說明：本卷滿分150分.考試用時120分鐘.
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 過和兩點直線的斜率是（ ）
A. 1B. C. D.
2. 用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則（ ）
A. 11B. 13C. 63D. 78
3. 若圓被直線平分，則（ ）
A. B. 1C. D. 2
4. 函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，以下命題正確的是（ ）
A. 在處的切線的斜率大于0B. 是函數(shù)的極值
C. 在區(qū)間上不單調(diào)D. 是函數(shù)的最小值
5. 某學校對本校學生的課外閱讀進行抽樣調(diào)查，抽取25名女生，25名男生調(diào)查，結(jié)果形成以下列聯(lián)表，通過數(shù)據(jù)分析，認為喜歡課外閱讀與學生性別之間（ ）
參考數(shù)據(jù)及公式如下：
A. 不能根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關
B. 根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關
C. 根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關
D. 根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者無關
6. 學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學每人從中選一種或兩種，且兩人之間不會互相影響，則不同的選法種數(shù)為（ ）
A. 20B. 25C. 225D. 450
7. 如圖，在三棱錐中，為的中點，為的中點，則線段的長度為（ ）
A. B. C. D.
8. 定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前24項和為（ ）
A. B. 3C. D. 6
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，若，則（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知甲口袋中裝有3個紅球，1個白球，乙口袋中裝有2個紅球，1個白球，這些球只有顏色不同. 先從甲口袋中隨機取出1個球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機取出1個球. 記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件、，從乙口袋中取出的球是紅球為事件B，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如圖，在棱長為2正方體中，點P是線段上的點，點E是線段上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A. 存在點E，使得平面
B. 當點E為線段的中點時，點到平面的距離為2
C. 點E到直線的距離的最小值為
D. 當點E為棱的中點，存在點，使得平面與平面所成角為
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分.
12. 展開式中項的系數(shù)為________.
13. 已知，若為奇函數(shù)，則______.
14. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，若，，則C的離心率為______．
四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 記等差數(shù)列的前項和為，已知，且．
（1）求和；
（2）設，求數(shù)列前項和．
16. 四棱錐中，平面，底面是正方形，，點是棱上一點．
（1）求證: 平面平面；
（2）當為中點時， 求二面角的正弦值．
17. 已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓W：的左、右焦點，M為橢圓W上的一點．
（1）若點M的坐標為（1，m）（m>0），求△F1MF2的面積；
（2）若點M的坐標為（x0，y0），且∠F1MF2是鈍角，求橫坐標x0的范圍．
18. 學校師生參與創(chuàng)城志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.
（1）求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；
（2）記參加活動的女生人數(shù)為，求的分布列及期望；
（3）若志愿活動共有衛(wèi)生清潔員?交通文明監(jiān)督員?科普宣傳員三項可供選擇.每名女生至多從中選擇2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為.每人每參加1項活動可獲得3個工時，記隨機選取的兩人所得工時之和為，求的期望.
19 已知函數(shù).
（1）若曲線在處的切線為x軸，求a的值；
（2）在（1）條件下，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3），若是的極大值點，求a的取值范圍.喜歡課外閱讀
不喜歡課外閱讀
合計
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合計
20
30
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10828
湛江市2023—2024學年度第二學期期末調(diào)研考試
高二數(shù)學
說明：本卷滿分150分.考試用時120分鐘.
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 過和兩點的直線的斜率是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由斜率公式可得.
【詳解】根據(jù)斜率公式求得所給直線的斜率.
故選：A
2. 用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則（ ）
A. 11B. 13C. 63D. 78
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線性回歸方程為一定過點，先求出，代入回歸方程即可得出，進而可得的值.
【詳解】依題意，
因為，所以，
因線性回歸方程為一定過點，
所以，
所以.
故選：D.
3. 若圓被直線平分，則（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由題設，將圓心坐標代入直線方程即可求解.
【詳解】由題意得圓心在直線上，
則，解得.
故選：D.
4. 函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，以下命題正確的是（ ）
A. 在處的切線的斜率大于0B. 是函數(shù)的極值
C. 在區(qū)間上不單調(diào)D. 是函數(shù)的最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)的圖像分析的單調(diào)性和最值，即可判斷BCD；對于A：根據(jù)導數(shù)的幾何意義分析判斷.
【詳解】由圖象可知：當時，；當時，（當且僅當時，等號成立）；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則為的最小值（也為極小值），無最大值，故BCD錯誤；
對于A：可知，即在處的切線的斜率大于0，故A正確；
故選：A.
5. 某學校對本校學生的課外閱讀進行抽樣調(diào)查，抽取25名女生，25名男生調(diào)查，結(jié)果形成以下列聯(lián)表，通過數(shù)據(jù)分析，認為喜歡課外閱讀與學生性別之間（ ）
參考數(shù)據(jù)及公式如下：
A. 不能根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關
B. 根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關
C. 根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關
D. 根據(jù)小概率的獨立性檢驗認為兩者無關
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，求出的觀測值，再與臨界值比對即得.
【詳解】由數(shù)表知，，而，
所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為兩者有關．
故選：B
6. 學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學每人從中選一種或兩種，且兩人之間不會互相影響，則不同的選法種數(shù)為（ ）
A. 20B. 25C. 225D. 450
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.
【詳解】甲和乙的選擇方法分別有種方法，
所以甲和乙不同的選擇方法有種.
故選：C
7. 如圖，在三棱錐中，為的中點，為的中點，則線段的長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到，再平方求解.
【詳解】解：由題意得，
故，
，
則.
故選：C.
8. 定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前24項和為（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先由等方差數(shù)列的定義得到是公差為2的等差數(shù)列并求出，進而求出，再利用裂項相消法求和即得.
【詳解】依題意，，即是公差為2的等差數(shù)列，而，
于是，即，
則，
所以數(shù)列的前24項和為：.
故選：D
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用題設等式進行等比數(shù)列的基本量運算，求得，代入公式即可一一判斷.
【詳解】依題，，解得故A錯誤，B正確；
則，，故C錯誤，D正確.
故選：BD.
10. 已知甲口袋中裝有3個紅球，1個白球，乙口袋中裝有2個紅球，1個白球，這些球只有顏色不同. 先從甲口袋中隨機取出1個球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機取出1個球. 記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件、，從乙口袋中取出的球是紅球為事件B，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接使用古典概型方法可以計算得出，，，，即可判斷A選項，再結(jié)合條件概率公式和全概率公式即可確定B，C，D選項的正確性.
【詳解】對于A，由于甲口袋中裝有4個球，其中有3個紅球，所以，故A正確；
對于B，若從甲口袋中取出的球是白球，則此時乙口袋中有2個紅球，2個白球，從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為，故B錯誤；
對于C，若從甲口袋中取出的球是紅球，則此時乙口袋中有3個紅球，1個白球，從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為，所以，故C正確；
對于D，由于甲口袋中裝有4個球，其中有1個白球，所以，結(jié)合以上分析，
所以，故D正確.
故選：ACD
11. 如圖，在棱長為2的正方體中，點P是線段上的點，點E是線段上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A. 存在點E，使得平面
B. 當點E為線段的中點時，點到平面的距離為2
C. 點E到直線的距離的最小值為
D. 當點E為棱的中點，存在點，使得平面與平面所成角為
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根據(jù)點面距離，以及點線距離，求解BC，利用兩平面的法向量的夾角即可求解D.
【詳解】對A選項，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建系如圖：
則根據(jù)題意可得,0,,,0,,,0,,,2,,，
設,2,，
所以，，，
假設存在點，使得平面，
則，，
解得，
所以存在點，使得平面，此時點與點重合，故A正確；
對于B，點E為線段的中點時，,,,
設平面的法向量為，則，取，則，
,故點到平面的距離為，故B正確，
對C選項,,2,，,
點到直線的距離為，
故當時，即點為中點時，此時點到直線的距離的最小值為，故C錯誤；
對D選項，點E為線段的中點時，,,,
設平面的法向量為，則，取，則，
設,,,
設平面的法向量為，則，取，則，
若存在點，使得平面與平面所成角為，
則，化簡得，解得或，由于，所以，故D正確，
故選：ABD．
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分.
12. 展開式中項的系數(shù)為________.
【答案】30
【解析】
【分析】利用二項式展開式的通項公式，即可求出指定項的系數(shù).
【詳解】展開式的通項表達式為，
當時，，
.
故答案為:30.
13. 已知，若為奇函數(shù)，則______.
【答案】0
【解析】
【分析】求導后利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，代入計算再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】，
因為為奇函數(shù)，
所以，即，
化簡可得，
因為，
所以.
故答案為：0.
14. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，若，，則C的離心率為______．
【答案】
【解析】
【分析】引入?yún)?shù)，結(jié)合雙曲線定義、正弦定理表示出，，，，，在中由余弦定理可得，在中，運用余弦定理可得出，結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】
在中，設，由正弦定理得，則，
所以由雙曲線的定義可知，，
故，
在中，，解得，
所以在中，，，，
又，解得，
所以離心率．
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于適當引入?yún)?shù)，結(jié)合已知得出參數(shù)與的關系，進而結(jié)合離心率公式即可得解.
四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 記等差數(shù)列的前項和為，已知，且．
（1）求和；
（2）設，求數(shù)列前項和．
【答案】（1）；；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項公式和前項和；
（2）利用裂項相消法求和.
【小問1詳解】
設的公差為，因為，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
【小問2詳解】
，
所以
．
16. 四棱錐中，平面，底面是正方形，，點是棱上一點．
（1）求證: 平面平面；
（2）當為中點時， 求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得到，又由線面垂直的性質(zhì)得到，即可得到平面，從而得證；
（2）建立空間直角坐標，利用空間向量法計算可得.
【小問1詳解】
底面是正方形，，
平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面．
【小問2詳解】
如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，
所以，，，
設平面的法向量為，則，取，
設平面的法向量為，則，取，
設二面角為，由圖可知二面角為銳二面角，
所以，
所以，即二面角的正弦值為.
17. 已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓W：的左、右焦點，M為橢圓W上的一點．
（1）若點M的坐標為（1，m）（m>0），求△F1MF2的面積；
（2）若點M的坐標為（x0，y0），且∠F1MF2是鈍角，求橫坐標x0的范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入法求得值，然后求出焦點坐標后可得三角形面積；
（2）由余弦定理可得．
【小問1詳解】
因為點M（1，m）在橢圓上，
所以，
因為m>0，所以，
因為a＝2，b＝1，所以，所以，，
所以
【小問2詳解】
因為點M在橢圓上，所以－2≤x0≤2，
由余弦定理得
cs∠F1MF2＝＝，
因為∠F1MF2是鈍角，所以，
又因為，所以，解得，
故橫坐標x0的范圍為.
18. 學校師生參與創(chuàng)城志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.
（1）求在有女生參加活動條件下，恰有一名女生參加活動的概率；
（2）記參加活動的女生人數(shù)為，求的分布列及期望；
（3）若志愿活動共有衛(wèi)生清潔員?交通文明監(jiān)督員?科普宣傳員三項可供選擇.每名女生至多從中選擇2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為.每人每參加1項活動可獲得3個工時，記隨機選取的兩人所得工時之和為，求的期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
（3）13個工時
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件概率公式，結(jié)合組合的定義、古典概型公式進行求解即可；
（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式，結(jié)合數(shù)學期望公式進行求解即可；
（3）根據(jù)數(shù)學期望公式和性質(zhì)進行求解即可.
【小問1詳解】
設“有女生參加活動”為事件A，”恰有一名女生參加活動“為事件.
則，
所以
【小問2詳解】
依題意知服從超幾何分布，且，
，
所以的分布列為：
；
【小問3詳解】
設一名女生參加活動可獲得工時數(shù)為，一名男生參加活動可獲得工時數(shù)為，
則的所有可能取值為，的所有可能取值為，
，，
，，
有名女生參加活動，則男生有名參加活動.，
所以.
即兩人工時之和的期望為13個工時.
19. 已知函數(shù).
（1）若曲線在處的切線為x軸，求a的值；
（2）在（1）的條件下，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3），若是的極大值點，求a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增
（3）
【解析】
【分析】（1）求導，然后根據(jù)列式計算即可；
（2）求導，然后通過二次求導確定導函數(shù)的正負，進而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）求導，然后因式分解，確定導函數(shù)的零點，討論零點大小，進而確定極值點.
【小問1詳解】
由已知，則，
由于曲線在處的切線為x軸，
所以，
所以；
【小問2詳解】
當時，，令，
則，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
又當時，恒成立，，，
所以當時，時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【小問3詳解】
由已知，
令，則，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
又當時，恒成立，且，
當時，，即在上有且只有一個零點，設為，
當，即，解得，
此時若，解得，在上單調(diào)遞減，
若，解得或，在上單調(diào)遞增，
此時在處取極小值，不符合題意，舍去；
當，即，解得，
此時若，解得，在上單調(diào)遞減，
若，解得或，上單調(diào)遞增，
此時在處取極大值，符合是的極大值點，
當時，即，解得，
此時恒成立，無極值點，
綜上所述：a的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：函數(shù)的極值跟導函數(shù)的零點有關，當零點不確定的時候，就需要對零點的存在性以及零點的大小進行分類討論，從而達到確定極值點的目的.
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合計
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合計
20
30
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2

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