廣東省汕尾市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的信息填寫(xiě)清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.
2．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.
3．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知，則的虛部為（）
A. 1B. 2C. D. 0
2. 已知是三角形一內(nèi)角，若，則（）
A. B. C. D.
3. 集合，，是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 設(shè)α是空間中一個(gè)平面，是三條不同的直線，則（）
A 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D 若，則
5. 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）
A. B. C. 60D. 80
6. 某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試．經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，則數(shù)學(xué)成績(jī)位于[80，88]的人數(shù)約為（）
參考數(shù)據(jù)：，，．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
7. 某校高二年級(jí)開(kāi)展課外實(shí)踐活動(dòng)，數(shù)學(xué)建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鳳山媽祖石像的高度．如圖，為測(cè)量石像的高度，在距離平臺(tái)米高的處測(cè)得石像頂?shù)难鼋菫?；后?8米到達(dá)距離平臺(tái)米高的處測(cè)得石像頂?shù)难鼋菫?，則石像的高度為（）米．

A. B.
C. D.
8. 是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分；共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以為（）
A. B. C. D.
10. ，若在上的投影向量為，則（）
A. B.
C. D.
11. 端午節(jié)期間，某城市舉行龍舟比賽，龍舟比賽途經(jīng)橋、橋、橋、橋及橋，活動(dòng)期間在5座橋邊各設(shè)置1個(gè)志愿者服務(wù)點(diǎn)．現(xiàn)有5名志愿者參加其中三座橋一橋、橋及橋的服務(wù)，要求這三個(gè)服務(wù)點(diǎn)都有人參加，記事件A為“甲在橋服務(wù)點(diǎn)”，事件為“乙和丙分到一起”，則（）
A. 事件A與事件相互獨(dú)立B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知是等比數(shù)列，若，則______．
13. 已知雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，若軸上一點(diǎn)到雙曲線的漸近線距離為，則的離心率為_(kāi)_____．
14. 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且滿足，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式成立的的最小值．
16. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線的距離比到點(diǎn)距離多2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求E方程；
（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為32，求l的方程．
17. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面．
（2）若平面與平面的夾角為，求的長(zhǎng)．
18. 某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱(chēng)出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）在上述抽取40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．
19. 已知函數(shù)（為正實(shí)數(shù)）.
（1）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
（i）證明：；
（ii）設(shè)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn).若，且，證明：.
汕尾市2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期高中二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)
數(shù)學(xué)
本試題共4頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的信息填寫(xiě)清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.
2．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.
3．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知，則的虛部為（）
A. 1B. 2C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，，
所以的虛部為0.
故選：D
2. 已知是三角形一內(nèi)角，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)題意判斷的范圍，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.
【詳解】因?yàn)槭侨切我粌?nèi)角，，
所以，
由，得，，
因?yàn)椋裕?br>解得或（舍去）.
故選：A
3. 集合，，是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，再判斷兩集合的關(guān)系，即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以真包含于，所以是的充分不必要條件.
故選：A
4. 設(shè)α是空間中的一個(gè)平面，是三條不同的直線，則（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】選項(xiàng)A和D，通過(guò)舉出例子判斷正誤；選項(xiàng)B，由線面垂直的判定定理得結(jié)果正確；選項(xiàng)C，利用線面垂直的性質(zhì)，可得，從而判斷出結(jié)果的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖1，當(dāng)，滿足時(shí)，與可以斜交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則由線面垂直的判定定理得，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，若，則與可以相交、平行或異面，如圖2，滿足，而與異面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：B.
5. 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）
A. B. C. 60D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.
【詳解】由，
令，解得，
所以，
故選：C
6. 某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試．經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，則數(shù)學(xué)成績(jī)位于[80，88]的人數(shù)約為（）
參考數(shù)據(jù)：，，．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合對(duì)稱(chēng)性得出數(shù)學(xué)成績(jī)位于[80，88]的人數(shù).
【詳解】由題意可知，，
則數(shù)學(xué)成績(jī)位于[80，88]的人數(shù)約為.
故選：B
7. 某校高二年級(jí)開(kāi)展課外實(shí)踐活動(dòng)，數(shù)學(xué)建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鳳山媽祖石像的高度．如圖，為測(cè)量石像的高度，在距離平臺(tái)米高的處測(cè)得石像頂?shù)难鼋菫?；后?8米到達(dá)距離平臺(tái)米高的處測(cè)得石像頂?shù)难鼋菫?，則石像的高度為（）米．

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依題意可得，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.
【詳解】依題意，，，，
所以，所以，
則，
所以，即石像的高度為米.
故選：A
8. 是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合切線長(zhǎng)定理列出四邊形面積的函數(shù)關(guān)系，再借助幾何意義求出最小值.
【詳解】圓的圓心，半徑，
點(diǎn)到直線的距離，顯然，
由于切圓于點(diǎn)，則，
四邊形的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)直線垂直于直線時(shí)取等號(hào)，
所以四邊形面積的最小值為.
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分；共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以為（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于4解方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】依題意，令，解得
，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為和，
故選：AC
10. ，若在上的投影向量為，則（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由投影向量的定義計(jì)算可判斷A，根據(jù)共線向量的線性表示判斷B，根據(jù)垂直的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示判斷D.
【詳解】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋?br>所以，解得，故A正確；
由，可知，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故D正確.
故選：AD
11. 端午節(jié)期間，某城市舉行龍舟比賽，龍舟比賽途經(jīng)橋、橋、橋、橋及橋，活動(dòng)期間在5座橋邊各設(shè)置1個(gè)志愿者服務(wù)點(diǎn)．現(xiàn)有5名志愿者參加其中三座橋一橋、橋及橋的服務(wù)，要求這三個(gè)服務(wù)點(diǎn)都有人參加，記事件A為“甲在橋服務(wù)點(diǎn)”，事件為“乙和丙分到一起”，則（）
A. 事件A與事件相互獨(dú)立B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】B選項(xiàng)，分和兩種情況，求出5名志愿者參加其中三座橋的情況數(shù)，再得到甲在橋服務(wù)點(diǎn)的情況數(shù)，得到概率；C選項(xiàng)，求出乙和丙分到一起的情況數(shù)，得到概率；A選項(xiàng)，求出事件包含的情況數(shù)，得到，根據(jù)得到A正確；D選項(xiàng)，根據(jù)求出條件概率.
【詳解】B選項(xiàng)，5名志愿者參加其中三座橋，橋、橋及橋的服務(wù)，
要求這三個(gè)服務(wù)點(diǎn)都有人參加，可以分為和，
其中分為時(shí)，共有種情況，
其中分為時(shí)，共有種情況，
故共有種，
其中甲獨(dú)自在橋服務(wù)點(diǎn)，此時(shí)剩余4名志愿者可以分為和，
當(dāng)剩余4名志愿者分為時(shí)，有種情況，
當(dāng)剩余4名志愿者分為時(shí)，有種情況，
當(dāng)甲和另外一個(gè)人在橋服務(wù)點(diǎn)，從剩余4名志愿者先選1人，剩余3人，分為兩組，故有種情況，
當(dāng)甲和另外2人在橋服務(wù)點(diǎn)，從剩余4名志愿者先選2人，剩余2人，分為兩組，故有種情況，
故，
所以，B正確；
C選項(xiàng)，乙和丙分到一起，當(dāng)5名志愿者分為時(shí)，有種情況，
當(dāng)5名志愿者分為時(shí)，先從剩余3名志愿者選擇1人和乙，丙一起，再將剩余2人進(jìn)行全排列，有種情況，
故，C錯(cuò)誤；
A選項(xiàng)，表示甲在橋服務(wù)點(diǎn)，乙和丙分到一起，
若甲單獨(dú)在橋服務(wù)點(diǎn)，乙和丙分到一起，且5名志愿者分為，則有種情況，
若甲單獨(dú)在橋服務(wù)點(diǎn)，乙和丙分到一起，且5名志愿者分為，從剩余2人中選擇1人和乙，丙一起，有種情況，
若甲和另外一個(gè)人在橋服務(wù)點(diǎn)，先從除了乙，丙外的剩余2名志愿者選1人，再進(jìn)行排列，則有種情況，
當(dāng)甲和另外2人在橋服務(wù)點(diǎn)，則一定是和乙，丙一起，剩余2人進(jìn)行全排列，共有種情況，
綜上，，，
因?yàn)?，故事件A與事件相互獨(dú)立，A正確；
D選項(xiàng)，，D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知是等比數(shù)列，若，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，，即，
所以，
故答案為：2
13. 已知雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，若軸上一點(diǎn)到雙曲線的漸近線距離為，則的離心率為_(kāi)_____．
【答案】或
【解析】
【分析】分焦點(diǎn)在軸、軸兩種情況討論，分別表示出漸近線，利用點(diǎn)到直線的距離得到、的關(guān)系，即可求出離心率.
【詳解】①若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，
即，則點(diǎn)到雙曲線的漸近線距離，
所以，所以，則，所以離心率；
②若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，
即，則點(diǎn)到雙曲線的漸近線距離，
所以，所以離心率；
綜上可得雙曲線的離心率為或.
故答案為：或
14. 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)問(wèn)題.
【詳解】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
即方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，
令，函數(shù)為過(guò)點(diǎn)的直線，
若，則直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，
所以，先求過(guò)點(diǎn)曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，
由，則，切線方程為，
將點(diǎn)代入方程，，得，
因?yàn)?，而在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，所以方程只有一解，為，
故過(guò)點(diǎn)曲線的切線斜率為，
若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，
此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且滿足，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式成立的的最小值．
【答案】（1）；
（2）11.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出數(shù)列的首項(xiàng)即可求出通項(xiàng).
（2）求出數(shù)列的前項(xiàng)和，再列式解不等式即得.
【小問(wèn)1詳解】
等差數(shù)列的公差為2，由，，成等比數(shù)列，得，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，由，得，
即，而，解得，又，所以.
16. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線的距離比到點(diǎn)距離多2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為32，求l的方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解即可；
（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程消去x，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合面積即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到直線的距離比到點(diǎn)距離多2個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離和到點(diǎn)距離相等，
故曲線E是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線E的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，
易知直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立，消去x得，，
所以，
，
解得，
所以直線l方程為或．
17. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面．
（2）若平面與平面的夾角為，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明，再由線面平行的判定定理得證；
（2）由PA，AD，AB兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面夾角即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，如圖，
因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，
所以．
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫鍭BCD，AD，平面ABCD，
所以，．
又，所以PA，AD，AB兩兩互相垂直，
故以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)，則，，，，,
所以，．
顯然為平面DAE的一個(gè)法向量．
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，
則即
令，得，
因?yàn)槠矫鍰AE與平面AEC的夾角為，
所以，
解得或（舍去），即·
18. 某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱(chēng)出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．
【答案】（1）12件；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖求解(1)；
（2）結(jié)合超幾何分布及古典概型求X的分布列；
（3）先分析Y服從二項(xiàng)分布，再利用公式求解．
【詳解】（1）質(zhì)量超過(guò)505克產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3
所以質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)．
（2）重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列為
（3）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過(guò)505克的概率為＝.
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問(wèn)題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過(guò)505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝.
∴Y的分布列為
19. 已知函數(shù)（為正實(shí)數(shù)）.
（1）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
（i）證明：；
（ii）設(shè)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn).若，且，證明：.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)等于零再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷極值點(diǎn)情況即可；
（2）（i）由（1）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到，可證明；（ii）由（1）和（i）可得，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即證，再對(duì)已知等式變形為，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為即證，然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)導(dǎo)數(shù)的分子構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
，
設(shè)，
因?yàn)殚_(kāi)口向下，，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即，
所以在上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，解得，且，
所以在上單調(diào)遞增；在和上單調(diào)遞減；此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).
小問(wèn)2詳解】
（i）證明：由題意及（1）可知，且，
又因?yàn)椋?br>所以.
（ii）證明：由（1）知，，，
由及（i）知，
所以.
若證，即證，
不妨設(shè)，則，
由得，
要證，只需證，
再兩邊去對(duì)數(shù)得，
即，
即證，
令，則，
再令，則，
所以在內(nèi)單調(diào)遞減，
又，則在單調(diào)遞減，
由得，且，
所以，即，
綜上，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)第二小問(wèn)關(guān)鍵在于利用前兩問(wèn)的結(jié)論得到，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即證，然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性即可.
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P

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