臺米高的處測得石像頂的仰角為；后退18米到達距離平臺米高的處測得石像頂的仰角為，則石像的高度為（）米．

A. B.
C. D.
8. 是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分；共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 函數的圖象在點處的切線平行于直線，則點的坐標可以為（）
A. B. C. D.
10. ，若在上的投影向量為，則（）
A. B.
C. D.
11. 端午節(jié)期間，某城市舉行龍舟比賽，龍舟比賽途經橋、橋、橋、橋及橋，活動期間在5座橋邊各設置1個志愿者服務點．現有5名志愿者參加其中三座橋一橋、橋及橋的服務，要求這三個服務點都有人參加，記事件A為“甲在橋服務點”，事件為“乙和丙分到一起”，則（）
A. 事件A與事件相互獨立B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知是等比數列，若，則______．
13. 已知雙曲線的對稱中心是原點，對稱軸是坐標軸，若軸上一點到雙曲線的漸近線距離為，則的離心率為______．
14. 若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知數列是公差為2的等差數列，且滿足，，成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）已知數列的前項和為，求使不等式成立的的最小值．
16. 已知動點P到直線的距離比到點距離多2個單位長度，設動點P的軌跡為E．
（1）求E方程；
（2）已知過點的直線l交E于A，B兩點，且（O為坐標原點）的面積為32，求l的方程．
17. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點．
（1）證明：平面．
（2）若平面與平面的夾角為，求的長．
18. 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位：克)，質量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
（1）根據頻率分布直方圖，求質量超過505克的產品數量；
（2）在上述抽取40件產品中任取2件，設X為質量超過505克的產品數量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過505克的產品數量，求Y的分布列．
19. 已知函數（為正實數）.
（1）討論函數極值點的個數；
（2）若有兩個不同的極值點.
（i）證明：；
（ii）設恰有三個不同的零點.若，且，證明：.
汕尾市2023—2024學年度第二學期高中二年級教學質量監(jiān)測
數學
本試題共4頁，考試時間120分鐘，滿分150分
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準確，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處.
2．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.
3．答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結束后，請將本試題及答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知，則的虛部為（）
A. 1B. 2C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根據復數的除法運算求出，即可得解.
【詳解】根據題意，，
所以的虛部為0.
故選：D
2. 已知是三角形一內角，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據題意判斷的范圍，再利用同角三角函數的關系求解即可.
【詳解】因為是三角形一內角，，
所以，
由，得，，
因為，所以，
解得或（舍去）.
故選：A
3. 集合，，是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據對數函數的性質化簡集合，根據冪函數的性質化簡集合，再判斷兩集合的關系，即可判斷.
【詳解】因為，
，
所以真包含于，所以是的充分不必要條件.
故選：A
4. 設α是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】選項A和D，通過舉出例子判斷正誤；選項B，由線面垂直的判定定理得結果正確；選項C，利用線面垂直的性質，可得，從而判斷出結果的正誤.
【詳解】對于選項A，如圖1，當，滿足時，與可以斜交，故選項A錯誤，
對于選項B，因為，所以，因為，則由線面垂直的判定定理得，故選項B正確，
對于選項C，因為，所以，因為，所以，故選項C錯誤，
對于選項D，若，則與可以相交、平行或異面，如圖2，滿足，而與異面，故選項D錯誤，
故選：B.
5. 在的展開式中，的系數是（）
A. B. C. 60D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根據二項展開式的通項公式求解.
【詳解】由，
令，解得，
所以，
故選：C
6. 某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調研考試．經過數據分析，數學成績X近似服從正態(tài)分布，則數學成績位于[80，88]的人數約為（）
參考數據：，，．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
【答案】B
【解析】
【分析】根據題設條件結合對稱性得出數學成績位于[80，88]的人數.
【詳解】由題意可知，，
則數學成績位于[80，88]的人數約為.
故選：B
7. 某校高二年級開展課外實踐活動，數學建模課題組的學生選擇測量鳳山媽祖石像的高度．如圖，為測量石像的高度，在距離平臺米高的處測得石像頂的仰角為；后退18米到達距離平臺米高的處測得石像頂的仰角為，則石像的高度為（）米．

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依題意可得，再由銳角三角函數計算可得.
【詳解】依題意，，，，
所以，所以，
則，
所以，即石像的高度為米.
故選：A
8. 是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據給定條件，結合切線長定理列出四邊形面積的函數關系，再借助幾何意義求出最小值.
【詳解】圓的圓心，半徑，
點到直線的距離，顯然，
由于切圓于點，則，
四邊形的面積，
當且僅當直線垂直于直線時取等號，
所以四邊形面積的最小值為.
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分；共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 函數的圖象在點處的切線平行于直線，則點的坐標可以為（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】求函數的導數，令導數等于4解方程，求得點的橫坐標，進而求得點的坐標.
【詳解】依題意，令，解得
，
故點的坐標為和，
故選：AC
10. ，若在上的投影向量為，則（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由投影向量的定義計算可判斷A，根據共線向量的線性表示判斷B，根據垂直的坐標表示判斷C，根據向量模的坐標表示判斷D.
【詳解】因為在上的投影向量為，
所以，解得，故A正確；
由，可知，故B錯誤；
因為，所以，故C錯誤；
因為，所以，故D正確.
故選：AD
11. 端午節(jié)期間，某城市舉行龍舟比賽，龍舟比賽途經橋、橋、橋、橋及橋，活動期間在5座橋邊各設置1個志愿者服務點．現有5名志愿者參加其中三座橋一橋、橋及橋的服務，要求這三個服務點都有人參加，記事件A為“甲在橋服務點”，事件為“乙和丙分到一起”，則（）
A. 事件A與事件相互獨立B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】B選項，分和兩種情況，求出5名志愿者參加其中三座橋的情況數，再得到甲在橋服務點的情況數，得到概率；C選項，求出乙和丙分到一起的情況數，得到概率；A選項，求出事件包含的情況數，得到，根據得到A正確；D選項，根據求出條件概率.
【詳解】B選項，5名志愿者參加其中三座橋，橋、橋及橋的服務，
要求這三個服務點都有人參加，可以分為和，
其中分為時，共有種情況，
其中分為時，共有種情況，
故共有種，
其中甲獨自在橋服務點，此時剩余4名志愿者可以分為和，
當剩余4名志愿者分為時，有種情況，
當剩余4名志愿者分為時，有種情況，
當甲和另外一個人在橋服務點，從剩余4名志愿者先選1人，剩余3人，分為兩組，故有種情況，
當甲和另外2人在橋服務點，從剩余4名志愿者先選2人，剩余2人，分為兩組，故有種情況，
故，
所以，B正確；
C選項，乙和丙分到一起，當5名志愿者分為時，有種情況，
當5名志愿者分為時，先從剩余3名志愿者選擇1人和乙，丙一起，再將剩余2人進行全排列，有種情況，
故，C錯誤；
A選項，表示甲在橋服務點，乙和丙分到一起，
若甲單獨在橋服務點，乙和丙分到一起，且5名志愿者分為，則有種情況，
若甲單獨在橋服務點，乙和丙分到一起，且5名志愿者分為，從剩余2人中選擇1人和乙，丙一起，有種情況，
若甲和另外一個人在橋服務點，先從除了乙，丙外的剩余2名志愿者選1人，再進行排列，則有種情況，
當甲和另外2人在橋服務點，則一定是和乙，丙一起，剩余2人進行全排列，共有種情況，
綜上，，，
因為，故事件A與事件相互獨立，A正確；
D選項，，D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知是等比數列，若，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】根據等比數列的通項公式求解即可.
【詳解】由等比數列的通項公式可知，，即，
所以，
故答案為：2
13. 已知雙曲線的對稱中心是原點，對稱軸是坐標軸，若軸上一點到雙曲線的漸近線距離為，則的離心率為______．
【答案】或
【解析】
【分析】分焦點在軸、軸兩種情況討論，分別表示出漸近線，利用點到直線的距離得到、的關系，即可求出離心率.
【詳解】①若焦點在軸上，設雙曲線方程為，則漸近線方程為，
即，則點到雙曲線的漸近線距離，
所以，所以，則，所以離心率；
②若焦點在軸上，設雙曲線方程為，則漸近線方程為，
即，則點到雙曲線的漸近線距離，
所以，所以離心率；
綜上可得雙曲線的離心率為或.
故答案為：或
14. 若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】將函數零點轉化為的交點問題.
【詳解】由函數有兩個零點，
即方程有兩個解，即有兩個解，
令，函數為過點的直線，
若，則直線與曲線只有一個交點，不符合題意，
所以，先求過點曲線的切線，設切點為，
由，則，切線方程為，
將點代入方程，，得，
因為，而在上單調遞增，
在上單調遞減，所以方程只有一解，為，
故過點曲線的切線斜率為，
若直線與曲線有兩個交點，則，
此時函數有兩個零點
故答案為：.
【點睛】
方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知數列是公差為2的等差數列，且滿足，，成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）已知數列的前項和為，求使不等式成立的的最小值．
【答案】（1）；
（2）11.
【解析】
【分析】（1）根據給定條件，列式求出數列的首項即可求出通項.
（2）求出數列的前項和，再列式解不等式即得.
【小問1詳解】
等差數列的公差為2，由，，成等比數列，得，解得，
所以數列的通項公式是.
【小問2詳解】
由（1）知，，由，得，
即，而，解得，又，所以.
16. 已知動點P到直線的距離比到點距離多2個單位長度，設動點P的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）已知過點的直線l交E于A，B兩點，且（O為坐標原點）的面積為32，求l的方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根據拋物線的定義求解即可；
（2）設直線l的方程為，聯立拋物線方程消去x，然后利用韋達定理結合面積即可求解.
【小問1詳解】
因為動點P到直線的距離比到點距離多2個單位長度，
所以動點P到直線的距離和到點距離相等，
故曲線E是以為焦點，直線為準線的拋物線，
所以曲線E的方程為．
【小問2詳解】
設，
易知直線l的斜率不為0，故可設直線l的方程為，
聯立，消去x得，，
所以，
，
解得，
所以直線l方程為或．
17. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點．
（1）證明：平面．
（2）若平面與平面的夾角為，求的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明，再由線面平行的判定定理得證；
（2）由PA，AD，AB兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面夾角即可得解.
【小問1詳解】
連接BD交AC于點O，連接OE，如圖，
因為O為BD的中點，E為PD的中點，
所以．
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC．
【小問2詳解】
因為平面ABCD，AD，平面ABCD，
所以，．
又，所以PA，AD，AB兩兩互相垂直，
故以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系如圖所示，
設，則，，，，,
所以，．
顯然為平面DAE的一個法向量．
設平面ACE的一個法向量為，
則即
令，得，
因為平面DAE與平面AEC的夾角為，
所以，
解得或（舍去），即·
18. 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位：克)，質量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
（1）根據頻率分布直方圖，求質量超過505克的產品數量；
（2）在上述抽取的40件產品中任取2件，設X為質量超過505克的產品數量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過505克的產品數量，求Y的分布列．
【答案】（1）12件；（2）答案見解析；（3）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）結合頻率分布直方圖求解(1)；
（2）結合超幾何分布及古典概型求X的分布列；
（3）先分析Y服從二項分布，再利用公式求解．
【詳解】（1）質量超過505克產品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3
所以質量超過505克的產品數量為40×0.3＝12(件)．
（2）重量超過505克的產品數量為12件，則重量未超過505克的產品數量為28件
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列為
（3）根據樣本估計總體的思想，取一件產品，該產品的質量超過505克的概率為＝.
從流水線上任取2件產品互不影響，該問題可看成2次獨立重復試驗，質量超過505克的件數Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝.
∴Y的分布列為
19. 已知函數（為正實數）.
（1）討論函數極值點的個數；
（2）若有兩個不同的極值點.
（i）證明：；
（ii）設恰有三個不同的零點.若，且，證明：.
【答案】（1）答案見解析
（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導后利用導數等于零再結合二次函數的性質判斷極值點情況即可；
（2）（i）由（1）和對數的運算性質得到，可證明；（ii）由（1）和（i）可得，問題轉化為即證，再對已知等式變形為，問題進一步轉化為即證，然后構造函數求導，再對導數的分子構造函數求導分析單調性即可證明.
【小問1詳解】
，
設，
因為開口向下，，
所以當時，恒成立，即，
所以在上單調遞減，無極值點；
當時，令，解得，且，
所以在上單調遞增；在和上單調遞減；此時有兩個極值點，
綜上，當時，無極值點；
當時，有兩個極值點.
小問2詳解】
（i）證明：由題意及（1）可知，且，
又因為，
所以.
（ii）證明：由（1）知，，，
由及（i）知，
所以.
若證，即證，
不妨設，則，
由得，
要證，只需證，
再兩邊去對數得，
即，
即證，
令，則，
再令，則，
所以在內單調遞減，
又，則在單調遞減，
由得，且，
所以，即，
綜上，.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問第二小問關鍵在于利用前兩問的結論得到，再利用對數的運算把問題轉化為即證，然后構造函數求導分析單調性即可.
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P

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