2023-2024學(xué)年廣東省汕尾市高二下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含解析）

這是一份2023-2024學(xué)年廣東省汕尾市高二下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含解析），共14頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知1+iz=2+2i，則z的虛部為( )
A. 1B. 2C. iD. 0
2.已知α是三角形一內(nèi)角，若tanα=2，則csα=( )
A. 55B. 2 55C. ± 55D. ?2 55
3.集合A=x|y=lnx?1，B=y|y= x+1，x∈A是x∈B的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4.設(shè)α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則( )
A. 若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α
B. 若l/?/m，m/?/n，l⊥α，則n⊥α
C. 若l/?/m，m⊥α，n⊥α，則l⊥n
D. 若m?α，n⊥α，l⊥n，則l/?/m
5.在2x3?1x6的展開式中，x2的系數(shù)是( )
A. ?80B. ?60C. 60D. 80
6.某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試．經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布N72,82，則數(shù)學(xué)成績位于[80,88]的人數(shù)約為( )參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ?3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
7.某校高二年級開展課外實(shí)踐活動，數(shù)學(xué)建模課題組的學(xué)生選擇測量鳳山媽祖石像的高度．如圖，為測量石像AH的高度，在距離平臺1.2米高的C處測得石像頂?shù)难鼋菫?0°；后退18米到達(dá)距離平臺1.2米高的D處測得石像頂?shù)难鼋菫?0°，則石像的高度為( )米．
A. 9 3+1.2B. 9 6+1.2C. 10 3+1.2D. 18 3+1.2
8.P是直線3x?4y+5=0上的一動點(diǎn)，過P作圓C：x2+y2?4x+2y+4=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為( )
A. 2B. 2 2C. 4 2D. 8 2
二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.函數(shù)fx=x3+x?2的圖象在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=4x?1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)可以為( )
A. 1,0B. 2,8C. ?1,?4D. 1,4
10.a=λ,1,b=1,?1，若a在b上的投影向量為b，則( )
A. λ=3B. a//bC. a⊥a?bD. a?b=2 2
11.端午節(jié)期間，某城市舉行龍舟比賽，龍舟比賽途經(jīng)E橋、F橋、G橋、H橋及I橋，活動期間在5座橋邊各設(shè)置1個志愿者服務(wù)點(diǎn)．現(xiàn)有5名志愿者參加其中三座橋一G橋、H橋及F橋的服務(wù)，要求這三個服務(wù)點(diǎn)都有人參加，記事件A為“甲在G橋服務(wù)點(diǎn)”，事件B為“乙和丙分到一起”，則( )
A. 事件A與事件B相互獨(dú)立B. PA=13
C. PB=925D. PBA=625
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知an是等比數(shù)列，若a1=1,a5=4，則a3= ．
13.已知雙曲線C的對稱中心是原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，若x軸上一點(diǎn)P2,0到雙曲線C的漸近線距離為 3，則C的離心率為 ．
14.若函數(shù)fx=mx?lnx+m?2有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，且滿足a1，a3，a4成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求使不等式Sn>an成立的n的最小值．
16.(本小題12分)
已知動點(diǎn)P到直線x=?4的距離比到點(diǎn)M(2,0)距離多2個單位長度，設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為E．
(1)求E的方程；
(2)已知過點(diǎn)N(4,0)的直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且?OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為32，求l的方程．
17.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn)．
(1)證明：PB//平面AEC．
(2)若平面DAE與平面AEC的夾角為60°,AP=1,AD= 3，求AB的長．
18.(本小題12分)
某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；
(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．
19.(本小題12分)
已知函數(shù)fx=alnx?x+1x(a為正實(shí)數(shù))．
(1)討論函數(shù)fx極值點(diǎn)的個數(shù)；
(2)若fx有兩個不同的極值點(diǎn)x1,x2x10，先求過點(diǎn)?1,?2曲線μ(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為x1,lnx1，
由μ′(x)=1x，則k=1x1，切線方程為y?lnx1=1x1x?x1，
將點(diǎn)?1,?2代入方程，?2?lnx1=1x1?1?x1，得1+lnx1=1x1，
因?yàn)?+ln1=11，而y=1+lnx在0,+∞上單調(diào)遞增，
y=1x在0,+∞上單調(diào)遞減，所以方程1+lnx1=1x1只有一解，為x1=1，
故過點(diǎn)?1,?2曲線μ(x)的切線斜率為1，
若直線g(x)與曲線μ(x)有兩個交點(diǎn)，則m∈0,1，
此時函數(shù)fx=mx?lnx+m?2有兩個零點(diǎn)
故答案為：0,1．
15.解：(1)等差數(shù)列an的公差為2，由a1，a3，a4成等比數(shù)列，得(a1+4)2=a1(a1+6)，
解得a1=?8，
所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=?8+2(n?1)=2n?10；
(2)由(1)知，Sn=?8+2n?102?n=n2?9n，
由Sn>an，得n2?9n>2n?10，
即n2?11n+10>0，而n?1，解得n>10，又n∈N?，所以nmin=11．
【解析】(1)根據(jù)給定條件，列式求出數(shù)列an的首項(xiàng)a1即可求出通項(xiàng);
(2)求出數(shù)列an的前n項(xiàng)和，再列式解不等式即得．
16.(1)
因?yàn)閯狱c(diǎn)P到直線x=?4的距離比到點(diǎn)M(2,0)距離多2個單位長度，
所以動點(diǎn)P到直線x=?2的距離和到點(diǎn)M(2,0)距離相等，
故曲線E是以M(2,0)為焦點(diǎn)，直線x=?2為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線E的方程為y2=8x．
(2)
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
易知直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為x=ty+4，
聯(lián)立y2=8xx=ty+4，消去x得，y2?8ty?32=0，
所以y1+y2=8t,y1y2=?32，
S?OAB=12ON//y1?y2=2 y1+y22?4y1y2=16 t2+2=32，
解得t=± 2，
所以直線l的方程為x+ 2y?4=0或x? 2y?4=0．

【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義求解即可；
(2)設(shè)直線l的方程為x=ty+4，聯(lián)立拋物線方程消去x，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合面積即可求解．
17.(1)
連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，如圖，
因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，
所以PB//OE．
又OE?平面AEC，PB?平面AEC，
所以PB//平面AEC．
(2)
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD，AB?平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AB．
又AB⊥AD，所以PA，AD，AB兩兩互相垂直，
故以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)AB=a，則A(0,0,0)，C(a, 3,0)，P(0,0,1)，D(0, 3,0)，E0, 32,12，
所以AC=(a, 3,0)，AE=0, 32,12．
顯然m=1,0,0為平面DAE的一個法向量．
設(shè)平面ACE的一個法向量為n=x,y,z，
則n?AC=0,n?AE=0,即ax+ 3y=0, 32y+12z=0.
令z= 3，得n= 3a,?1, 3，
因?yàn)槠矫鍰AE與平面AEC的夾角為60°，
所以cs?m,n?=m?nmn= 3a 4+3a2=12，
解得a=32或a=?32(舍去)，即AB=32·
【解析】(1)證明PB//OE，再由線面平行的判定定理得證；
(2)由PA，AD，AB兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面夾角即可得解．
18.解：(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3，
所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3=12(件)．
(2)重量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0，1，2，
X服從超幾何分布．
P(X=0)=C282C402=63130，
P(X=1)=C121C281C402=2865，
P(X=2)=C122C402=11130，
∴X的分布列為
(3)根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為1240=310．
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0，1，2，且Y～B2,310，
P(X=k)=C2k(1?310)2?k(310) k，
所以P(Y=0)=C 20·7102=49100，
P(Y=1)=C 21·310·710=2150，
P(Y=2)=C 22·3102=9100．
∴Y的分布列為
【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算出重量超過505克的產(chǎn)品頻率，與樣本容量相乘即可；
(2)列出隨機(jī)變量X的所有可能的取值，分別計算出對應(yīng)概率，列出分布列求期望即可．
(3)列出隨機(jī)變量Y的所有可能的取值，分別計算出對應(yīng)概率，列出分布列求期望即可．
19.(1)
f′x=ax?1?1x2=?x2+ax?1x2,x>0,a>0，
設(shè)gx=?x2+ax?1，
因?yàn)間x開口向下，Δ=a2?4，
所以當(dāng)02時，令gx=0，解得x=a± a2?42，且a+ a2?42×a? a2?42=1，
所以fx在a? a2?42,a+ a2?42上單調(diào)遞增；在0,a? a2?42和a+ a2?42,+∞上單調(diào)遞減；此時fx有兩個極值點(diǎn)，
綜上，當(dāng)02時，fx有兩個極值點(diǎn)．
(2)
(i)證明：由題意及(1)可知a>2，且x1x2=1，
又因?yàn)閒1x=aln1x?1x+x=?alnx?1x+x=?fx，
所以fx1+fx2=fx1+f1x1=0．
(ii)證明：由(1)知，a>2，t1